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Grandezas e medidas

Aprenda a medir, escolher unidades e justificar conversões de comprimento, área, volume, capacidade, massa e tempo. Avance para velocidade, vazão, densidade, consumo, temperatura e ângulos, com exemplos e 30 questões.

1Medir: comparar uma grandeza com uma unidade

Quando perguntamos quanto mede uma mesa, precisamos dizer o que queremos medir: comprimento, área do tampo, massa ou outra característica. Grandeza é uma propriedade que pode ser expressa por um valor, como comprimento, duração e temperatura. Medir é compará-la com uma referência da mesma natureza, chamada unidade.

Exemplo resolvido · Começar por uma comparação simples

Uma fita ocupa exatamente três trechos de um metro colocados em sequência, sem espaços nem sobreposição. Qual é seu comprimento?

Resolução

  1. Um metro é a referência repetida. A fita corresponde a três dessas unidades.
  2. Seu comprimento é 3 m. O número três sozinho não informa se estamos contando metros, centímetros ou outro tipo de grandeza.

3 m.

G=n uG=n\,u

G representa o valor de uma grandeza, u é a unidade escolhida e n seu valor numérico nessa unidade. Para comprimentos, áreas, volumes, massas e durações, usamos n ≥ 0. Mudar a unidade muda n, preservando G. Uma temperatura Celsius pode ter valor numérico negativo.

Na expressão G = n u, G nomeia o valor da grandeza, n é o número e u, a unidade. As letras apenas organizam a escrita. Ao trocar metros por centímetros, a fita não muda: muda quantas unidades menores cabem no mesmo comprimento. Usaremos operações, frações, proporcionalidade e porcentagem das aulas anteriores.

Exemplo resolvido · Separar objeto, grandeza e unidade

Uma caixa tem altura de 40 cm e massa de 2 kg. Podemos dizer que 40 cm são maiores que 2 kg?

Resolução

  1. A altura é um comprimento; a massa é outra grandeza. Os números usam referências de naturezas diferentes.
  2. Podemos comparar a altura com outra altura e a massa com outra massa, depois de compatibilizar as unidades. Não faz sentido ordenar esses dois valores como se medissem a mesma coisa.

Não; primeiro é preciso comparar grandezas da mesma natureza.

2Unidades e símbolos: escrever a medida com clareza

O Sistema Internacional de Unidades, abreviado SI, organiza unidades compartilhadas. Metro (m), quilograma (kg), segundo (s) e kelvin (K) serão os mais usados aqui. As outras unidades de base são ampere (A), para corrente elétrica; mol (mol), para quantidade de matéria; e candela (cd), para intensidade luminosa. Não é preciso estudar eletricidade ou química para realizar as conversões desta aula.

  • Use um espaço entre número e unidade: 8 m, 2,5 kg e 20 °C. Nas medidas angulares, escreva 30°, 12′ e 15″.
  • Símbolos não recebem plural: 3 kg, sem acrescentar s. Não levam ponto de abreviação; o ponto final da frase continua existindo.
  • Maiúsculas e minúsculas importam: m é metro; M é o prefixo mega. O prefixo fica unido ao símbolo: km, cm, mg.
  • Expoentes fazem parte da unidade: m² é metro quadrado; m³ é metro cúbico. Eles não podem desaparecer na conversão.

Muitas unidades úteis não são unidades de base do SI: minuto, hora, litro, hectare e tonelada têm relações estabelecidas com ele. A presença de uma unidade fora do SI não torna a medida incorreta. O essencial é saber o que ela representa e qual relação permite convertê-la.

Exemplo resolvido · Ler a unidade inteira

Compare 4 m, 4 m² e 4 m³.

Resolução

  1. 4 m mede comprimento. 4 m² mede área, equivalente à área de quatro quadrados unitários de lado 1 m.
  2. 4 m³ mede volume, equivalente ao volume de quatro cubos unitários de aresta 1 m. Os expoentes identificam referências diferentes.

Mesmo número; três tipos de medida diferentes.

3Prefixos: construir unidades maiores e menores

Um prefixo modifica o tamanho da unidade por uma potência de dez. Na sequência mais comum, temos quilo (k): mil; hecto (h): cem; deca (da): dez; a unidade sem prefixo; deci (d): um décimo; centi (c): um centésimo; e mili (m): um milésimo. A letra m antes de uma unidade é o prefixo mili; sozinha como unidade de comprimento, é metro.

1 km=1000 m1 m=100 cm1 cm=10 mm\begin{gathered}1\,\mathrm{km}=1000\,\mathrm m\\1\,\mathrm m=100\,\mathrm{cm}\\1\,\mathrm{cm}=10\,\mathrm{mm}\end{gathered}

São equivalências exatas de unidades da mesma grandeza. A sequência km, hm, dam, m, dm, cm, mm tem fator dez entre vizinhos. Converter para unidade menor aumenta o valor numérico; converter para maior diminui-o.

Também aparecem micro (µ), um milionésimo; nano (n), um bilionésimo; mega (M), um milhão; e giga (G), um bilhão. Esta seleção não é a lista completa de prefixos do SI. Não se juntam dois prefixos para formar uma unidade: por exemplo, usamos mg, não um prefixo adicional sobre kg.

Exemplo resolvido · Interpretar o prefixo antes de calcular

Qual é a relação de 1 mm e de 1 µm com o metro?

Resolução

  1. Mili significa 1/1000: 1 mm = 0,001 m.
  2. Micro significa 1/1000000: 1 µm = 0,000001 m. Como 0,001 dividido por 0,000001 é mil, 1 mm = 1000 µm.

Um milímetro é um milésimo de metro; um micrômetro é um milionésimo.

4Comprimento: converter sem mudar a distância

Leia a sequência km, hm, dam, m, dm, cm, mm. Cada unidade vale dez da seguinte. Ir de metro a centímetro passa por duas relações de fator dez: 1 m = 10 dm e 1 dm = 10 cm, portanto 1 m = 100 cm. Não se trata de mover a vírgula sem motivo: estamos mudando o tamanho da unidade que conta a distância.

Exemplo resolvido · De unidade maior para menor

Converta 2,35 km em metros e 0,084 m em milímetros.

Resolução

  1. Um quilômetro vale mil metros: 2,35 · 1000 = 2350 m.
  2. Um metro vale mil milímetros: 0,084 · 1000 = 84 mm. Em ambos os casos, uma unidade menor pede um número maior.

2350 m e 84 mm.

Exemplo resolvido · Fazer o caminho inverso

Converta 475 cm em metros e 36 mm em centímetros.

Resolução

  1. Como 100 cm = 1 m, 475 cm correspondem a 475/100 = 4,75 m.
  2. Como 10 mm = 1 cm, 36 mm correspondem a 36/10 = 3,6 cm. As divisões são pelas relações exatas das unidades.

4,75 m e 3,6 cm.

5Fator de conversão: multiplicar por uma igualdade de unidades

Podemos conferir qualquer conversão escrevendo uma fração cujos valores de cima e de baixo são iguais. Por exemplo, 100 cm e 1 m representam o mesmo comprimento, então (100 cm)/(1 m) vale um. Multiplicar por essa fração mantém a medida e troca sua escrita. Escolhemos a orientação que elimina a unidade inicial.

1 u=c vx u=(cx) v\begin{gathered}1\,u=c\,v\\x\,u=(cx)\,v\end{gathered}

u e v são unidades da mesma grandeza, c > 0 é o fator exato que expressa uma unidade u em v e x é o valor numérico inicial. Multiplicar por (c v)/(1 u) equivale a multiplicar por um. Inverta esse fator para converter de v para u.

Exemplo resolvido · Acompanhar o cancelamento da unidade

Transforme 3,2 m em centímetros usando um fator.

Resolução

  1. Escreva 3,2 m⋅100 cm1 m3{,}2\,\mathrm m\cdot\frac{100\,\mathrm{cm}}{1\,\mathrm m}. Metro aparece no numerador e no denominador do produto e se cancela.
  2. O número fica 3,2 · 100 = 320 e a unidade restante é cm. Usar a fração invertida não eliminaria o metro nessa multiplicação.

320 cm.

1 u=c v1 uk=ck vk\begin{gathered}1\,u=c\,v\\1\,u^k=c^k\,v^k\end{gathered}

c > 0 e k = 1, 2 ou 3, respectivamente para comprimento, área ou volume construídos a partir da unidade linear u. k é apenas o expoente, não o símbolo de uma unidade. A potência alcança todo o produto c v; não se conserva o fator linear ao converter área ou volume.

Na regra geral, u e v são unidades lineares, c é o fator entre elas e k é o expoente: 1 para comprimento, 2 para área e 3 para volume. Se 1 m = 100 cm, então (1 m)² = (100 cm)² = 10000 cm². Para o cubo, (100 cm)³ = 1000000 cm³. Vamos construir esses fatores com desenhos nas seções seguintes.

6Operar medidas e ler uma régua a partir da diferença

Para somar ou subtrair comprimentos, primeiro use a mesma unidade. Uma escrita mista, como 2 m e 35 cm, reúne parcelas de uma única medida: equivale a 2,35 m ou 235 cm. Um número decimal em metros não reserva uma quantidade fixa de casas para cada unidade; sua leitura vem do valor posicional.

a u+b u=(a+b) ua\,u+b\,u=(a+b)\,u

a e b são valores numéricos de grandezas da mesma natureza expressas na mesma unidade u. A mesma regra vale para a subtração, respeitando o contexto. Antes de somar, converta unidades diferentes. Não se soma comprimento com área.

Exemplo resolvido · Somar e depois retirar

Uma fita de 2 m e 35 cm é unida a outra de 85 cm; depois retiram-se 0,4 m. Qual comprimento sobra?

Resolução

  1. Em centímetros, são 235 + 85 = 320 cm. O corte de 0,4 m corresponde a 40 cm.
  2. Restam 320−40 = 280 cm, isto é, 2,8 m. Não somamos diretamente 2,35, 85 e 0,4 com unidades diferentes.

2,8 m.

comprimento = 6,5 cm02468102 cm8,5 cm8,5 − 2 = 6,5
O objeto começa na marca 2 cm e termina em 8,5 cm. Seu comprimento é a diferença 8,5−2 = 6,5 cm; a borda da régua não precisa ser o início do objeto.

Exemplo resolvido · A marca final não é sempre o comprimento

Na régua ilustrada, por que o objeto não mede 8,5 cm?

Resolução

  1. 8,5 cm é a posição final em relação ao zero da régua. O objeto começa em 2 cm, e esse trecho anterior não pertence a ele.
  2. Subtraímos as posições: 8,5−2 = 6,5 cm. Alinhar ao zero permitiria ler o comprimento diretamente, mas a diferença funciona com qualquer origem comum.

O comprimento é 6,5 cm.

7Contorno e superfície: distinguir perímetro de área

Perímetro mede a extensão do contorno de uma figura; área mede a superfície que ela ocupa. Um barbante em volta de uma mesa acompanha um comprimento. Um tecido sobre o tampo precisa cobrir uma superfície. Não existe uma conversão geral de metros para metros quadrados: falta informação sobre a figura.

P=2(a+b)A=ab\begin{gathered}P=2(a+b)\\A=ab\end{gathered}

a,b > 0 são comprimentos dos lados perpendiculares na mesma unidade. P mede o contorno e usa unidade linear; A mede a superfície e usa a unidade ao quadrado. Por exemplo, a e b em metros produzem P em m e A em m². A dedução usa soma dos quatro lados e contagem de quadrados unitários.

Exemplo resolvido · Medir duas características do mesmo retângulo

Um retângulo tem lados de 2 m e 50 cm. Encontre o perímetro e a área.

Resolução

  1. Primeiro, 50 cm = 0,5 m. O contorno soma 2 + 0,5 + 2 + 0,5 = 5 m.
  2. A superfície tem área 2 · 0,5 = 1 m². As letras P e A nomeiam perímetro e área; a e b, os dois comprimentos. A unidade da área resulta de m · m.

Perímetro de 5 m; área de 1 m².

Exemplo resolvido · Uma medida não determina a outra sozinha

Dois retângulos têm lados 1 m por 5 m e 2 m por 4 m. Compare seus perímetros e áreas.

Resolução

  1. Os perímetros são 2(1+5) = 12 m e 2(2+4) = 12 m.
  2. As áreas são 1 · 5 = 5 m² e 2 · 4 = 8 m². Ter o mesmo contorno total não obriga a ter a mesma superfície.

Mesmo perímetro de 12 m; áreas de 5 m² e 8 m².

As fórmulas de outras figuras e suas demonstrações estão em Geometria Plana. Aqui o retângulo serve para entender unidades e resolver aplicações; não estamos supondo que toda região tenha área igual ao produto de dois comprimentos quaisquer.

8Unidades de área: entender o fator cem

Um metro quadrado é a área de um quadrado de lado 1 m. Como 1 m tem dez decímetros, podemos dividir cada lado em dez partes de 1 dm. A malha tem dez linhas e dez colunas de quadrados de 1 dm²: cem quadrados ao todo. A mudança ocorre nas duas direções.

1 m = 10 dm por ladocada quadrado: 1 dm²1 m² = 100 dm²
O quadrado de 1 m de lado foi repartido em cem quadrados de 1 dm de lado. Sua área é simultaneamente 1 m² e 100 dm².
1 m2=100 dm21 m2=10000 cm21 cm2=100 mm2\begin{gathered}1\,\mathrm m^2=100\,\mathrm{dm}^2\\1\,\mathrm m^2=10000\,\mathrm{cm}^2\\1\,\mathrm{cm}^2=100\,\mathrm{mm}^2\end{gathered}

O quadrado de lado 1 m tem dez decímetros em cada direção: 10 · 10 quadrados de 1 dm². Para cm², são 100 · 100. Entre unidades quadradas vizinhas da sequência métrica, o fator é cem, porque o fator linear dez é elevado ao quadrado.

Exemplo resolvido · Converter a área inteira

Converta 2,4 m² em cm² e 35000 cm² em m².

Resolução

  1. Um metro quadrado equivale a dez mil centímetros quadrados. Assim, 2,4 · 10000 = 24000 cm².
  2. No sentido inverso, 35000/10000 = 3,5 m². Dividir por cem confundiria o fator linear com o de área.

24000 cm² e 3,5 m².

Exemplo resolvido · Uma unidade pequena ao quadrado

Quanto valem 7,5 cm² em mm²?

Resolução

  1. Cada centímetro equivale a dez milímetros. O quadrado de 1 cm de lado contém 10 · 10 = 100 quadrados de 1 mm².
  2. Logo 7,5 · 100 = 750 mm². Não se eleva 7,5 ao quadrado: o dado já é uma área.

750 mm².

9Áreas de terrenos: hectare, are e unidades regionais

Para terrenos, o hectare permite escrever áreas grandes com menos algarismos. Um hectare, símbolo ha, corresponde a um quadrado de lado 100 m: 100 · 100 = 10000 m². Essa descrição constrói a unidade; um terreno de um hectare pode ter outros formatos.

1 ha=10000 m21 km2=100 ha1 a=100 m2\begin{gathered}1\,\mathrm{ha}=10000\,\mathrm m^2\\1\,\mathrm{km}^2=100\,\mathrm{ha}\\1\,\mathrm a=100\,\mathrm m^2\end{gathered}

ha é hectare, área de um quadrado de lado 100 m. a é o símbolo da unidade are, quando utilizada; 1 ha = 100 a. Hectare é unidade de área e não de comprimento. O significado de unidades regionais, como alqueire, precisa ser declarado pelo enunciado; não se presume um único valor.

Exemplo resolvido · Converter sem trocar área por lado

Uma propriedade tem 3,6 ha. Expresse a área em m² e em km².

Resolução

  1. Em metros quadrados, são 3,6 · 10000 = 36000 m².
  2. Um km² corresponde a 1000000 m², portanto a 100 ha. A área é 3,6/100 = 0,036 km². Não concluímos o comprimento dos lados a partir apenas da área.

36000 m² ou 0,036 km².

Exemplo resolvido · Usar o valor que foi declarado

Num problema, define-se expressamente um alqueire como 24200 m². Qual é a área de 2,5 desses alqueires em hectares?

Resolução

  1. A equivalência foi fornecida para esse problema: 2,5 · 24200 = 60500 m².
  2. Dividindo por 10000, obtemos 6,05 ha. O mesmo nome regional pode ter outros valores; sem a equivalência declarada, a conta não teria uma resposta única.

6,05 ha, com a definição dada.

10Cobertura, reserva e compra em quantidades inteiras

Em problemas de revestimento, calcule a área com unidades compatíveis, inclua a reserva pedida e só depois divida pela cobertura da embalagem. A quantidade de caixas precisa ser inteira. O símbolo de teto ⌈x⌉ representa o menor inteiro que não fica abaixo de x; ele serve para garantir a cobertura mínima.

Nmin⁡=⌈AnAe⌉N_{\min}=\left\lceil\frac{A_n}{A_e}\right\rceil

Aₙ ≥ 0 é a área necessária já incluindo a reserva prevista; Aₑ > 0 é a cobertura por embalagem, na mesma unidade. N mínimo é o número inteiro de embalagens. Os símbolos ⌈x⌉, lidos teto de x, indicam o menor inteiro maior ou igual a x. O modelo pressupõe aproveitamento da cobertura declarada e não resolve um plano real de cortes.

Exemplo resolvido · Reservar antes de contar as caixas

Um piso retangular tem 6 m por 4 m. O problema pede reserva de 10% da área, e cada caixa cobre 2,2 m². Quantas caixas são necessárias no modelo?

Resolução

  1. A área é 6 · 4 = 24 m². Com 10% de reserva sobre essa área, precisamos de 24 · 1,10 = 26,4 m².
  2. Cada caixa cobre 2,2 m²: 26,4/2,2 = 12. São doze caixas exatas. Essa reserva declarada não é uma garantia de aproveitamento de cortes numa obra real.

Doze caixas.

Exemplo resolvido · Não arredondar para baixo uma necessidade mínima

Outro ambiente exige 25 m² de cobertura já com a reserva. Cada caixa cobre 2,2 m². Qual é o mínimo inteiro?

Resolução

  1. 25/2,2 = 125/11, aproximadamente 11,36 caixas. Onze caixas cobrem só 24,2 m², abaixo do necessário.
  2. Doze cobrem 26,4 m² e atendem. Arredondar ao inteiro mais próximo daria onze, mas a exigência é de cobertura mínima.

Doze caixas.

11Volume: contar cubos e justificar o fator mil

Volume mede o espaço ocupado por um corpo ou uma região tridimensional. Um centímetro cúbico é o volume de um cubo com cada lado, chamado aresta, medindo 1 cm. Um cubo de aresta 1 dm tem dez centímetros em cada uma de três direções. Uma camada tem 10 · 10 = 100 cubinhos; dez camadas têm mil.

1 camada: 10 × 10 cubos100 cm³ por camada10 camadas = 1000 cm³1 dm³ = 1000 cm³
Cada camada de 1 cm de espessura tem cem cubos de 1 cm³. Dez camadas preenchem o cubo de 1 dm de aresta: 1000 cm³ = 1 dm³.
1 m3=1000 dm31 dm3=1000 cm31 m3=106 cm3\begin{gathered}1\,\mathrm m^3=1000\,\mathrm{dm}^3\\1\,\mathrm{dm}^3=1000\,\mathrm{cm}^3\\1\,\mathrm m^3=10^6\,\mathrm{cm}^3\end{gathered}

Entre unidades cúbicas vizinhas da sequência métrica, o fator é mil: dez posições em cada uma de três direções dão 10³ cubos menores. Ao saltar diretamente de m para cm, o fator linear cem é elevado ao cubo, produzindo um milhão.

Exemplo resolvido · Converter nos dois sentidos

Converta 0,075 m³ em dm³ e 4500 cm³ em dm³.

Resolução

  1. De m³ para dm³, cada unidade maior vale mil menores: 0,075 · 1000 = 75 dm³.
  2. De cm³ para dm³, divida por mil: 4500/1000 = 4,5 dm³. O fator cem é de área, não de volume.

75 dm³ e 4,5 dm³.

Exemplo resolvido · Não elevar ao cubo o valor que já é volume

Um volume é 2 m³. Quantos cm³ representa?

Resolução

  1. O fator de m para cm é cem; o fator para as unidades cúbicas é 100³ = 1000000.
  2. Multiplicamos o volume dado por esse fator: 2 · 1000000 = 2000000 cm³. Não calculamos 2³, pois o dois já conta metros cúbicos.

2000000 cm³.

12Capacidade e litro: ligar unidades cúbicas às do recipiente

A capacidade de um recipiente é o volume interno que ele pode comportar. Litro também é unidade de volume: por definição, 1 L = 1 dm³. Como esse decímetro cúbico contém mil centímetros cúbicos e o litro contém mil mililitros, 1 mL = 1 cm³. A grafia L ajuda a distinguir a unidade do algarismo um.

1 L=1 dm31 mL=1 cm31 m3=1000 L\begin{gathered}1\,\mathrm L=1\,\mathrm{dm}^3\\1\,\mathrm{mL}=1\,\mathrm{cm}^3\\1\,\mathrm m^3=1000\,\mathrm L\end{gathered}

L significa litro; também se aceita l, mas usamos L para distinguir da escrita do número um. A sequência kL, hL, daL, L, dL, cL, mL tem fator dez por passo. Isso não muda o fator mil entre unidades cúbicas vizinhas. Litro mede volume; capacidade é o volume interno que o recipiente pode comportar.

Exemplo resolvido · Passar de litros a volume cúbico

Converta 2,75 L em mL, cm³ e m³.

Resolução

  1. Um litro tem mil mililitros: 2,75 L = 2750 mL. Como 1 mL = 1 cm³, isso equivale a 2750 cm³.
  2. Um metro cúbico tem mil litros; portanto 2,75/1000 = 0,00275 m³. Não confundimos o litro com um metro cúbico.

2750 mL = 2750 cm³ = 0,00275 m³.

Exemplo resolvido · Somar capacidades com unidades diferentes

Um recipiente comporta 1,2 L e outro, 850 mL. Qual é a capacidade total?

Resolução

  1. 1,2 L = 1200 mL. Somando capacidades, 1200+850 = 2050 mL.
  2. Logo a capacidade total é 2,05 L. Essa soma das capacidades nominais não afirma que quaisquer líquidos misturados sempre conservem a soma dos volumes.

2,05 L.

13Reservatórios: dimensões internas e fração ocupada

Num bloco retangular, uma base com a unidades de comprimento por b unidades de largura contém ab unidades quadradas. Empilhar essa base por uma altura c produz abc unidades cúbicas. Para capacidade, use as medidas internas: paredes e fundo têm espessura, por isso medidas externas geralmente não fornecem o espaço útil.

V=abcV=Abh\begin{gathered}V=abc\\V=A_bh\end{gathered}

a,b,c > 0 são comprimentos de arestas perpendiculares de um bloco retangular na mesma unidade; o volume fica na unidade cúbica. Na segunda escrita, A_b = ab é a área da base e h = c é a altura perpendicular. Nesta aula, aplicamos a relação ao bloco retangular; ela não é uma fórmula para todo sólido. Dimensões internas determinam a capacidade útil de um recipiente.

Pense no recipiente dividido em fatias horizontais. A superfície de cada corte é uma seção horizontal. Na caixa retangular com fundo horizontal, todas essas seções têm a mesma área; por isso cada acréscimo igual de altura acrescenta o mesmo volume.

Vo=fVcV_o=fV_c

V_c ≥ 0 é a capacidade e 0 ≤ f ≤ 1 é a fração ocupada, em forma decimal ou fracionária; V_o é o volume ocupado na mesma unidade. Em um recipiente de seção horizontal constante e fundo plano, a fração da altura ocupada coincide com f. Em formatos variáveis, essa coincidência não é geral.

V indica volume, A com índice b indica área da base e h indica altura perpendicular à base. V_c nomeia a capacidade, V_o o volume ocupado e f a fração ocupada. As letras b e c de abc são comprimentos; seus papéis são definidos pela fórmula, sem significar que toda letra tem um único uso em toda a matemática.

base: 4 dm × 3 dmaltura interna: 2 dm75% do volume = 18 L
Reservatório retangular de dimensões internas 4 dm, 3 dm e 2 dm. A capacidade é 24 dm³ = 24 L; 75% correspondem a 18 L e, neste formato, a 75% da altura.

Exemplo resolvido · Calcular a capacidade e depois a ocupação

O reservatório ilustrado está 75% cheio. Qual é o volume de água e quanto falta para completar?

Resolução

  1. A capacidade é 4 · 3 · 2 = 24 dm³ = 24 L. O volume ocupado é 0,75 · 24 = 18 L.
  2. Faltam 24−18 = 6 L. A altura da água é 0,75 · 2 = 1,5 dm, pois a seção horizontal desse recipiente é constante.

18 L de água; faltam 6 L.

Exemplo resolvido · Não aplicar a regra da altura a qualquer formato

Um recipiente tem formato que se alarga para cima. Se a água chega à metade da altura, podemos concluir que ele está com metade do volume?

Resolução

  1. Não há seção horizontal constante: cada camada pode ter área diferente.
  2. A regra V = A_b h aplicada aqui usa área de seção constante, como no bloco retangular estudado. Para o recipiente variável, precisamos de informações sobre a forma e sua relação entre altura e volume.

Não; metade da altura não determina metade do volume nesse caso.

14Massa: grama, quilograma e tonelada

Massa é a grandeza expressa, por exemplo, em gramas e quilogramas. Na linguagem cotidiana, muitas vezes se diz “peso em quilos”; em Física, peso é uma força e sua unidade é o newton. Nesta aula, os problemas em kg tratam de massa. A unidade de base do SI é o quilograma, embora a sequência de prefixos para massa seja construída a partir do grama.

1 t=1000 kg1 kg=1000 g1 g=1000 mg\begin{gathered}1\,\mathrm t=1000\,\mathrm{kg}\\1\,\mathrm{kg}=1000\,\mathrm g\\1\,\mathrm g=1000\,\mathrm{mg}\end{gathered}

t significa tonelada, kg quilograma, g grama e mg miligrama. A unidade de base do SI para massa é kg; seus múltiplos e submúltiplos são formados a partir de grama. Massa não é força peso. Não se converte massa em volume sem informação adicional, como a densidade nas condições do problema.

A sequência kg, hg, dag, g, dg, cg, mg tem fator dez entre vizinhos. Tonelada (t) não é um passo vizinho de kg nessa sequência: uma tonelada vale mil quilogramas. Volume e massa medem coisas diferentes, portanto não se troca L por kg apenas movendo a vírgula.

Exemplo resolvido · Somar massas na mesma unidade

Uma compra reúne 2 kg e 350 g de um produto e 850 g de outro. Qual é a massa total?

Resolução

  1. 2 kg e 350 g equivalem a 2350 g. Somando 850 g, obtemos 3200 g.
  2. Dividindo por mil, são 3,2 kg. Não interpretamos 2 kg e 350 g como 2,035 kg.

3,2 kg.

Exemplo resolvido · Converter para uma unidade menor ou maior

Converta 0,0045 kg em mg e 2750 kg em t.

Resolução

  1. 1 kg = 1000000 mg. Então 0,0045 kg = 4500 mg; também podemos passar por 4,5 g.
  2. 1 t = 1000 kg. Assim, 2750/1000 = 2,75 t.

4500 mg e 2,75 t.

15Tempo: por que minutos e horas não usam base dez

A duração de uma atividade pode ser medida em segundos, minutos ou horas. Minutos e horas usam relações de sessenta, ao contrário dos passos decimais da escala métrica. Uma hora e meia são noventa minutos, e não cem nem 150 minutos. Não use a sequência de comprimento para converter tempo.

1 min=60 s1 h=60 min=3600 s1 d=24 h\begin{gathered}1\,\mathrm{min}=60\,\mathrm s\\1\,\mathrm h=60\,\mathrm{min}=3600\,\mathrm s\\1\,\mathrm d=24\,\mathrm h\end{gathered}

s, min, h e d representam segundo, minuto, hora e dia. Nesta aula, um dia de duração convencional tem 24 h e uma semana tem sete dias. Meses e anos civis não têm uma quantidade única de dias: é preciso conhecer o calendário ou a convenção dada, sem presumir mês de trinta dias.

H=h+m60+s3600H=h+\frac m{60}+\frac s{3600}

h,m,s são valores numéricos de horas inteiras, minutos e segundos de uma duração; H é a quantidade total em horas decimais. Na escrita normalizada, 0 ≤ m < 60 e 0 ≤ s < 60. Aqui m é uma variável de contagem de minutos; o símbolo de unidade metro, escrito após um número, tem outro uso.

Exemplo resolvido · Da escrita mista para a decimal

Escreva 2 h 45 min em horas decimais e em segundos.

Resolução

  1. 45 min = 45/60 h = 0,75 h. A duração é 2+0,75 = 2,75 h, e não 2,45 h.
  2. Em segundos, 2 · 3600 + 45 · 60 = 7200+2700 = 9900 s. Na fórmula H, as variáveis h, m e s contam as parcelas de horas, minutos e segundos.

2,75 h ou 9900 s.

Exemplo resolvido · Da hora decimal para horas e minutos

Qual é a duração de 1,35 h em horas e minutos?

Resolução

  1. A parte inteira é 1 h. A parte 0,35 h deve ser multiplicada por sessenta: 0,35 · 60 = 21 min.
  2. Portanto são 1 h 21 min, não 1 h 35 min. A vírgula marca fração de hora, não uma separação de relógio.

1 h 21 min.

No calendário, meses têm quantidades diferentes de dias, e anos podem ter 365 ou 366. Só use “um mês = trinta dias” quando o problema declarar essa convenção. Um dia convencional de duração tem 24 h; mudanças de fuso ou ajustes de relógio, se fizerem parte de um problema, também precisam ser informados.

16Horário é um instante; duração é o intervalo entre instantes

08:30 informa uma posição no relógio, enquanto 2 h 15 min informa um intervalo de tempo. Para encontrar a duração, início e fim precisam estar na mesma referência e com os dias identificados. A letra grega Δ, delta, significa diferença; os índices i e f indicam inicial e final.

Δt=tf−ti\Delta t=t_f-t_i

t_i e t_f são coordenadas temporais de início e fim na mesma referência e unidade, com t_f ≥ t_i. Δ, delta, indica diferença. Os índices i e f significam inicial e final. Ao atravessar meia-noite, inclua a mudança de dia; horários isolados não determinam uma duração sem informar os dias e as regras do relógio.

Exemplo resolvido · Calcular no mesmo dia

Uma atividade começa às 09:35 e termina às 12:10 do mesmo dia, sem mudança de relógio. Qual é a duração?

Resolução

  1. Podemos contar 25 min até 10:00, duas horas até 12:00 e mais dez minutos. Como 2 h = 2 · 60 = 120 min, a duração é 25 + 120 + 10 = 155 min.
  2. Ou converter ambos para minutos após 00:00: o início está em 9 · 60 + 35 = 575 min e o fim, em 12 · 60 + 10 = 730 min. A diferença é 730−575 = 155 min. Como 155 = 2 · 60 + 35, a duração é 2 h 35 min.

2 h 35 min.

passagem pela meia-noite22:4500:0001:2075 min80 min155 min = 2 h 35 minfim no dia seguinte
Da marca 22:45 até 00:00 passam 75 min; de 00:00 a 01:20 do dia seguinte passam oitenta. O intervalo total é 155 min, isto é, 2 h 35 min.

Exemplo resolvido · Atravessar meia-noite com o dia informado

Uma viagem começa às 22:45 e termina à 01:20 do dia seguinte. Qual é sua duração?

Resolução

  1. Até meia-noite passam 1 h 15 min. Depois passam mais 1 h 20 min. A soma é 2 h 35 min.
  2. Numa única referência, 01:20 corresponde a 1 · 60 + 20 = 80 min do dia seguinte. Somamos o dia completo: o fim está a 24 · 60 + 80 = 1520 min da meia-noite inicial. O início está a 22 · 60 + 45 = 1365 min dessa mesma origem. A diferença é 1520−1365 = 155 min. Subtrair apenas 01:20−22:45 ignoraria a troca de dia.

2 h 35 min, sem mudanças de fuso ou relógio.

17Somar, subtrair e repartir durações

Podemos operar em segundos ou usar trocas de sessenta. Ao somar minutos, cada grupo de sessenta se transforma em uma hora; ao subtrair, uma hora pode ser trocada por sessenta minutos. Multiplicações e divisões também devem conservar todas as parcelas da duração.

Exemplo resolvido · Trocar uma hora antes de subtrair

Quanto é 5 h 10 min menos 2 h 45 min?

Resolução

  1. Troque uma das cinco horas por sessenta minutos: 5 h 10 min = 4 h 70 min.
  2. Agora subtraia as parcelas: 4−2 = 2 h e 70−45 = 25 min. A conferência é 2 h 25 min + 2 h 45 min = 5 h 10 min.

2 h 25 min.

Exemplo resolvido · Repartir uma duração igualmente

Três etapas iguais ocupam 2 h 15 min. Quanto dura cada uma?

Resolução

  1. A duração total é 2 · 60+15 = 135 min. Dividindo por três, são 45 min.
  2. Dividir apenas as horas e deixar os quinze minutos intactos não repartiria todo o intervalo. A conferência é 3 · 45 = 135 min.

45 min por etapa.

Exemplo resolvido · Somar segundos e fazer as reservas

Some 1 h 48 min 50 s e 35 min 25 s.

Resolução

  1. Os segundos somam 75 s = 1 min 15 s. Os minutos passam a somar 48+35+1 = 84 min = 1 h 24 min.
  2. Juntando a hora inicial à hora obtida da troca, o total é 2 h 24 min 15 s.

2 h 24 min 15 s.

18Velocidade no percurso: distância dividida pelo tempo total

A expressão 60 km/h significa sessenta quilômetros por hora. Num modelo de movimento uniforme, a cada hora se percorre essa distância. Em problemas de percurso, a chamada velocidade média costuma indicar distância total dividida por tempo total: rigorosamente, é rapidez média. Na Física vetorial, velocidade média usa deslocamento; uma volta ao ponto inicial pode ter deslocamento zero e distância positiva.

Distância percorrida soma o comprimento de todo o caminho. Deslocamento descreve a mudança da posição inicial para a final, incluindo direção e sentido; é essa informação que o termo vetorial indica. Nesta aula, as contas de percurso usam distância e rapidez, sempre não negativas.

vm=dtotalΔtd=vΔtse v constante\begin{gathered}v_m=\frac{d_{\mathrm{total}}}{\Delta t}\\d=v\Delta t\quad\text{se }v\text{ constante}\end{gathered}

d total ≥ 0 é a distância percorrida, Δt > 0 é o tempo total incluindo paradas quando considerado o percurso inteiro, e v_m é a rapidez média, usualmente chamada velocidade média nesses problemas. A velocidade vetorial da Física usa deslocamento, não distância. A segunda igualdade usa rapidez v constante; unidades precisam ser compatíveis.

1 m/s=3,6 km/h1 km/h=13,6 m/s\begin{gathered}1\,\mathrm{m/s}=3{,}6\,\mathrm{km/h}\\1\,\mathrm{km/h}=\frac1{3{,}6}\,\mathrm{m/s}\end{gathered}

As relações vêm de 1 km = 1000 m e 1 h = 3600 s. Para passar o valor numérico de km/h a m/s, divida por 3,6; para a volta, multiplique. A conversão modifica numerador e denominador. O fator 3,6 é exato.

Exemplo resolvido · Compatibilizar o tempo com o denominador

Um trajeto de 150 km dura 2 h 30 min, incluindo as paradas. Qual é a rapidez média?

Resolução

  1. O tempo é 2,5 h. Dividimos a distância total pelo tempo total: 150/2,5 = 60 km/h.
  2. As paradas fazem parte do intervalo declarado. Em m/s, dividimos o valor por 3,6: 60/3,6 = 50/3, aproximadamente 16,67 m/s.

60 km/h, aproximadamente 16,67 m/s.

Exemplo resolvido · Justificar o fator 3,6

Transforme 72 km/h em m/s e 15 m/s em km/h.

Resolução

  1. 72 km/h = 72000 m por 3600 s. A razão é 72000/3600 = 20 m/s; por isso dividir por 3,6 dá a mesma resposta.
  2. No sentido inverso, uma hora tem 3600 s: a 15 m/s, são 15 · 3600 = 54000 m por hora. Dividindo os metros por mil, obtemos 54000/1000 = 54 km/h. O fator combinado é 3600/1000 = 3,6, por isso também podemos calcular 15 · 3,6 = 54.
  3. É preciso converter as duas unidades: ao partir de km/h, multiplicar apenas por mil deixaria m/h, não m/s.

20 m/s e 54 km/h.

Exemplo resolvido · Não tirar média simples de velocidades em tempos diferentes

Um percurso tem 60 km a 30 km/h e mais 60 km a 60 km/h, sem paradas. Qual é a média do percurso?

Resolução

  1. O primeiro trecho dura 60/30 = 2 h; o segundo dura 60/60 = 1 h.
  2. São 120 km em 3 h: 40 km/h. A média simples 45 km/h daria pesos iguais às velocidades, embora os tempos sejam diferentes.

40 km/h.

19Vazão: volume transferido por unidade de tempo

Uma torneira com vazão constante de 15 L/min fornece quinze litros a cada minuto do intervalo considerado. A letra Q é uma convenção para nomear a vazão; ΔV é o volume transferido e Δt, o tempo decorrido. Uma média não garante que a transferência tenha sido uniforme em cada instante.

Qm=ΔVΔtΔV=QΔtse Q constante\begin{gathered}Q_m=\frac{\Delta V}{\Delta t}\\\Delta V=Q\Delta t\quad\text{se }Q\text{ constante}\end{gathered}
Qm=ΔVΔtΔV=QΔtse Q constante\begin{gathered}Q_m=\frac{\Delta V}{\Delta t}\\\Delta V=Q\Delta t\\\text{se }Q\text{ constante}\end{gathered}

ΔV é o volume transferido no intervalo Δt > 0, e Q_m é a vazão média, por exemplo em L/min. Q constante permite calcular o volume por multiplicação e o tempo por ΔV/Q quando Q > 0. Se a vazão variar, não se usa um valor instantâneo isolado para todo o intervalo.

volume (L)0302604906tempo (min)
No modelo de vazão constante de 15 L/min, dois minutos transferem 30 L; quatro, sessenta; seis, noventa. A reta começa no volume transferido zero e conserva essa razão.

Exemplo resolvido · Encontrar o tempo e converter a vazão

Uma torneira transfere 15 L/min constantemente. Quanto tempo leva para transferir 180 L? Qual é a vazão em m³/h?

Resolução

  1. Tempo = 180/15 = 12 min. A igualdade volume = vazão · tempo permite conferir: 15 · 12 = 180 L.
  2. Numa hora são 15 · 60 = 900 L, isto é, 0,9 m³. A vazão é 0,9 m³/h.

12 min; 0,9 m³/h.

Qliq=Qe−QsVf=Vi+QliqΔt\begin{gathered}Q_{\mathrm{liq}}=Q_e-Q_s\\V_f=V_i+Q_{\mathrm{liq}}\Delta t\end{gathered}

Q_e,Q_s ≥ 0 são vazões constantes de entrada e saída na mesma unidade; Q líquido é a diferença. V_i e V_f são volumes inicial e final; Δt ≥ 0. A igualdade vale enquanto ambas as vazões se mantiverem e o volume permanecer entre zero e a capacidade. Q líquido zero conserva o volume; positivo enche e negativo esvazia.

Exemplo resolvido · Descontar a saída que funciona ao mesmo tempo

Um tanque tem capacidade de 500 L e começa com 100 L. Entram 12 L/min e saem 4 L/min, com vazões constantes até encher. Quanto tempo leva?

Resolução

  1. Q líquido é a entrada menos a saída: 12−4 = 8 L/min. Falta acrescentar 500−100 = 400 L.
  2. O tempo é 400/8 = 50 min. O volume cresce entre cem e quinhentos nesse período. Depois de cheio, a mesma fórmula sem limite não descreve o volume armazenado, pois haveria transbordamento ou outra mudança de regra.

50 min.

Se entrada e saída forem iguais, o volume permanece constante. Se a saída superar a entrada, o recipiente esvazia enquanto houver líquido e as hipóteses se mantiverem. Vazões reais podem variar com pressão e nível; a constância precisa ser uma hipótese do exercício.

20Densidade: relacionar massa e volume com informação adicional

Dois recipientes de mesmo volume podem conter massas diferentes. Densidade média compara a massa com o volume ocupado. Usamos a letra grega ρ, lida “rô”. Ela não é a letra p. Na fórmula, m nomeia massa e V, volume; a unidade m escrita depois de um número continua significando metro em contextos de comprimento.

ρ=mVm=ρV\begin{gathered}\rho=\frac mV\\m=\rho V\end{gathered}

ρ é a letra grega rô e indica densidade média; m ≥ 0 é a massa, V > 0 é o volume. Para um material homogêneo em condições fixadas, a mesma densidade relaciona porções diferentes. Temperatura, composição e outras condições podem alterar a densidade. Não se presume que todo litro de material tenha massa de um quilograma.

1 g/cm3=1000 kg/m31\,\mathrm{g/cm^3}=1000\,\mathrm{kg/m^3}

Use 1 g = 0,001 kg e 1 cm³ = 0,000001 m³. A razão 0,001/0,000001 é mil. Converter apenas a massa sem converter o volume não conserva a densidade expressa. A relação é de unidades e não depende de qual material foi medido.

Exemplo resolvido · Calcular a razão e converter as duas unidades

Um bloco tem massa de 780 g e volume de 100 cm³. Qual é a densidade média em g/cm³ e kg/m³?

Resolução

  1. A razão é 780/100 = 7,8 g/cm³. Isso informa a massa por centímetro cúbico em média.
  2. 1 g = 0,001 kg e 1 cm³ = 0,000001 m³. Convertendo numerador e denominador, 1 g/cm³ = 0,001 kg / 0,000001 m³ = 1000 kg/m³. Aplicamos esse fator ao valor encontrado: 7,8 · 1000 = 7800 kg/m³.

7,8 g/cm³ ou 7800 kg/m³.

Exemplo resolvido · Usar uma densidade declarada

Um líquido homogêneo tem densidade de 0,8 kg/L nas condições do problema. Qual é a massa de 2,5 L?

Resolução

  1. Massa = densidade · volume: 0,8 kg/L · 2,5 L. Os litros se cancelam e o resultado fica em kg.
  2. 0,8 · 2,5 = 2 kg. A igualdade “um litro = um quilograma” não é uma conversão universal; aqui um litro tem massa de 0,8 kg.

2 kg.

21Consumo, rendimento e preço: interpretar unidades compostas

Unidades compostas mostram uma razão: km/L é distância por combustível; L/100 km é combustível por uma distância fixada; m²/L pode indicar área coberta por litro de tinta. O significado de “melhor rendimento” depende da razão: mais km por litro corresponde a menos litros para percorrer a mesma distância.

e=dVc=100e(e>0)\begin{gathered}e=\frac dV\\c=\frac{100}{e}\quad(e>0)\end{gathered}

d ≥ 0 e V > 0 são os valores numéricos da distância em km e do combustível em L; e é o valor numérico da autonomia em km/L. c é o valor numérico do consumo em L por 100 km. A segunda igualdade exige e > 0 e essas unidades específicas; deriva de 100 km divididos pela autonomia. Maior km/L significa menor L por 100 km, sob condições comparáveis.

Exemplo resolvido · Passar de autonomia para consumo

Um veículo percorre 420 km com 35 L em condições definidas. Qual é a autonomia em km/L e o consumo em L por 100 km?

Resolução

  1. Autonomia: 420/35 = 12 km/L. Para percorrer cem quilômetros com essa mesma taxa, precisa de 100/12 = 25/3 L.
  2. O consumo é aproximadamente 8,33 L por 100 km. Para o percurso total, a conferência é 35/420 · 100 = 25/3. As razões são recíprocas com o fator cem da distância de referência.

12 km/L; aproximadamente 8,33 L por 100 km.

Exemplo resolvido · Interpretar cobertura por litro e arredondar embalagens

Uma tinta cobre 6 m²/L por demão. Uma parede de 30 m² recebe duas demãos, com o mesmo rendimento. Cada lata tem 3,6 L. Quantas latas inteiras são necessárias no modelo?

Resolução

  1. Duas demãos exigem cobertura total de 30 · 2 = 60 m². Dividindo pela taxa 6 m²/L, são 10 L.
  2. 10/3,6 = 25/9, aproximadamente 2,78 latas. Três latas fornecem 10,8 L; duas forneceriam só 7,2 L. Não há perdas adicionais além das condições declaradas.

Três latas.

Exemplo resolvido · Preço unitário também deve ter referência comum

Um produto custa 18 reais por pacote de 750 g. Qual é o preço por kg, mantendo a mesma taxa?

Resolução

  1. 750 g = 0,75 kg. O preço unitário é 18/0,75 = 24 reais/kg.
  2. Para comparar com outro pacote, use reais por kg em ambos. Dividir dezoito por 750 daria reais por grama, que é outra escrita da mesma razão.

24 reais/kg.

22Temperatura: conversões com mudança de origem

Nem toda conversão é uma multiplicação isolada. Nas escalas Celsius e Fahrenheit, os zeros estão em pontos diferentes. Usaremos C e F para os números que expressam a mesma temperatura em °C e °F. Essas letras nas fórmulas são valores numéricos, enquanto °C e °F são os símbolos das unidades.

F=95C+32C=59(F−32)\begin{gathered}F=\frac95C+32\\C=\frac59(F-32)\end{gathered}

C e F são os valores numéricos da mesma temperatura em °C e °F, respectivamente, não símbolos de unidades. Os zeros das escalas são diferentes, por isso há a soma de 32. Para diferenças de temperatura, ΔF = (9/5)ΔC, sem somar 32. Para temperaturas termodinâmicas usuais, C ≥ −273,15.

O fator 9/5 relaciona os tamanhos dos intervalos e o acréscimo de 32 ajusta a origem. Subtrair 32 e multiplicar por 5/9 desfaz a conversão. Ao comparar duas temperaturas, os termos 32 se cancelam: para uma variação, ΔF = (9/5)ΔC. Não somamos 32 a uma diferença de temperatura.

Exemplo resolvido · Converter um valor e depois uma variação

Uma temperatura é 25 °C e depois sobe 10 °C. Expresse o valor inicial, o final e a variação em Fahrenheit.

Resolução

  1. Para o valor inicial, substituímos C = 25: F = (9/5) · 25 + 32 = 45 + 32 = 77. Como F é o valor numérico na escala Fahrenheit, a temperatura é 77 °F.
  2. O valor numérico final em Celsius é C = 25 + 10 = 35, isto é, 35 °C. Substituindo C = 35, obtemos F = (9/5) · 35 + 32 = 63 + 32 = 95; portanto o valor final é 95 °F.
  3. A diferença dos valores Fahrenheit é 95−77 = 18; portanto a variação é 18 °F. Também podemos converter diretamente a diferença: (9/5) · 10 = 18. Somar 32 aos dez graus de diferença produziria uma mudança incorreta, pois o ajuste de origem já se cancela ao subtrair as duas temperaturas.

77 °F no início; 95 °F no fim; alta de 18 °F.

TK=C+273,15ΔTK=ΔC\begin{gathered}T_K=C+273{,}15\\\Delta T_K=\Delta C\end{gathered}

T_K é o valor numérico em kelvin da temperatura cujo valor em °C é C. K maiúsculo, depois do número, é o símbolo da unidade kelvin; não é uma constante de proporcionalidade nem se escreve °K. O intervalo de 1 K tem a mesma magnitude que 1 °C. Neste tratamento elementar, T_K ≥ 0 e C ≥ −273,15.

Exemplo resolvido · Entender o símbolo K neste contexto

Quanto representam 25 °C em kelvin? Uma alta de 10 °C equivale a quantos kelvins de variação?

Resolução

  1. O valor numérico em kelvin é 25+273,15 = 298,15. Escrevemos 298,15 K, sem o símbolo de grau.
  2. Uma diferença de 10 °C corresponde a 10 K. K maiúsculo é a unidade kelvin, diferente de uma letra definida como constante em outra fórmula. As escalas Celsius e kelvin têm intervalos de mesmo tamanho e origens diferentes.

298,15 K; variação de 10 K.

Neste estudo elementar de temperatura termodinâmica, trabalhamos a partir de 0 K, equivalente a −273,15 °C. Dizer que 20 °C é “o dobro da temperatura” de 10 °C por uma razão desses números ignora a origem da escala; as conversões com deslocamento não preservam essas razões numéricas. Não estamos calculando calor nem capacidade térmica.

23Ângulos: graus, minutos e segundos que não são de tempo

Uma volta completa corresponde a 360°. Cada grau se divide em sessenta minutos de arco, símbolo ′; cada minuto de arco se divide em sessenta segundos de arco, símbolo ″. A divisão em sessenta se parece com a do relógio, mas a grandeza é outra: 1′ de arco não é um minuto de duração.

1∘=60′ ,1′=60′′D=g+m60+s3600\begin{gathered}1^\circ=60'\,,\quad1'=60''\\D=g+\frac m{60}+\frac s{3600}\end{gathered}

g,m,s são contagens de graus, minutos de arco e segundos de arco; D é o valor numérico total em graus decimais de um ângulo não negativo. Na escrita normalizada, 0 ≤ m,s < 60. Os símbolos ′ e ″ são angulares, diferentes de min e s de tempo. Uma volta completa tem 360°. Não se presume a mesma grandeza só porque há divisão por sessenta.

Exemplo resolvido · Trocar a escrita de um ângulo

Converta 32° 18′ 36″ em graus decimais e 47,25° em graus e minutos.

Resolução

  1. No primeiro caso, 32+18/60+36/3600 = 32+0,3+0,01 = 32,31°.
  2. No segundo, são 47° e a fração 0,25° · 60 = 15′. Logo 47,25° = 47° 15′. Os símbolos angulares devem acompanhar o resultado.

32,31° e 47° 15′.

Exemplo resolvido · Somar e normalizar em base sessenta

Some 18° 50′ e 7° 25′.

Resolução

  1. Os minutos somam 75′ = 1° 15′.
  2. Os graus somam 18+7+1 = 26°. Portanto o ângulo total é 26° 15′.

26° 15′.

Geometria e Trigonometria desenvolvem propriedades dos ângulos e a medida em radianos. Aqui o foco é ler e converter graus e suas subdivisões, conservando a distinção entre ângulo e tempo.

24Precisão, estimativas e limites das respostas

Igualdades entre unidades, como 1 m = 100 cm, são exatas. Uma leitura de régua ou balança tem limitações; convertê-la não cria informação nova. A resolução de um instrumento é o menor passo que ele permite distinguir, mas a incerteza total também depende de calibração, método, ambiente e outras fontes. Não se confunde número de casas com certeza absoluta.

v−r2≤x<v+r2v-\frac r2\le x<v+\frac r2

x ≥ 0 é o valor exato, r > 0 é o passo do arredondamento e v é o múltiplo de r exibido. Arredonda-se para o mais próximo e, no empate, para cima; o intervalo deve ser intersectado com x ≥ 0. O erro de arredondamento tem magnitude no máximo r/2. Isso não determina toda a incerteza de uma medição real.

Exemplo resolvido · Interpretar um valor que foi arredondado

Um comprimento exato não negativo foi arredondado ao centímetro mais próximo, com empate para cima, e foi exibido como 2,35 m. Qual intervalo de valores originais produz esse resultado?

Resolução

  1. O passo é 0,01 m, e metade dele é 0,005 m. Os limites são 2,35−0,005 = 2,345 m e 2,35+0,005 = 2,355 m.
  2. O limite inferior entra porque o empate sobe para 2,35; o superior não entra porque subiria para 2,36. Isso descreve o arredondamento do número, não toda a incerteza de um instrumento real.

2,345 m≤x<2,355 m2{,}345\,\mathrm m\le x<2{,}355\,\mathrm m.

Exemplo resolvido · Capacidade máxima pede o inteiro no outro sentido

Há 5 L de líquido e cada frasco completo deve receber 350 mL. Quantos frascos completos podem ser preenchidos e quanto sobra?

Resolução

  1. 5 L = 5000 mL. A divisão com resto é 5000 = 14 · 350 + 100.
  2. Podemos preencher catorze frascos completos, e sobram 100 mL. Arredondar 5000/350 para cima pediria mais líquido do que existe.

Catorze frascos completos; sobra de 100 mL.

  • Identifique a grandeza antes da conta: comprimento, área, volume, massa e duração não se misturam por terem números parecidos.
  • Escreva o fator de conversão e confira qual unidade deve restar. Área e volume elevam também o fator.
  • Confira hipóteses de constância, forma interna, rendimento, dias do relógio e regras de arredondamento.
  • Interprete o inteiro: compra para cobertura mínima arredonda para cima; número de recipientes completos preenchidos com uma quantidade limitada fica no inteiro inferior.

25Agora é com você

São trinta questões no total: 26 objetivas e quatro discursivas. Comece identificando a grandeza e as unidades. Nas aplicações, mostre o fator de conversão, explique as hipóteses e confira se a resposta pede uma quantidade exata, mínima ou máxima.

Questão 1 de 300 conferidas

Compreensão · Objetiva

Qual afirmação distingue corretamente comprimento, área e volume?

Escolha uma alternativa

26O que guardar desta aula

  • Medir compara uma grandeza com uma unidade da mesma natureza. Valor numérico e unidade juntos expressam a medida; mudar a unidade conserva a grandeza.
  • Unidades e símbolos precisam ser identificados: m, kg, s e K têm papéis diferentes. Símbolos não recebem plural, e prefixos ficam unidos à unidade.
  • Na sequência km, hm, dam, m, dm, cm, mm, o fator entre vizinhos é dez. Unidade menor pede valor numérico maior para a mesma distância.
  • Um fator de conversão é uma razão entre medidas iguais. Oriente a fração para eliminar a unidade inicial e conservar a unidade pedida.
  • Somar ou subtrair medidas exige a mesma natureza e unidades compatíveis. O comprimento na régua é posição final menos posição inicial.
  • Perímetro mede contorno em unidade linear; área mede superfície em unidade quadrada. Não existe conversão geral de comprimento para área sem informações geométricas.
  • O fator linear é elevado ao quadrado para área e ao cubo para volume. Assim, 1 m² = 10000 cm² e 1 m³ = 1000000 cm³.
  • Um hectare vale 10000 m²; 1 km² vale 100 ha. Uma unidade regional exige equivalência expressa no problema.
  • Cobertura mínima em embalagens inteiras usa o teto depois de incluir a reserva definida. Isso não substitui uma análise real de cortes e perdas.
  • Um litro é 1 dm³; um mililitro é 1 cm³; um metro cúbico tem mil litros. A escala de litros tem fator dez entre vizinhos; a escala cúbica tem fator mil.
  • Capacidade usa dimensões internas. Num bloco retangular, V = abc. A fração do volume coincide com a fração da altura em seção horizontal constante, não em toda forma.
  • A massa usa kg, g, mg e t; uma tonelada tem mil quilogramas. Massa não é força peso, e a troca entre massa e volume exige dados adicionais.
  • Uma hora tem sessenta minutos; um minuto tem sessenta segundos. Hora decimal é fração de hora: 1,35 h equivale a 1 h 21 min.
  • Duração é fim menos início na mesma referência, incluindo os dias atravessados. Meses não têm uma quantidade única de dias sem calendário ou convenção.
  • Rapidez média é distância total por tempo total; a velocidade vetorial usa deslocamento. De km/h a m/s, divida por 3,6; para a volta, multiplique.
  • Vazão média é volume transferido por tempo. Entrada menos saída conserva o balanço do tanque enquanto as vazões e os limites físicos do modelo forem respeitados.
  • Densidade média é massa por volume. 1 g/cm³ equivale a 1000 kg/m³. Um litro não tem universalmente massa de um quilograma.
  • Consumo e rendimento dependem da orientação da razão. Para autonomia e em km/L positiva, o valor do consumo em L por 100 km é 100/e.
  • Celsius e Fahrenheit têm origens diferentes; converter temperaturas usa fator e soma. K é kelvin, sem grau; diferenças em K e °C têm o mesmo valor numérico.
  • Minutos e segundos de arco usam ′ e ″ e não medem tempo. Arredondamento exige passo e regra; conversões exatas não eliminam a incerteza de uma medição real.

Esta aula encerra o roteiro inicial de seis aulas de Matemática Básica. O percurso preparou operações, números, divisibilidade, proporcionalidade, porcentagem e medidas. Você pode retomar as questões e os resumos da matéria e seguir para Álgebra, Geometria e as próximas trilhas conforme seus pré-requisitos. Concluir o roteiro não significa esgotar todos os aprofundamentos possíveis nem garantir a cobertura de um edital específico.

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