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📐 Geometria

Geometria

Estude formas, medidas e relações no espaço — das figuras planas aos sólidos, passando pelo fundamental Teorema de Pitágoras.

Módulos de Geometria

Esta página cobre o conteúdo introdutório. Para o nível IME/ITA/militares, acesse os módulos completos com demonstrações:

📐 Geometria Plana 7 capítulos completos Ângulos · Triângulos · Pontos Notáveis · Métricas · Quadriláteros · Polígonos · Circunferência Ver índice → 📦 Geometria Espacial 4 capítulos completos Posição · Prismas e Pirâmides · Corpos Redondos · Inscritos e Revolução Ver índice →

Figuras planas

São figuras que existem em apenas duas dimensões (comprimento e largura). As principais são triângulo, quadrado, retângulo, paralelogramo, trapézio e losango.

Clique em uma figura para ver suas propriedades:

Triângulo
A = b×h/2
Retângulo
A = b×h
Trapézio
A = (B+b)×h/2
Losango
A = D×d/2
Paralelogramo
A = b×h
Círculo
A = π×r²
Triângulo — 3 lados e 3 ângulos. A soma dos ângulos internos é sempre 180°.
Área = (base × altura) / 2
Perímetro = a + b + c
Tipos: equilátero (3 lados iguais), isósceles (2 iguais), escaleno (todos diferentes)
Retângulo — 4 lados com 4 ângulos retos (90°). Lados opostos são iguais e paralelos.
Área = base × altura
Perímetro = 2×(base + altura)
Diagonal = √(b² + h²)
Trapézio — 4 lados com apenas um par de lados paralelos (base maior B e base menor b).
Área = (B + b) × h / 2
Perímetro = soma dos 4 lados
Losango — 4 lados iguais. As diagonais são perpendiculares entre si.
Área = (D × d) / 2  (D=diagonal maior, d=diagonal menor)
Perímetro = 4 × lado
Paralelogramo — 4 lados com pares opostos paralelos e iguais. Ângulos opostos são iguais.
Área = base × altura
Perímetro = 2×(a + b)
Círculo — conjunto de pontos equidistantes do centro. Raio (r) é a distância do centro à borda.
Área = π × r²
Circunferência = 2 × π × r
Diâmetro = 2r

Perímetro e área

Perímetro é o comprimento total do contorno (medido em cm, m…). Área é a superfície interna (medida em cm², m²…).

Representação visual das formas com suas medidas de área
Exemplo — quintal retangular
Um quintal mede 12 m × 8 m. Calcule o perímetro e a área.
1
Perímetro = 2×(12+8) = 2×20 = 40 m
2
Área = 12×8 = 96 m²
Perímetro: 40 m  |  Área: 96 m²
Exemplo — triângulo
Triângulo com base 10 cm e altura 6 cm, lados: 10, 8 e 8 cm.
1
Área = (10×6)/2 = 30 cm²
2
Perímetro = 10+8+8 = 26 cm
Área: 30 cm²  |  Perímetro: 26 cm

Teorema de Pitágoras

Em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.

Teorema de Pitágoras
  • Fórmula a² + b² = c²
  • Hipotenusa c = √(a² + b²)
  • Cateto a = √(c² − b²)
a, b = catetos  |  c = hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90°)
Visualização geométrica: área do quadrado da hipotenusa = soma das áreas dos quadrados dos catetos

Ternas pitagóricas

São conjuntos de três inteiros que satisfazem a² + b² = c²:

Cateto aCateto bHipotenusa cVerificação
3459 + 16 = 25 ✓
5121325 + 144 = 169 ✓
8151764 + 225 = 289 ✓
681036 + 64 = 100 ✓
7242549 + 576 = 625 ✓
Exemplo — encontrar cateto
Um triângulo retângulo tem hipotenusa = 13 cm e um cateto = 5 cm. Qual o outro cateto?
1
a² + b² = c² → 5² + b² = 13²
2
25 + b² = 169 → b² = 144
3
b = √144 = 12 cm
Cateto = 12 cm
💡
Recíproco de Pitágoras: se a² + b² = c², então o triângulo é retângulo. Essa propriedade foi usada pelos egípcios para construir ângulos retos nas pirâmides com cordas de 3-4-5 nós.

Circunferência e círculo

A circunferência é a linha curva (o contorno). O círculo é a região interna. O número π ≈ 3,14159… é a razão entre o comprimento da circunferência e o diâmetro — constante para qualquer círculo.

Fórmulas do círculo
  • Comprimento C = 2πr = πd
  • Área A = πr²
  • Setor circular A = πr²θ360  (θ em graus)
  • Diâmetro d = 2r
π ≈ 3,14159  |  r = raio  |  d = diâmetro
Círculo com raio 1 mostrando comprimento e área
Exemplo — piscina circular
Piscina com raio de 4 m. Calcule a área e o comprimento da borda.
1
Área = π×4² = 16π ≈ 50,27 m²
2
Borda = 2π×4 = 8π ≈ 25,13 m
Área ≈ 50,27 m²  |  Borda ≈ 25,13 m

Sólidos geométricos

Figuras tridimensionais com comprimento, largura e altura. Volume mede o espaço interno; área total mede toda a superfície.

📦 Paralelepípedo (caixa)
  • Vol = c × l × h
  • A.total = 2(cl + ch + lh)
  • Ex: 3×4×5 → V=60, A=94
⬜ Cubo
  • Vol = a³
  • A.total = 6a²
  • Ex: a=3 → V=27, A=54
🥫 Cilindro
  • Vol = πr²h
  • A.lateral = 2πrh
  • A.total = 2πr(r + h)
  • Ex: r=2, h=5 → V≈62,8
🔺 Cone
  • Vol = πr²h3
  • A.lateral = πrl  (l = geratriz)
  • l = √(r² + h²)
  • Ex: r=3, h=4 → V≈37,7
🔵 Esfera
  • Vol = 43 πr³
  • A.total = 4πr²
  • Ex: r=3 → V≈113, A≈113
🔷 Pirâmide (base quad.)
  • Vol = A.base × h3
  • A.base = l²
  • A.lateral = perímetro × ap2
  • Ex: l=4, h=3 → V=16
Exemplo — volume de cilindro
Um copo cilíndrico tem raio 3 cm e altura 10 cm. Qual sua capacidade em ml?
1
V = π×r²×h = π×9×10 = 90π
2
V ≈ 90×3,14159 ≈ 282,74 cm³
3
1 cm³ = 1 ml → capacidade ≈ 282,74 ml
≈ 282,74 ml

Aplicações reais

Construção civil

Engenheiros usam Pitágoras para verificar que paredes formam ângulo reto: medem 3 m em uma parede, 4 m na outra, e a diagonal deve ser 5 m.

GPS e navegação

A distância entre dois pontos em um plano é calculada pela generalização do Teorema de Pitágoras: d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²].

Embalagens

Fabricantes de embalagens calculam volume e área para otimizar custos: quanto material usar e quanto produto cabe dentro.

🏛️
Pirâmides do Egito: A Grande Pirâmide de Gizé tem base quadrada de 230,4 m de lado e altura original de 146,5 m. Volume ≈ 2,6 milhões de m³ — usando exatamente V = (A.base × h)/3.

Exercícios

Exercício 1 — Área
Qual é a área de um triângulo com base 8 cm e altura 5 cm?
Exercício 2 — Pitágoras
Um triângulo retângulo tem catetos 6 e 8. Qual é a hipotenusa?
Exercício 3 — Círculo
Um círculo de raio 7 cm tem área de aproximadamente: (π ≈ 3,14)
Exercício 4 — Volume
Qual o volume de um cubo com lado 4 cm?