1As quatro operações
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- Unidades, dezenas, centenas e milhares são ordens do sistema decimal. Trocar um grupo por dez unidades da ordem anterior conserva o total.
- Somar reúne parcelas. Na conta armada, alinhe ordens e comece pelas unidades; transfira cada grupo de dez para a próxima coluna.
- A reserva não é sempre um: em uma soma de várias parcelas, podem surgir duas ou mais unidades da próxima ordem.
- Subtrair pode retirar, comparar ou completar. Nos naturais, o minuendo deve ser maior ou igual ao subtraendo para a diferença ser natural.
- Reagrupar é trocar entre ordens, atualizando quem forneceu e quem recebeu. Zeros intermediários podem exigir várias trocas.
- Confira a subtração somando diferença e subtraendo: o total deve reconstruir o minuendo.
- Multiplicação registra grupos iguais. A tabuada pode ser construída por somas, decomposições e troca da ordem dos fatores.
- Na multiplicação por um algarismo, some a reserva ao produto seguinte; não a multiplique outra vez.
- Multiplicar por um número de vários algarismos exige produtos parciais com valor posicional correto. A linha das dezenas representa multiplicação por dezenas.
- Dividir pode repartir igualmente ou contar grupos. Divisão exata é conferida pelo produto entre divisor e quociente.
- Na divisão armada, trabalhe da esquerda para a direita: escolha, multiplique, subtraia e baixe o próximo algarismo. Confira cada produto.
- Um zero no meio do quociente conserva uma ordem e não pode ser omitido.
- Na divisão inteira, dividendo = divisor × quociente + resto, com resto não negativo e menor que o divisor positivo.
- Zero dividido por positivo é zero. Nenhuma divisão por zero é definida.
- O contexto determina o significado do resto: grupos completos e quantidade necessária para atender a todos podem dar respostas diferentes.
- Parênteses agrupam. Multiplicações e divisões precedem somas e diferenças; operações da mesma prioridade seguem da esquerda para a direita.
2Números e operações
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- Algarismo é símbolo; número é o valor representado. O sistema decimal é posicional, com trocas de dez em dez e zero preservando ordens.
- Pertinência relaciona elemento e conjunto; inclusão relaciona conjuntos. União reúne, interseção mantém o comum e diferença depende da ordem. Complemento exige universo.
- Adotamos naturais com zero. Naturais estão nos inteiros, que estão nos racionais, contidos nos reais. Uma fração pode ter valor inteiro; classificação depende do valor.
- Racional é fração de inteiros com denominador não nulo. Irracionais são os demais reais; não são números “sem valor exato”, apenas sem essa representação fracionária.
- A reta usa escala uniforme. Maior significa mais à direita; módulo é distância ao zero e |a − b| mede a distância entre pontos.
- Comutatividade e associatividade valem para somas e produtos. Distributividade conecta as duas operações. Subtração e divisão não herdam essas propriedades em geral.
- Subtrair é somar o oposto. A soma de dois negativos é negativa; o produto de dois negativos é positivo. Identifique a operação e o alcance dos sinais.
- Dividir exige divisor não nulo. Zero dividido por não zero vale zero; nenhuma divisão por zero é definida.
- Frações equivalentes mantêm a mesma quantidade. Simplifique fatores comuns não nulos e preserve o sinal; não cancele parcelas nem algarismos.
- Para comparar frações por produtos cruzados, normalize denominadores positivos. Para somar e subtrair, use uma mesma unidade fracionária.
- No produto de frações, multiplique numeradores e denominadores; na divisão, multiplique pelo inverso do divisor não nulo. Fração do restante muda a referência.
- Decimais finitos são frações de potência de dez. Na soma, alinhe ordens; no produto, conte as casas pelos denominadores; na divisão, transforme os dois números pelo mesmo fator.
- Racionais têm expansão finita ou eventualmente periódica. Dízima tem repetição infinita; geratriz representa seu valor exato, não um truncamento.
- Irracionais têm decimal infinito não eventualmente periódico. Muitas casas de uma tela não provam irracionalidade; √2 tem uma prova por contradição.
- Potência registra fatores repetidos. Base negativa exige agrupamento; expoente negativo indica inverso, e base zero não admite expoente zero ou negativo nesta aula.
- Notação científica usa coeficiente de módulo entre 1 e 10, com expoente inteiro. Compense o deslocamento da vírgula e normalize o resultado.
- Raiz quadrada principal é não negativa; resolver x² = a pede todas as soluções reais. √(b²) = |b|. Não distribua raiz sobre soma.
- Agrupamentos, potências e raízes vêm antes de produtos e quocientes; depois vêm somas e diferenças. Operações de mesma prioridade seguem da esquerda para a direita.
- Arredondar ao mais próximo e truncar são procedimentos diferentes. Declare a convenção de empate e a precisão; uma aproximação não é igualdade exata.
- Interprete unidades, referência da fração, sinais e necessidade de inteiros. Estime antes e confira o resultado na condição original.
3Divisibilidade
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- Na divisão euclidiana a = bq + r, o divisor é positivo e 0 ≤ r < b. Divisão exata tem resto zero.
- d ∣ n lê-se “d divide n”: n é um múltiplo inteiro de d. A barra não representa uma fração.
- Zero é múltiplo de todo positivo; M(0) = {0}. Aqui zero não é admitido como divisor.
- Um divisor positivo de n forma com n dividido por ele um par de fatores. O número 1 tem um divisor positivo; zero tem infinitos.
- Divisibilidade é preservada na soma, na diferença e em múltiplos dos termos divisíveis. A soma divisível não obriga as parcelas a serem divisíveis.
- Para 2, 5 e 10, observe a unidade; para 4 e 25, as duas últimas casas; para 8, as três últimas. As regras vêm do valor posicional.
- Para 3 e 9, use a soma dos algarismos. Para 11, a soma alternada. Para 7, pode-se subtrair o dobro da unidade do restante.
- Só combine testes pelo produto quando os divisores forem primos entre si. A exigência geral é o MMC dos divisores.
- Primos são naturais maiores que 1 com exatamente dois divisores positivos. Zero e um não são primos nem compostos; 2 é o único primo par.
- Para testar n ≥ 2, basta testar os primos até √n, incluindo a igualdade. O crivo produz listas eliminando múltiplos.
- A fatoração de n > 1 em primos existe e é única, salvo a ordem dos fatores. Um não é um fator primo.
- Se os expoentes são α₁, …, αₛ, a quantidade de divisores positivos é (α₁ + 1) · … · (αₛ + 1). Essa quantidade é ímpar exatamente nos quadrados positivos.
- MDC é o maior divisor positivo comum. Na fatoração, use os expoentes mínimos. mdc(a,0) = a para a positivo; mdc(0,0) fica indefinido.
- O algoritmo de Euclides conserva os divisores comuns. O último resto não nulo é o MDC.
- MMC é o menor múltiplo comum positivo de números positivos. Na fatoração, use os expoentes máximos; zero fica fora da busca.
- Para dois positivos, MDC vezes MMC é o produto dos números. Se forem primos entre si, o MMC é o produto. Não estenda a identidade diretamente a três números.
- Para maior tamanho de corte ou maior número de grupos idênticos sem sobra, interprete o MDC. Para o primeiro reencontro de ciclos com origem comum, interprete o MMC.
- Dividir numerador e denominador pelo MDC reduz a fração. Seu decimal é finito exatamente quando o denominador reduzido só tem fatores 2 e 5, incluindo o denominador 1.
- Nos restos de somas e produtos, calcule com os restos e reduza de novo se necessário. Para potências, verifique o ciclo antes de reduzir o expoente.
- Bézout escreve o MDC como combinação inteira; o lema de Euclides permite cancelar fatores primos entre si e justifica a unicidade da fatoração.
4Razões, proporcionalidade e regra de três
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- Razão é uma comparação ordenada por divisão. a:b = a/b exige b ≠ 0; a é o antecedente e b, o consequente. A inversa também exige a ≠ 0.
- Razões equivalentes multiplicam os dois termos pelo mesmo fator não nulo. A razão não determina sozinha as quantidades absolutas.
- Medidas da mesma grandeza devem usar a mesma unidade para comparação adimensional. Em taxas, conserve a unidade composta e sua ordem.
- Parte-parte difere de parte-total. Se A:B = m:n com partes positivas, A/(A+B) = m/(m+n).
- Taxa unitária divide a quantidade pela medida de referência. Extrapolar essa taxa exige condições que a mantenham constante.
- Rapidez média é distância total por tempo total positivo, incluindo paradas; densidade demográfica é população por área e densidade de massa é massa por volume.
- Proporção é igualdade de razões. Com denominadores não nulos, a/b = c/d equivale a ad = bc: produto dos extremos igual ao dos meios.
- Inverter e alternar termos exige conferir os novos denominadores. Somar ou subtrair pares proporcionais conserva a razão quando o denominador resultante não é zero.
- Quarta proporcional completa a/b = c/x; terceira completa a/b = b/x; média geométrica positiva completa a/g = g/b e vale √(ab).
- Na proporcionalidade direta, y = kx e o quociente y/x é constante para x > 0. As duas grandezas recebem o mesmo fator.
- Na inversa, xy = k > 0 e as medidas são positivas. O produto é constante e os fatores de variação são recíprocos.
- Crescer junto ou variar em sentidos contrários não basta para demonstrar proporcionalidade. Parcela fixa e área em função do lado são contraexemplos comuns.
- Escala linear é desenho/real na mesma unidade. Com fator linear k e semelhança, áreas recebem k² e volumes recebem k³.
- Regra de três simples direta usa y₂ = y₁ · x₂/x₁; inversa usa y₂ = y₁ · x₁/x₂. As hipóteses determinam qual relação pode ser usada.
- Na divisão direta, distribua o total pelos pesos normalizados pela soma. Na inversa, use os recíprocos positivos dos pesos e confira os produtos.
- Numa partilha composta, multiplique os pesos dos critérios diretos e divida pelos pesos dos critérios inversos, conforme a regra declarada.
- No modelo Q = pnhd, taxa, equipe, jornada e dias multiplicam a produção. Na regra composta, compare cada grandeza com a incógnita mantendo as outras fixas.
- Trabalho conjunto soma taxas; retiradas subtraem taxas. A conclusão exige taxa líquida positiva e capacidades constantes e aditivas.
- Para combinar taxas, divida os totais ou faça média ponderada. Distâncias iguais com velocidades diferentes não dão, em geral, média aritmética das velocidades.
- Converta minutos por sessenta, confira unidades e substitua o resultado. Em contagens, interprete a exigência de inteiro, mínimo ou exatidão antes de arredondar.
5Porcentagem
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- p% = p/100. p é o número antes de % e r = p/100 é a taxa decimal. 0,5% vale 0,005; o decimal 0,5 vale 50%.
- B é a base que representa 100%; A é a quantidade correspondente. A mesma taxa sobre bases diferentes produz quantidades diferentes.
- Para achar a quantidade, A = rB. Para a taxa, r = A/B exige B > 0. Para recuperar a base, B = A/r exige r > 0.
- A referência zero não determina uma taxa pela razão; taxa zero e parte zero também não determinam uma base única.
- Uma parte contida no todo tem percentual de 0 a 100. Comparações e aumentos podem superar 100%; variações assinadas podem ser negativas.
- “120% de B” é 1,20B; “120% maior que B” é 2,20B. Inverter a comparação muda a referência e, em geral, a taxa.
- Complementos sem sobreposição completam 100% da mesma base. Em subgrupos sucessivos, multiplique as frações; em grupos sobrepostos, evite dupla contagem.
- V₀ e V₁ indicam antes e depois. Um aumento decimal r tem fator F = 1+r; um desconto tem F = 1−r, com r entre 0 e 1 no modelo de valor não negativo.
- A diferença absoluta é ΔV = V₁−V₀. A variação relativa divide essa diferença pelo inicial positivo; o sinal distingue alta e queda.
- Para recuperar o valor inicial, divida o final pelo fator positivo. Desconto de 100% perde a informação da base e não admite essa inversão.
- Variações sucessivas multiplicam fatores. Dois aumentos dão taxa r+s+rs; dois descontos dão desconto d+e−de.
- Somar taxas diretamente exige parcelas calculadas sobre a mesma base. Trocar a ordem de fatores fixos não autoriza trocar uma cobrança fixa com um aumento.
- Aumento e desconto sucessivos da mesma taxa r produzem fator 1−r². Uma queda d < 1 exige recuperação d/(1−d); uma alta r é desfeita por desconto r/(1+r).
- Uma taxa desconhecida é encontrada isolando seu fator. Uma taxa constante equivalente em n etapas usa a raiz positiva do fator total, não a divisão simples da taxa por n.
- Pontos percentuais são a diferença entre números percentuais. A mudança de 20% para 25% é alta de cinco p.p. e aumento relativo de 25% na taxa.
- Percentuais conjuntos usam as bases como pesos. A média simples só serve em geral para bases iguais; misturas por volume exigem volumes aditivos.
- Num gráfico de setores de categorias exclusivas e completas, p% corresponde a 360° · p/100. Percentuais exibidos com arredondamento podem não somar exatamente 100%.
- Acréscimo sobre custo e margem sobre venda usam denominadores diferentes. Uma margem m sobre venda pede preço C/(1−m), para custo positivo e 0 ≤ m < 1.
- Se numerador e referência mudam, a razão recebe o quociente dos fatores. Ajustar um valor por uma referência que também cresceu não equivale, em geral, a subtrair as taxas.
- Arredonde na etapa e na precisão declaradas. Em contagens, confira se a exigência de porcentagem é exata ou um limite antes de escolher o inteiro.
6Grandezas e medidas
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- Medir compara uma grandeza com uma unidade da mesma natureza. Valor numérico e unidade juntos expressam a medida; mudar a unidade conserva a grandeza.
- Unidades e símbolos precisam ser identificados: m, kg, s e K têm papéis diferentes. Símbolos não recebem plural, e prefixos ficam unidos à unidade.
- Na sequência km, hm, dam, m, dm, cm, mm, o fator entre vizinhos é dez. Unidade menor pede valor numérico maior para a mesma distância.
- Um fator de conversão é uma razão entre medidas iguais. Oriente a fração para eliminar a unidade inicial e conservar a unidade pedida.
- Somar ou subtrair medidas exige a mesma natureza e unidades compatíveis. O comprimento na régua é posição final menos posição inicial.
- Perímetro mede contorno em unidade linear; área mede superfície em unidade quadrada. Não existe conversão geral de comprimento para área sem informações geométricas.
- O fator linear é elevado ao quadrado para área e ao cubo para volume. Assim, 1 m² = 10000 cm² e 1 m³ = 1000000 cm³.
- Um hectare vale 10000 m²; 1 km² vale 100 ha. Uma unidade regional exige equivalência expressa no problema.
- Cobertura mínima em embalagens inteiras usa o teto depois de incluir a reserva definida. Isso não substitui uma análise real de cortes e perdas.
- Um litro é 1 dm³; um mililitro é 1 cm³; um metro cúbico tem mil litros. A escala de litros tem fator dez entre vizinhos; a escala cúbica tem fator mil.
- Capacidade usa dimensões internas. Num bloco retangular, V = abc. A fração do volume coincide com a fração da altura em seção horizontal constante, não em toda forma.
- A massa usa kg, g, mg e t; uma tonelada tem mil quilogramas. Massa não é força peso, e a troca entre massa e volume exige dados adicionais.
- Uma hora tem sessenta minutos; um minuto tem sessenta segundos. Hora decimal é fração de hora: 1,35 h equivale a 1 h 21 min.
- Duração é fim menos início na mesma referência, incluindo os dias atravessados. Meses não têm uma quantidade única de dias sem calendário ou convenção.
- Rapidez média é distância total por tempo total; a velocidade vetorial usa deslocamento. De km/h a m/s, divida por 3,6; para a volta, multiplique.
- Vazão média é volume transferido por tempo. Entrada menos saída conserva o balanço do tanque enquanto as vazões e os limites físicos do modelo forem respeitados.
- Densidade média é massa por volume. 1 g/cm³ equivale a 1000 kg/m³. Um litro não tem universalmente massa de um quilograma.
- Consumo e rendimento dependem da orientação da razão. Para autonomia e em km/L positiva, o valor do consumo em L por 100 km é 100/e.
- Celsius e Fahrenheit têm origens diferentes; converter temperaturas usa fator e soma. K é kelvin, sem grau; diferenças em K e °C têm o mesmo valor numérico.
- Minutos e segundos de arco usam ′ e ″ e não medem tempo. Arredondamento exige passo e regra; conversões exatas não eliminam a incerteza de uma medição real.
O registro de estudo é local e não exige cadastro.