Fundamentos de Aritmética

Operações fundamentais

As quatro operações organizam quase todo cálculo elementar. O ponto central aqui não é só "saber fazer conta", mas entender o papel de cada operação: adição junta quantidades, subtração compara ou retira, multiplicação repete grupos e divisão reparte ou mede quantas vezes uma quantidade cabe em outra.

Operação	Ideia principal	Leitura em problema
Adição	juntar ou acumular	total, soma, aumento absoluto
Subtração	retirar ou comparar	diferença, quanto falta, redução
Multiplicação	repetir grupos iguais	dobro, triplo, área retangular, parcelas iguais
Divisão	repartir ou medir	média, razão, distribuição, quantas vezes cabe

Ordem das operações

1 parênteses e colchetes
2 potências e raízes
3 multiplicações e divisões
4 adições e subtrações

Exemplo resolvido

Calcule

8 + 3(10-6)

.

1

Resolva o parênteses:

10-6=4

.

2

Multiplique:

3 \cdot 4 = 12

.

Resultado:

8+12=20

.

Expressões numéricas

Expressões numéricas misturam operações. Elas combinam diretamente com a ordem das operações, por isso entram logo depois das operações fundamentais. A técnica é resolver em camadas, sem tentar fazer tudo de uma vez.

Dica para não se perder: resolva apenas uma parte por linha. O objetivo não é fazer a conta mais rápido; é fazer a conta sem trocar sinal, pular parênteses ou apagar termos que ainda não foram resolvidos.

Exemplo resolvido

Calcule

18 - [4 + 2 \cdot (7-3)]

.

1

Parênteses:

7-3=4

.

2

Multiplicação:

2 \cdot 4 = 8

.

3

Colchetes:

4+8=12

.

18 - 12 = 6

.

Método

Em expressões mais longas, ajuda manter a conta organizada linha por linha. A cada linha, só uma parte muda; o restante continua aparecendo. Assim fica mais fácil acompanhar o raciocínio e perceber sinais, parênteses ou termos que ainda não foram usados.

Números inteiros e sinais

Números inteiros incluem positivos, negativos e zero. A maior dificuldade desse bloco costuma ser interpretar o sinal: ele pode indicar sentido, dívida, temperatura abaixo de zero ou posição na reta numérica.

Leitura importante: sinal negativo não significa que a conta está errada. Ele pode representar falta, dívida, perda ou deslocamento para a esquerda. Antes de calcular, pergunte o que o sinal representa no problema.

Operação	Ideia	Exemplo
soma de sinais iguais	some os valores e mantenha o sinal	$-4 + (-7) = -11$
soma de sinais diferentes	subtraia os valores e mantenha o sinal do maior módulo	$9 + (-5) = 4$
produto ou divisão	sinais iguais dão positivo; sinais diferentes dão negativo	$(-3) \cdot 5 = -15$

Exemplo resolvido

Uma conta bancária estava com saldo de -35 reais. Depois entrou um depósito de 80 reais e saiu uma compra de 28 reais. Qual é o saldo?

1

Escreva a situação:

-35 + 80 - 28

.

2

O depósito compensa a dívida:

-35 + 80 = 45

.

3

Depois a compra reduz o saldo:

45 - 28 = 17

.

Saldo final:

17

reais.

Frações

Fração representa parte de um todo, mas também quociente, razão e operador multiplicativo. O segredo é ver fração como número, não como um símbolo decorativo da conta. A fração $3/4$ , por exemplo, pode significar três partes de quatro, a divisão $3 \div 4$ ou 75% de uma quantidade.

Antes de operar: identifique se a fração está sendo usada como parte, divisão, comparação ou multiplicação. Essa leitura evita aplicar uma regra certa no lugar errado.

Operações com frações

Soma primeiro escrevemos as frações com o mesmo denominador
Produto numerador multiplica numerador, e denominador multiplica denominador
Divisão podemos transformar em multiplicação pela fração inversa
Comparação podemos usar denominador comum ou produto cruzado

Soma com denominadores diferentes

Calcule

3/4 + 1/3

.

1

O MMC de 4 e 3 é 12.

2

Converta as frações para denominador 12:

3/4=9/12

e

1/3=4/12

.

3

Agora some apenas os numeradores:

9/12+4/12=13/12

.

3/4 + 1/3 = 13/12 = 1 1/12

.

Fração como operador

Quanto é

2/5

de 150?

1

A expressão

2/5

de 150 quer dizer: tomar duas de cinco partes iguais de 150.

2

Primeiro encontramos uma quinta parte:

150 \div 5 = 30

.

3

Depois tomamos duas partes:

2 \cdot 30 = 60

.

Resultado:

60

.

Números decimais

Decimal é outra forma de escrever partes da unidade. Ele aparece em medidas, dinheiro, porcentagem e aproximações. A vírgula marca quantas casas estamos usando depois da unidade inteira.

Leitura educada da vírgula: a vírgula não é um detalhe pequeno. Ela mostra se estamos falando de décimos, centésimos ou milésimos. Por isso, ao comparar decimais, alinhe as casas antes de decidir qual número é maior.

Leitura básica

Décimos $0,3 = 3/10$
Centésimos $0,27 = 27/100$
Milésimos $0,125 = 125/1000$

Exemplo resolvido

Transforme

0,45

em fração simplificada.

1

Como há duas casas decimais, escreva

0,45 = 45/100

.

2

Simplifique por 5:

45/100 = 9/20

.

0,45 = 9/20

.

Comparação de decimais

Para comparar decimais, iguale a quantidade de casas: $0,7 = 0,70$ . Assim fica claro que $0,70 > 0,68$ .

Potências e raízes

Potência é multiplicação repetida; raiz é a operação inversa. Aqui a dificuldade costuma estar menos no conceito e mais nas regras de combinação.

Propriedade	Regra	Exemplo
Produto	$a m .a n =a m+n$	$23 .2 2 =2 5$
Quociente	$a m /a n =a m-n$	$54 /5 2 =5 2$
Potência de potência	$(a m) n =a mn$	$(3 2) 3 =3 6$
Raiz quadrada	$\sqrta=b$ se $b 2 =a$	$\sqrt49=7$

Exemplo resolvido

Simplifique

23 .2 5 /2 4

.

1

Mesma base no produto:

23 .2 5 = 2 8

.

2

Na divisão, subtraia expoentes:

28 /2 4 = 2 4

.

Resultado:

16

.

Radicais

Radicais aparecem em simplificação, comparação e racionalização. O procedimento mais seguro é procurar fatores perfeitos antes de mexer no resto.

Propriedades básicas

Produto $\sqrta . \sqrtb = \sqrtab$ , com $a,b \geq 0$
Quociente $\sqrta / \sqrtb = \sqrt(a/b)$ , com $b > 0$
Simplificação $\sqrt(k 2 a)=k\sqrta$
Racionalização elimine o radical do denominador

Exemplo resolvido

Simplifique

\sqrt72

.

1

Fatore:

72=36.2

.

2

Extraia o quadrado perfeito:

\sqrt72 = \sqrt36 . \sqrt2

.

\sqrt72 = 6\sqrt2

.

Módulo ou valor absoluto

Módulo mede distância até zero na reta real. Por isso, ele nunca é negativo. Em muitos problemas, pensar em distância ajuda mais do que decorar propriedades.

Ideias centrais

Definição $|x|=x$ se $x \geq 0$ e $|x|=-x$ se $x < 0$
Produto $|ab|=|a||b|$
Quociente $|a/b|=|a|/|b|$
Distância $|x-a|$ mede a distância entre $x$ e $a$

Exemplo resolvido

Quais números estão a 5 unidades de distância do 2?

1

Escreva a distância:

|x - 2| = 5

.

2

Pode estar 5 à direita ou 5 à esquerda de 2.

Os números são

7

e

-3

.

Erros comuns em aritmética básica

Errar uma conta faz parte do estudo. O mais importante é aprender a identificar o tipo de erro: sinal, ordem das operações, denominador, vírgula ou potência.

Atenção

Frações não some denominadores em uma adição.
Ordem multiplicação e divisão vêm antes de adição e subtração.
Potências só some expoentes quando as bases são iguais.
Sinais cuidado com parênteses precedidos de sinal negativo.
Decimais compare casas de mesmo valor, como $0,70$ e $0,68$ .
Módulo módulo é distância, não apenas "tirar parênteses".

Se o resultado ficou estranho: confira primeiro sinais e parênteses.

Se há frações: veja se você usou denominador comum na soma ou subtração.

Se há decimais: alinhe as casas e confira a posição da vírgula.

Se há potências: confirme se as bases são iguais antes de somar expoentes.

Exercícios rápidos

Cheque rápido

Qual é o valor de

| -7 |

?

Cheque rápido

Calcule

18 - 3 . 4 + 10 \div 2

.

Cheque rápido

Quanto vale

1/2 + 1/3

?

Cheque rápido

Simplifique

23 . 2 4

.

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