EstudaMath

Divisibilidade

Entenda quando uma divisão é exata. Construa múltiplos e divisores, critérios, primos e fatoração; depois aprenda MDC, MMC e suas aplicações, com justificativas e exercícios graduais.

1Divisão exata ou com resto: o ponto de partida

Na aula de quatro operações, aprendemos a dividir e a conferir o resultado. Agora vamos investigar quando uma quantidade pode ser repartida em grupos completos sem sobrar nada. Começaremos com números naturais, incluindo zero. O divisor será sempre positivo; sinais em alguns testes e demonstrações serão explicados quando aparecerem.

Exemplo resolvido · Ver a sobra numa quantidade pequena

Distribua 17 fichas em grupos de 5. Quantos grupos completos cabem e qual é a sobra?

Resolução

  1. Três grupos usam 15 fichas; quatro exigiriam 20, acima das 17 disponíveis. Cabem três grupos completos e sobram duas fichas.
  2. Registramos 17 = 5 · 3 + 2. O resto 2 é menor que o divisor 5. A divisão não é exata.

17=5⋅3+217=5\cdot3+2: quociente 3, resto 2.

Exemplo resolvido · Dividendo menor que o divisor e dividendo zero

Compare as divisões inteiras de 4 por 7 e de 0 por 7.

Resolução

  1. Quatro fichas não completam um grupo de sete: 4 = 7 · 0 + 4. O quociente inteiro é zero e o resto é 4.
  2. Com zero fichas, 0 = 7 · 0 + 0. O resto é zero: a divisão é exata, com quociente zero. A restrição é no divisor, que continua sendo 7.

4=7⋅0+44=7\cdot0+4; 0=7⋅0+00=7\cdot0+0.

a=bq+r0≤r<b\begin{gathered}a=bq+r\\0\le r<b\end{gathered}

a é natural, b é natural positivo, e q e r são os únicos naturais que satisfazem as duas condições. q é o quociente inteiro; r é o resto. O resto zero identifica a divisão exata. Se a < b, q = 0 e r = a.

Na fórmula, a é o dividendo, b o divisor, q o quociente inteiro e r o resto. Podemos escolher q como o maior número de grupos de tamanho b que não ultrapassa a. Se a sobra ainda alcançasse b, caberia outro grupo, contrariando essa escolha. Isso explica 0 ≤ r < b. O resultado é único: duas sobras nesse intervalo não podem diferir por um múltiplo não nulo de b, pois sua diferença em módulo é menor que b.

2Múltiplos e a leitura do símbolo “divide”

Um múltiplo de 4 é uma quantidade formada por grupos completos de quatro: 0, 4, 8, 12, 16, … Cada número vem de multiplicar 4 por um natural. Quando um número é múltiplo de 4, sua divisão por 4 tem resto zero. As expressões “12 é múltiplo de 4”, “4 é divisor de 12” e “12 é divisível por 4” descrevem a mesma relação.

Exemplo resolvido · Relacionar multiplicação e divisibilidade

12 e 22 são múltiplos de 4?

Resolução

  1. 12 = 4 · 3, portanto é múltiplo de 4. Podemos escrever 4 ∣ 12, lendo “4 divide 12”. A barra vertical afirma divisibilidade; não é a barra de uma fração.
  2. Já 22 = 4 · 5 + 2. Não existe natural que multiplicado por 4 dê 22. Escrevemos 4 ∤ 22: “4 não divide 22”.

4 divide 12; 4 não divide 22.

Nas relações, ⇔ e a seta dupla vertical significam “se, e somente se”: podemos ler a afirmação nos dois sentidos. Já ⇒ indica uma conclusão a partir das hipóteses, sem afirmar automaticamente a volta.

d∣n⇕n=dk para algum k∈Z\begin{gathered}d\mid n\\\Updownarrow\\n=dk\text{ para algum }k\in\mathbb Z\end{gathered}

d é inteiro positivo e n é inteiro. A barra vertical lê-se “divide” e não representa uma fração. Se n é natural, o fator k também é natural. Todo inteiro positivo divide zero, pois 0 = d·0. Nesta aula os divisores considerados são positivos; zero não é admitido como divisor.

M(a)={0,a,2a,3a,…}M(a)=\{0,a,2a,3a,\ldots\}

a é natural. M(a) reúne os produtos a·k com k natural, inclusive zero. Se a > 0, a lista cresce indefinidamente; se a = 0, M(0) = {0}. Para a positivo, ser múltiplo de a equivale a ser divisível por a.

Múltiplos de 4048121620242222 = 5 × 4 + 2
Os múltiplos de 4 estão igualmente espaçados na reta. O ponto 22 fica entre 20 e 24 e corresponde a cinco grupos de quatro mais duas unidades.

Exemplo resolvido · Zero na lista de múltiplos

O número zero é múltiplo de 6? Quantos múltiplos naturais zero possui?

Resolução

  1. Sim: 0 = 6 · 0, portanto 6 divide zero. O mesmo vale para qualquer divisor positivo.
  2. A lista de múltiplos de zero é diferente: 0 · k = 0 para todo natural k, então M(0) = {0}. Zero é múltiplo de todo positivo, mas seus próprios múltiplos naturais se reduzem a zero.

6∣06\mid0 e M(0)={0}M(0)=\{0\}.

Se o número testado for negativo, o significado continua sendo “é um múltiplo inteiro”: por exemplo, 4 divide −12 porque −12 = 4 · (−3). Podemos testar seu módulo. Usaremos essa extensão nos critérios com subtrações e nas justificativas finais. Os divisores, nesta aula, continuam positivos.

3Encontrar todos os divisores por pares

Os divisores positivos de um número natural positivo são os tamanhos de grupos que o dividem sem sobra. Para encontrá-los sem esquecer nenhum, procure pares de fatores. Se d divide n, o número n/d também é divisor. Chamaremos a lista de divisores de D(n).

Exemplo resolvido · Uma lista completa, sem repetir o centro

Liste os divisores positivos de 36.

Resolução

  1. Os pares são 1 · 36, 2 · 18, 3 · 12, 4 · 9 e 6 · 6. O número 5 não divide 36, e depois de 6 os pares apenas reaparecem na ordem inversa.
  2. Reunimos os valores sem repetir o 6: D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}. São nove divisores positivos.

D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}.

Pares de fatores de 361×362×183×124×96×69 divisores distintos
Cada linha é um par de fatores cujo produto é 36. O fator central 6 aparece nos dois lados do mesmo par, mas entra uma única vez na lista de divisores.

Exemplo resolvido · Um e zero têm situações diferentes

Quais são os divisores positivos de 1? E os de zero?

Resolução

  1. Só 1 divide 1 positivamente: D(1) = {1}. Um positivo maior que 1 não pode multiplicar um inteiro e produzir 1.
  2. Todo positivo divide zero, pois 0 = d · 0. Assim D(0) tem infinitos elementos. Para n positivo, os divisores ficam entre 1 e n e formam uma lista finita.

D(1) = {1}; D(0) contém todos os inteiros positivos.

Quando n é positivo, basta procurar pares até √n: se os dois fatores fossem maiores que √n, o produto seria maior que n. Para n = 36, o limite é 6. Um número pode ter infinitos múltiplos e, ao mesmo tempo, somente uma quantidade finita de divisores positivos.

4O que podemos concluir ao somar e multiplicar

Se duas quantidades são feitas de grupos completos do mesmo tamanho, reuni-las ainda produz grupos completos. Retirar uma da outra também preserva essa organização, permitindo diferenças negativas com a interpretação já explicada. Essa ideia é a base de vários critérios.

d∣x, d∣y⟹d∣(x+y)d∣(x−y),d∣kx\begin{gathered}d\mid x,\ d\mid y\\\Longrightarrow d\mid(x+y)\\d\mid(x-y),\quad d\mid kx\end{gathered}

d é inteiro positivo e x, y, k são inteiros. As conclusões seguem de x = du e y = dv. A diferença pode ser negativa; isso não altera a divisibilidade pelo seu módulo. A recíproca sobre as parcelas é falsa: uma soma divisível não obriga cada parcela a ser divisível.

Exemplo resolvido · Combinar múltiplos conhecidos

Sem fazer divisões longas, mostre que 18 + 30 e 30 − 18 são divisíveis por 6.

Resolução

  1. 18 = 6 · 3 e 30 = 6 · 5. Logo 18 + 30 = 6 · (3 + 5) = 48, múltiplo de 6.
  2. A diferença é 30 − 18 = 6 · (5 − 3) = 12, também múltiplo. Para quaisquer inteiros, escrever x = du e y = dv prova as mesmas regras pela distributividade.

6∣486\mid48 e 6∣126\mid12.

Exemplo resolvido · Uma soma divisível não confirma suas parcelas

Se 3 divide uma soma, ele obrigatoriamente divide cada parcela?

Resolução

  1. Não: 1 + 2 = 3 é divisível por 3, mas nem 1 nem 2 são divisíveis por 3. A regra que parte de parcelas divisíveis não pode ser invertida desse modo.
  2. Outra conclusão válida é a transitividade: se 4 divide 12 e 12 divide 60, então 4 divide 60. De 12 = 4 · 3 e 60 = 12 · 5 vem 60 = 4 · 15.

As hipóteses determinam a direção de cada conclusão.

5Critérios pelas últimas casas: 2, 4, 5, 8 e outros

Um critério de divisibilidade é uma maneira de decidir se o resto é zero sem executar toda a divisão. No sistema decimal, a parte de um número anterior às últimas k casas é múltipla de 10ᵏ. Se o divisor divide essa potência de dez, basta olhar o bloco final.

  • Por 2: a unidade é 0, 2, 4, 6 ou 8. Esses são os números pares; os demais naturais são ímpares. Zero é par.
  • Por 5: a unidade é 0 ou 5. Por 10: a unidade é zero.
  • Por 4: o número formado pelas duas últimas casas é múltiplo de 4. Por 25: esse bloco é 00, 25, 50 ou 75.
  • Por 8: o número formado pelas três últimas casas é múltiplo de 8.
  • Por 100: as duas últimas casas são 00. Para divisibilidade por 1000, as três últimas casas são 000.

Exemplo resolvido · O bloco final tem valor numérico

Teste 5316 por 4 e 5318 por 4.

Resolução

  1. 5316 = 100 · 53 + 16. Como 100 e 16 são divisíveis por 4, o número inteiro também é: 5316 = 4 · 1329.
  2. Em 5318, a parte 5300 já é divisível por 4, mas 18 deixa resto 2. Logo 5318 não é divisível por 4. Não se somam as duas casas finais para esse teste.

5316 é divisível por 4; 5318 não é.

N=10kq+td∣10k⟹(d∣N  ⟺  d∣t)\begin{gathered}N=10^kq+t\\d\mid10^k\\\Longrightarrow(d\mid N\iff d\mid t)\end{gathered}

N e q são naturais, k é inteiro positivo, 0 ≤ t < 10ᵏ e d é inteiro positivo que divide 10ᵏ. t é o bloco das últimas k casas, completado com zeros à esquerda quando necessário. O critério vale porque 10ᵏq já é múltiplo de d.

Exemplo resolvido · Três casas e zeros à esquerda

Teste 1208 por 8 e 3475 por 25.

Resolução

  1. Nas três últimas casas de 1208 temos 208, e 208 = 8 · 26. Como 1000 também é múltiplo de 8, 1208 é divisível por 8.
  2. As duas últimas casas de 3475 são 75 = 25 · 3, portanto ele é divisível por 25. Se o bloco fosse 008, seu valor seria 8; os zeros preservam as posições da escrita.

1208=8⋅1511208=8\cdot151 e 3475=25⋅1393475=25\cdot139.

6Critérios por soma de algarismos: 3 e 9

Para testar 3 ou 9, somamos os algarismos. O número original e essa soma deixam o mesmo resto por esses divisores. Podemos repetir o procedimento até chegar a uma quantidade pequena, sem alterar a resposta sobre divisibilidade.

Exemplo resolvido · Distinguir os testes por três e por nove

Teste 1242 por 3 e por 9.

Resolução

  1. A soma dos algarismos é 1 + 2 + 4 + 2 = 9. Ela é múltiplo de 3 e de 9, então 1242 é divisível por ambos.
  2. Compare com 1245: a soma é 12, múltiplo de 3 e não de 9. Assim 1245 é divisível por 3, mas não por 9.

1242 passa nos dois testes; 1245 passa apenas no teste por 3.

3∣N  ⟺  3∣S9∣N  ⟺  9∣S\begin{gathered}3\mid N\iff3\mid S\\9\mid N\iff9\mid S\end{gathered}

N é natural escrito em base dez e S é a soma de seus algarismos. N − S é múltiplo de 9, pois cada 10ᵏ − 1, k ≥ 1, é múltiplo de 9. O teste pode ser repetido na soma; divisibilidade por 3 não implica divisibilidade por 9.

A justificativa usa o valor posicional. Trocar cada dezena por uma unidade diminui o número em múltiplos de 9; 10 − 1 = 9, 100 − 1 = 99 e 1000 − 1 = 999. Em geral, 10ᵏ − 1 é 9 vezes a soma 1 + 10 + … + 10ᵏ⁻¹, para k ≥ 1. Portanto N menos a soma dos algarismos é múltiplo de 9 e também de 3. Isso prova os dois sentidos dos critérios.

Exemplo resolvido · Um algarismo desconhecido

Que algarismo a torna o número de três casas 4a2 divisível por 9?

Resolução

  1. Aqui a é um algarismo de 0 a 9, não um fator multiplicando 4 e 2. A soma é 4 + a + 2 = a + 6.
  2. Ela fica entre 6 e 15. O único múltiplo de 9 nesse intervalo é 9, então a + 6 = 9 e a = 3. O número é 432 = 9 · 48.

O algarismo é 3.

7Novos critérios a partir de subtrações: 7 e 11

Depois dos testes mais diretos, podemos trabalhar com subtrações que reduzem o número. Em um teste por 7, separe o algarismo das unidades, dobre-o e subtraia esse dobro do restante. O número inicial é divisível por 7 exatamente quando o resultado também é; se ficar negativo, podemos testar seu módulo.

Exemplo resolvido · Reduzir o teste por sete

Teste 203 e 205 por 7.

Resolução

  1. Em 203, o restante é 20 e a unidade é 3. Calculamos 20 − 2 · 3 = 14, múltiplo de 7. Portanto 203 é divisível por 7, e 203 = 7 · 29.
  2. Em 205, calculamos 20 − 2 · 5 = 10, que não é múltiplo de 7. Logo 205 não é divisível por 7.

203 é divisível por 7; 205 não é.

N=10q+r7∣N  ⟺  7∣(q−2r)\begin{gathered}N=10q+r\\7\mid N\iff7\mid(q-2r)\end{gathered}

N e q são naturais e r é o algarismo das unidades, de 0 a 9. Retire a unidade e subtraia o dobro dela do número restante. O resultado pode ser negativo; teste seu módulo. As identidades q − 2r = 21q − 2N e N = 10(q − 2r) + 21r provam os dois sentidos usando somas e diferenças de múltiplos de 7.

A prova conserva os dois sentidos. Escreva N = 10q + r, em que q é o número sem a unidade e r é o último algarismo. Desenvolvendo 21q − 2N, temos 21q − 2(10q + r) = 21q − 20q − 2r = q − 2r. Se N é múltiplo de 7, tanto 21q = 7 · 3q quanto 2N são múltiplos de 7; a diferença q − 2r também é. Para a volta, desenvolvemos 10(q − 2r) + 21r = 10q − 20r + 21r = 10q + r = N. Se q − 2r é múltiplo de 7, tanto seu produto por 10 quanto 21r são múltiplos de 7; sua soma N também é. Assim provamos os dois sentidos usando apenas produtos, somas e diferenças de múltiplos.

Por 11, some os algarismos em posições alternadas e subtraia as duas somas. Teste se o resultado, inclusive zero, é múltiplo de 11. Podemos começar das unidades com sinal positivo. Trocar todos os sinais apenas toma o oposto e não muda a divisibilidade.

Exemplo resolvido · Soma alternada por onze

Teste 1309 e 1234 por 11.

Resolução

  1. Em 1309, começando pelas unidades, 9 − 0 + 3 − 1 = 11. O teste confirma divisibilidade: 1309 = 11 · 119.
  2. Em 1234, 4 − 3 + 2 − 1 = 2, que não é múltiplo de 11. Logo 1234 não é divisível por 11.

1309 é divisível por 11; 1234 não é.

11∣N  ⟺  11∣A11\mid N\iff11\mid A

N é natural em base dez. A é a soma alternada dos algarismos, começando das unidades com sinal positivo e alternando os sinais. Pode-se trocar todos os sinais ou testar |A|. Cada 10ᵏ − (−1)ᵏ é múltiplo de 11, portanto N − A também é. Os restos euclidianos continuam entre 0 e 10. Zero também é múltiplo de 11.

Por que os sinais alternam? Como 10 = 11 − 1, cada potência 10ᵏ difere de (−1)ᵏ por um múltiplo de 11. Isso se mantém ao multiplicar por 10: uma diferença já múltipla de 11 permanece múltipla, e a mudança do sinal acrescenta outro múltiplo de 11. Assim N e a soma alternada diferem por um múltiplo de 11. O cálculo auxiliar pode ser negativo; os restos da divisão euclidiana continuam não negativos.

8Combinar testes sem multiplicar condições indevidas

Alguns testes podem ser combinados: para 6, teste 2 e 3; para 12, teste 3 e 4; para 15, teste 3 e 5; para 18, teste 2 e 9. Em cada par escolhido, os dois divisores não têm divisor positivo comum além de 1. Essa condição é essencial; o MMC explicará a regra geral mais adiante.

6∣N⇕2∣N e 3∣N\begin{gathered}6\mid N\\\Updownarrow\\2\mid N\text{ e }3\mid N\end{gathered}

N é inteiro. Os fatores 2 e 3 não têm divisor positivo comum além de 1. Assim testar ambos garante o produto 6. Isso não autoriza multiplicar quaisquer dois testes: divisibilidade por 4 e por 6 garante 12, mas não necessariamente 24.

Exemplo resolvido · Construir o teste por doze

1584 é divisível por 12?

Resolução

  1. A soma dos algarismos é 18, então ele é divisível por 3. As duas últimas casas são 84, múltiplo de 4.
  2. Como passa simultaneamente em 3 e 4, passa em 12. Conferindo, 1584 = 12 · 132.

1584 é divisível por 12.

Exemplo resolvido · O produto dos testes pode exagerar a exigência

Todo número divisível por 4 e por 6 é divisível por 24?

Resolução

  1. O próprio 12 é divisível por 4 e por 6, mas não por 24. Isso já impede a conclusão geral.
  2. Os testes por 4 e por 6 compartilham o fator 2. A exigência comum correta será o MMC de 4 e 6, que é 12; multiplicar 4 por 6 conta um fator comum de novo.

Não. O número 12 é um contraexemplo.

9Primos e compostos: da definição ao teste e ao crivo

Um número primo é um natural maior que 1 que só pode formar, positivamente, os pares 1 vezes ele mesmo e ele mesmo vezes 1. Tem exatamente dois divisores positivos. Um natural maior que 1 com outro divisor é composto. Ter poucos divisores não significa ser pequeno: o que importa é quais divisões são exatas.

p eˊ primo⇕D(p)={1,p}\begin{gathered}p\text{ é primo}\\\Updownarrow\\D(p)=\{1,p\}\end{gathered}

p é natural com p ≥ 2 e D(p) é seu conjunto de divisores positivos. Um primo tem exatamente dois divisores positivos. Um natural maior que 1 que não é primo é composto. Um e zero não são primos nem compostos; 2 é o único primo par.

Exemplo resolvido · Separar os casos básicos

Classifique 0, 1, 2, 9 e 17 como primos, compostos ou nenhum dos dois.

Resolução

  1. 2 tem divisores 1 e 2; 17 tem divisores 1 e 17. São primos. 9 = 3 · 3 tem o divisor adicional 3, então é composto.
  2. 1 tem apenas um divisor positivo e zero tem infinitos. Nenhum deles é primo ou composto. Todo par maior que 2 tem o divisor adicional 2, então 2 é o único primo par.

Primos: 2 e 17. Composto: 9. Zero e um: nenhum dos dois.

Para confirmar um primo, não basta ele ser ímpar ou não terminar em 5. Se n = ab é composto, com a e b maiores que 1, um dos fatores não passa de √n. Esse fator possui um divisor primo: seu menor divisor maior que 1 precisa ser primo, pois, se fosse composto, haveria um divisor ainda menor. Basta, portanto, testar os primos até √n, incluindo esse limite.

No enunciado simbólico, ∃ significa “existe”: se n é composto, existe pelo menos um primo p não maior que √n que o divide.

n composto⟹∃p≤np primo,p∣n\begin{gathered}n\text{ composto}\\\Longrightarrow\exists p\le\sqrt n\\p\text{ primo},\quad p\mid n\end{gathered}

n é natural com n ≥ 2. Se n = ab é composto, com a e b maiores que 1, ao menos um fator é ≤ √n; esse fator possui algum divisor primo não maior que ele. Basta testar os primos até esse limite, incluindo a igualdade. Não basta testar só 2, 3 e 5 para números arbitrários.

Exemplo resolvido · Testar só os primos necessários

97 é primo? E 91?

Resolução

  1. Como 9² < 97 < 10², basta testar 2, 3, 5 e 7. 97 é ímpar, soma algarismos 16, não termina em 0 ou 5 e deixa resto 6 por 7. Não há divisor primo nesse intervalo, então 97 é primo.
  2. 91 também não passa nos testes por 2, 3 e 5, mas 91 = 7 · 13. Portanto é composto. Em um quadrado como 49, é indispensável incluir o primo 7 = √49 no teste.

97 é primo; 91 é composto.

Construir uma lista com o crivo de Eratóstenes

Exemplo resolvido · Primos até trinta

Como encontrar todos os primos de 2 a 30?

Resolução

  1. Escreva de 2 a 30. Conserve 2 e risque seus múltiplos a partir de 4. Conserve o próximo não riscado, 3, e risque seus múltiplos a partir de 9. Depois conserve 5 e risque seus múltiplos a partir de 25.
  2. Só precisamos iniciar riscos pelos primos até √30, isto é, 2, 3 e 5. Para um primo p, os múltiplos menores que p² já possuem algum fator primo menor e foram tratados antes.
  3. Os números que permaneceram são 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29.

Primos até 30: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

10Decompor um número em fatores primos

Fatorar em primos é escrever o número como produto de peças que já não se decompõem em fatores naturais maiores que 1. Podemos separar um composto em dois fatores e continuar até chegar a primos, ou fazer divisões sucessivas por primos. Não terminamos a fatoração enquanto restar um fator composto.

Exemplo resolvido · Árvore de fatores

Decomponha 180 em primos.

Resolução

  1. Podemos começar por 180 = 18 · 10. Depois 18 = 2 · 9, 9 = 3 · 3 e 10 = 2 · 5.
  2. As folhas primas são 2, 3, 3, 2 e 5. Reordenando os fatores, 180 = 2² · 3² · 5. Conferimos 4 · 9 · 5 = 180.

180=22⋅32⋅5180=2^2\cdot3^2\cdot5.

1801810292533180 = 2² · 3² · 5
Cada ramificação conserva o produto do nó anterior. As folhas são primas; multiplicá-las, com as repetições, reconstrói 180.

Exemplo resolvido · Dividir até chegar a um

Decomponha 120 por divisões sucessivas.

Resolução

  1. Dividimos 120 por 2, obtendo 60; novamente por 2, obtendo 30; novamente por 2, obtendo 15. Depois dividimos 15 por 3, obtendo 5, e por 5, obtendo 1.
  2. Os divisores usados foram 2, 2, 2, 3 e 5. Assim 120 = 2³ · 3 · 5. O último 1 encerra o processo e não entra como fator primo.

120=23⋅3⋅5120=2^3\cdot3\cdot5.

n=∏j=1spjαjn=\prod_{j=1}^{s}p_j^{\alpha_j}

n é natural maior que 1; p₁, …, pₛ são primos positivos distintos, s ≥ 1, e cada αⱼ é inteiro positivo. A decomposição existe e é única, a menos da ordem dos fatores. O símbolo ∏ significa multiplicar todos os fatores indicados. O número 1 é tratado separadamente e zero não tem essa fatoração finita.

A existência pode ser entendida pela descida: se um fator maior que 1 é composto, substituí-lo por dois fatores menores continua diminuindo os fatores a decompor e acaba em primos. O teorema fundamental da Aritmética garante também a unicidade: outras escolhas iniciais de pares produzem os mesmos primos com as mesmas repetições. Usaremos essa propriedade nos cálculos; sua justificativa será completada no aprofundamento final, depois do algoritmo de Euclides.

11Contar divisores e reconhecer quadrados perfeitos

Depois da fatoração, cada divisor positivo escolhe quantas cópias de cada primo vai usar, desde nenhuma até o máximo disponível. Nenhum outro primo pode aparecer, e nenhum expoente pode ultrapassar o do número. Pela unicidade da fatoração, escolhas diferentes produzem divisores diferentes.

Usaremos a letra grega τ, lida “tau”, para contar divisores positivos. Por exemplo, τ(72) = 12 significa que 72 tem doze desses divisores.

Exemplo resolvido · Contar escolhas independentes

Quantos divisores positivos tem 72?

Resolução

  1. 72 = 2³ · 3². Para o expoente do 2, há quatro opções: 0, 1, 2 e 3. Para o do 3, há três: 0, 1 e 2.
  2. São 4 · 3 = 12 combinações. Os divisores são 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 e 72. O expoente zero precisa ser incluído na contagem.

τ(72)=(3+1)(2+1)=12\tau(72)=(3+1)(2+1)=12.

τ(n)=∏j=1s(αj+1)\tau(n)=\prod_{j=1}^{s}(\alpha_j+1)

n > 1 tem fatoração n = p₁^α₁ · … · pₛ^αₛ, com primos distintos e αⱼ ≥ 1. Um divisor escolhe o expoente de cada primo de 0 até αⱼ. As escolhas são independentes e únicas; τ conta somente divisores positivos. Para n = 1, τ(1) = 1. Zero tem infinitos divisores positivos e não entra nessa fórmula.

Exemplo resolvido · Por que um quadrado tem quantidade ímpar?

Explique os nove divisores positivos de 36 e compare com um não quadrado.

Resolução

  1. 36 = 2² · 3², então sua contagem é (2 + 1)(2 + 1) = 9. Nos pares de fatores, todos aparecem em duplas, exceto 6 · 6, que tem um único valor central.
  2. Como comparação, 12 = 2² · 3 tem (2 + 1)(1 + 1) = 6 divisores. Os pares 1 · 12, 2 · 6 e 3 · 4 têm sempre dois valores distintos: não sobra um divisor central como no quadrado 36.
  3. Em geral, a contagem é ímpar exatamente quando cada expoente da fatoração é par: isso equivale a o número ser quadrado perfeito. Um não quadrado tem todos os seus divisores emparelhados em valores distintos e, portanto, contagem par.

36 tem nove divisores positivos e é quadrado perfeito.

∃m∈N: n=m2⇕τ(n) eˊ ıˊmpar\begin{gathered}\exists m\in\mathbb N:\ n=m^2\\\Updownarrow\\\tau(n)\text{ é ímpar}\end{gathered}

n é natural positivo. Na fatoração, o número de divisores é ímpar exatamente quando todos os expoentes são pares, isto é, quando n é quadrado perfeito. O caso n = 1 também satisfaz a afirmação. A contagem não inclui divisores negativos.

Um é um caso especial: seu único divisor positivo é 1, e ele é o quadrado 1². Assim τ(1) = 1, compatível com a regra de paridade. Zero não entra na fórmula de contagem, pois tem infinitos divisores positivos.

12MDC: escolher o maior divisor comum

Dois números podem compartilhar divisores. Para 18, os divisores positivos são 1, 2, 3, 6, 9 e 18; para 30, são 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30. Os comuns são 1, 2, 3 e 6. O maior é 6: esse é o máximo divisor comum, abreviado MDC. Não procuramos o maior dos números originais, e sim o maior número que divide ambos.

d=mdc⁡(a,b)d=max⁡(D(a)∩D(b))\begin{gathered}d=\operatorname{mdc}(a,b)\\d=\max(D(a)\cap D(b))\end{gathered}

a e b são naturais, não ambos zero. D(a) e D(b) contêm divisores positivos; a interseção reúne os comuns e max escolhe o maior. Se a > 0, mdc(a,0) = a. mdc(0,0) não é definido aqui, porque seus divisores positivos comuns não têm maior elemento.

Exemplo resolvido · Comparar duas listas

Encontre o MDC de 18 e 30.

Resolução

  1. Nas duas listas, 6 é comum. Nenhum divisor positivo maior que 6 divide simultaneamente os dois números.
  2. Conferimos 18 = 6 · 3 e 30 = 6 · 5. Portanto mdc(18,30) = 6.

mdc⁡(18,30)=6\operatorname{mdc}(18,30)=6.

Exemplo resolvido · Primos entre si não precisam ser primos

Qual é o MDC de 8 e 15? E de 18 e zero?

Resolução

  1. Os divisores de 8 são 1, 2, 4 e 8; os de 15 são 1, 3, 5 e 15. O único comum é 1. Dizemos que 8 e 15 são primos entre si, embora ambos sejam compostos.
  2. Todo divisor de 18 também divide zero. O maior é o próprio 18, então mdc(18,0) = 18. Para dois zeros, todos os positivos seriam divisores comuns, sem um maior: não definimos mdc(0,0).

mdc⁡(8,15)=1\operatorname{mdc}(8,15)=1 e mdc⁡(18,0)=18\operatorname{mdc}(18,0)=18.

13Calcular o MDC pela fatoração

As listas ficam trabalhosas para números maiores. Na fatoração, um divisor comum só pode usar primos presentes nos dois números. Para cada primo, ele pode usar no máximo a menor quantidade de cópias disponível. Escolher esse máximo permitido para cada primo produz o maior divisor comum.

mdc⁡(a,b)=∏j=1spjmin⁡(αj,βj)\operatorname{mdc}(a,b)=\prod_{j=1}^{s}p_j^{\min(\alpha_j,\beta_j)}

a e b são naturais positivos, ao menos um maior que 1. Use a mesma lista dos primos presentes em qualquer um dos números, atribuindo expoente zero ao primo ausente. O divisor comum não pode ultrapassar nenhum dos dois expoentes. Para a = b = 1, o MDC é 1.

Na fórmula, ∏ significa multiplicar os fatores indicados, α e β são os expoentes nas duas fatorações, e min escolhe o menor dos dois. Se um primo não aparece num número, seu expoente nesse número é zero. Um expoente zero dá fator 1 e não acrescenta cópia desse primo.

Exemplo resolvido · Tomar os menores expoentes

Calcule o MDC de 72 e 120.

Resolução

  1. 72 = 2³ · 3² e 120 = 2³ · 3 · 5. Para o 2, o menor expoente é 3; para o 3, é 1; para o 5, é zero.
  2. O produto é 2³ · 3 = 24. Ele divide 72 e 120, com quocientes 3 e 5. Acrescentar outro 2, outro 3 ou um 5 ultrapassaria a disponibilidade em pelo menos um dos números.

mdc⁡(72,120)=24\operatorname{mdc}(72,120)=24.

Exemplo resolvido · Quando um número já divide o outro

Calcule o MDC de 12 e 60.

Resolução

  1. 12 = 2² · 3 e 60 = 2² · 3 · 5. Os menores expoentes produzem 2² · 3 = 12.
  2. Isso também segue da definição: 12 divide os dois números e nenhum divisor positivo de 12 pode ser maior que 12. Se a positivo divide b, o MDC de a e b é a.

mdc⁡(12,60)=12\operatorname{mdc}(12,60)=12.

14Algoritmo de Euclides: conservar os divisores comuns

Há um método que dispensa fatorar os números: dividir sucessivamente e conservar os restos. Primeiro divida o maior pelo menor. Substitua o par inicial pelo divisor e pelo resto, e repita até a divisão ficar exata. O último resto não nulo, que é o divisor da divisão final, é o MDC.

Exemplo resolvido · Acompanhar cada resto

Calcule o MDC de 252 e 198 por divisões sucessivas.

Resolução

  1. 252 = 198 · 1 + 54. Agora trabalhamos com 198 e 54.
  2. 198 = 54 · 3 + 36; depois 54 = 36 · 1 + 18; por fim 36 = 18 · 2 + 0.
  3. A última divisão tem divisor 18 e resto zero. O MDC é 18, não o zero final.

mdc⁡(252,198)=18\operatorname{mdc}(252,198)=18.

252 = 1 × 198 + 54198 = 3 × 54 + 3654 = 1 × 36 + 1836 = 2 × 18MDC = 18
Cada barra representa uma divisão na mesma escala. A parte restante vira o próximo divisor; o processo termina em dois blocos de 18, sem sobra.
a=bq+r,0≤r<bmdc⁡(a,b)=mdc⁡(b,r)\begin{gathered}a=bq+r,\quad0\le r<b\\\operatorname{mdc}(a,b)=\operatorname{mdc}(b,r)\end{gathered}

a, q e r são naturais e b é natural positivo. Um número divide a e b exatamente quando divide b e r = a − bq. As divisões sucessivas conservam o MDC e terminam porque os restos positivos diminuem. Ao chegar a resto zero, o divisor dessa última divisão é o MDC.

Por que funciona? Se d divide a e b, divide a − bq, isto é, o resto r. Reciprocamente, se divide b e r, divide bq + r = a. Os pares (a,b) e (b,r) têm exatamente os mesmos divisores comuns e, portanto, o mesmo MDC. Os restos positivos diminuem estritamente, então o processo termina. Ao chegar ao par (d,0), o MDC é d.

Exemplo resolvido · Um par maior sem fatoração

Encontre o MDC de 1071 e 462.

Resolução

  1. 1071 = 462 · 2 + 147. Depois 462 = 147 · 3 + 21.
  2. 147 = 21 · 7 + 0. O último resto não nulo é 21; ele divide os números iniciais: 1071 = 21 · 51 e 462 = 21 · 22.

mdc⁡(1071,462)=21\operatorname{mdc}(1071,462)=21.

15MMC: procurar o primeiro múltiplo comum positivo

Agora a pergunta muda: qual é a menor quantidade positiva que pode ser formada tanto por grupos de um tamanho quanto por grupos de outro? Não estamos repartindo os números iniciais, mas procurando um número divisível por ambos. É o mínimo múltiplo comum positivo, abreviado MMC.

m=mmc⁡(a,b)m>0,a∣m, b∣m\begin{gathered}m=\operatorname{mmc}(a,b)\\m>0,\quad a\mid m,\ b\mid m\end{gathered}

a e b são naturais positivos; m é o menor número positivo divisível por ambos. Excluir zero é essencial, pois zero é múltiplo comum de todos os positivos. O produto ab garante a existência de algum múltiplo comum positivo. Nesta aula usamos essa definição para argumentos positivos; com zero não há múltiplo comum positivo.

Exemplo resolvido · Encontrar o primeiro encontro das listas

Calcule o MMC de 4 e 6.

Resolução

  1. Os múltiplos positivos de 4 começam em 4, 8, 12, 16, 20, 24; os de 6 começam em 6, 12, 18, 24. O primeiro comum positivo é 12.
  2. Zero também é múltiplo comum, mas está excluído da busca. Outros comuns positivos, como 24, não são o menor.

mmc⁡(4,6)=12\operatorname{mmc}(4,6)=12.

Exemplo resolvido · Quando um número é múltiplo do outro

Qual é o MMC de 6 e 24?

Resolução

  1. 24 é múltiplo de 6 e de 24. Todo múltiplo positivo de 24 é pelo menos 24.
  2. Logo 24 já é o menor possível. Se a positivo divide b positivo, o MMC é b, enquanto o MDC é a.

mmc⁡(6,24)=24\operatorname{mmc}(6,24)=24.

Para dois positivos a e b, o produto ab é um múltiplo comum positivo, então há algum candidato e podemos escolher o menor. Nesta aula a definição de MMC será usada apenas com números positivos. Como o único múltiplo de zero é zero, se um dos argumentos for zero não haverá múltiplo comum positivo para essa definição.

16Calcular o MMC e comparar com o MDC

Um múltiplo comum precisa conter todas as cópias de primos exigidas por cada número. Para cada primo, escolha o maior expoente das duas fatorações. Assim nenhum fator necessário fica faltando e nenhum fator extra é acrescentado. Esse é o MMC. Na fórmula, max escolhe o maior expoente.

mmc⁡(a,b)=∏j=1spjmax⁡(αj,βj)\operatorname{mmc}(a,b)=\prod_{j=1}^{s}p_j^{\max(\alpha_j,\beta_j)}

a e b são naturais positivos, ao menos um maior que 1. Use todos os primos presentes e atribua expoente zero aos ausentes. Um múltiplo comum precisa conter pelo menos o maior dos expoentes de cada primo; escolhê-los exatamente assim dá o menor. Para a = b = 1, o MMC é 1.

Exemplo resolvido · Comparar as mesmas fatorações

Calcule o MDC e o MMC de 48 e 180.

Resolução

  1. 48 = 2⁴ · 3 e 180 = 2² · 3² · 5. Para o MDC, os menores expoentes dão 2² · 3 = 12.
  2. Para o MMC, os maiores dão 2⁴ · 3² · 5 = 720. Conferindo, 720 = 48 · 15 = 180 · 4.
  3. Um divisor comum usa só as cópias compartilhadas; um múltiplo comum precisa reunir as exigências dos dois números, contando uma vez as cópias que servem a ambos.

mdc⁡(48,180)=12\operatorname{mdc}(48,180)=12 e mmc⁡(48,180)=720\operatorname{mmc}(48,180)=720.

só 4822comuns223só 18035MDC = 2 · 2 · 3 = 12MMC = 2⁴ · 3² · 5 = 720
O centro reúne as cópias comuns dos primos: seu produto é o MDC. Multiplicar todas as cópias das três colunas produz o MMC, sem duplicar as cópias do centro.

Exemplo resolvido · Fatoração simultânea para o MMC

Calcule o MMC de 12 e 18 dividindo os números lado a lado.

Resolução

  1. Comece com (12,18). Divida por 2 cada entrada que for divisível por 2 e conserve a outra: obtemos (6,9). Usando 2 outra vez, obtemos (3,9).
  2. Divida ambos por 3, obtendo (1,3); divida a segunda entrada por 3, obtendo (1,1). O produto dos primos usados é 2 · 2 · 3 · 3 = 36.
  3. Esse procedimento recolhe as maiores quantidades exigidas. Para obter o MDC por divisões simultâneas, só podemos recolher fatores que dividam todas as entradas naquele passo; não devemos usar indistintamente o produto do procedimento do MMC.

mmc⁡(12,18)=36\operatorname{mmc}(12,18)=36.

17Relacionar MDC, MMC e primos entre si

Nos dois números positivos, cada primo contribui com seus dois expoentes. O menor e o maior desses expoentes, somados, dão a soma dos expoentes originais. Multiplicar o MDC pelo MMC, portanto, reconstrói o produto dos dois números.

mdc⁡(a,b)mmc⁡(a,b)=ab\operatorname{mdc}(a,b)\operatorname{mmc}(a,b)=ab
mdc⁡(a,b)⋅mmc⁡(a,b)=ab\begin{gathered}\operatorname{mdc}(a,b)\\{}\cdot\operatorname{mmc}(a,b)=ab\end{gathered}

a e b são naturais positivos. Para cada primo, mínimo e máximo dos dois expoentes somam os expoentes originais. A identidade vale para dois números; o produto do MDC e do MMC de três números não é, em geral, o produto deles.

Exemplo resolvido · Usar um resultado para obter o outro

Sabendo que o MDC de 18 e 30 é 6, encontre seu MMC.

Resolução

  1. O produto dos números é 18 · 30 = 540. Dividimos pelo MDC: 540 ÷ 6 = 90.
  2. Conferimos 90 = 18 · 5 = 30 · 3. Se o MDC fosse 1, nenhum fator primo seria compartilhado e o MMC seria o próprio produto.

mmc⁡(18,30)=90\operatorname{mmc}(18,30)=90.

mdc⁡(a,b)=1⟹mmc⁡(a,b)=ab\begin{gathered}\operatorname{mdc}(a,b)=1\\\Longrightarrow\operatorname{mmc}(a,b)=ab\end{gathered}

a e b são naturais positivos. Serem primos entre si significa não terem divisor positivo comum além de 1; não exige que cada um seja primo. Para N inteiro, se a e b são primos entre si, ser divisível por ambos equivale a ser divisível por ab.

Isso justifica os critérios combinados: um inteiro é divisível por a e b exatamente quando é múltiplo do MMC deles. Quando são primos entre si, o MMC é ab. Por isso os testes por 3 e 4 garantem divisibilidade por 12, mas os testes por 4 e 6 garantem apenas divisibilidade por 12, e não por 24. Para inteiros negativos, basta considerar o módulo; zero também é múltiplo do MMC.

Para três ou mais números, podemos continuar usando os menores expoentes no MDC e os maiores no MMC. Também podemos reunir os números dois a dois: os divisores comuns de um par são os divisores de seu MDC, e seus múltiplos comuns são os múltiplos de seu MMC.

mdc⁡(a,b,c)=mdc⁡(mdc⁡(a,b),c)mmc⁡(a,b,c)=mmc⁡(mmc⁡(a,b),c)\begin{gathered}\operatorname{mdc}(a,b,c)\\=\operatorname{mdc}(\operatorname{mdc}(a,b),c)\\\operatorname{mmc}(a,b,c)\\=\operatorname{mmc}(\operatorname{mmc}(a,b),c)\end{gathered}

a, b e c são naturais positivos. Um divisor comum de a e b divide seu MDC; um múltiplo comum de a e b é múltiplo de seu MMC, como mostram os expoentes. Isso permite reunir os números dois a dois sem perder as condições. As regras de expoentes mínimos e máximos também se estendem à lista inteira.

Exemplo resolvido · Reunir três números

Calcule o MDC e o MMC de 12, 18 e 30.

Resolução

  1. O MDC de 12 e 18 é 6; o MDC de 6 e 30 continua 6. Assim o MDC dos três é 6.
  2. O MMC de 12 e 18 é 36. Como 36 = 2² · 3² e 30 = 2 · 3 · 5, o MMC final é 2² · 3² · 5 = 180.
  3. A identidade MDC vezes MMC igual ao produto original vale para dois números. Não a estenda diretamente a três: para 4, 6 e 8, o MDC é 2 e o MMC é 24, cujo produto é 48, diferente de 4 · 6 · 8 = 192.

mdc⁡(12,18,30)=6\operatorname{mdc}(12,18,30)=6 e mmc⁡(12,18,30)=180\operatorname{mmc}(12,18,30)=180.

18Problemas: repartir sem sobra ou repetir ao mesmo tempo?

Antes da conta, identifique o papel da resposta. Se ela deve dividir exatamente quantidades dadas e ser a maior possível, procuramos um MDC. Se deve ser um múltiplo positivo das quantidades e o menor possível, procuramos um MMC. Palavras isoladas como “maior”, “menor” ou “juntos” não substituem essa interpretação.

Exemplo resolvido · O maior comprimento de corte

Duas fitas medem 84 cm e 126 cm. Serão cortadas em pedaços de mesmo comprimento inteiro em centímetros, sem sobra. Qual é o maior comprimento possível?

Resolução

  1. O comprimento do pedaço precisa dividir 84 e 126. Buscamos o maior divisor comum.
  2. 84 = 2² · 3 · 7 e 126 = 2 · 3² · 7. O MDC é 2 · 3 · 7 = 42 cm.
  3. Da primeira fita saem 84 ÷ 42 = 2 pedaços; da segunda, 126 ÷ 42 = 3. São cinco pedaços ao todo, cada um com 42 cm.

O maior comprimento é 42 cm; serão obtidos cinco pedaços.

Exemplo resolvido · O maior número de grupos idênticos

Há 84 fichas azuis e 126 amarelas. Qual é o maior número de kits idênticos, com as mesmas quantidades de cada cor em todos os kits e sem sobra?

Resolução

  1. Agora é o número de kits que precisa dividir 84 e 126. O MDC continua 42, mas a unidade da resposta mudou: são 42 kits, e não 42 fichas por kit.
  2. Cada kit recebe 84 ÷ 42 = 2 fichas azuis e 126 ÷ 42 = 3 amarelas. Todos ficam idênticos e as duas quantidades são totalmente usadas.

42 kits, com duas fichas azuis e três amarelas em cada um.

Exemplo resolvido · O primeiro reencontro de dois ciclos

Dois avisos soam juntos às 8h. Um se repete a cada 12 minutos, e o outro a cada 18. Quando soarão juntos novamente?

Resolução

  1. Contados desde o mesmo instante inicial, os tempos precisam ser múltiplos de 12 e de 18. Queremos o primeiro tempo positivo, isto é, o MMC.
  2. 12 = 2² · 3 e 18 = 2 · 3²; o MMC é 2² · 3² = 36 minutos. O primeiro aviso completará três intervalos, e o segundo, dois.

Eles soarão juntos novamente às 8h36.

A origem comum dos ciclos é uma hipótese do último exemplo. Se os avisos começarem em horários diferentes, calcular apenas o MMC dos períodos não determina, sozinho, o primeiro encontro. Também é preciso considerar a diferença entre os instantes iniciais.

19Aplicar o MDC a frações e justificar o decimal finito

Na aula anterior, reduzimos frações cancelando fatores comuns. O MDC reúne todos esses fatores de uma vez: divida numerador e denominador por ele para obter uma fração irredutível. O denominador será positivo; se houver sinal negativo, podemos mantê-lo no numerador.

g=mdc⁡(∣p∣,q)pq=p/gq/g\begin{gathered}g=\operatorname{mdc}(|p|,q)\\\frac pq=\frac{p/g}{q/g}\end{gathered}

p é inteiro e q é inteiro positivo. g é positivo e os dois quocientes são inteiros. A fração resultante é irredutível porque os expoentes primos comuns foram retirados ao máximo. Se p = 0, g = q e a forma reduzida é 0/1.

Exemplo resolvido · Reduzir de uma vez

Simplifique 126/180 e compare com zero sobre 18.

Resolução

  1. 126 = 2 · 3² · 7 e 180 = 2² · 3² · 5. Seu MDC é 18. Dividindo ambos por 18, obtemos 7/10, agora sem divisor comum positivo além de 1.
  2. No caso 0/18, o MDC de 0 e 18 é 18. A redução dá 0/1 = 0. Não cancelamos um denominador zero: a fração original tem denominador 18.

126180=710\frac{126}{180}=\frac7{10} e 018=01\frac0{18}=\frac01.

Podemos agora justificar o critério de decimal finito anunciado na aula de números. Um decimal finito tem denominador 10, 100, 1000 ou outra potência de dez. Na forma irredutível, seu denominador só pode ter fatores primos 2 e 5, pois 10ᵏ = 2ᵏ · 5ᵏ.

pq tem decimal finito⇕q=2u5v\begin{gathered}\frac pq\text{ tem decimal finito}\\\Updownarrow\\q=2^u5^v\end{gathered}

p/q está irredutível, p é inteiro e q é inteiro positivo; u e v são inteiros não negativos. Denominador 1 corresponde a u = v = 0 e inclui inteiros e 0/1. Um primo diferente de 2 e 5 no denominador reduzido impede a expansão finita. Reduza antes de aplicar o critério.

A volta também vale: se o denominador reduzido é 2ᵘ · 5ᵛ, tome k como o maior entre u e v. Multiplique numerador e denominador pelas cópias de 2 e de 5 que faltam para chegar a 2ᵏ · 5ᵏ = 10ᵏ. Isso produz um decimal finito. Para provar a necessidade, escreva p/q = A/10ᵏ, com p/q irredutível. Da igualdade p · 10ᵏ = Aq, qualquer primo de q diferente de 2 e 5 teria de aparecer em p, pela unicidade da fatoração, contradizendo a redução.

Exemplo resolvido · Reduzir antes de olhar o denominador

Quais frações têm decimal finito: 7/40, 3/6 e 1/28?

Resolução

  1. 40 = 2³ · 5. Multiplicando numerador e denominador de 7/40 por 25, obtemos 175/1000 = 0,175.
  2. 3/6 primeiro vira 1/2 = 0,5. O fator 3 do denominador original desaparece na redução e não impede um decimal finito.
  3. 1/28 já está irredutível e 28 = 2² · 7. O primo 7 impede que o denominador seja completado para uma potência de dez. Seu decimal não é finito.

7/40 e 3/6 têm decimal finito; 1/28 não tem.

20Restos em somas, produtos e potências

Às vezes queremos só o resto de uma conta grande. Na divisão por um mesmo divisor positivo, substituir cada número pelo seu resto conserva o resto da soma e do produto. O valor obtido ainda precisa ser dividido novamente se alcançar o divisor.

a=dq+r,b=dt+sa+b=d(q+t)+(r+s)ab=d(dqt+qs+tr)+rs\begin{gathered}a=dq+r,\quad b=dt+s\\a+b=d(q+t)+(r+s)\\ab=d(dqt+qs+tr)+rs\end{gathered}

a e b são naturais, d é natural positivo e 0 ≤ r,s < d. Essas identidades mostram que a+b e r+s deixam o mesmo resto por d; ab e rs também. Se r+s ou rs forem maiores ou iguais a d, divida novamente: esses valores ainda não são necessariamente restos válidos.

Exemplo resolvido · Reduzir a conta sem perder o resto

Quais são os restos de 47 + 38 e de 47 · 38 na divisão por 6?

Resolução

  1. 47 = 6 · 7 + 5 e 38 = 6 · 6 + 2. Para a soma, usamos 5 + 2 = 7. Como 7 = 6 · 1 + 1, o resto final é 1; não é 7.
  2. Para o produto, usamos 5 · 2 = 10, cujo resto por 6 é 4. Conferindo as contas originais, 85 = 6 · 14 + 1 e 1786 = 6 · 297 + 4.

Resto 1 para a soma; resto 4 para o produto.

Para potências, multiplicações sucessivas podem formar um ciclo. Vamos usar R com índice d para indicar o resto por d: R₅(12) = 2. Se verificarmos que uma potência aᵗ deixa resto 1, cada bloco de t fatores contribui com resto 1. Podemos dividir o expoente por t e conservar só seu resto. Essa hipótese deve ser conferida; não há permissão para reduzir expoentes de qualquer maneira.

Rd(at)=1,n=kt+s0≤s<tRd(an)=Rd(as)\begin{gathered}R_d(a^t)=1,\quad n=kt+s\\0\le s<t\\R_d(a^n)=R_d(a^s)\end{gathered}

R_d(x) significa o resto da divisão de x por d. a é natural positivo, d ≥ 2 e t ≥ 1 são inteiros; k e s são naturais. A hipótese de resto 1 para aᵗ precisa ser verificada; ela não vale para quaisquer a, d e t. A identidade segue de aⁿ = (aᵗ)ᵏaˢ e da regra de restos do produto.

Exemplo resolvido · Um expoente grande com um ciclo curto

Determine o resto de 2²⁰²⁶ por 5.

Resolução

  1. As potências 2¹, 2², 2³ e 2⁴ deixam, respectivamente, os restos 2, 4, 3 e 1. A próxima volta ao resto 2. O bloco de quatro fatores tem resto 1.
  2. 2026 = 4 · 506 + 2. Assim 2²⁰²⁶ = (2⁴)⁵⁰⁶ · 2² deixa o mesmo resto que 1⁵⁰⁶ · 4, isto é, 4.

O resto é 4.

expoente nresto por 51224334152O ciclo tem 4 passos
A tabela mostra o início do ciclo das potências de 2 na divisão por 5. O resto 1 na quarta potência permite agrupar os fatores em blocos de quatro.

21Aprofundamento: por que a fatoração em primos é única?

Os métodos básicos já estão construídos. Vamos agora fechar a justificativa da unicidade da fatoração, usando as divisões que aprendemos. O primeiro passo é voltar pelo algoritmo de Euclides e escrever o MDC como uma soma de múltiplos inteiros dos números iniciais. Os coeficientes dessa soma podem ser negativos; isso não significa que o MDC seja negativo.

Voltar pelas divisões: identidade de Bézout

au+bv=mdc⁡(a,b)para alguns u,v∈Z\begin{gathered}au+bv=\operatorname{mdc}(a,b)\\\text{para alguns }u,v\in\mathbb Z\end{gathered}

a e b são inteiros positivos. Os coeficientes u e v podem ser negativos ou zero. Substituir de volta os restos do algoritmo de Euclides produz uma combinação dos dois números em cada etapa. O enunciado é a identidade de Bézout, desenvolvida no aprofundamento após os métodos básicos.

Exemplo resolvido · Recuperar o MDC a partir dos números iniciais

Escreva 18, o MDC de 252 e 198, como combinação inteira deles.

Resolução

  1. Pelas divisões anteriores: 54 = 252 − 198, 36 = 198 − 3 · 54 e 18 = 54 − 36.
  2. Substitua 36 por 198 − 3 · 54: 18 = 54 − (198 − 3 · 54) = 54 − 198 + 3 · 54. O sinal de menos antes dos parênteses troca os sinais dos dois termos internos.
  3. Reúna as parcelas com 54: 54 + 3 · 54 = 4 · 54. Portanto 18 = 4 · 54 − 198.
  4. Agora substitua 54 por 252 − 198: 18 = 4 · (252 − 198) − 198 = 4 · 252 − 4 · 198 − 198 = 4 · 252 − 5 · 198. Distribuímos o fator 4 e reunimos as cinco parcelas negativas de 198.
  5. Conferindo, 1008 − 990 = 18. Os coeficientes são 4 e −5. Em qualquer algoritmo de Euclides, cada resto é uma combinação inteira dos dois anteriores; substituindo até os números iniciais, obtemos essa propriedade para o último resto não nulo.

18=4⋅252−5⋅19818=4\cdot252-5\cdot198.

Cancelar um fator exige uma condição

mdc⁡(a,b)=1,a∣bc⟹a∣c\begin{gathered}\operatorname{mdc}(a,b)=1,\quad a\mid bc\\\Longrightarrow a\mid c\end{gathered}

a e b são inteiros positivos e c é inteiro. Pela identidade de Bézout, existem u e v com au + bv = 1. Multiplicar por c mostra que c é soma de dois múltiplos de a. Para um primo p, se p divide xy, então divide x ou y; não é necessário que divida os dois.

Se mdc(a,b) = 1, Bézout dá au + bv = 1 para certos inteiros u e v. Multiplique por c: acu + bcv = c. Se a divide bc, os dois termos da esquerda são múltiplos de a, então a divide c. Em particular, se um primo p divide xy e não divide x, o MDC de p e x é 1, pois os únicos divisores de p são 1 e p. Segue que p divide y. Esse é o lema de Euclides para produtos.

Exemplo resolvido · O que o lema permite concluir

Se o primo 7 divide 6n, com n inteiro, o que sabemos sobre n? Podemos trocar 7 por qualquer composto?

Resolução

  1. 7 não divide 6 e é primo, então mdc(7,6) = 1. O lema garante que 7 divide n.
  2. A hipótese não pode ser omitida: 6 divide 2 · 3, mas não divide 2 nem 3. Um divisor composto pode repartir seus fatores primos entre os dois fatores do produto.

7 divide n; o mesmo argumento não vale para um divisor arbitrário sem a condição de MDC igual a 1.

Concluir a unicidade

Suponha que um número maior que 1 tenha duas fatorações em primos. Um primo da primeira divide o produto da segunda. Aplicando o lema repetidamente aos fatores, ele divide um dos primos da segunda; como ambos são primos, são iguais. Cancele esse fator nas duas fatorações e repita. Nenhuma lista pode terminar antes da outra, pois um produto de primos restantes seria maior que 1. Portanto os mesmos primos aparecem com as mesmas repetições. Junto à existência já explicada, isso demonstra o teorema fundamental da Aritmética.

Essa conclusão também sustenta as regras de quantidade de divisores, expoentes mínimos no MDC, máximos no MMC e o critério de decimal finito. As fórmulas não são convenções isoladas: elas descrevem quais fatores podem ou precisam aparecer em cada situação.

22Agora é com você

Comece pelos restos e pelas definições, avance aos critérios e só depois aos cálculos de MDC, MMC e aplicações. As questões finais retomam as justificativas. Em cada resposta, explique o papel do número procurado antes de escolher a conta.

Questão 1 de 480 conferidas

Fixação · Objetiva

Na divisão inteira de 22 por 4, quais são o quociente e o resto?

Escolha uma alternativa

23O que guardar desta aula

  • Na divisão euclidiana a = bq + r, o divisor é positivo e 0 ≤ r < b. Divisão exata tem resto zero.
  • d ∣ n lê-se “d divide n”: n é um múltiplo inteiro de d. A barra não representa uma fração.
  • Zero é múltiplo de todo positivo; M(0) = {0}. Aqui zero não é admitido como divisor.
  • Um divisor positivo de n forma com n dividido por ele um par de fatores. O número 1 tem um divisor positivo; zero tem infinitos.
  • Divisibilidade é preservada na soma, na diferença e em múltiplos dos termos divisíveis. A soma divisível não obriga as parcelas a serem divisíveis.
  • Para 2, 5 e 10, observe a unidade; para 4 e 25, as duas últimas casas; para 8, as três últimas. As regras vêm do valor posicional.
  • Para 3 e 9, use a soma dos algarismos. Para 11, a soma alternada. Para 7, pode-se subtrair o dobro da unidade do restante.
  • Só combine testes pelo produto quando os divisores forem primos entre si. A exigência geral é o MMC dos divisores.
  • Primos são naturais maiores que 1 com exatamente dois divisores positivos. Zero e um não são primos nem compostos; 2 é o único primo par.
  • Para testar n ≥ 2, basta testar os primos até √n, incluindo a igualdade. O crivo produz listas eliminando múltiplos.
  • A fatoração de n > 1 em primos existe e é única, salvo a ordem dos fatores. Um não é um fator primo.
  • Se os expoentes são α₁, …, αₛ, a quantidade de divisores positivos é (α₁ + 1) · … · (αₛ + 1). Essa quantidade é ímpar exatamente nos quadrados positivos.
  • MDC é o maior divisor positivo comum. Na fatoração, use os expoentes mínimos. mdc(a,0) = a para a positivo; mdc(0,0) fica indefinido.
  • O algoritmo de Euclides conserva os divisores comuns. O último resto não nulo é o MDC.
  • MMC é o menor múltiplo comum positivo de números positivos. Na fatoração, use os expoentes máximos; zero fica fora da busca.
  • Para dois positivos, MDC vezes MMC é o produto dos números. Se forem primos entre si, o MMC é o produto. Não estenda a identidade diretamente a três números.
  • Para maior tamanho de corte ou maior número de grupos idênticos sem sobra, interprete o MDC. Para o primeiro reencontro de ciclos com origem comum, interprete o MMC.
  • Dividir numerador e denominador pelo MDC reduz a fração. Seu decimal é finito exatamente quando o denominador reduzido só tem fatores 2 e 5, incluindo o denominador 1.
  • Nos restos de somas e produtos, calcule com os restos e reduza de novo se necessário. Para potências, verifique o ciclo antes de reduzir o expoente.
  • Bézout escreve o MDC como combinação inteira; o lema de Euclides permite cancelar fatores primos entre si e justifica a unicidade da fatoração.

Na próxima aula, vamos estudar razões, proporcionalidade e regra de três: começar comparando quantidades, identificar relações diretas ou inversas e só depois organizar os métodos de resolução.

Seu progresso fica apenas neste navegador.

O que vamos estudar?

    Use Tab para navegar pelos resultados e Esc para fechar.