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Razões, proporcionalidade e regra de três

Compare quantidades e construa proporções. Entenda relações diretas e inversas antes de resolver escalas, partilhas e regras de três simples e compostas, com unidades e hipóteses explícitas.

1Razão: comparar por divisão, respeitando a ordem

Nas aulas anteriores, aprendemos as operações, as frações e a divisibilidade. Agora vamos usar a divisão para comparar quantidades. Dizer “há três fichas azuis para cada duas amarelas” informa uma relação entre as cores, mesmo sem dizer quantas fichas há ao todo. Essa comparação é uma razão.

Exemplo resolvido · Uma comparação pequena

Há seis fichas azuis e quatro amarelas. Qual é a razão de azuis para amarelas?

Resolução

  1. Coloque a quantidade pedida primeiro no numerador: 6/4. Simplificando ambos os termos por 2, temos 3/2, também escrito 3:2 e lido “três para dois”.
  2. O primeiro termo, 6, é o antecedente; o segundo, 4, é o consequente. Eles não são obrigatoriamente os valores reduzidos 3 e 2.

6:4=3:2=326:4=3:2=\frac32.

a:b=aba:b=\frac ab

a e b são reais, com b ≠ 0. a é o antecedente e b o consequente. A ordem é parte da informação. Para comparar medidas da mesma grandeza, use a mesma unidade; em taxas entre grandezas diferentes, conserve a unidade composta. Nos problemas desta aula, as medidas são não negativas e os denominadores, positivos.

Exemplo resolvido · Trocar a ordem troca a pergunta

Na mesma coleção, compare amarelas com azuis e compare as quantidades por subtração.

Resolução

  1. Amarelas para azuis dá 4/6 = 2/3. É a razão inversa de 3/2. As duas razões só coincidiriam, entre positivos, se as quantidades fossem iguais.
  2. A diferença é 6 − 4 = 2 fichas. Já a razão 6/4 = 1,5 diz que a quantidade azul é uma vez e meia a amarela. Diferença e razão respondem a perguntas diferentes.

Amarelas:azuis = 2:3; há duas azuis a mais.

A razão pode ter antecedente zero, como 0/4 = 0, mas nunca consequente zero. A razão inversa exige que o antecedente original também não seja zero. Em uma razão a:b, os dois-pontos indicam a divisão a por b; não representam uma lista de quantidades absolutas.

2Razões equivalentes e unidades compatíveis

Duas razões são equivalentes quando têm o mesmo valor. Para preservar uma razão, multiplique ou divida seus dois termos pelo mesmo fator não nulo. A mesma comparação pode representar coleções de tamanhos diferentes; conhecer só a razão não determina o total.

ab=tatb\frac ab=\frac{ta}{tb}

a, b e t são reais, b ≠ 0 e t ≠ 0. Multiplique ou divida ambos os termos pelo mesmo fator não nulo. Somar a mesma quantidade aos dois termos não conserva a razão em geral.

Exemplo resolvido · Escalar as duas quantidades

As razões 6:4 e 15:10 representam a mesma comparação? E 6:4 e 8:6?

Resolução

  1. 6/4 e 15/10 reduzem a 3/2. A segunda coleção tem 2,5 vezes cada quantidade da primeira, conservando a razão.
  2. Já 8/6 = 4/3 é diferente de 3/2. Somar duas fichas de cada cor não mantém, em geral, a razão.

6:4 e 15:10 são equivalentes; 8:6 não é equivalente a elas.

Exemplo resolvido · Converter antes de comparar

Qual é a razão entre um comprimento de 1,5 m e outro de 60 cm?

Resolução

  1. Como as duas medidas representam comprimentos, use a mesma unidade: 1,5 m = 150 cm.
  2. A razão é 150/60 = 5/2 = 2,5. Dividir apenas 1,5 por 60 misturaria os valores numéricos de unidades diferentes.

A razão é 5:2, sem unidade.

Quando as medidas da mesma grandeza usam a mesma unidade, essa unidade se cancela. Razões com decimais ou frações são divisões como as já estudadas: 0,6/0,4 = 6/4 e (3/4)/(1/2) = (3/4) · 2 = 3/2.

3Parte com parte ou parte com o todo?

Na coleção azul e amarela, o total tem as duas cores. A razão azuis:amarelas compara duas partes; a razão azuis:total compara uma parte com o todo. Antes da conta, nomeie o que aparece no denominador.

6 azuis e 4 amarelasazuis : amarelas = 3 : 2azuis / total = 3/5
Seis azuis e quatro amarelas formam dez fichas. Em cada grupo de cinco partes iguais, três são azuis e duas, amarelas.
A:B=m:nAA+B=mm+n\begin{gathered}A:B=m:n\\\frac{A}{A+B}=\frac m{m+n}\end{gathered}

A e B são medidas positivas de duas partes sem sobreposição que formam o total; m e n são pesos positivos. Escreva A = tm e B = tn, com t > 0. A razão parte-parte m/n difere da razão parte-total m/(m+n).

Exemplo resolvido · Mudar o referencial

Se azuis:amarelas = 3:2, qual fração do total é azul?

Resolução

  1. Chame de t o valor de uma parte igual da razão, com t positivo. Assim as quantidades azul e amarela são 3t e 2t; somadas, dão (3 + 2)t = 5t.
  2. A fração azul do total é 3t/(5t). Como t não é zero, dividimos numerador e denominador por t e obtemos 3/5.
  3. A parte amarela é 2/5. Somadas, as frações dão 1, isto é, o total completo. A razão 3/2 não era a fração azul do total.

Três quintos do total são azuis.

Exemplo resolvido · Recuperar quantidades pelo total

Uma caixa tem 35 fichas, com azuis:amarelas = 3:2. Quantas são de cada cor?

Resolução

  1. O total corresponde a 3 + 2 = 5 partes iguais. Cada parte vale 35 ÷ 5 = 7 fichas.
  2. Azuis: 3 · 7 = 21; amarelas: 2 · 7 = 14. A soma é 35 e 21/14 = 3/2.

21 azuis e 14 amarelas.

4Taxas: o significado de “por unidade”

Podemos comparar grandezas diferentes, como preço e massa. Nesse caso, a unidade não desaparece: reais divididos por quilogramas dão reais por quilograma. Chamaremos esse quociente de taxa. A taxa unitária informa a quantidade do numerador para uma unidade do denominador.

r=Qn⟹Q=rnr=\frac Qn\quad\Longrightarrow\quad Q=rn

Q é a quantidade acumulada e n > 0 é a medida de referência. O quociente tem unidade de Q por unidade de n. A identidade vale para esse par; usar o mesmo r em outros pares exige taxa constante no modelo, sem parcela fixa ou outra mudança nas condições.

Exemplo resolvido · Preço por unidade para comparar ofertas

Um pacote de 6 kg custa 48 reais; outro de 4 kg custa 30 reais. Qual tem menor preço por quilograma, para o mesmo produto?

Resolução

  1. No primeiro, 48 ÷ 6 = 8 reais/kg. No segundo, 30 ÷ 4 = 7,50 reais/kg.
  2. O segundo tem menor preço por quilograma. Comparar apenas os preços totais ou apenas os pesos não resolve a pergunta.

O pacote de 4 kg, a 7,50 reais/kg.

Exemplo resolvido · A unidade inversa tem outro significado

Um veículo percorreu 180 km usando 15 L. O que representam 180/15 e 15/180?

Resolução

  1. 180/15 = 12 km/L informa a distância por litro. 15/180 = 1/12 L/km informa litros por quilômetro.
  2. Os valores são recíprocos, com unidades inversas. Para 100 km, multiplicamos a taxa pela distância: (1/12 L/km) · (100 km) = 100/12 L = 25/3 L. O quilômetro se cancela, e simplificamos a fração dividindo seus dois termos por 4.
  3. Como 25 ÷ 3 = 8,333… , são aproximadamente 8,33 L por 100 km. Não se pode tratar 12 km/L como 12 L/km.

12 km/L; 1/12 L/km; aproximadamente 8,33 L por 100 km.

Uma taxa calculada para uma situação não prova que ela permanecerá constante. Usar o mesmo preço por quilograma em outra compra exige que não haja desconto por quantidade, cobrança fixa ou mudança de produto. Essa distinção será central na proporcionalidade.

5Velocidade média e densidades: razões com unidades

Uma grandeza é algo que podemos medir ou contar. Distância, tempo, massa, volume, área e população são exemplos. Algumas grandezas derivadas são razões entre outras. A velocidade média escalar, usada aqui no sentido de rapidez média, divide a distância percorrida pelo tempo total; isso não afirma que a velocidade tenha sido constante.

vm=DtotalTtotalv_m=\frac{D_{\mathrm{total}}}{T_{\mathrm{total}}}

A distância percorrida é não negativa e o tempo total é positivo, incluindo as paradas do intervalo considerado. Distância em km e tempo em horas dão km/h. Usamos a expressão escolar velocidade média escalar para essa razão; não se trata do vetor deslocamento dividido pelo tempo.

Exemplo resolvido · Minutos não são centésimos de hora

Uma viagem de 150 km durou 2 h 30 min, incluindo as paradas. Qual foi a rapidez média?

Resolução

  1. 30 min correspondem a 30/60 h = 0,5 h. O tempo total é 2,5 h, e não 2,30 h.
  2. 150 ÷ 2,5 = 60 km/h. Uma parada durante a viagem está incluída no tempo total e reduz a média em relação à média calculada só durante o movimento.

60 km/h.

dpop=PAρ=mV\begin{gathered}d_{\mathrm{pop}}=\frac PA\\\rho=\frac mV\end{gathered}

P é a população e A > 0 a área de referência; a unidade pode ser habitante/km². m é a massa e V > 0 o volume; ρ, letra grega rô, é a densidade média de massa, por exemplo em g/cm³. Não confunda uma média com uniformidade local.

Exemplo resolvido · Distinguir população por área de massa por volume

Uma região tem 36 000 habitantes em 120 km². Um objeto tem 270 g e volume de 100 cm³. Calcule as respectivas densidades médias.

Resolução

  1. A densidade demográfica é 36 000/120 = 300 habitantes/km². Ela não significa que cada quilômetro quadrado contenha exatamente 300 pessoas.
  2. A densidade de massa é 270/100 = 2,7 g/cm³. Na fórmula, a letra grega ρ, lida “rô”, representa esse quociente; o denominador é volume, não área.

300 habitantes/km² e 2,7 g/cm³.

6Proporção: quando duas razões são iguais

Uma proporção afirma igualdade entre razões: a:b = c:d lê-se “a está para b assim como c está para d”. Os termos a e d, nas pontas dessa escrita, são chamados extremos; b e c, no centro, são os meios. O símbolo ⇔ significa que a equivalência vale nos dois sentidos.

ab=cd  ⟺  ad=bc\frac ab=\frac cd\iff ad=bc

a, b, c e d são reais, b ≠ 0 e d ≠ 0. A multiplicação pelos denominadores prova a ida; a divisão por bd, não nulo, prova a volta. Na escrita a:b = c:d, a e d são os extremos; b e c, os meios. A igualdade de produtos não legitima frações com denominador zero.

A propriedade fundamental não é um truque de setas: multiplicar a/b = c/d por bd dá ad = bc, pois os denominadores são não nulos. Para voltar, divida a igualdade de produtos por bd. Se um denominador fosse zero, a divisão não existiria e a igualdade dos produtos não salvaria a proporção.

Exemplo resolvido · Conferir sem aproximar os quocientes

4:7 e 12:21 formam uma proporção? E 4:7 e 12:20?

Resolução

  1. 4 · 21 = 84 e 7 · 12 = 84. Os produtos coincidem, então 4/7 = 12/21.
  2. Com 20, o primeiro produto seria 80, diferente de 84. Logo 4/7 não é 12/20. O teste dispensa arredondar dízimas.

4:7 = 12:21; a segunda comparação não é uma proporção.

Exemplo resolvido · A incógnita representa uma quantidade ainda desconhecida

Resolva 3/5 = x/20.

Resolução

  1. Os denominadores 5 e 20 são permitidos. Pela propriedade fundamental, 5x = 3 · 20 = 60.
  2. Divida os dois lados por 5: x = 12. Substituindo de volta, 12/20 simplifica para 3/5. A letra x é a quantidade desconhecida; o sinal · é a multiplicação.

x=12x=12.

7Transformar proporções preservando suas condições

Algumas transformações ajudam a resolver problemas, mas é preciso conferir os novos denominadores. Inverter as duas razões dá b/a = d/c quando a e c também são não nulos. Alternar os termos dá a/c = b/d quando c é não nulo. Os produtos cruzados continuam sendo ad e bc.

ab=cd⟹ba=dc\frac ab=\frac cd\quad\Longrightarrow\quad\frac ba=\frac dc

a, b, c e d são reais não nulos e a proporção inicial é verdadeira. É preciso que os novos denominadores a e c também não sejam zero. Inverter só um lado não é, em geral, uma transformação equivalente.

ab=cd⟹ac=bd\frac ab=\frac cd\quad\Longrightarrow\quad\frac ac=\frac bd

a, b, c e d são reais, b, c e d são não nulos, e a proporção inicial vale. As duas igualdades expressam o mesmo produto ad = bc. A troca exige verificar os novos denominadores.

Exemplo resolvido · Duas transformações válidas

A partir de 6/4 = 15/10, obtenha as razões inversas e alterne os termos.

Resolução

  1. Invertendo os dois lados: 4/6 = 10/15 = 2/3. Todos os novos denominadores são não nulos.
  2. Alternando: 6/15 = 4/10 = 2/5. Inverter apenas o primeiro lado daria 4/6 = 15/10, o que é falso.

4/6 = 10/15 e 6/15 = 4/10.

Se as duas razões valem k, escreva a = kb e c = kd. Somar ou subtrair essas igualdades dá a ± c = k(b ± d). Assim a razão entre as somas ou entre as diferenças continua k, desde que o novo denominador não seja zero. Também (a+b)/b = a/b + 1 = k+1 e (a−b)/b = k−1.

ab=cd=ka+cb+d=ka−cb−d=k\begin{gathered}\frac ab=\frac cd=k\\\frac{a+c}{b+d}=k\\\frac{a-c}{b-d}=k\end{gathered}

a, b, c, d e k são reais; b e d são não nulos. A linha da soma exige b+d ≠ 0 e a da diferença exige b−d ≠ 0. De a = kb e c = kd vem a±c = k(b±d). Cada conclusão só vale quando seu próprio denominador é permitido.

ab=ka+bb=k+1a−bb=k−1\begin{gathered}\frac ab=k\\\frac{a+b}{b}=k+1\\\frac{a-b}{b}=k-1\end{gathered}

a, b e k são reais, b ≠ 0 e a/b = k. Somar ou retirar o denominador no numerador soma ou subtrai uma unidade na razão. Se a−b ≠ 0, também (a+b)/(a−b) = (k+1)/(k−1); não se divide por k−1 quando k = 1.

Exemplo resolvido · Razão e soma, depois razão e diferença

Se A:B = 5:3 e A+B = 64, encontre A e B. Depois encontre C e D se C:D = 3:5 e D−C = 18.

Resolução

  1. No primeiro caso, A = 5t e B = 3t, com t positivo. A soma é 8t = 64, então t = 8: A = 40 e B = 24. Isso equivale a A/(A+B) = 5/(5+3).
  2. No segundo, C = 3u e D = 5u. A diferença é 2u = 18, então u = 9: C = 27 e D = 45. A ordem da subtração acompanha a informação de que D é maior.

A = 40, B = 24; C = 27, D = 45.

Multiplicar numerador e denominador por a não nulo também mostra a²/(ab) = a/b. A mesma ideia funciona com qualquer fator não nulo: ela não autoriza cancelar parcelas de uma soma. Se a = b, expressões que dividem por a−b são proibidas, mesmo que a/b = 1 seja perfeitamente válida.

Exemplo resolvido · Uma razão junto de um produto

Os lados de um retângulo estão na razão 3:2 e sua área é 600 m². Encontre os lados.

Resolução

  1. Escreva os lados como 3t e 2t metros, com t positivo. A área de um retângulo é o produto de seus lados; portanto (3t)(2t) = (3 · 2)(t · t) = 6t² = 600.
  2. Divida os dois lados por 6: t² = 600/6 = 100. Como t é positivo e 10² = 100, temos t = 10.
  3. Os lados medem 30 m e 20 m. O produto é 600 m² e a razão é 3/2. A raiz negativa não representa um comprimento.

30 m e 20 m.

8Quarta, terceira e média proporcional

São nomes para posições específicas numa proporção. A quarta proporcional a três positivos a, b e c, nessa ordem, completa a/b = c/x. A terceira proporcional a dois positivos a e b completa a/b = b/x; essa é uma proporção contínua, pois os meios são iguais.

ab=cx⟹x=bca\frac ab=\frac cx\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{bc}{a}

No uso desta fórmula, a, b e c são positivos e x é a quarta proporcional positiva. Em reais gerais, a ≠ 0 e b ≠ 0 permitem calcular x = bc/a, mas é preciso verificar x ≠ 0 na proporção original. Se a = 0, não use esta fórmula; analise a igualdade e seus denominadores.

ab=bx⟹x=b2a\frac ab=\frac bx\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{b^2}{a}

a e b são positivos; x é a terceira proporcional positiva, pois os dois meios coincidem. Decorre de ax = b². Essa definição não é a média geométrica entre a e b.

Exemplo resolvido · A ordem dos dados faz parte da definição

Calcule a quarta proporcional a 4, 6 e 10, e a terceira proporcional a 4 e 6.

Resolução

  1. Quarta: 4/6 = 10/x dá 4x = 60, então x = 15. Conferimos 4/6 = 10/15.
  2. Terceira: 4/6 = 6/x dá 4x = 36, então x = 9. Os meios agora são ambos 6. Mudar a ordem de 4 e 6 mudaria a pergunta.

Quarta proporcional: 15; terceira proporcional: 9.

Os nomes acima foram definidos para dados positivos. Se estudarmos uma igualdade mais geral com zeros, precisamos voltar à proporção: 0/2 = 0/x vale para qualquer x não nulo, enquanto 0/2 = 1/x não tem solução. Não há nesses casos uma quarta proporcional positiva determinada pela fórmula bc/a, pois a divisão por a = 0 é proibida.

A média proporcional, também chamada média geométrica entre dois positivos a e b, é o número positivo g que ocupa os dois meios: a/g = g/b. O produto cruzado dá g² = ab; a condição g > 0 escolhe a raiz positiva.

ag=gb⟹g=ab\frac ag=\frac gb\quad\Longrightarrow\quad g=\sqrt{ab}

a, b e g são positivos. Da proporção vem g² = ab, e a condição positiva escolhe a raiz principal. A média geométrica não é, em geral, a média aritmética (a+b)/2. Se fossem admitidos g reais não nulos, a equação também teria a raiz negativa.

Exemplo resolvido · Média geométrica não é média aritmética

Encontre a média geométrica entre 4 e 9 e compare com a média aritmética.

Resolução

  1. g = √(4 · 9) = √36 = 6. De fato, 4/6 = 6/9 = 2/3.
  2. A média aritmética é (4 + 9)/2 = 6,5. São conceitos diferentes. Embora g² = 36 tenha raízes 6 e −6, a média geométrica pedida é positiva.

Média geométrica 6; média aritmética 6,5.

9Proporcionalidade direta: conservar o quociente

Uma relação é diretamente proporcional quando multiplicar uma quantidade por um fator multiplica a outra pelo mesmo fator. Se cada caderno custa seis reais, sem cobrança fixa nem desconto, um custa 6, dois custam 12 e três custam 18. O preço total dividido pela quantidade é sempre 6 reais por caderno.

y=kxy2y1=x2x1\begin{gathered}y=kx\\\frac{y_2}{y_1}=\frac{x_2}{x_1}\end{gathered}

No modelo de medidas positivas, k > 0 é constante, x₁,x₂ > 0 e yᵢ = kxᵢ. O quociente y/x permanece k e multiplicar x por um fator positivo multiplica y pelo mesmo fator. Se x = 0 for admitido, y = 0; a expressão y/x não é usada nesse ponto.

As letras x e y representam medidas correspondentes, e k é a constante de proporcionalidade. y = kx diz que há sempre k unidades de y por unidade de x. Para medidas positivas, k > 0. Se zero fizer parte do modelo, y também será zero nesse ponto; não calculamos 0/0 para verificar a razão.

custo (reais)0612182401234quantidade de cadernos
Cada ponto relaciona quantidade e custo a seis reais por unidade. Os eixos mantêm escalas uniformes; os pontos estão alinhados com a origem.

Exemplo resolvido · Usar um fator de variação

Três quilogramas de arroz custam 24 reais, mantendo preço constante por quilograma. Quanto custam sete quilogramas?

Resolução

  1. A taxa é 24 ÷ 3 = 8 reais/kg. Sete quilogramas custam 7 · 8 = 56 reais.
  2. Também podemos multiplicar a quantidade por 7/3 e fazer o mesmo com o preço: 24 · (7/3) = 56. O fator não precisa ser inteiro.

56 reais.

Exemplo resolvido · Conferir uma lista de pares

Os pares (2,10), (3,15) e (5,25) são compatíveis com proporcionalidade direta?

Resolução

  1. Os quocientes da segunda medida pela primeira são 10/2 = 15/3 = 25/5 = 5.
  2. Os pares são diretamente proporcionais, com k = 5. Uma lista finita pode ser compatível com o modelo; para estendê-lo a outras situações, precisamos da regra ou das hipóteses que mantêm k constante.

Sim, com constante 5 para esses pares.

10Proporcionalidade inversa: conservar o produto

Se um trabalho exige 24 horas de uma pessoa e pode ser dividido sem interferência entre pessoas igualmente produtivas, duas pessoas levam 12 horas, três levam oito e quatro levam seis. Ao dobrar a quantidade de pessoas, o tempo cai pela metade. O produto pessoas vezes horas fica em 24.

xy=k⟺y=kxy2y1=x1x2\begin{gathered}xy=k\quad\Longleftrightarrow\quad y=\frac kx\\\frac{y_2}{y_1}=\frac{x_1}{x_2}\end{gathered}

x e y são positivos e k > 0 é constante. O produto é fixo: multiplicar x por um fator positivo divide y pelo mesmo fator. Os valores x₁ e x₂ são positivos. O modelo não admite x = 0 e não é caracterizado apenas por uma grandeza subir e a outra descer.

Aqui y = k/x, com x > 0 e k > 0. Se x for multiplicado por um fator t positivo, y vira k/(tx), isto é, seu valor anterior dividido por t. Por isso os fatores são recíprocos. Não há valor permitido para x = 0 nesse modelo.

24 pessoa-horas2 × 12 = 243 × 8 = 246 × 4 = 24pessoas × horas
Retângulos na mesma escala representam pares pessoas × horas. As formas mudam, mas cada área tem 24 unidades de trabalho.

Exemplo resolvido · Mais pessoas, o mesmo trabalho

Quatro pessoas executam um serviço em seis horas. Quanto levariam oito pessoas equivalentes, com a mesma carga horária e sem interferência?

Resolução

  1. O trabalho é fixo e a taxa individual não muda. O produto inicial é 4 · 6 = 24 pessoa-horas.
  2. Com oito pessoas, 8t = 24; portanto t = 3 horas. Dobrou a equipe e o tempo foi dividido por dois.

Três horas, sob as hipóteses do modelo.

Exemplo resolvido · Testar o produto, e não só a direção

Os pares (2,12), (3,8) e (6,4) são inversamente proporcionais?

Resolução

  1. 2 · 12 = 3 · 8 = 6 · 4 = 24. Todos têm o mesmo produto e medidas positivas.
  2. Logo são inversamente proporcionais, com constante 24. O quociente, neste caso, não é constante.

Sim: o produto constante é 24.

11Quando a regra de três não se aplica

Duas grandezas crescerem juntas não basta para serem diretamente proporcionais. Uma crescer e a outra diminuir também não basta para serem inversamente proporcionais. Precisamos do mesmo fator ou de fatores recíprocos, sustentados pelo modelo e por uma constante.

Exemplo resolvido · Uma parcela fixa quebra a proporcionalidade direta

Um serviço cobra cinco reais de taxa fixa mais dois reais por item. O custo total é diretamente proporcional ao número de itens?

Resolução

  1. Para um item, o custo é 7 reais; para dois, é 9. Dobrar os itens não dobrou o total. Os quocientes 7/1 e 9/2 são diferentes.
  2. A regra é C = 5 + 2q. Só a parcela variável 2q é diretamente proporcional a q; o custo completo inclui a taxa fixa.

Não. O custo é crescente, mas não diretamente proporcional.

Exemplo resolvido · Área crescente e soma constante

O lado e a área de um quadrado são diretamente proporcionais? E dois positivos cuja soma é 12 são inversamente proporcionais?

Resolução

  1. Um quadrado de lado 2 tem área 4; de lado 4, área 16. Dobrar o lado quadruplica a área. A área é proporcional ao quadrado do lado, não ao lado.
  2. Se x+y = 12, os pares (2,10) e (3,9) mostram que uma medida cresce e a outra diminui, mas os produtos são 20 e 27. Não há proporcionalidade inversa.

Nenhuma das duas relações tem a proporcionalidade sugerida.

Em problemas de produção, verifique se mais trabalhadores realmente podem dividir a tarefa e manter o rendimento. Idade e altura, número de pessoas e tempo de uma palestra, tarifas por faixas e rendimentos que mudam com a carga não obedecem automaticamente a uma regra de três.

12Escalas de mapas, plantas e ampliações

Escala linear compara um comprimento no desenho com seu correspondente real. Numa planta 1:50, uma unidade no desenho representa cinquenta unidades reais da mesma espécie. Isso não significa que um centímetro represente cinquenta metros: a unidade precisa ser a mesma nos dois termos.

E=LdLrE=1:N⟹Lr=NLd\begin{gathered}E=\frac{L_d}{L_r}\\E=1:N\\\Longrightarrow L_r=NL_d\end{gathered}

L_d e L_r são comprimentos correspondentes positivos, escritos na mesma unidade. E é adimensional; numa escala 1:N, N > 0. Para N > 1 há redução, N = 1 tamanho real e 0 < N < 1 ampliação. Escalas como 2:1 também representam ampliação. Redimensionar a impressão altera a escala numérica.

Exemplo resolvido · Do mapa à distância real

Em um mapa 1:25 000, um segmento mede 3,6 cm. Qual distância real ele representa?

Resolução

  1. Multiplique por 25 000 na mesma unidade: 3,6 · 25 000 = 90 000 cm.
  2. Como 100 cm = 1 m, 90 000 cm = 900 m. Para converter em quilômetros, 900 m = 0,9 km. A escala representa o segmento correspondente, não necessariamente um trajeto sinuoso entre os pontos.

900 m, ou 0,9 km.

Exemplo resolvido · Da medida real ao desenho

Um cômodo mede 5 m por 3 m. Quais medidas terá na planta 1:50?

Resolução

  1. Converta os comprimentos reais para centímetros: 500 cm e 300 cm. Divida por 50: 10 cm e 6 cm.
  2. Os dois lados foram reduzidos pelo mesmo fator. Escala 2:1 seria uma ampliação, com comprimentos desenhados duas vezes maiores que os reais.

10 cm por 6 cm.

Uma escala gráfica acompanha o desenho quando os dois são redimensionados juntos e uniformemente. Já a indicação numérica 1:50 deixa de corresponder ao papel se a impressão for ampliada ou reduzida. Não meça uma imagem na tela presumindo que ela tenha o tamanho original.

13Comprimentos, áreas e volumes mudam por fatores diferentes

Figuras semelhantes mantêm a forma: todos os comprimentos correspondentes mudam pelo mesmo fator positivo k. Uma área combina dois comprimentos e recebe k²; um volume combina três e recebe k³. Se só uma dimensão muda, não podemos aplicar o mesmo raciocínio como se toda a figura tivesse sido ampliada.

L2=kL1A2=k2A1V2=k3V1\begin{gathered}L_2=kL_1\\A_2=k^2A_1\\V_2=k^3V_1\end{gathered}

k > 0 é o fator comum de todos os comprimentos correspondentes de figuras ou sólidos semelhantes. As medidas comparadas usam unidades compatíveis. A área tem dois fatores lineares e o volume, três; não aplique a escala linear diretamente a área ou volume. Dimensões que não mudam pelo mesmo fator não satisfazem esta hipótese.

dobrar o ladolado 2lado 4área 4área 16
Um quadrado de lado 2 tem área 4. O quadrado de lado 4 reúne quatro cópias do primeiro: dobrar os lados multiplica a área por quatro.

Exemplo resolvido · Ampliar em três dimensões

Uma maquete semelhante a outra tem cada comprimento triplicado. O que ocorre com área e volume?

Resolução

  1. O fator linear é k = 3. As áreas são multiplicadas por 3² = 9; os volumes, por 3³ = 27.
  2. No cubo, isso aparece diretamente: passar de aresta 2 para 6 faz o volume passar de 8 para 216, e 216/8 = 27.

Área nove vezes maior; volume 27 vezes maior.

Exemplo resolvido · Área de uma planta não usa só o fator linear

Uma região ocupa 6 cm² em uma planta 1:100. Qual é a área real?

Resolução

  1. Do desenho para o real, o fator de comprimento é 100; o de área é 100² = 10 000. A área real é 6 · 10 000 = 60 000 cm².
  2. Um metro quadrado tem 100 cm · 100 cm = 10 000 cm². Logo 60 000 cm² = 6 m². Dividir apenas por 100 confundiria unidade linear com unidade de área.

6 m².

Razões entre três dimensões também podem ser representadas por um fator comum. Numa caixa retangular, o volume é o produto do comprimento, da largura e da altura. Se as arestas são 2t, 3t e 4t metros e o volume é 648 m³, então (2t)(3t)(4t) = 24t³ = 648. Dividindo por 24, t³ = 648/24 = 27. Como 3³ = 27 e o fator representa comprimentos positivos, t = 3. As arestas são 2 · 3 = 6 m, 3 · 3 = 9 m e 4 · 3 = 12 m.

14Regra de três simples direta: do significado à conta

A regra de três simples encontra um quarto valor usando três dados de duas grandezas proporcionais. Primeiro identifique as grandezas e o que permanece constante. Depois organize pares correspondentes, uma situação por linha. A conta direta é só a aplicação do mesmo fator de variação aos dois valores.

y2=y1x2x1y_2=y_1\frac{x_2}{x_1}

x₁, x₂ e y₁ são positivos, a relação y = kx tem a mesma constante nas duas situações e y₂ é a quantidade procurada. Mantêm-se as demais condições que determinam k. A fórmula vem da igualdade y₂/y₁ = x₂/x₁.

Exemplo resolvido · Resolver pela unidade e pela proporção

Quatro cadernos iguais custam 20 reais. Quanto custam sete, com preço unitário constante e sem outras cobranças?

Resolução

  1. Cada caderno custa 20 ÷ 4 = 5 reais. Sete custam 7 · 5 = 35 reais.
  2. Por proporção, mantemos a ordem quantidade/preço: 4/20 = 7/x. Daí 4x = 140 e x = 35. Outra escrita equivalente é x/20 = 7/4.
  3. Como sete é maior que quatro, o preço precisa ser maior que 20. A verificação de sentido detectaria uma inversão indevida.

35 reais.

Exemplo resolvido · O fator pode ser menor que um

Uma receita usa 450 g de farinha para seis porções. Quanto usa para quatro, mantendo a composição?

Resolução

  1. Cada porção usa 450/6 = 75 g. Quatro usam 4 · 75 = 300 g.
  2. O fator de seis para quatro é 4/6 = 2/3. Multiplicamos também a farinha por 2/3: 450 · 2/3 = 300. Diminuir porções reduz a quantidade na mesma proporção.

300 g de farinha.

Setas no mesmo sentido podem registrar a proporcionalidade direta, mas não a demonstram. A informação relevante é a taxa constante. Nas equações dos exemplos, todos os denominadores representam valores positivos; a solução é conferida na situação original.

15Regra de três simples inversa: conservar a tarefa

Na relação inversa, o mesmo trabalho ou outra quantidade fixa mantém o produto constante. Ao mudar o número de agentes, o tempo recebe o fator recíproco. Compare isso com o caso direto antes de escrever qualquer igualdade de razões.

y2=y1x1x2y_2=y_1\frac{x_1}{x_2}

Os dados são positivos e x₁y₁ = x₂y₂ descreve um produto constante. As demais condições do modelo permanecem fixas. Inverte-se o fator de variação de x em relação ao caso direto; não se inverte uma fração apenas por uma seta sem interpretar a relação.

Exemplo resolvido · Uma equipe maior para a mesma tarefa

Cinco pessoas concluem um serviço em 12 horas. Quanto levariam oito pessoas de mesma produtividade, trabalhando juntas sem interferência e com o serviço igualmente divisível?

Resolução

  1. O trabalho exige 5 · 12 = 60 pessoa-horas. Com oito pessoas, 8t = 60, então t = 7,5 horas.
  2. Pelos fatores, t = 12 · (5/8). De 5 para 8 a equipe cresce, então o tempo diminui. Na proporção, 5/8 = t/12, e não 12/t.
  3. Meia hora é 30 minutos. Portanto 7,5 h são 7 h 30 min, não 7 h 50 min.

7 h 30 min.

Exemplo resolvido · Velocidade e tempo com distância fixa

Um percurso é feito em três horas a 60 km/h constantes. Quanto demoraria a 90 km/h, sem paradas e no mesmo percurso?

Resolução

  1. A distância fixa é 60 · 3 = 180 km. O novo tempo é 180 ÷ 90 = 2 horas.
  2. Equivalentemente, 3 · (60/90) = 2. A velocidade foi multiplicada por 3/2; o tempo, por 2/3. Com distância variável, essa comparação inversa não seria automática.

Duas horas.

16Divisão diretamente proporcional: distribuir um total

Dividir proporcionalmente não é dar a todos a mesma quantidade. Cada parte acompanha um peso. Para pesos 2, 3 e 5, escrevemos as partes 2t, 3t e 5t. A soma é 10t; o total determina quanto vale uma unidade de peso.

xi=TaiSS=a1+⋯+an\begin{gathered}x_i=\frac{Ta_i}{S}\\S=a_1+\cdots+a_n\end{gathered}

T > 0 é o total, n ≥ 2 é inteiro e aᵢ > 0 são os pesos, para i = 1,…,n. Cada xᵢ/aᵢ = T/S e a soma das partes é T. Em contagens indivisíveis, as partes ainda precisam ser inteiras; se isso falhar, a razão exata e o total não podem ser preservados simultaneamente.

Na fórmula, n é a quantidade de partes e i indica uma delas, de 1 até n. S é a soma dos pesos, T o total e xᵢ a parte correspondente ao peso aᵢ. Somando xᵢ = Taᵢ/S, obtemos T, pois os pesos somam S. Dividir cada parte pelo seu peso sempre dá T/S.

Exemplo resolvido · Três partes com pesos diferentes

Distribua 1200 reais em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 5.

Resolução

  1. A soma dos pesos é 10, então cada unidade de peso vale 1200/10 = 120 reais.
  2. As partes são 240, 360 e 600 reais. Somam 1200 e seus quocientes pelos pesos são 120, 120 e 120.

240 reais, 360 reais e 600 reais.

total = 1200240360600pesos 2 : 3 : 5cada unidade vale 120
Dez unidades de peso dividem 1200 em partes de pesos 2, 3 e 5. Cada unidade representa 120; a largura de cada trecho acompanha seu valor.

Exemplo resolvido · Contagens exigem inteireza

É possível repartir onze fichas indivisíveis entre duas pessoas exatamente na razão 2:3?

Resolução

  1. O total corresponde a cinco partes; cada uma valeria 11/5. As parcelas exatas seriam 22/5 = 4,4 e 33/5 = 6,6 fichas.
  2. Como as fichas são indivisíveis, não há distribuição exata que mantenha simultaneamente o total 11 e a razão 2:3. Arredondar mudaria a razão; seria preciso outra regra de distribuição.

Não há partilha inteira exata com esses dados.

17Divisão inversamente proporcional: usar os recíprocos

Na divisão inversa, um peso maior corresponde a uma parte menor, com produto peso vezes parte constante. Por isso transformamos os pesos em seus recíprocos e fazemos uma divisão direta. O recíproco de a positivo é 1/a; peso zero não pode entrar nessa regra.

xi=T1/aiHH=1a1+⋯+1an\begin{gathered}x_i=T\frac{1/a_i}{H}\\H=\frac1{a_1}+\cdots+\frac1{a_n}\end{gathered}

T > 0, n ≥ 2 inteiro e todos os pesos aᵢ > 0. Então aᵢxᵢ = T/H para todo i. Divisão inversa equivale à divisão direta pelos recíprocos. Peso zero não é permitido e a inteireza precisa ser conferida quando as partes são indivisíveis.

Exemplo resolvido · Transformar frações em pesos inteiros equivalentes

Divida 660 reais inversamente a 2, 3 e 6.

Resolução

  1. Os recíprocos são 1/2, 1/3 e 1/6. Multiplicamos cada peso pelo mesmo fator 6: 6 · (1/2) = 3, 6 · (1/3) = 2 e 6 · (1/6) = 1. A razão equivalente é 3:2:1.
  2. São 3 + 2 + 1 = 6 partes ao todo; cada parte vale 660/6 = 110 reais. A distribuição é 3 · 110 = 330, 2 · 110 = 220 e 1 · 110 = 110 reais, nessa ordem.
  3. Conferimos 2 · 330 = 3 · 220 = 6 · 110 = 660. Esse produto comum não é, em geral, o total; aqui a coincidência numérica vem dos pesos escolhidos.

330 reais, 220 reais e 110 reais.

Exemplo resolvido · Mudar o conjunto de pesos muda a constante

Divida 120 reais inversamente a 2 e 4.

Resolução

  1. Os recíprocos 1/2 e 1/4 estão na razão 2:1. As três partes somadas valem 120; cada parte vale 40.
  2. A distribuição é 80 para o peso 2 e 40 para o peso 4. Os produtos são ambos 160, diferentes do total 120. A soma, porém, continua sendo 120.

80 reais e 40 reais.

18Partilhas com dois critérios: construir o peso combinado

Algumas regras de distribuição consideram dois critérios ao mesmo tempo. Se a parte deve ser diretamente proporcional a ambos, multiplicamos os pesos. Se é direta ao primeiro e inversa ao segundo, dividimos o primeiro peso pelo segundo. Depois distribuímos o total diretamente aos pesos combinados.

xi=Twiw1+⋯+wnwi=aibiouwi=aibi\begin{gathered}x_i=\frac{Tw_i}{w_1+\cdots+w_n}\\w_i=a_ib_i\quad\text{ou}\quad w_i=\frac{a_i}{b_i}\end{gathered}

T > 0, n ≥ 2 inteiro e aᵢ,bᵢ > 0. Use aᵢbᵢ se a parte é diretamente proporcional aos dois critérios, e aᵢ/bᵢ se é direta ao primeiro e inversa ao segundo. A regra de distribuição deve estar definida no problema; não é uma afirmação universal de justiça ou rendimento.

Exemplo resolvido · Capital e tempo como regra de participação

Um acordo distribui um resultado de 900 reais diretamente ao capital multiplicado pelo tempo. A pessoa A aplicou 2000 reais por três meses; B, 3000 por quatro meses. Quanto recebe cada uma?

Resolução

  1. Os pesos definidos pelo acordo são 2000 · 3 = 6000 e 3000 · 4 = 12000, na razão 1:2. Usamos a mesma unidade de tempo.
  2. O total tem três partes iguais: 900/3 = 300. A recebe 300 e B recebe 600 reais. O critério é o acordo descrito, não uma lei geral de rendimento de investimentos.

A recebe 300 reais; B recebe 600 reais.

Exemplo resolvido · Um critério direto e outro inverso

Uma premiação de 700 pontos será distribuída diretamente às horas de participação e inversamente ao número positivo de falhas. A registrou duas horas e uma falha; B, três horas e duas falhas. Aplique a regra declarada.

Resolução

  1. Os pesos são 2/1 = 2 para A e 3/2 = 1,5 para B. Multiplicando ambos por 2, obtemos 4:3.
  2. Cada uma das sete partes vale 100 pontos. A recebe 400 e B, 300. Se alguém tivesse zero falhas, essa regra inversa não estaria definida; seria necessário especificar outro critério.

400 pontos para A e 300 para B.

19Preparar a regra composta: produção por unidade de trabalho

Antes de combinar várias razões, vamos construir um modelo. Se cada máquina produz 30 peças por hora, duas máquinas equivalentes produzem 60 no mesmo tempo. Em três horas por dia e dois dias, cada máquina trabalha seis horas. O total é a taxa individual multiplicada pela quantidade de máquinas, horas por dia e dias.

Q=pnhdQ=pnhd

Q é a produção, p > 0 a produção de uma unidade de trabalho por hora, n > 0 a quantidade de unidades equivalentes, h > 0 as horas por dia e d > 0 os dias. Supõem-se taxas constantes e aditivas, trabalho divisível e ausência de interferência ou restrição adicional. As unidades de p devem ser coerentes com Q, n, h e d.

As letras são Q para produção, p para taxa individual, n para número de agentes, h para horas diárias e d para dias. A igualdade Q = pnhd supõe taxas constantes e aditivas, agentes equivalentes, trabalho divisível e ausência de limitação de material ou espaço. Uma linha de produção em que máquinas dependem de uma etapa lenta pode não seguir esse modelo.

Exemplo resolvido · Encontrar a produtividade antes de extrapolar

Quatro máquinas equivalentes produzem 720 peças em dois dias de três horas. Quantas produzirão seis máquinas em três dias de quatro horas, sob as mesmas condições?

Resolução

  1. O esforço inicial é 4 · 2 · 3 = 24 máquina-horas. A taxa individual é 720/24 = 30 peças por máquina-hora.
  2. O novo esforço é 6 · 3 · 4 = 72 máquina-horas. A produção é 30 · 72 = 2160 peças.
  3. Pelos fatores, 720 · (6/4) · (3/2) · (4/3) = 2160. Cada comparação mantém as outras grandezas fixas.

2160 peças.

máquinas × h/dia × dias4 × 3 × 2 = 246 × 4 × 3 = 72taxa: 30 peçaspor máquina-hora30 × 72 = 2160
O esforço total triplica, de 24 para 72 máquina-horas. Com taxa individual constante de 30 peças por máquina-hora, a produção também triplica.

Exemplo resolvido · Número de dias com fração de jornada

Uma equipe equivalente trabalha quatro horas por dia por 2,5 dias. Quantas horas de cada agente entram no modelo?

Resolução

  1. Cada agente trabalha 4 · 2,5 = 10 horas. Os dois dias completos dão oito horas e o meio dia de trabalho dá duas.
  2. O dia do modelo é uma jornada de quatro horas; 2,5 jornadas não significam necessariamente 60 horas corridas de calendário. É preciso interpretar a unidade usada pelo enunciado.

Dez horas de trabalho por agente.

20Regra de três composta: variar um fator de cada vez

Na regra composta, há mais de duas grandezas. Escolha a quantidade procurada e compare cada outra com ela, mantendo todas as restantes fixas. Depois aplique sucessivamente os fatores. Para tempo de produção, mais quantidade pedida exige mais tempo; mais agentes, mais horas diárias ou maior taxa individual exigem menos tempo.

d2=d1Q2Q1p1p2n1n2h1h2d_2=d_1\frac{Q_2}{Q_1}\frac{p_1}{p_2}\frac{n_1}{n_2}\frac{h_1}{h_2}
d2=d1Q2Q1p1p2⋅n1n2h1h2\begin{gathered}d_2=d_1\frac{Q_2}{Q_1}\frac{p_1}{p_2}\\{}\cdot\frac{n_1}{n_2}\frac{h_1}{h_2}\end{gathered}

Todos os valores são positivos e as duas situações obedecem Q = pnhd. O tempo cresce diretamente com Q e inversamente com p, n e h, mantendo os demais fixos em cada comparação. A fórmula resulta de d = Q/(pnh); não vale sem essas hipóteses.

Para isolar o tempo em Q = pnhd, dividimos os dois lados por pnh, que é positivo: d = Q/(pnh). Fazemos isso nas duas situações. Ao dividir d₂ por d₁, dividimos Q₂/(p₂n₂h₂) por Q₁/(p₁n₁h₁); dividir pela segunda fração é multiplicar por seu inverso. O numerador passa a reunir Q₂p₁n₁h₁ e o denominador, Q₁p₂n₂h₂. Isso dá os fatores Q₂/Q₁, p₁/p₂, n₁/n₂ e h₁/h₂ da fórmula. Uma tabela deve conservar uma coluna por grandeza e uma linha por situação; setas registram a comparação com a incógnita, não relações quaisquer entre colunas.

Exemplo resolvido · Mais produção, equipe maior e jornada maior

Oito pessoas fazem 480 tarefas em dez dias de seis horas. Sob produtividade constante e aditiva, quantos dias dez pessoas levarão para 600 tarefas, trabalhando oito horas por dia?

Resolução

  1. Mais tarefas: multiplique dez dias por 600/480. Mais pessoas: multiplique por 8/10. Mais horas por dia: multiplique por 6/8. A taxa individual não mudou.
  2. Substituindo os fatores, o tempo é 10 · (600/480) · (8/10) · (6/8). Simplificamos as frações: 600/480 = 5/4, 8/10 = 4/5 e 6/8 = 3/4.
  3. Os dois primeiros fatores fracionários se cancelam: (5/4) · (4/5) = 1. Restam 10 · (3/4) = 30/4 = 7,5 dias de trabalho de oito horas.
  4. Conferindo: a taxa inicial é 480/(8 · 6 · 10) = 1 tarefa por pessoa-hora. A nova equipe faz 10 · 8 = 80 por dia; 600/80 = 7,5. São sete jornadas completas e mais quatro horas.

7,5 jornadas de oito horas, ou sete jornadas e quatro horas.

Exemplo resolvido · Incluir uma mudança de produtividade

No problema anterior, se cada pessoa da nova equipe tiver produtividade 1,5 vez a inicial, mantendo os outros dados, qual será o tempo?

Resolução

  1. O tempo é inversamente proporcional à taxa individual. Multiplique os 7,5 dias por p₁/p₂ = 1/1,5 = 2/3.
  2. Calculando o produto, 7,5 · (2/3) = (15/2) · (2/3) = 15/3 = 5 jornadas. Escrevemos 7,5 como 15/2 e cancelamos o fator 2.
  3. Conferimos pela nova taxa: 1,5 tarefa por pessoa-hora. A produção diária é 10 · 8 · 1,5 = 120 tarefas; 600/120 = 5 jornadas.

Cinco jornadas.

21Trabalho conjunto: somar capacidades, não tempos

Se uma bomba enche um reservatório em seis horas, em uma hora ela faz 1/6 do trabalho completo. Essa é sua taxa. Para agentes que atuam juntos com taxas constantes e independentes, somamos as frações de trabalho feitas por unidade de tempo. A soma dos tempos individuais não representa o tempo conjunto.

r=1t1+1t2t=1r\begin{gathered}r=\frac1{t_1}+\frac1{t_2}\\t=\frac1r\end{gathered}

t₁ e t₂ são os tempos positivos para cada agente realizar sozinho o mesmo trabalho completo; a taxa é medida em trabalhos por unidade de tempo. As taxas são constantes e aditivas. Uma retirada é subtraída; o tempo de conclusão só existe nesse modelo se a taxa líquida for positiva. Somar tempos ou tirar sua média não soma capacidades.

Exemplo resolvido · Duas bombas enchendo juntas

Uma bomba enche sozinha um tanque em seis horas e outra em quatro. Quanto levam juntas, com vazões constantes, aditivas e sem vazamento?

Resolução

  1. As taxas são 1/6 e 1/4 de tanque por hora. A soma é 2/12 + 3/12 = 5/12 de tanque por hora.
  2. Dividimos a quantidade de trabalho pela taxa: para um tanque, o tempo é 1 ÷ (5/12) = 1 · (12/5) = 12/5 h = 2,4 h. A divisão por 5/12 vira multiplicação por seu inverso.
  3. São duas horas mais 0,4 de hora. Como uma hora tem 60 minutos, a parte restante é 0,4 · 60 = 24 minutos.
  4. O resultado é menor que quatro horas, como esperado: as duas bombas trabalham mais depressa que a mais rápida sozinha.

2 h 24 min.

Exemplo resolvido · Uma saída subtrai capacidade

Uma entrada enche um tanque em quatro horas; uma saída o esvazia em doze. Com ambas abertas e taxas constantes desde o início, quanto leva para encher um tanque inicialmente vazio?

Resolução

  1. A taxa líquida é a entrada menos a saída: 1/4 − 1/12 = 3/12 − 1/12 = 2/12 = 1/6 de tanque por hora. Ela é positiva.
  2. Para completar um tanque, dividimos o trabalho pela taxa líquida: 1 ÷ (1/6) = 1 · 6 = 6 horas.
  3. Se a retirada igualasse a entrada, a taxa líquida seria zero e não haveria enchimento; se a superasse, o tanque inicialmente vazio não encheria nesse modelo.

Seis horas, sob as hipóteses de taxas constantes.

A hipótese de vazão constante é idealizada: uma saída que dependa da altura da água não pode ser tratada automaticamente pela mesma conta. Em tarefas humanas, também é necessário que os esforços se somem e que não haja etapas obrigatoriamente sequenciais.

22Combinar razões: médias precisam de pesos

Quando juntamos quantidades, a taxa do conjunto é o total do numerador dividido pelo total do denominador. As taxas individuais precisam ser ponderadas pelas quantidades às quais se aplicam. Tirar a média aritmética dos dois quocientes pode atribuir o mesmo peso a situações de tamanhos diferentes.

rˉ=q1r1+q2r2q1+q2\begin{gathered}\bar r=\frac{q_1r_1+q_2r_2}{q_1+q_2}\end{gathered}

q₁,q₂ > 0 são quantidades da mesma grandeza em unidades iguais e r₁,r₂ são taxas por essa unidade, com numeradores aditivos. A média considera o peso de cada quantidade. A média aritmética simples só coincide em geral quando q₁ = q₂; volumes de misturas só podem ser somados se isso for hipótese válida do modelo.

Exemplo resolvido · Preço médio de uma compra combinada

Foram comprados 2 kg de um produto a 12 reais/kg e 3 kg a 8 reais/kg, sem outras cobranças. Qual é o preço médio por quilograma da compra?

Resolução

  1. Os custos são 2 · 12 = 24 reais e 3 · 8 = 24 reais. A massa total é cinco quilogramas; o custo total é 48 reais.
  2. O preço médio é 48/5 = 9,60 reais/kg. A média simples (12+8)/2 = 10 daria pesos iguais, embora as massas sejam diferentes.

9,60 reais/kg.

Exemplo resolvido · Mesma distância não significa mesmo tempo

Um percurso tem dois trechos de 120 km, feitos a 60 km/h e 40 km/h constantes, sem paradas. Qual é a rapidez média total?

Resolução

  1. O primeiro trecho leva 120/60 = 2 horas; o segundo, 120/40 = 3 horas. São 240 km em cinco horas.
  2. A média é 240/5 = 48 km/h. O trecho lento ocupa mais tempo; por isso não usamos (60+40)/2 = 50.
  3. Para justificar a fórmula geral, chame de D a distância positiva de cada trecho e considere v₁ e v₂ positivos. Os tempos são D/v₁ e D/v₂; o tempo total é sua soma, e a distância total é 2D.
  4. Colocando os tempos no mesmo denominador, Dv1+Dv2=D(v1+v2)v1v2\frac{D}{v_1}+\frac{D}{v_2}=\frac{D(v_1+v_2)}{v_1v_2}. Dividir 2D por essa fração dá 2Dv1v2D(v1+v2)\frac{2D v_1v_2}{D(v_1+v_2)}.
  5. Como D>0D>0, cancelamos o fator D e obtemos vm=2v1v2v1+v2v_m=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}. Se os tempos fossem iguais, os pesos temporais seriam iguais e a média aritmética serviria.

48 km/h.

vm=2v1v2v1+v2v_m=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}

Os dois trechos têm a mesma distância positiva, velocidades escalares constantes v₁,v₂ > 0 e não há paradas fora dos tempos calculados. A expressão é distância total dividida por tempo total. Para tempos iguais, a média seria (v₁+v₂)/2; para distâncias diferentes, use a razão entre os totais.

23Unidades, contagens e conferência da resposta

Um roteiro seguro começa pela pergunta: o que deve ser encontrado e em qual unidade? Nomeie cada grandeza, normalize as unidades de sua coluna, declare o que fica fixo e justifique se a relação é direta, inversa ou nenhuma delas. Só depois monte a igualdade, calcule e confira por substituição, sentido e unidade.

Exemplo resolvido · A conta pode dar uma fração de máquina

Quatro máquinas fazem 900 peças em cinco horas. Qual é o número mínimo de máquinas inteiras equivalentes para produzir pelo menos 1200 peças em oito horas, com taxa constante e aditiva?

Resolução

  1. A taxa individual é 900/(4 · 5) = 900/20 = 45 peças por máquina-hora. Em oito horas, uma máquina faz 45 · 8 = 360 peças.
  2. Se n é o número de máquinas, a capacidade é 360n peças. A exigência 360n ≥ 1200 diz que essa capacidade deve ser pelo menos 1200. Dividindo os dois lados pelo número positivo 360, mantemos o sentido da desigualdade: n ≥ 1200/360 = 10/3.
  3. Como precisamos de máquinas inteiras e de capacidade mínima suficiente, o menor inteiro permitido é 4. Três fariam 1080 peças, insuficientes; quatro têm capacidade para 1440.
  4. Não arredondamos para o inteiro mais próximo, que seria 3. A pergunta de mínimo com “pelo menos” exige escolher o inteiro acima quando há fração.

Quatro máquinas.

Exemplo resolvido · Uma taxa por minuto com tempo misto

Uma máquina mantém taxa de 18 peças a cada três minutos. Quantas peças faz em 1 h 20 min, sem interrupção?

Resolução

  1. 1 h 20 min = 80 min. A taxa é 18/3 = 6 peças por minuto.
  2. Em 80 minutos, são 6 · 80 = 480 peças. Usar 1,20 como tempo em horas ou misturar minutos com horas mudaria a unidade e produziria erro.

480 peças.

Se a pergunta exigir trabalho exatamente em partes inteiras e os dados gerarem frações, não invente uma partilha exata. Se exigir capacidade suficiente, interprete a desigualdade antes de escolher o inteiro. Dinheiro e medidas também podem precisar de uma regra declarada de arredondamento; mantenha valores exatos durante a conta sempre que possível.

24Agora é com você

Comece por nomear as duas quantidades de cada razão. Nas questões de proporcionalidade, identifique a constante ou o fator antes de calcular. As situações mais exigentes combinam partilhas, produtividade, unidades e contagens; todas usam métodos desenvolvidos nesta aula.

Questão 1 de 300 conferidas

Fixação · Objetiva

Há seis fichas azuis e quatro amarelas. Qual é a razão de amarelas para azuis?

Escolha uma alternativa

25O que guardar desta aula

  • Razão é uma comparação ordenada por divisão. a:b = a/b exige b ≠ 0; a é o antecedente e b, o consequente. A inversa também exige a ≠ 0.
  • Razões equivalentes multiplicam os dois termos pelo mesmo fator não nulo. A razão não determina sozinha as quantidades absolutas.
  • Medidas da mesma grandeza devem usar a mesma unidade para comparação adimensional. Em taxas, conserve a unidade composta e sua ordem.
  • Parte-parte difere de parte-total. Se A:B = m:n com partes positivas, A/(A+B) = m/(m+n).
  • Taxa unitária divide a quantidade pela medida de referência. Extrapolar essa taxa exige condições que a mantenham constante.
  • Rapidez média é distância total por tempo total positivo, incluindo paradas; densidade demográfica é população por área e densidade de massa é massa por volume.
  • Proporção é igualdade de razões. Com denominadores não nulos, a/b = c/d equivale a ad = bc: produto dos extremos igual ao dos meios.
  • Inverter e alternar termos exige conferir os novos denominadores. Somar ou subtrair pares proporcionais conserva a razão quando o denominador resultante não é zero.
  • Quarta proporcional completa a/b = c/x; terceira completa a/b = b/x; média geométrica positiva completa a/g = g/b e vale √(ab).
  • Na proporcionalidade direta, y = kx e o quociente y/x é constante para x > 0. As duas grandezas recebem o mesmo fator.
  • Na inversa, xy = k > 0 e as medidas são positivas. O produto é constante e os fatores de variação são recíprocos.
  • Crescer junto ou variar em sentidos contrários não basta para demonstrar proporcionalidade. Parcela fixa e área em função do lado são contraexemplos comuns.
  • Escala linear é desenho/real na mesma unidade. Com fator linear k e semelhança, áreas recebem k² e volumes recebem k³.
  • Regra de três simples direta usa y₂ = y₁ · x₂/x₁; inversa usa y₂ = y₁ · x₁/x₂. As hipóteses determinam qual relação pode ser usada.
  • Na divisão direta, distribua o total pelos pesos normalizados pela soma. Na inversa, use os recíprocos positivos dos pesos e confira os produtos.
  • Numa partilha composta, multiplique os pesos dos critérios diretos e divida pelos pesos dos critérios inversos, conforme a regra declarada.
  • No modelo Q = pnhd, taxa, equipe, jornada e dias multiplicam a produção. Na regra composta, compare cada grandeza com a incógnita mantendo as outras fixas.
  • Trabalho conjunto soma taxas; retiradas subtraem taxas. A conclusão exige taxa líquida positiva e capacidades constantes e aditivas.
  • Para combinar taxas, divida os totais ou faça média ponderada. Distâncias iguais com velocidades diferentes não dão, em geral, média aritmética das velocidades.
  • Converta minutos por sessenta, confira unidades e substitua o resultado. Em contagens, interprete a exigência de inteiro, mínimo ou exatidão antes de arredondar.

A próxima aula será Porcentagem. Vamos partir da ideia de comparar uma parte com uma referência de cem e depois desenvolver aumentos, descontos, variações sucessivas e cálculo inverso.

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