EstudaMath

Números e operações

Construa a base para calcular e interpretar problemas: conjuntos numéricos, sinais, frações, decimais, potências, raízes, prioridades e estimativas, com justificativas e aplicações.

1Algarismos, números e valor posicional

Depois de aprender as quatro operações com números naturais, vamos ampliar essa base. Um número expressa uma quantidade, uma medida ou uma posição. Um algarismo é um símbolo usado para escrevê-lo. No sistema decimal, os dez algarismos são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. O mesmo algarismo muda de valor conforme a posição: em 505, o primeiro 5 vale quinhentos e o último vale cinco.

abc‾=100a+10b+c\overline{abc}=100a+10b+c

Nesta escrita de um natural de três algarismos, a é de 1 a 9 e b e c são de 0 a 9. A barra indica a sequência dos algarismos, não um produto. Cada posição à esquerda vale dez vezes a anterior; zeros conservam posições.

Da direita para a esquerda vêm unidades, dezenas, centenas, unidades de milhar e assim por diante. Dez unidades formam uma dezena; dez dezenas formam uma centena. O zero registra a ausência de unidades naquela ordem e impede que as outras posições se desloquem. Agrupar ordens em classes de três facilita a leitura, mas não muda o valor.

Exemplo resolvido · Decompor sem apagar os zeros

Decomponha 40 608 e diga o valor do algarismo 6.

Resolução

  1. Há quatro dezenas de milhar, nenhuma unidade de milhar, seis centenas, nenhuma dezena e oito unidades.
  2. Portanto 40 608 = 4 · 10 000 + 6 · 100 + 8. O 6 vale 600, não 6.

40 608 = 40 000 + 600 + 8.

Exemplo resolvido · Trocas que sustentam a conta armada

Calcule 278 + 156 e 402 − 178 explicando as trocas.

Resolução

  1. Na soma, 8 + 6 = 14 unidades: escrevemos 4 unidades e trocamos 10 por uma dezena. Nas dezenas, 7 + 5 + 1 = 13: ficam 3 dezenas e sobe uma centena. Nas centenas, 2 + 1 + 1 = 4. Resultado 434.
  2. Na subtração, precisamos retirar 8 unidades de 2. Trocamos uma das quatro centenas por dez dezenas; dessas, uma dezena vira dez unidades. A escrita equivalente é 3 centenas, 9 dezenas e 12 unidades. Subtraímos 178: 12 − 8 = 4, 9 − 7 = 2 e 3 − 1 = 2. Resultado 224.

278 + 156 = 434; 402 − 178 = 224.

Neste material, a vírgula separa a parte decimal: 2,5 significa dois e meio. Em números grandes, usamos espaço para separar classes. Leia a convenção do enunciado antes de interpretar uma escrita de outra fonte.

2Ler conjuntos e suas operações

Um conjunto reúne elementos segundo uma condição clara. Chaves delimitam a lista: A = {1, 2, 4}. A ordem e a repetição de elementos não mudam o conjunto. Escrevemos 2 ∈ A para dizer que 2 pertence a A e 3 ∉ A para dizer que não pertence. O conjunto vazio, ∅, não possui elementos; {0} possui um elemento e não é vazio.

A ⊆ B significa que todo elemento de A também está em B. Se ainda existir elemento de B fora de A, a inclusão é própria, escrita aqui A ⊂ B. Pertencer compara elemento e conjunto; estar contido compara conjuntos. Por exemplo, 2 ∈ {1, 2}, mas {2} ⊆ {1, 2}. Nas descrições por condição, a barra vertical ou os dois-pontos significam “tal que”.

x∈A∪B  ⟺  x∈A ou x∈Bx∈A∩B  ⟺  x∈A e x∈Bx∈A∖B  ⟺  x∈A, x∉B\begin{gathered}x\in A\cup B\iff x\in A\ \text{ou}\ x\in B\\x\in A\cap B\iff x\in A\ \text{e}\ x\in B\\x\in A\setminus B\iff x\in A,\ x\notin B\end{gathered}
x∈A∪B  ⟺  x∈A ou x∈Bx∈A∩B  ⟺  x∈A e x∈Bx∈A∖B  ⟺  x∈A, x∉B\begin{gathered}x\in A\cup B\iff\\x\in A\ \text{ou}\ x\in B\\[4pt]x\in A\cap B\iff\\x\in A\ \text{e}\ x\in B\\[4pt]x\in A\setminus B\iff\\x\in A,\ x\notin B\end{gathered}

A e B são conjuntos de um universo declarado. “Ou” é inclusivo: aceita pertencer a ambos. A diferença A ∖ B, lida “A menos B”, retira de A os elementos que também pertencem a B. O símbolo ∖ indica diferença de conjuntos. Em geral A ∖ B é diferente de B ∖ A.

Exemplo resolvido · Reunir, manter o comum ou retirar

Para A = {0, 2, 4} e B = {2, 3, 4}, encontre união, interseção e as duas diferenças.

Resolução

  1. A união reúne sem repetir: A ∪ B = {0, 2, 3, 4}. A interseção mantém apenas os elementos comuns: A ∩ B = {2, 4}.
  2. Em A ∖ B sobra 0; em B ∖ A sobra 3. A diferença depende da ordem, mesmo que a união e a interseção não dependam.

A ∪ B = {0, 2, 3, 4}; A ∩ B = {2, 4}; A ∖ B = {0}; B ∖ A = {3}.

O universo é o conjunto permitido pelo problema. Se U = {0, 1, 2, 3, 4} e A = {0, 2, 4}, o complemento de A nesse universo é U ∖ A = {1, 3}. Sem informar o universo, “tudo o que está fora” fica incompleto. O desenvolvimento de conjuntos e lógica será retomado na trilha correspondente.

3Naturais, inteiros, racionais e reais

Começamos contando objetos inteiros: 0, 1, 2, 3, … são os naturais pela convenção desta aula. Para registrar uma dívida ou uma posição abaixo da referência, incluímos os negativos e obtemos os inteiros. Para dividir uma unidade em partes iguais, precisamos também das frações de inteiros: os racionais.

N⊂Z⊂Q⊂R\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb Q\subset\mathbb R

Adotamos ℕ = {0, 1, 2, …} e ℕ* = {1, 2, …}. ℤ contém os inteiros positivos, negativos e zero; ℚ contém as frações de inteiros de denominador não nulo. As inclusões são próprias. Um número pode pertencer a vários desses conjuntos.

Q={pq:p,q∈Z, q≠0}\mathbb Q=\left\{\frac pq:p,q\in\mathbb Z,\ q\ne0\right\}

p é o numerador e q é o denominador. Podemos escolher q positivo mudando os dois sinais. Todo inteiro é racional porque n = n/1. O denominador jamais pode ser zero.

Assim, ℤ = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}. Os pontos indicam continuação do padrão, não uma lista encerrada. Algumas fontes usam ℕ sem zero; aqui essa escolha está declarada e ℕ* exclui zero. Frações equivalentes representam o mesmo racional: 1/2 e 2/4 são duas escritas de um único número.

Exemplo resolvido · Classificar o valor, não sua aparência

Entre −4, 0, 6/3 e 0,125, quais são inteiros e quais são racionais?

Resolução

  1. −4 e 0 são inteiros. A fração 6/3 vale 2, portanto também é inteiro e natural. Uma barra de fração na escrita não impede que seu valor seja inteiro.
  2. 0,125 representa 125 partes de uma unidade dividida em mil partes iguais: 125/1000. Dividindo numerador e denominador por 125, temos (125 ÷ 125)/(1000 ÷ 125) = 1/8. É racional, mas não inteiro, pois está entre 0 e 1. Todos os quatro são racionais, pois os inteiros também se escrevem com denominador 1.

Inteiros: −4, 0 e 6/3. Todos os quatro são racionais.

Há reais que não são racionais, como √2, que justificaremos adiante. Eles são irracionais. A reta real reúne os racionais e os irracionais; cada ponto corresponde a um real e cada real a um ponto. Números complexos são uma ampliação estudada em Álgebra, mas não são necessários aos cálculos reais deste núcleo.

I=R∖QR=Q∪IQ∩I=∅\begin{gathered}\mathbb I=\mathbb R\setminus\mathbb Q\\\mathbb R=\mathbb Q\cup\mathbb I\\\mathbb Q\cap\mathbb I=\varnothing\end{gathered}

𝕀 representa aqui os irracionais: reais que não podem ser escritos como fração de inteiros com denominador não nulo. União reúne elementos; interseção exige pertencer aos dois conjuntos. Nenhum real é simultaneamente racional e irracional.

ℝℚℤℕ0, 1, 2, …𝕀√2π
As regiões mostram inclusões entre conjuntos, sem representar suas quantidades de elementos. Irracionais pertencem aos reais e ficam fora dos racionais.

4Reta, ordem, opostos e distância

Na reta, escolhemos zero, uma unidade de comprimento e o sentido positivo para a direita. Passos iguais representam diferenças iguais. Um número é maior quando seu ponto fica mais à direita. Isso explica por que −2 é maior que −5, embora 5 seja maior que 2 quando comparamos seus módulos.

∣a∣={a,a≥0−a,a<0|a|=\begin{cases}a,&a\ge0\\-a,&a<0\end{cases}

a é real. |a| é sempre não negativo; vale zero apenas para a = 0. Números opostos a e −a têm o mesmo módulo. Entre negativos, o de maior módulo é o menor número.

d(a,b)=∣a−b∣d(a,b)=|a-b|

a e b são reais na mesma escala e unidade. A distância é não negativa e não depende da ordem dos pontos. Não confundir a posição assinada de um ponto com uma distância.

opostos: −2 e 2−3−2−10123−1/2distância de −2 a 2: 4
Os inteiros estão igualmente espaçados. −2 e 2 ficam à mesma distância do zero; −1/2 ocupa exatamente o meio entre −1 e 0.

Exemplo resolvido · Comparar negativos sem inverter a ideia de distância

Ordene −3, 1/2, −1/2 e 0, e calcule a distância entre −3 e 1/2.

Resolução

  1. Da esquerda para a direita: −3, −1/2, 0 e 1/2. O módulo não serve sozinho para ordenar números de sinais diferentes.
  2. De −3 até 0 percorremos 3 unidades; de 0 até 1/2 percorremos mais meia unidade. Portanto a distância total é 3,5 unidades.
  3. Cada unidade contém dois meios; por isso −3 = −6/2. Na fórmula, contamos tudo em meios: |−3 − 1/2| = |−6/2 − 1/2| = |−7/2| = 7/2 = 3,5. A ordem inversa produz |1/2 − (−3)|, com o mesmo resultado.

−3 < −1/2 < 0 < 1/2; distância 3,5 unidades.

Os símbolos < e > exprimem desigualdade estrita; ≤ e ≥ permitem também igualdade. Somar o mesmo real aos dois membros preserva a ordem. Multiplicar por um positivo preserva o sentido; por um negativo o inverte, pois reflete a reta e muda a escala. Por exemplo, 2 < 5, mas −2 > −5. Entre dois reais distintos há sempre outro: o ponto médio (a + b)/2 fica entre a e b. Não há “próximo real” como há próximo inteiro.

5O significado das operações e suas propriedades

Somar pode reunir quantidades ou aplicar uma variação. Subtrair pode retirar, comparar ou desfazer uma soma. Multiplicar começa como contagem de grupos iguais e se amplia a fatores fracionários e negativos. Dividir pode repartir em grupos iguais ou perguntar quantos grupos de certo tamanho cabem numa quantidade. A operação depende do que o problema pergunta.

a+b=b+a,ab=ba(a+b)+c=a+(b+c)(ab)c=a(bc)a(b+c)=ab+ac\begin{gathered}a+b=b+a,\quad ab=ba\\(a+b)+c=a+(b+c)\\(ab)c=a(bc)\\a(b+c)=ab+ac\end{gathered}

a, b e c são reais. A primeira linha expressa comutatividade; as duas seguintes, associatividade; a última, distributividade. Subtração e divisão não são comutativas nem associativas em geral. Zero é neutro da adição; um é neutro da multiplicação.

a÷b=a⋅1bb≠0,b⋅1b=1\begin{gathered}a\div b=a\cdot\frac1b\\b\ne0,\quad b\cdot\frac1b=1\end{gathered}

a e b são reais, b ≠ 0. O quociente é o único número c com bc = a. Se a = 0, o quociente é zero. Se b = 0 e a ≠ 0 não há tal c; se a = b = 0 não há c único. Por isso nenhuma divisão por zero é definida.

Nas fórmulas, letras representam quaisquer números que atendam às condições. Comutatividade permite trocar a ordem de duas parcelas ou de dois fatores. Associatividade muda o agrupamento de somas ou produtos, sem trocar operações. Distributividade relaciona multiplicação e adição. Não vale distribuir uma divisão sobre seu denominador: 12/(2 + 4) = 2, enquanto 12/2 + 12/4 = 9.

Exemplo resolvido · Calcular mentalmente com uma identidade

Calcule 24 · 15 usando a distributividade.

Resolução

  1. Escreva 15 = 10 + 5. Então 24 · 15 = 24 · 10 + 24 · 5.
  2. Os produtos são 240 e 120. A soma é 360. Não se trata de uma aproximação: a distributividade garante a igualdade.

24 · 15 = 360.

Exemplo resolvido · Quando a divisão não é possível

Compare 0/7, 7/0 e 0/0.

Resolução

  1. 0/7 = 0 porque 7 · 0 = 0 e esse quociente é único.
  2. Para 7/0, seria preciso 0 · c = 7, impossível. Para 0/0, qualquer c dá 0 · c = 0, sem escolher um quociente único. Ambas as divisões por zero ficam indefinidas.

Somente 0/7 está definido e vale zero.

Um conjunto é fechado para uma operação quando o resultado de quaisquer elementos permitidos permanece nele. Naturais são fechados para soma e produto, mas 2 − 5 não é natural. Inteiros não são fechados para divisão, pois 1/2 não é inteiro. Racionais são fechados para soma, diferença, produto e divisão por racional não nulo; reais também. Um problema com objetos indivisíveis pode exigir resposta natural, mesmo quando a conta numérica dá uma fração.

6Adição e subtração com inteiros

O sinal de um número indica de que lado do zero ele está. Já o sinal entre duas expressões indica uma operação. Somar um positivo desloca para a direita; somar um negativo, para a esquerda. Somando números de mesmo sinal, reunimos os módulos e conservamos o sinal; com sinais diferentes, subtraímos os módulos e conservamos o sinal do maior módulo. Módulos iguais em sinais opostos dão zero.

a−b=a+(−b)−(−a)=a\begin{gathered}a-b=a+(-b)\\-(-a)=a\end{gathered}

a e b são reais. O oposto de b é o único número que somado a b dá zero. A regra vale para inteiros, frações e decimais. O sinal de operação e o sinal de um número têm funções diferentes.

Exemplo resolvido · Uma variação depois da outra

Uma temperatura era −4 °C e aumentou 7 °C. Depois diminuiu 5 °C. Quais foram as temperaturas?

Resolução

  1. Primeiro −4 + 7 = 3: quatro unidades levam ao zero e as três restantes chegam a 3 °C.
  2. Depois 3 − 5 = 3 + (−5) = −2. A variação final de −2 − (−4) = 2 °C confirma aumento líquido de 2 °C.

Depois do aumento: 3 °C. Ao final: −2 °C.

Exemplo resolvido · O oposto de uma expressão inteira

Calcule −6 − (−9) + (−4) e −(3 − 8).

Resolução

  1. Na primeira expressão, subtrair −9 é somar 9: −6 + 9 − 4 = 3 − 4 = −1.
  2. Na segunda, primeiro 3 − 8 = −5. O oposto de −5 é 5. Também podemos distribuir −1: −3 + 8 = 5.

Os resultados são −1 e 5.

O “menos com menos” de a − (−b) trata da subtração de um oposto. Ele não autoriza concluir que a soma de dois negativos seja positiva: (−3) + (−5) = −8. Identifique a operação antes de escolher uma regra.

7Multiplicação e divisão com sinais

Para fatores não nulos, sinais iguais dão produto positivo e sinais diferentes dão produto negativo. Essa regra mantém a distributividade, não é uma escolha arbitrária. De a(b + (−b)) = a · 0 = 0 segue ab + a(−b) = 0, logo a(−b) é o oposto de ab. Pela comutatividade, também (−a)b = −ab. Agora distribuímos (−a) na soma b + (−b), que vale zero: 0 = (−a)b + (−a)(−b) = −ab + (−a)(−b). Para essa soma dar zero, (−a)(−b) precisa ser o oposto de −ab, isto é, ab.

(−a)b=−(ab)a(−b)=−(ab)(−a)(−b)=ab\begin{gathered}(-a)b=-(ab)\\a(-b)=-(ab)\\(-a)(-b)=ab\end{gathered}

a e b são reais; as identidades valem inclusive com zero. A descrição “sinais iguais, produto positivo” exige fatores não nulos. Para divisão, aplica-se o mesmo padrão com divisor não nulo.

Exemplo resolvido · Contar os fatores negativos

Calcule (−3) · 4 · (−2) e (−3) · (−2) · (−5).

Resolução

  1. No primeiro produto há dois fatores negativos, que formam um par: o sinal é positivo e o módulo é 3 · 4 · 2 = 24.
  2. No segundo há três negativos: um par dá positivo e o negativo restante dá produto negativo. O módulo é 3 · 2 · 5 = 30.

24 e −30.

Exemplo resolvido · Conferir divisão pela multiplicação

Calcule (−42) ÷ 6 e (−42) ÷ (−7).

Resolução

  1. O primeiro quociente é −7, pois 6 · (−7) = −42. O segundo é 6, pois (−7) · 6 = −42.
  2. Com vários fatores não nulos, um número par de fatores negativos produz positivo; um número ímpar produz negativo. Se houver fator zero, o produto todo é zero.

−7 e 6.

Multiplicação e divisão na mesma linha têm a mesma prioridade e são feitas da esquerda para a direita, salvo agrupamento explícito: 24 ÷ 6 · 2 = 4 · 2 = 8; já 24 ÷ (6 · 2) = 2. Para naturais, uma divisão pode ter resto: 29 = 5 · 5 + 4, com 0 ≤ 4 < 5. O desenvolvimento da divisão com resto e suas aplicações pertence ao próximo núcleo, Divisibilidade.

8O que uma fração representa

Em 3/5, o denominador 5 diz em quantas partes iguais a unidade foi dividida; o numerador 3 conta quantas dessas partes consideramos. “Iguais” exige a mesma medida, não necessariamente a mesma aparência. Antes de comparar pedaços, identifique o inteiro de referência. Metade de uma barra pequena pode ser menor que um terço de uma barra grande.

Uma fração também é um quociente: 3/5 = 3 ÷ 5. Pode representar uma medida ou agir sobre uma quantidade: 3/5 de 20 significa (3/5) · 20. Na definição de racional, numerador e denominador são inteiros, e o denominador é não nulo. Expressões como (1/2)/(3/4) também são válidas, mas são divisões entre frações e precisam ser calculadas como tal.

m+rb=mb+rbm+\frac rb=\frac{mb+r}{b}

m é inteiro não negativo, b inteiro positivo e r inteiro com 0 ≤ r < b. A escrita m r/b, sem sinal de operação, é uma convenção de número misto: m + r/b. Um sinal negativo antes do misto vale para o total: −(m + r/b). Nesta aula preferimos explicitar os parênteses.

Exemplo resolvido · Mais de uma unidade

Transforme 11/4 em número misto e interprete −(2 + 3/4).

Resolução

  1. Dividindo 11 por 4, obtemos duas unidades completas e restam três quartos: 11/4 = 2 + 3/4.
  2. O oposto de todo esse valor é −11/4, não −2 + 3/4. Os parênteses deixam claro o alcance do sinal.

11/4 = 2 + 3/4; −(2 + 3/4) = −11/4.

Para frações não negativas de denominador positivo, uma fração própria tem numerador menor que o denominador e valor menor que 1. Uma imprópria tem numerador maior ou igual ao denominador. Se o numerador é múltiplo do denominador, o valor é inteiro; essa fração também é chamada aparente. Não é obrigatório converter uma imprópria em número misto para calcular.

9Equivalência, sinais e simplificação

Dividir cada pedaço de uma unidade em três pedaços menores aumenta três vezes tanto a contagem tomada quanto a contagem total. A quantidade continua a mesma. Essa é a ideia de frações equivalentes. Algebricamente, multiplicamos a fração por k/k = 1, com k não nulo.

ab=akbk\frac ab=\frac{ak}{bk}

a, b e k são inteiros, b ≠ 0 e k ≠ 0. Multiplicar os dois termos pelo mesmo número não nulo preserva o valor. Para simplificar uma fração de inteiros por divisão, use um divisor comum não nulo e mantenha os quocientes inteiros. Não cancelar parcelas de uma soma.

2/34/6mesma quantidade
As barras têm o mesmo tamanho: 2/3 e 4/6 representam a mesma extensão. A subdivisão altera a contagem das partes, sem alterar a quantidade.

Exemplo resolvido · Simplificar até não haver divisor comum maior que um

Simplifique −18/30 e 42/(−56).

Resolução

  1. Em −18/30, dividimos os dois termos por 6: −3/5. Como 3 e 5 não têm divisor positivo comum maior que 1, a fração é irredutível.
  2. Em 42/(−56), levamos o sinal negativo para fora e dividimos 42 e 56 por 14, obtendo −3/4. A busca sistemática por divisores comuns será aprofundada em Divisibilidade.

−18/30 = −3/5; 42/(−56) = −3/4.

Temos (−a)/b = a/(−b) = −(a/b), enquanto (−a)/(−b) = a/b, com b não nulo. Simplificar não significa diminuir o valor: 18/30 e 3/5 são iguais. Cancelamento retira fatores comuns, não algarismos parecidos nem parcelas. Por exemplo, (6 + 4)/2 = 5, enquanto 6 + 4/2 = 8.

10Comparar frações e localizar partes

Frações com denominador positivo igual contam partes do mesmo tamanho: vence o maior numerador. Com numerador positivo igual, quanto maior o denominador, menor a parte, então menor a fração. Se ambos os termos mudam, reescreva com denominador comum ou use os produtos cruzados com as condições corretas.

ab<cd  ⟺  ad<bc\frac ab<\frac cd\iff ad<bc

a e c são inteiros e b e d são inteiros positivos. Multiplicar a desigualdade por bd > 0 preserva seu sentido. Para denominadores negativos, normalize os sinais antes. A igualdade corresponde a ad = bc.

Exemplo resolvido · Denominadores diferentes e números negativos

Compare 5/8 com 2/3 e depois −5/8 com −2/3.

Resolução

  1. Com denominadores positivos, 5 · 3 = 15 e 2 · 8 = 16. Como 15 < 16, temos 5/8 < 2/3.
  2. Tomar os opostos reflete a reta e inverte a ordem: −5/8 > −2/3. Não se aplica a regra dos produtos cruzados ignorando o sinal dos denominadores.

5/8 < 2/3; −5/8 > −2/3.

Para localizar 7/4 na reta, marque 1 e 2, divida esse intervalo em quatro partes iguais e avance três delas depois de 1, pois 7/4 = 1 + 3/4. Essa posição é 1,75. Comparar com referências como 0, 1/2 e 1 muitas vezes evita contas longas.

11Somar e subtrair frações

Não se somam diretamente contagens de partes de tamanhos diferentes. Primeiro expresse tudo numa mesma unidade fracionária. Um denominador comum pode ser o produto dos denominadores; não precisa ser o menor. O menor múltiplo comum costuma encurtar a conta e será desenvolvido em Divisibilidade.

ab±cd=ad±bcbd\begin{gathered}\frac ab\pm\frac cd=\frac{ad\pm bc}{bd}\end{gathered}

a, b, c e d são inteiros, b ≠ 0 e d ≠ 0. O sinal escolhido deve ser o mesmo nos dois membros. bd é um denominador comum possível; um múltiplo comum menor também pode ser usado. Com denominadores iguais, conserve o denominador e opere os numeradores.

1/2 = 3/61/3 = 2/61/2 + 1/3 = 5/6
Um meio equivale a três sextos; um terço equivale a dois sextos. Na soma, cinco das seis partes iguais são tomadas.

Exemplo resolvido · Unificar a unidade de contagem

Calcule 5/6 − 1/4.

Resolução

  1. O denominador 12 serve aos dois. Multiplicamos os dois termos de 5/6 por 2: (5 · 2)/(6 · 2) = 10/12. Multiplicamos os dois termos de 1/4 por 3: (1 · 3)/(4 · 3) = 3/12.
  2. Agora as partes têm o mesmo tamanho: 10/12 − 3/12 = (10 − 3)/12 = 7/12.
  3. O produto 24 também serviria: 20/24 − 6/24 = 14/24 = 7/12. As duas estratégias concordam.

5/6 − 1/4 = 7/12.

Exemplo resolvido · Sinais e inteiro na mesma soma

Calcule −2/3 + 5/6 − 1.

Resolução

  1. Escrevemos todos em sextos: −4/6 + 5/6 − 6/6.
  2. Somamos os numeradores com sinais: (−4 + 5 − 6)/6 = −5/6. O denominador não é somado, pois continua indicando o tamanho das partes.

−5/6.

Por que a fórmula funciona? Escreva a/b = ad/(bd) e c/d = bc/(bd), usando equivalência. Agora as duas contagens têm a mesma unidade 1/(bd), permitindo operar os numeradores. O mesmo raciocínio vale para a diferença.

12Multiplicar, dividir e calcular frações de quantidades

Multiplicar por uma fração positiva menor que 1 toma uma parte do valor. Dividir por ela pergunta quantas partes desse tamanho cabem no valor; por isso o quociente pode aumentar. A frase “multiplicar sempre aumenta e dividir sempre diminui” não vale em geral.

ab⋅cd=acbd\frac ab\cdot\frac cd=\frac{ac}{bd}

a, b, c e d são inteiros, b ≠ 0 e d ≠ 0. Pode-se simplificar fatores entre um numerador e um denominador antes de multiplicar. Para interpretar “fração de uma quantidade”, a quantidade e a unidade de referência precisam estar claras.

Para justificar o produto, pense em (a/b)(c/d) = ac/(bd): multiplicar o resultado por bd dá ac. No modelo de área, dividir um retângulo em b colunas e d linhas cria bd partes iguais; tomar a colunas e c linhas destaca ac delas, para contagens não negativas compatíveis com esse modelo. A identidade algébrica estende o cálculo aos sinais.

2/3 de 3/46/12 = 1/2
Dois terços de três quartos ocupam seis de doze células iguais: (2/3) · (3/4) = 6/12 = 1/2.

Exemplo resolvido · Uma parte da quantidade inicial

Quanto é 3/8 de 64 unidades? E quanto é 2/3 de 3/4 de uma unidade?

Resolução

  1. 3/8 de 64 = (3 · 64)/8 = 3 · 8 = 24 unidades. Dividir primeiro por 8 encurta a conta.
  2. No segundo caso, (2/3)(3/4) = 6/12 = 1/2 da unidade inicial. A parte é tomada da quantidade indicada, não de uma nova unidade inteira.

24 unidades; 1/2 da unidade inicial.

ab÷cd=ab⋅dc\frac ab\div\frac cd=\frac ab\cdot\frac dc

a, b, c e d são inteiros; b ≠ 0, d ≠ 0 e c ≠ 0. A fração divisora c/d precisa ser não nula. Inverte-se apenas o divisor e troca-se divisão por multiplicação. Fração complexa é uma divisão cujo numerador ou denominador contém frações.

O inverso de c/d não nulo é d/c, porque seu produto é 1. Para desfazer a multiplicação pelo divisor, multiplicamos por esse inverso. Esse é o motivo de conservar a primeira fração e inverter somente a segunda.

Exemplo resolvido · Quantos grupos cabem?

Calcule (3/4) ÷ (1/8) e (−5/6) ÷ (10/9).

Resolução

  1. O inverso de 1/8 é 8/1. Assim (3/4) ÷ (1/8) = (3/4) · (8/1) = (3 · 8)/(4 · 1) = 24/4 = 6. Em três quartos cabem seis oitavos; o quociente conta grupos, não 6 unidades da grandeza inicial.
  2. Na segunda divisão, invertemos somente 10/9: (−5/6) ÷ (10/9) = (−5/6) · (9/10) = (−5 · 9)/(6 · 10) = −45/60.
  3. Dividindo os dois termos por 15, (−45 ÷ 15)/(60 ÷ 15) = −3/4. Também seria possível simplificar fatores antes de multiplicar.

6 e −3/4.

Exemplo resolvido · Uma fração dentro de outra

Calcule (1/2 + 1/3)/(5/6).

Resolução

  1. A barra principal agrupa todo o numerador. Primeiro 1/2 + 1/3 = 5/6.
  2. Então (5/6) ÷ (5/6) = 1, pois o divisor é não nulo. Não se invertem separadamente as parcelas da soma.

1.

13Decimais e sua ligação com as frações

Depois da vírgula vêm décimos, centésimos, milésimos e assim por diante. Cada casa à direita vale a décima parte da anterior. Em 3,047, temos 3 unidades, nenhum décimo, 4 centésimos e 7 milésimos. Isso significa 3 + 4/100 + 7/1000. Para abreviar denominadores, usamos potências de dez: 10² significa 10 · 10 = 100 e 10³ significa 10 · 10 · 10 = 1000. Para n casas, 10ⁿ registra n fatores 10 quando n é positivo; sem casas decimais, o denominador é 1. O estudo geral de potências virá adiante.

x=A10nx=\frac{A}{10^n}

x é um decimal finito não negativo com n casas após a vírgula; n é inteiro não negativo e A é o inteiro formado retirando a vírgula. Para valor negativo, aplique o sinal ao total. Zeros acrescentados à direita da parte decimal não mudam o número.

Exemplo resolvido · Converter e comparar sem contar algarismos

Escreva 0,375 como fração irredutível e compare 0,8 com 0,75.

Resolução

  1. 0,375 = 375/1000. Dividindo os dois termos por 125, obtemos 3/8.
  2. 0,8 = 0,80 = 80/100, enquanto 0,75 = 75/100. Logo 0,8 > 0,75. Ter mais casas na escrita não significa ser maior.

0,375 = 3/8; 0,8 > 0,75.

Para comparar decimais não negativos, compare primeiro as partes inteiras e depois, em ordem, décimos, centésimos e as casas seguintes. Complete zeros finais quando ajudar: 2,4 = 2,400. Zeros internos não podem ser apagados: 2,04 é diferente de 2,4. Para negativos, compare os módulos e inverta a conclusão.

14Adição, subtração e produto de decimais

Na soma e na subtração, alinhe as vírgulas para reunir casas da mesma ordem. Complete zeros finais se necessário. As trocas são as mesmas do sistema decimal: dez centésimos viram um décimo; um inteiro pode ser decomposto em dez décimos. Não alinhe apenas o último algarismo da escrita.

Exemplo resolvido · Alinhar valores de mesma ordem

Calcule 12,7 + 0,86 e 5 − 2,38.

Resolução

  1. Na soma, escrevemos 12,7 = 12,70 e reunimos centésimos: 1270/100 + 86/100 = (1270 + 86)/100 = 1356/100 = 13,56.
  2. Na diferença, escrevemos 5 = 5,00. Em centésimos, 5,00 − 2,38 = (500 − 238)/100 = 262/100 = 2,62.

13,56 e 2,62.

A10m⋅B10n=AB10m+n\frac{A}{10^m}\cdot\frac{B}{10^n}=\frac{AB}{10^{m+n}}

A e B são inteiros e m e n são inteiros não negativos. Multiplique as partes inteiras e conte m + n casas decimais no resultado, completando zeros se necessário. A regra dos sinais permanece válida.

Exemplo resolvido · A posição da vírgula no produto

Calcule 1,2 · 0,35 e 0,04 · 0,2.

Resolução

  1. 1,2 = 12/10 e 0,35 = 35/100. Multiplicamos numeradores e denominadores: (12 · 35)/(10 · 100) = 420/1000 = 0,420 = 0,42. As três casas vêm de 1 + 2.
  2. 0,04 · 0,2 = (4/100)(2/10) = 8/1000 = 0,008. É necessário completar zeros à esquerda do 8 na parte decimal.

0,42 e 0,008.

Na conta armada de produtos inteiros, cada linha corresponde a uma ordem. Por exemplo, 23 · 14 = 23 · (10 + 4) = 230 + 92 = 322. No produto decimal, essa distributividade continua valendo; os denominadores em potências de dez explicam a posição final da vírgula.

15Divisão decimal e expansão de uma fração

Para dividir por decimal finito, transforme o divisor em inteiro multiplicando os dois números pela mesma potência de dez. O valor não muda, pois dividendo e divisor são multiplicados pelo mesmo fator não nulo. Em seguida, faça a divisão, continuando com casas decimais se houver resto.

a÷b=(10ka)÷(10kb)a\div b=(10^k a)\div(10^k b)

a e b são reais, b ≠ 0 e k é inteiro não negativo. Para divisor decimal finito, escolha k para torná-lo inteiro. Multiplique dividendo e divisor pelo mesmo fator; transformar somente o divisor muda o quociente.

Exemplo resolvido · Transformar os dois membros da divisão

Calcule 5,04 ÷ 0,12 e 3 ÷ 8.

Resolução

  1. Como 0,12 tem duas casas decimais, multiplicamos dividendo e divisor por 100: 5,04 · 100 = 504 e 0,12 · 100 = 12. Logo 5,04 ÷ 0,12 = 504 ÷ 12.
  2. Para calcular 504 ÷ 12, usamos 12 · 40 = 480; restam 504 − 480 = 24. Como 12 · 2 = 24, o quociente é 40 + 2 = 42. A conferência é 42 · 0,12 = 5,04.
  3. Em 3 ÷ 8, a parte inteira é zero, pois 3 < 8. Escrevemos 0 e a vírgula. Três unidades equivalem a 30 décimos; 8 · 3 = 24, então o primeiro algarismo decimal é 3 e restam 30 − 24 = 6 décimos.
  4. Os 6 décimos equivalem a 60 centésimos. Como 8 · 7 = 56, escrevemos 7 na casa dos centésimos e restam 60 − 56 = 4 centésimos.
  5. Os 4 centésimos equivalem a 40 milésimos. Como 8 · 5 = 40, escrevemos 5 na casa dos milésimos e não sobra nada. Portanto 3/8 = 0,375.

42 e 0,375.

Exemplo resolvido · Uma divisão que não termina

Desenvolva 2/3 em decimal.

Resolução

  1. 2 ÷ 3 tem parte inteira zero. Convertendo as 2 unidades em 20 décimos, usamos 3 · 6 = 18: escrevemos 6 na casa dos décimos e restam 20 − 18 = 2 décimos.
  2. Esses 2 décimos equivalem a 20 centésimos. Novamente 20 = 3 · 6 + 2: o próximo algarismo é 6 e restam 2 centésimos. A mesma troca ocorrerá nas casas seguintes.
  3. A mesma situação se repete indefinidamente: 2/3 = 0,666… A repetição é infinita; 0,666, com apenas três casas, é uma aproximação menor.

2/3=0,6‾2/3=0{,}\overline6, com o 6 repetido indefinidamente.

Uma fração de inteiros sempre tem decimal finito ou eventualmente periódico. Justificativa: na divisão pelo denominador positivo b, o resto inteiro só pode ser 0, 1, …, b − 1. Resto zero encerra a conta. Se não ocorrer, algum resto se repete; o mesmo resto determina as mesmas próximas casas, começando um período. Não é preciso que o período comece logo após a vírgula.

Um critério útil será demonstrado no núcleo de Divisibilidade: uma fração irredutível de denominador positivo tem decimal finito exatamente quando esse denominador só contém fatores primos 2 e 5, incluindo o denominador 1. Primo é um inteiro maior que 1 cujos únicos divisores positivos são 1 e ele próprio. Por exemplo, 1/40 = 0,025, pois 40 = 2³ · 5; já 1/6 = 0,1666… contém o primo 3 no denominador irredutível. Reduzir antes é indispensável: 3/6 = 1/2 tem decimal finito. A parte construtiva aparece ao completar fatores 2 e 5 até obter uma potência de dez; a necessidade será retomada com a fatoração em primos.

16Dízimas periódicas e fração geratriz

Período é o bloco que se repete infinitamente; a barra sobre os algarismos marca esse bloco. Na dízima simples, a repetição começa após a vírgula. Na composta, há antes uma parte que não se repete, o anteperíodo. A geratriz é uma fração que representa exatamente o número. Podemos obtê-la alinhando as caudas repetidas e subtraindo.

Exemplo resolvido · Cancelar uma cauda repetida

Encontre a geratriz de x=0,27‾x=0{,}\overline{27}.

Resolução

  1. O período tem duas casas. Multiplicar por 100 desloca um período inteiro: 100x = 27,272727…; a escrita original é x = 0,272727…
  2. Subtraímos a segunda igualdade da primeira: 100x − x = 27,272727… − 0,272727… . As partes decimais iguais se cancelam, restando (100 − 1)x = 27, isto é, 99x = 27.
  3. Dividimos os dois lados por 99: x = 27/99. Dividindo numerador e denominador por 9, obtemos (27 ÷ 9)/(99 ÷ 9) = 3/11.

0,27‾=3/110{,}\overline{27}=3/11.

Exemplo resolvido · Anteperíodo e período exigem deslocamentos distintos

Encontre a geratriz de x=1,23‾x=1{,}2\overline3.

Resolução

  1. O anteperíodo tem uma casa. Multiplicar x por 10 coloca o fim dessa parte antes da vírgula: 10x = 12,333… . Para deslocar também uma cópia do período de uma casa, multiplicamos x por 100: 100x = 123,333… .
  2. As caudas decimais agora são iguais. Subtraindo, 100x − 10x = 123,333… − 12,333… , de modo que (100 − 10)x = 123 − 12 e 90x = 111.
  3. Dividimos por 90: x = 111/90. Dividindo os dois termos por 3, obtemos 37/30. Uma calculadora que mostra poucas casas não substitui essa igualdade exata.

1,23‾=37/301{,}2\overline3=37/30.

x=A−B10s(10t−1)x=\frac{A-B}{10^s(10^t-1)}

x é não negativo e tem s algarismos de anteperíodo (s ≥ 0) e um período de t algarismos (t ≥ 1), ambos inteiros. A é o inteiro formado pela parte inteira, anteperíodo e uma cópia do período; B é o formado pela parte inteira e anteperíodo. Zeros nessas posições são preservados. A subtração de 10ˢ⁺ᵗx e 10ˢx alinha e cancela as caudas periódicas. Para dízima negativa, aplique o sinal depois.

Na fórmula geral, A e B são concatenações de algarismos, não produtos. Se o período é 07, ele tem duas casas e os zeros devem ser preservados na contagem. Por exemplo, 0,07‾0{,}0\overline7, com anteperíodo 0 e período 7, é 7/90; já 0,07‾0{,}\overline{07}, com período 07, é 7/99. A barra deixa claro o bloco repetido.

Exemplo resolvido · A igualdade 0,999… = 1

O número 0,9‾0{,}\overline9 é menor que 1?

Resolução

  1. A geratriz é 9/9 = 1. Cada truncamento finito, como 0,9 ou 0,99, é menor que 1, mas nenhum deles é a dízima infinita.
  2. A distância do truncamento com n noves até 1 é 1/10ⁿ e pode ficar menor que qualquer tolerância positiva. Não há um real positivo que seja a diferença entre 1 e a escrita infinita.

0,999… e 1 são duas escritas do mesmo real.

17Irracionais, aproximações e a raiz de dois

Um irracional não admite fração de inteiros de denominador não nulo. Sua expansão decimal é infinita e não se torna periódica. Não basta ver muitas casas diferentes na tela de uma calculadora para provar irracionalidade: a tela é finita. Precisamos de um argumento sobre o número exato. Na prova seguinte, p² significa p · p, o quadrado de p, e √2 é o número positivo cujo quadrado vale 2. Usaremos uma prova por contradição: supomos que existe uma fração desse tipo e mostramos que a suposição leva a condições incompatíveis.

Exemplo resolvido · Por que √2 não é racional?

Mostre que a raiz quadrada positiva de 2 não pode ser uma fração irredutível de inteiros.

Resolução

  1. Suponha √2 = p/q, com p e q inteiros positivos, sem divisor comum maior que 1. Elevando a igualdade ao quadrado, 2 = p²/q². Como q não é zero, podemos multiplicar os dois lados por q²: 2q² = p². Portanto p² é par.
  2. Se p fosse ímpar, poderíamos escrevê-lo como 2k + 1, com k inteiro. Pela distributividade, (2k + 1)² = (2k + 1)(2k + 1) = 4k² + 4k + 1 = 4k(k + 1) + 1. A primeira parte é par; somar 1 dá ímpar. Assim, um quadrado par não pode vir de um inteiro ímpar, e p tem de ser par.
  3. Escrevemos então p = 2r, com r inteiro. Substituindo em p² = 2q², temos (2r)² = 2q², isto é, 4r² = 2q². Dividir os dois lados por 2 dá 2r² = q².
  4. Logo q² também é par. Pelo mesmo argumento usado para p, q é par. Portanto p e q são ambos divisíveis por 2, contrariando a escolha de uma fração sem divisor comum maior que 1. A suposição racional é impossível.

√2 é irracional.

Todo decimal finito ou periódico é racional: o finito vira fração de potência de dez; o periódico tem a geratriz demonstrada. E todo racional tem uma dessas expansões pelo argumento dos restos. Assim, os reais de expansão infinita não eventualmente periódica são exatamente os irracionais. π é outro irracional; sua demonstração não cabe neste núcleo. Uma raiz nem sempre é irracional: √9 = 3 é natural.

Exemplo resolvido · Não transformar uma aproximação em igualdade

Compare √2 com 1,41 e 1,42.

Resolução

  1. Calculamos os quadrados: 1,41² = (141 · 141)/10 000 = 19 881/10 000 = 1,9881; 1,42² = (142 · 142)/10 000 = 20 164/10 000 = 2,0164.
  2. Assim 1,41² < 2 < 1,42². Entre números não negativos, comparar os quadrados preserva a ordem; por isso 1,41 < √2 < 1,42.
  3. 1,414 é uma aproximação decimal de √2, não seu valor exato. Podemos manter √2 em uma resposta exata e arredondar apenas quando o problema pedir.

1,41 < √2 < 1,42; √2 ≠ 1,414.

18Potências, sinais e expoentes inteiros

Uma potência abrevia um produto de fatores iguais. 3⁴ significa 3 · 3 · 3 · 3 = 81, e não 3 · 4. A base é o fator repetido e o expoente registra quantos fatores aparecem, quando é natural positivo. Agrupar a base negativa é essencial.

an=a⋅a⋯a⏟n fatoresa^n=\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{n\text{ fatores}}

a é real e n é inteiro positivo. a é a base e n é o expoente; não confundir com a·n. Base negativa deve ser agrupada entre parênteses. Expoente par dá resultado não negativo; expoente ímpar conserva o sinal da base.

aman=am+nam/an=am−n(am)n=amn\begin{gathered}a^m a^n=a^{m+n}\\a^m/a^n=a^{m-n}\\(a^m)^n=a^{mn}\end{gathered}

a é real não nulo, m e n são inteiros. Essas condições tornam todas as expressões definidas, inclusive para expoentes zero e negativos. Para base zero, potências com expoente positivo são zero; 0⁰ e expoente negativo de zero não são definidos nesta aula.

Exemplo resolvido · O sinal pertence à base?

Compare (−2)⁴, −2⁴ e (−2)³.

Resolução

  1. (−2)⁴ tem quatro fatores negativos: (−2)(−2)(−2)(−2) = 4 · 4 = 16. Em −2⁴, a potência atua apenas sobre 2: −(2 · 2 · 2 · 2) = −16.
  2. (−2)³ = (−2)(−2)(−2) = 4 · (−2) = −8. O sinal depende do agrupamento e da paridade do expoente, não apenas de aparecer um menos na expressão.

16, −16 e −8, respectivamente.

a0=1a−n=1an\begin{gathered}a^0=1\\a^{-n}=\frac1{a^n}\end{gathered}

a é real não nulo e n é inteiro positivo. A primeira identidade mantém a regra aⁿ/aⁿ = a⁰; a segunda representa o inverso de aⁿ. Expoente negativo não significa automaticamente resultado negativo.

Exemplo resolvido · Expoente negativo é inverso

Calcule 5⁰, 2⁻³ e (−2)⁻².

Resolução

  1. 5⁰ = 1, pois a base é não nula. 2⁻³ = 1/2³ = 1/8.
  2. (−2)⁻² = 1/(−2)² = 1/4, positivo. O expoente negativo não torna negativo o resultado. Zero elevado a zero ou a expoente negativo não é definido aqui.

1, 1/8 e 1/4.

As leis com expoentes positivos vêm de contar os fatores: no produto, juntam-se m e n fatores; numa potência de potência, há n grupos com m fatores. Para base não nula, os expoentes zero e negativos preservam essas identidades usando o inverso. Não se soma expoente em soma de potências: 2² + 2³ = 4 + 8 = 12, diferente de 2⁵.

19Potências de dez e notação científica

Multiplicar por 10 desloca o valor de cada algarismo uma ordem para a esquerda; dividir por 10, uma para a direita. Na escrita usual isso aparece como deslocamento da vírgula. As potências de dez permitem representar medidas muito grandes ou pequenas mantendo seus algarismos significativos.

x=c⋅10k,1≤∣c∣<10x=c\cdot10^k,\quad1\le|c|<10

x é real não nulo e k é inteiro. c conserva o sinal de x. Deslocar a vírgula para obter c exige compensar com uma potência de dez; expoente positivo representa ampliação, negativo representa divisão por potência de dez. Zero é escrito separadamente.

Exemplo resolvido · Compensar o deslocamento da vírgula

Escreva 4 800 000 e 0,00072 em notação científica.

Resolução

  1. Deslocamos a vírgula seis casas para escrever o coeficiente 4,8. Para conservar o valor, multiplicamos por 10⁶ = 1 000 000: 4,8 · 1 000 000 = 4 800 000. O coeficiente 4,8 está entre 1 e 10.
  2. 0,00072 = 7,2 · 10⁻⁴, porque 10⁻⁴ = 1/10 000. Um coeficiente como 72 na escrita 72 · 10⁻⁵ dá o mesmo valor, mas ainda não está na forma científica normalizada.

4,8 · 10⁶ e 7,2 · 10⁻⁴.

Em produtos, multiplique os coeficientes e some os expoentes de dez: (3 · 10⁴)(4 · 10⁻²) = (3 · 4) · 10⁴⁻² = 12 · 10². Para normalizar, escreva 12 = 1,2 · 10; então 12 · 10² = 1,2 · 10 · 10² = 1,2 · 10³. Em somas, compatibilize antes as potências: 2 · 10² = 0,2 · 10³, de modo que 3 · 10³ + 2 · 10² = (3 + 0,2) · 10³ = 3,2 · 10³.

20Raiz principal e soluções de uma potência

Extrair uma raiz pergunta qual número, elevado ao índice indicado, produz o radicando. Sem índice escrito, a raiz é quadrada. Nos reais, √a indica a raiz não negativa, quando a ≥ 0. A equação x² = a é uma pergunta diferente: ela procura todas as soluções possíveis.

a=r  ⟺  r≥0, r2=ab2=∣b∣\begin{gathered}\sqrt a=r\iff r\ge0,\ r^2=a\\\sqrt{b^2}=|b|\end{gathered}
a=r⇕r≥0, r2=ab2=∣b∣\begin{gathered}\sqrt a=r\\\Updownarrow\\r\ge0,\ r^2=a\\\sqrt{b^2}=|b|\end{gathered}

a é real não negativo e b é real. A raiz quadrada principal é única e não negativa. A equação x² = a tem duas soluções opostas se a > 0, apenas zero se a = 0 e nenhuma solução real se a < 0. Não se distribui raiz sobre soma em geral.

a3=r  ⟺  r3=a\sqrt[3]a=r\iff r^3=a

a é real e r é a única raiz cúbica real de a. Radicandos negativos são permitidos no índice ímpar: ∛(−8) = −2. Índices pares exigem radicando não negativo nos reais; o tratamento geral está em Potências e radicais, em Álgebra.

Exemplo resolvido · Uma raiz principal e duas soluções

Calcule √81 e √((−7)²). Resolva também x² = 81 nos reais.

Resolução

  1. √81 = 9, e não ±9: o símbolo indica a raiz principal. Como (−7)² = 49, sua raiz principal é 7, o módulo de −7.
  2. Já x² = 81 tem soluções x = 9 e x = −9, pois ambos os quadrados dão 81. A equação x² = −81 não tem solução real.

√81 = 9; √((−7)²) = 7; x² = 81 dá x = ±9.

Exemplo resolvido · Índice ímpar e estimativa de raiz

Calcule ∛(−125) e localize √30 entre inteiros consecutivos.

Resolução

  1. Como (−5)³ = −125, a raiz cúbica real é −5. Índice ímpar admite radicando negativo.
  2. Como 5² = 25 < 30 < 36 = 6² e as quantidades são não negativas, temos 5 < √30 < 6.

∛(−125) = −5; 5 < √30 < 6.

Para a e b não negativos, √(ab) = √a · √b: o produto do lado direito é não negativo e seu quadrado é ab, portanto é a raiz principal. Para b > 0 vale também √(a/b) = √a/√b, pelo mesmo raciocínio. Não há regra análoga para soma: √(9 + 16) = 5, enquanto √9 + √16 = 7. Simplificação e operações gerais com radicais são aprofundadas na aula Potências e radicais, em Álgebra.

21Expressões numéricas e ordem das operações

Uma expressão numérica registra um cálculo completo, e seu agrupamento faz parte da informação. Resolva agrupamentos de dentro para fora; dentro de cada grupo, calcule potências e raízes, depois multiplicações e divisões da esquerda para a direita, e por fim adições e subtrações da esquerda para a direita. Chaves e colchetes também agrupam. A barra de fração agrupa numerador e denominador; o traço do radical indica o que está dentro dele.

Exemplo resolvido · Prioridade e agrupamento

Calcule 18 − 2 · [3 + (5 − 7)²].

Resolução

  1. No parêntese, 5 − 7 = −2; seu quadrado é 4. No colchete, 3 + 4 = 7.
  2. A multiplicação vem antes da subtração externa: 18 − 2 · 7 = 18 − 14 = 4.

4.

Exemplo resolvido · A barra principal organiza a conta

Calcule 3/4−1/21/8+20\frac{3/4-1/2}{1/8}+2^0.

Resolução

  1. O numerador é 3/4 − 2/4 = 1/4. O denominador é 1/8, não nulo.
  2. A divisão é (1/4) ÷ (1/8) = 2, e 2⁰ = 1. Portanto o total é 3.

3.

A regra da esquerda para a direita não permite trocar uma expressão com agrupamento. Por exemplo, 10 − 3 − 2 = (10 − 3) − 2 = 5; já 10 − (3 − 2) = 9. Evite escritas ambíguas como 6/2(1 + 2): escreva uma fração com denominador completo ou indique explicitamente as operações. Em uma torre de potências, o agrupamento usual é pelo expoente: 2^(3²) = 512, diferente de (2³)² = 64; os parênteses tornam a intenção inequívoca.

22Arredondar, truncar e conferir a ordem de grandeza

Arredondar ao mais próximo troca um número por um valor da precisão pedida. Para n casas decimais, observe a casa seguinte: de 0 a 4, conserve; de 5 a 9, aumente uma unidade na última casa mantida, propagando as trocas necessárias. Nos empates exatos, adotamos afastar de zero; outras regras existem e o enunciado pode exigir uma específica. Para negativos, aplique a regra ao módulo e recoloque o sinal. O erro absoluto mede a distância entre o valor exato e a aproximação: |valor exato − aproximação|, sempre não negativa.

∣x−x~∣≤h2|x-\widetilde x|\le\frac h2

x é real, h > 0 é o passo entre valores consecutivos admitidos, e x̃ é um dos valores mais próximos de x. Para n casas decimais, h = 10⁻ⁿ, n inteiro não negativo. Nos empates, esta aula arredonda afastando de zero. Truncar é outro procedimento e não tem a mesma garantia h/2.

2,342,3452,352,3442,344 → 2,34
Na mesma escala, 2,345 é o ponto médio entre 2,34 e 2,35. Valores à esquerda dele ficam mais próximos de 2,34; à direita, de 2,35. No empate positivo, a convenção escolhe 2,35.

Exemplo resolvido · Arredondar não é cortar

Arredonde 7,286 e −7,286 para centésimos e compare com o truncamento.

Resolução

  1. A terceira casa é 6, então os arredondamentos ao centésimo são 7,29 e −7,29. O passo entre centésimos é h = 0,01; metade dele é h/2 = 0,005.
  2. Para o positivo, |7,286 − 7,29| = |−0,004| = 0,004. Para o negativo, |−7,286 − (−7,29)| = |0,004| = 0,004. Ambos os erros são menores que 0,005.
  3. Truncar para centésimos é apenas retirar as casas posteriores: 7,28 e −7,28. O erro é |7,286 − 7,28| = 0,006 para o positivo, e o mesmo módulo para o negativo. Como 0,006 > 0,005, o limite de meio centésimo vale para arredondamento ao mais próximo, não para truncamento.

Arredondamentos: ±7,29. Truncamentos correspondentes: ±7,28.

Exemplo resolvido · Uma troca pode alcançar a parte inteira

Arredonde 9,996 para centésimos e estime 19,8 · 4,9.

Resolução

  1. Em 9,996, a terceira casa é 6. Aumentar um centésimo em 9,99 produz 10,00. Os zeros indicam a precisão pedida.
  2. Para estimar o produto, 19,8 ≈ 20 e 4,9 ≈ 5, então esperamos algo próximo de 100. A conta exata pode usar 4,9 = 5 − 0,1: 19,8 · (5 − 0,1) = 99 − 1,98 = 97,02, compatível com a estimativa. Uma resposta 9,702 denunciaria erro na vírgula.

10,00; estimativa próxima de 100 e produto exato 97,02.

Se precisamos garantir um limite para um cálculo composto, arredondar cada etapa pode acumular erros; conserve valores exatos quando possível e arredonde ao final. Uma estimativa é uma conferência, não uma autorização para substituir igualdade por aproximação sem avisar.

23Escolher a operação e verificar o problema

Antes de calcular, identifique o que é dado, o que se pede, qual é a unidade e se o resultado deve ser inteiro. Expressões como “a mais”, “restante” ou “cada” só fazem sentido no contexto; não são comandos automáticos para uma operação. Faça uma estimativa, organize uma expressão, calcule e verifique a resposta na situação original.

Exemplo resolvido · Saldo e alcance do sinal

Uma conta tem saldo de 85,50 reais, recebe 24,75 reais e paga 137,20 reais. Qual é o saldo final?

Resolução

  1. A expressão é 85,50 + 24,75 − 137,20. Os recebimentos e o saldo inicial totalizam 110,25.
  2. A diferença é 110,25 − 137,20 = −26,95. O sinal negativo expressa dívida de 26,95 reais; não significa que a quantia de dinheiro devida tenha medida negativa.

Saldo final de −26,95 reais, uma dívida de 26,95 reais.

Exemplo resolvido · Fração do restante usa outra referência

Um reservatório tem 120 L. São retirados 1/3 do volume e, depois, 1/4 do que restou. Quanto permanece?

Resolução

  1. A primeira retirada é (1/3) · 120 = 40 L, restando 80 L.
  2. A segunda usa os 80 L como referência: (1/4) · 80 = 20 L. Permanecem 60 L. Também podemos calcular 120 · (2/3) · (3/4) = 60. Somar 1/3 e 1/4 do volume inicial daria outro problema.

Permanecem 60 L.

Exemplo resolvido · Quociente e objetos completos

Há 7,5 m de fita. Cada peça precisa de 0,8 m. Qual é o número máximo de peças completas que podem ser feitas e quanto sobra?

Resolução

  1. Multiplicamos os dois números por 10: 7,5 ÷ 0,8 = 75 ÷ 8. Como 8 · 9 = 72 e 75 − 72 = 3, o quociente é 9 + 3/8 = 9 + 0,375 = 9,375. Esse número não significa que cabem dez peças completas: o contexto exige uma contagem inteira.
  2. Nove peças usam 9 · 0,8 = 7,2 m e sobram 0,3 m, menos do que os 0,8 m de outra peça. Dez precisariam de 8 m, acima do disponível.

9 peças completas e sobra de 0,3 m.

24Agora é com você

Leia as condições e a unidade antes de calcular. Nas discursivas, registre o agrupamento, a equivalência ou a estimativa que sustenta a conta. Compare sua resolução com a comentada e procure o motivo de cada regra, além do resultado.

Questão 1 de 480 conferidas

Fixação · Objetiva

Qual é o valor do algarismo 6 em 30 604?

Escolha uma alternativa

25O que levar desta aula

  • Algarismo é símbolo; número é o valor representado. O sistema decimal é posicional, com trocas de dez em dez e zero preservando ordens.
  • Pertinência relaciona elemento e conjunto; inclusão relaciona conjuntos. União reúne, interseção mantém o comum e diferença depende da ordem. Complemento exige universo.
  • Adotamos naturais com zero. Naturais estão nos inteiros, que estão nos racionais, contidos nos reais. Uma fração pode ter valor inteiro; classificação depende do valor.
  • Racional é fração de inteiros com denominador não nulo. Irracionais são os demais reais; não são números “sem valor exato”, apenas sem essa representação fracionária.
  • A reta usa escala uniforme. Maior significa mais à direita; módulo é distância ao zero e |a − b| mede a distância entre pontos.
  • Comutatividade e associatividade valem para somas e produtos. Distributividade conecta as duas operações. Subtração e divisão não herdam essas propriedades em geral.
  • Subtrair é somar o oposto. A soma de dois negativos é negativa; o produto de dois negativos é positivo. Identifique a operação e o alcance dos sinais.
  • Dividir exige divisor não nulo. Zero dividido por não zero vale zero; nenhuma divisão por zero é definida.
  • Frações equivalentes mantêm a mesma quantidade. Simplifique fatores comuns não nulos e preserve o sinal; não cancele parcelas nem algarismos.
  • Para comparar frações por produtos cruzados, normalize denominadores positivos. Para somar e subtrair, use uma mesma unidade fracionária.
  • No produto de frações, multiplique numeradores e denominadores; na divisão, multiplique pelo inverso do divisor não nulo. Fração do restante muda a referência.
  • Decimais finitos são frações de potência de dez. Na soma, alinhe ordens; no produto, conte as casas pelos denominadores; na divisão, transforme os dois números pelo mesmo fator.
  • Racionais têm expansão finita ou eventualmente periódica. Dízima tem repetição infinita; geratriz representa seu valor exato, não um truncamento.
  • Irracionais têm decimal infinito não eventualmente periódico. Muitas casas de uma tela não provam irracionalidade; √2 tem uma prova por contradição.
  • Potência registra fatores repetidos. Base negativa exige agrupamento; expoente negativo indica inverso, e base zero não admite expoente zero ou negativo nesta aula.
  • Notação científica usa coeficiente de módulo entre 1 e 10, com expoente inteiro. Compense o deslocamento da vírgula e normalize o resultado.
  • Raiz quadrada principal é não negativa; resolver x² = a pede todas as soluções reais. √(b²) = |b|. Não distribua raiz sobre soma.
  • Agrupamentos, potências e raízes vêm antes de produtos e quocientes; depois vêm somas e diferenças. Operações de mesma prioridade seguem da esquerda para a direita.
  • Arredondar ao mais próximo e truncar são procedimentos diferentes. Declare a convenção de empate e a precisão; uma aproximação não é igualdade exata.
  • Interprete unidades, referência da fração, sinais e necessidade de inteiros. Estime antes e confira o resultado na condição original.

Esta aula amplia a base construída em As quatro operações. O próximo núcleo planejado é Divisibilidade: múltiplos, divisores, primos, divisão com resto, MMC e MDC. Depois vêm proporcionalidade e regra de três, porcentagem e grandezas e medidas. As aulas de Álgebra continuam disponíveis para aprofundar potências, radicais e linguagem algébrica.

Seu progresso fica apenas neste navegador.

O que vamos estudar?

    Use Tab para navegar pelos resultados e Esc para fechar.