Fórmulas de Matemática Básica

U significa unidade, D dezena, C centena e UM unidade de milhar. Cada troca conserva a quantidade total. Na conta armada, alinhe algarismos de mesma ordem; um espaço sem algarismo de uma ordem ausente representa zero.

a e b são números naturais (0, 1, 2, …), chamados parcelas, e s é a soma. As letras apenas nomeiam os números de uma conta. Somar zero não altera a quantidade. A soma de naturais é natural.

a, b e d são naturais e a ≥ b: a é o minuendo, b é o subtraendo e d é a diferença. A diferença mais o subtraendo reconstrói o minuendo. Se a < b, a diferença não é natural; os números negativos serão estudados na aula seguinte.

a e b são naturais. Trocar a ordem preserva a soma e o produto. Subtração e divisão não permitem essa troca em geral. Os casos numéricos ilustram as propriedades; o agrupamento das quantidades e das fileiras explica sua validade.

a é natural positivo e b é natural. a conta os grupos; b conta as unidades em cada grupo. Os dois números são fatores e o resultado é o produto. Com zero grupos, o total é zero; a repetição de parcelas acima é escrita somente para a ≥ 1.

a é natural. Grupos com zero unidades não contêm unidade alguma. Um grupo de a unidades ou a grupos de uma unidade totalizam a. Não confundir o neutro da soma, zero, com o neutro do produto, um.

a, b e c são naturais. Multiplicar a soma b + c equivale a multiplicar suas duas partes por a e reunir os produtos. ab significa a·b. A propriedade explica os produtos parciais da conta armada, inclusive a multiplicação por dezenas.

a e q são naturais e b é natural positivo. a é o dividendo, b o divisor e q o quociente. A equivalência descreve a divisão exata em naturais, com resto zero. O divisor não pode ser zero.

a, q e r são naturais e b é natural positivo. q é o número de grupos completos; r é o resto. A condição r < b impede deixar no resto uma quantidade suficiente para formar outro grupo completo. Para esses dados, q e r são únicos.

b é natural positivo: zero unidades repartidas em um número positivo de grupos deixam zero por grupo. Dividir por zero não é definido: com dividendo positivo é impossível reconstruí-lo por um produto com zero; com dividendo zero não há quociente único.

Nesta escrita de um natural de três algarismos, a é de 1 a 9 e b e c são de 0 a 9. A barra indica a sequência dos algarismos, não um produto. Cada posição à esquerda vale dez vezes a anterior; zeros conservam posições.

Adotamos ℕ = {0, 1, 2, …} e ℕ* = {1, 2, …}. ℤ contém os inteiros positivos, negativos e zero; ℚ contém as frações de inteiros de denominador não nulo. As inclusões são próprias. Um número pode pertencer a vários desses conjuntos.

p é o numerador e q é o denominador. Podemos escolher q positivo mudando os dois sinais. Todo inteiro é racional porque n = n/1. O denominador jamais pode ser zero.

𝕀 representa aqui os irracionais: reais que não podem ser escritos como fração de inteiros com denominador não nulo. União reúne elementos; interseção exige pertencer aos dois conjuntos. Nenhum real é simultaneamente racional e irracional.

A e B são conjuntos de um universo declarado. “Ou” é inclusivo: aceita pertencer a ambos. A diferença A ∖ B, lida “A menos B”, retira de A os elementos que também pertencem a B. O símbolo ∖ indica diferença de conjuntos. Em geral A ∖ B é diferente de B ∖ A.

a é real. |a| é sempre não negativo; vale zero apenas para a = 0. Números opostos a e −a têm o mesmo módulo. Entre negativos, o de maior módulo é o menor número.

a e b são reais na mesma escala e unidade. A distância é não negativa e não depende da ordem dos pontos. Não confundir a posição assinada de um ponto com uma distância.

a e b são reais. O oposto de b é o único número que somado a b dá zero. A regra vale para inteiros, frações e decimais. O sinal de operação e o sinal de um número têm funções diferentes.

a e b são reais; as identidades valem inclusive com zero. A descrição “sinais iguais, produto positivo” exige fatores não nulos. Para divisão, aplica-se o mesmo padrão com divisor não nulo.

a, b e c são reais. A primeira linha expressa comutatividade; as duas seguintes, associatividade; a última, distributividade. Subtração e divisão não são comutativas nem associativas em geral. Zero é neutro da adição; um é neutro da multiplicação.

a e b são reais, b ≠ 0. O quociente é o único número c com bc = a. Se a = 0, o quociente é zero. Se b = 0 e a ≠ 0 não há tal c; se a = b = 0 não há c único. Por isso nenhuma divisão por zero é definida.

a, b e k são inteiros, b ≠ 0 e k ≠ 0. Multiplicar os dois termos pelo mesmo número não nulo preserva o valor. Para simplificar uma fração de inteiros por divisão, use um divisor comum não nulo e mantenha os quocientes inteiros. Não cancelar parcelas de uma soma.

a e c são inteiros e b e d são inteiros positivos. Multiplicar a desigualdade por bd > 0 preserva seu sentido. Para denominadores negativos, normalize os sinais antes. A igualdade corresponde a ad = bc.

a, b, c e d são inteiros, b ≠ 0 e d ≠ 0. O sinal escolhido deve ser o mesmo nos dois membros. bd é um denominador comum possível; um múltiplo comum menor também pode ser usado. Com denominadores iguais, conserve o denominador e opere os numeradores.

a, b, c e d são inteiros, b ≠ 0 e d ≠ 0. Pode-se simplificar fatores entre um numerador e um denominador antes de multiplicar. Para interpretar “fração de uma quantidade”, a quantidade e a unidade de referência precisam estar claras.

a, b, c e d são inteiros; b ≠ 0, d ≠ 0 e c ≠ 0. A fração divisora c/d precisa ser não nula. Inverte-se apenas o divisor e troca-se divisão por multiplicação. Fração complexa é uma divisão cujo numerador ou denominador contém frações.

m é inteiro não negativo, b inteiro positivo e r inteiro com 0 ≤ r < b. A escrita m r/b, sem sinal de operação, é uma convenção de número misto: m + r/b. Um sinal negativo antes do misto vale para o total: −(m + r/b). Nesta aula preferimos explicitar os parênteses.

x é um decimal finito não negativo com n casas após a vírgula; n é inteiro não negativo e A é o inteiro formado retirando a vírgula. Para valor negativo, aplique o sinal ao total. Zeros acrescentados à direita da parte decimal não mudam o número.

A e B são inteiros e m e n são inteiros não negativos. Multiplique as partes inteiras e conte m + n casas decimais no resultado, completando zeros se necessário. A regra dos sinais permanece válida.

a e b são reais, b ≠ 0 e k é inteiro não negativo. Para divisor decimal finito, escolha k para torná-lo inteiro. Multiplique dividendo e divisor pelo mesmo fator; transformar somente o divisor muda o quociente.

x é não negativo e tem s algarismos de anteperíodo (s ≥ 0) e um período de t algarismos (t ≥ 1), ambos inteiros. A é o inteiro formado pela parte inteira, anteperíodo e uma cópia do período; B é o formado pela parte inteira e anteperíodo. Zeros nessas posições são preservados. A subtração de 10ˢ⁺ᵗx e 10ˢx alinha e cancela as caudas periódicas. Para dízima negativa, aplique o sinal depois.

a é real e n é inteiro positivo. a é a base e n é o expoente; não confundir com a·n. Base negativa deve ser agrupada entre parênteses. Expoente par dá resultado não negativo; expoente ímpar conserva o sinal da base.

a é real não nulo, m e n são inteiros. Essas condições tornam todas as expressões definidas, inclusive para expoentes zero e negativos. Para base zero, potências com expoente positivo são zero; 0⁰ e expoente negativo de zero não são definidos nesta aula.

a é real não nulo e n é inteiro positivo. A primeira identidade mantém a regra aⁿ/aⁿ = a⁰; a segunda representa o inverso de aⁿ. Expoente negativo não significa automaticamente resultado negativo.

x é real não nulo e k é inteiro. c conserva o sinal de x. Deslocar a vírgula para obter c exige compensar com uma potência de dez; expoente positivo representa ampliação, negativo representa divisão por potência de dez. Zero é escrito separadamente.

a é real não negativo e b é real. A raiz quadrada principal é única e não negativa. A equação x² = a tem duas soluções opostas se a > 0, apenas zero se a = 0 e nenhuma solução real se a < 0. Não se distribui raiz sobre soma em geral.

a é real e r é a única raiz cúbica real de a. Radicandos negativos são permitidos no índice ímpar: ∛(−8) = −2. Índices pares exigem radicando não negativo nos reais; o tratamento geral está em Potências e radicais, em Álgebra.

x é real, h > 0 é o passo entre valores consecutivos admitidos, e x̃ é um dos valores mais próximos de x. Para n casas decimais, h = 10⁻ⁿ, n inteiro não negativo. Nos empates, esta aula arredonda afastando de zero. Truncar é outro procedimento e não tem a mesma garantia h/2.

a é natural, b é natural positivo, e q e r são os únicos naturais que satisfazem as duas condições. q é o quociente inteiro; r é o resto. O resto zero identifica a divisão exata. Se a < b, q = 0 e r = a.

d é inteiro positivo e n é inteiro. A barra vertical lê-se “divide” e não representa uma fração. Se n é natural, o fator k também é natural. Todo inteiro positivo divide zero, pois 0 = d·0. Nesta aula os divisores considerados são positivos; zero não é admitido como divisor.

a é natural. M(a) reúne os produtos a·k com k natural, inclusive zero. Se a > 0, a lista cresce indefinidamente; se a = 0, M(0) = {0}. Para a positivo, ser múltiplo de a equivale a ser divisível por a.

d é inteiro positivo e x, y, k são inteiros. As conclusões seguem de x = du e y = dv. A diferença pode ser negativa; isso não altera a divisibilidade pelo seu módulo. A recíproca sobre as parcelas é falsa: uma soma divisível não obriga cada parcela a ser divisível.

N e q são naturais, k é inteiro positivo, 0 ≤ t < 10ᵏ e d é inteiro positivo que divide 10ᵏ. t é o bloco das últimas k casas, completado com zeros à esquerda quando necessário. O critério vale porque 10ᵏq já é múltiplo de d.

N é natural escrito em base dez e S é a soma de seus algarismos. N − S é múltiplo de 9, pois cada 10ᵏ − 1, k ≥ 1, é múltiplo de 9. O teste pode ser repetido na soma; divisibilidade por 3 não implica divisibilidade por 9.

N é natural em base dez. A é a soma alternada dos algarismos, começando das unidades com sinal positivo e alternando os sinais. Pode-se trocar todos os sinais ou testar |A|. Cada 10ᵏ − (−1)ᵏ é múltiplo de 11, portanto N − A também é. Os restos euclidianos continuam entre 0 e 10. Zero também é múltiplo de 11.

N e q são naturais e r é o algarismo das unidades, de 0 a 9. Retire a unidade e subtraia o dobro dela do número restante. O resultado pode ser negativo; teste seu módulo. As identidades q − 2r = 21q − 2N e N = 10(q − 2r) + 21r provam os dois sentidos usando somas e diferenças de múltiplos de 7.

N é inteiro. Os fatores 2 e 3 não têm divisor positivo comum além de 1. Assim testar ambos garante o produto 6. Isso não autoriza multiplicar quaisquer dois testes: divisibilidade por 4 e por 6 garante 12, mas não necessariamente 24.

p é natural com p ≥ 2 e D(p) é seu conjunto de divisores positivos. Um primo tem exatamente dois divisores positivos. Um natural maior que 1 que não é primo é composto. Um e zero não são primos nem compostos; 2 é o único primo par.

n é natural com n ≥ 2. Se n = ab é composto, com a e b maiores que 1, ao menos um fator é ≤ √n; esse fator possui algum divisor primo não maior que ele. Basta testar os primos até esse limite, incluindo a igualdade. Não basta testar só 2, 3 e 5 para números arbitrários.

n é natural maior que 1; p₁, …, pₛ são primos positivos distintos, s ≥ 1, e cada αⱼ é inteiro positivo. A decomposição existe e é única, a menos da ordem dos fatores. O símbolo ∏ significa multiplicar todos os fatores indicados. O número 1 é tratado separadamente e zero não tem essa fatoração finita.

n > 1 tem fatoração n = p₁^α₁ · … · pₛ^αₛ, com primos distintos e αⱼ ≥ 1. Um divisor escolhe o expoente de cada primo de 0 até αⱼ. As escolhas são independentes e únicas; τ conta somente divisores positivos. Para n = 1, τ(1) = 1. Zero tem infinitos divisores positivos e não entra nessa fórmula.

n é natural positivo. Na fatoração, o número de divisores é ímpar exatamente quando todos os expoentes são pares, isto é, quando n é quadrado perfeito. O caso n = 1 também satisfaz a afirmação. A contagem não inclui divisores negativos.

a e b são naturais, não ambos zero. D(a) e D(b) contêm divisores positivos; a interseção reúne os comuns e max escolhe o maior. Se a > 0, mdc(a,0) = a. mdc(0,0) não é definido aqui, porque seus divisores positivos comuns não têm maior elemento.

a e b são naturais positivos, ao menos um maior que 1. Use a mesma lista dos primos presentes em qualquer um dos números, atribuindo expoente zero ao primo ausente. O divisor comum não pode ultrapassar nenhum dos dois expoentes. Para a = b = 1, o MDC é 1.

a, q e r são naturais e b é natural positivo. Um número divide a e b exatamente quando divide b e r = a − bq. As divisões sucessivas conservam o MDC e terminam porque os restos positivos diminuem. Ao chegar a resto zero, o divisor dessa última divisão é o MDC.

a e b são naturais positivos; m é o menor número positivo divisível por ambos. Excluir zero é essencial, pois zero é múltiplo comum de todos os positivos. O produto ab garante a existência de algum múltiplo comum positivo. Nesta aula usamos essa definição para argumentos positivos; com zero não há múltiplo comum positivo.

a e b são naturais positivos, ao menos um maior que 1. Use todos os primos presentes e atribua expoente zero aos ausentes. Um múltiplo comum precisa conter pelo menos o maior dos expoentes de cada primo; escolhê-los exatamente assim dá o menor. Para a = b = 1, o MMC é 1.

a e b são naturais positivos. Para cada primo, mínimo e máximo dos dois expoentes somam os expoentes originais. A identidade vale para dois números; o produto do MDC e do MMC de três números não é, em geral, o produto deles.

a e b são naturais positivos. Serem primos entre si significa não terem divisor positivo comum além de 1; não exige que cada um seja primo. Para N inteiro, se a e b são primos entre si, ser divisível por ambos equivale a ser divisível por ab.

a, b e c são naturais positivos. Um divisor comum de a e b divide seu MDC; um múltiplo comum de a e b é múltiplo de seu MMC, como mostram os expoentes. Isso permite reunir os números dois a dois sem perder as condições. As regras de expoentes mínimos e máximos também se estendem à lista inteira.

p é inteiro e q é inteiro positivo. g é positivo e os dois quocientes são inteiros. A fração resultante é irredutível porque os expoentes primos comuns foram retirados ao máximo. Se p = 0, g = q e a forma reduzida é 0/1.

p/q está irredutível, p é inteiro e q é inteiro positivo; u e v são inteiros não negativos. Denominador 1 corresponde a u = v = 0 e inclui inteiros e 0/1. Um primo diferente de 2 e 5 no denominador reduzido impede a expansão finita. Reduza antes de aplicar o critério.

a e b são naturais, d é natural positivo e 0 ≤ r,s < d. Essas identidades mostram que a+b e r+s deixam o mesmo resto por d; ab e rs também. Se r+s ou rs forem maiores ou iguais a d, divida novamente: esses valores ainda não são necessariamente restos válidos.

R_d(x) significa o resto da divisão de x por d. a é natural positivo, d ≥ 2 e t ≥ 1 são inteiros; k e s são naturais. A hipótese de resto 1 para aᵗ precisa ser verificada; ela não vale para quaisquer a, d e t. A identidade segue de aⁿ = (aᵗ)ᵏaˢ e da regra de restos do produto.

a e b são inteiros positivos. Os coeficientes u e v podem ser negativos ou zero. Substituir de volta os restos do algoritmo de Euclides produz uma combinação dos dois números em cada etapa. O enunciado é a identidade de Bézout, desenvolvida no aprofundamento após os métodos básicos.

a e b são inteiros positivos e c é inteiro. Pela identidade de Bézout, existem u e v com au + bv = 1. Multiplicar por c mostra que c é soma de dois múltiplos de a. Para um primo p, se p divide xy, então divide x ou y; não é necessário que divida os dois.

a e b são reais, com b ≠ 0. a é o antecedente e b o consequente. A ordem é parte da informação. Para comparar medidas da mesma grandeza, use a mesma unidade; em taxas entre grandezas diferentes, conserve a unidade composta. Nos problemas desta aula, as medidas são não negativas e os denominadores, positivos.

a, b e t são reais, b ≠ 0 e t ≠ 0. Multiplique ou divida ambos os termos pelo mesmo fator não nulo. Somar a mesma quantidade aos dois termos não conserva a razão em geral.

A e B são medidas positivas de duas partes sem sobreposição que formam o total; m e n são pesos positivos. Escreva A = tm e B = tn, com t > 0. A razão parte-parte m/n difere da razão parte-total m/(m+n).

Q é a quantidade acumulada e n > 0 é a medida de referência. O quociente tem unidade de Q por unidade de n. A identidade vale para esse par; usar o mesmo r em outros pares exige taxa constante no modelo, sem parcela fixa ou outra mudança nas condições.

A distância percorrida é não negativa e o tempo total é positivo, incluindo as paradas do intervalo considerado. Distância em km e tempo em horas dão km/h. Usamos a expressão escolar velocidade média escalar para essa razão; não se trata do vetor deslocamento dividido pelo tempo.

P é a população e A > 0 a área de referência; a unidade pode ser habitante/km². m é a massa e V > 0 o volume; ρ, letra grega rô, é a densidade média de massa, por exemplo em g/cm³. Não confunda uma média com uniformidade local.

a, b, c e d são reais, b ≠ 0 e d ≠ 0. A multiplicação pelos denominadores prova a ida; a divisão por bd, não nulo, prova a volta. Na escrita a:b = c:d, a e d são os extremos; b e c, os meios. A igualdade de produtos não legitima frações com denominador zero.

a, b, c e d são reais não nulos e a proporção inicial é verdadeira. É preciso que os novos denominadores a e c também não sejam zero. Inverter só um lado não é, em geral, uma transformação equivalente.

a, b, c e d são reais, b, c e d são não nulos, e a proporção inicial vale. As duas igualdades expressam o mesmo produto ad = bc. A troca exige verificar os novos denominadores.

a, b, c, d e k são reais; b e d são não nulos. A linha da soma exige b+d ≠ 0 e a da diferença exige b−d ≠ 0. De a = kb e c = kd vem a±c = k(b±d). Cada conclusão só vale quando seu próprio denominador é permitido.

a, b e k são reais, b ≠ 0 e a/b = k. Somar ou retirar o denominador no numerador soma ou subtrai uma unidade na razão. Se a−b ≠ 0, também (a+b)/(a−b) = (k+1)/(k−1); não se divide por k−1 quando k = 1.

No uso desta fórmula, a, b e c são positivos e x é a quarta proporcional positiva. Em reais gerais, a ≠ 0 e b ≠ 0 permitem calcular x = bc/a, mas é preciso verificar x ≠ 0 na proporção original. Se a = 0, não use esta fórmula; analise a igualdade e seus denominadores.

a e b são positivos; x é a terceira proporcional positiva, pois os dois meios coincidem. Decorre de ax = b². Essa definição não é a média geométrica entre a e b.

a, b e g são positivos. Da proporção vem g² = ab, e a condição positiva escolhe a raiz principal. A média geométrica não é, em geral, a média aritmética (a+b)/2. Se fossem admitidos g reais não nulos, a equação também teria a raiz negativa.

No modelo de medidas positivas, k > 0 é constante, x₁,x₂ > 0 e yᵢ = kxᵢ. O quociente y/x permanece k e multiplicar x por um fator positivo multiplica y pelo mesmo fator. Se x = 0 for admitido, y = 0; a expressão y/x não é usada nesse ponto.

x e y são positivos e k > 0 é constante. O produto é fixo: multiplicar x por um fator positivo divide y pelo mesmo fator. Os valores x₁ e x₂ são positivos. O modelo não admite x = 0 e não é caracterizado apenas por uma grandeza subir e a outra descer.

L_d e L_r são comprimentos correspondentes positivos, escritos na mesma unidade. E é adimensional; numa escala 1:N, N > 0. Para N > 1 há redução, N = 1 tamanho real e 0 < N < 1 ampliação. Escalas como 2:1 também representam ampliação. Redimensionar a impressão altera a escala numérica.

k > 0 é o fator comum de todos os comprimentos correspondentes de figuras ou sólidos semelhantes. As medidas comparadas usam unidades compatíveis. A área tem dois fatores lineares e o volume, três; não aplique a escala linear diretamente a área ou volume. Dimensões que não mudam pelo mesmo fator não satisfazem esta hipótese.

x₁, x₂ e y₁ são positivos, a relação y = kx tem a mesma constante nas duas situações e y₂ é a quantidade procurada. Mantêm-se as demais condições que determinam k. A fórmula vem da igualdade y₂/y₁ = x₂/x₁.

Os dados são positivos e x₁y₁ = x₂y₂ descreve um produto constante. As demais condições do modelo permanecem fixas. Inverte-se o fator de variação de x em relação ao caso direto; não se inverte uma fração apenas por uma seta sem interpretar a relação.

T > 0 é o total, n ≥ 2 é inteiro e aᵢ > 0 são os pesos, para i = 1,…,n. Cada xᵢ/aᵢ = T/S e a soma das partes é T. Em contagens indivisíveis, as partes ainda precisam ser inteiras; se isso falhar, a razão exata e o total não podem ser preservados simultaneamente.

T > 0, n ≥ 2 inteiro e todos os pesos aᵢ > 0. Então aᵢxᵢ = T/H para todo i. Divisão inversa equivale à divisão direta pelos recíprocos. Peso zero não é permitido e a inteireza precisa ser conferida quando as partes são indivisíveis.

T > 0, n ≥ 2 inteiro e aᵢ,bᵢ > 0. Use aᵢbᵢ se a parte é diretamente proporcional aos dois critérios, e aᵢ/bᵢ se é direta ao primeiro e inversa ao segundo. A regra de distribuição deve estar definida no problema; não é uma afirmação universal de justiça ou rendimento.

Q é a produção, p > 0 a produção de uma unidade de trabalho por hora, n > 0 a quantidade de unidades equivalentes, h > 0 as horas por dia e d > 0 os dias. Supõem-se taxas constantes e aditivas, trabalho divisível e ausência de interferência ou restrição adicional. As unidades de p devem ser coerentes com Q, n, h e d.

Todos os valores são positivos e as duas situações obedecem Q = pnhd. O tempo cresce diretamente com Q e inversamente com p, n e h, mantendo os demais fixos em cada comparação. A fórmula resulta de d = Q/(pnh); não vale sem essas hipóteses.

t₁ e t₂ são os tempos positivos para cada agente realizar sozinho o mesmo trabalho completo; a taxa é medida em trabalhos por unidade de tempo. As taxas são constantes e aditivas. Uma retirada é subtraída; o tempo de conclusão só existe nesse modelo se a taxa líquida for positiva. Somar tempos ou tirar sua média não soma capacidades.

q₁,q₂ > 0 são quantidades da mesma grandeza em unidades iguais e r₁,r₂ são taxas por essa unidade, com numeradores aditivos. A média considera o peso de cada quantidade. A média aritmética simples só coincide em geral quando q₁ = q₂; volumes de misturas só podem ser somados se isso for hipótese válida do modelo.

Os dois trechos têm a mesma distância positiva, velocidades escalares constantes v₁,v₂ > 0 e não há paradas fora dos tempos calculados. A expressão é distância total dividida por tempo total. Para tempos iguais, a média seria (v₁+v₂)/2; para distâncias diferentes, use a razão entre os totais.

p é o número escrito antes de %, e r é a mesma taxa em forma decimal ou fracionária. Por exemplo, p = 15 corresponde a r = 0,15. A igualdade vale para p real; nos cálculos de partes não negativas, p ≥ 0. Uma parte contida no todo tem p entre 0 e 100; comparações e aumentos podem ultrapassar 100.

a e b são reais, b ≠ 0. p é o número da escrita p%, não a taxa r. Multiplicar r por 100 encontra p; acrescentar % a r sem essa conversão mudaria seu valor. Taxas periódicas podem ser mantidas como fração ou aproximadas com indicação de precisão.

B ≥ 0 é a base de referência, A é a quantidade correspondente e r = p/100 ≥ 0. A e B têm a mesma unidade. Para uma parte contida no todo, 0 ≤ r ≤ 1. Não divida por 100 novamente se r já estiver em forma decimal.

B > 0 é a referência e A ≥ 0 a quantidade comparada. p% é a escrita percentual. Se B = 0, a razão A/B é indefinida; A = 0 e B = 0 não determinam uma taxa única. A quantidade A pode superar B em comparações, produzindo p > 100.

A ≥ 0, r > 0 e p = 100r. A base deve ser compatível com o contexto. Para r = 0, não se divide: se A = 0, qualquer base não negativa satisfaz A = rB; se A > 0, não há solução com taxa zero.

B ≥ 0 e 0 ≤ r ≤ 1. A e seu complemento são partes sem sobreposição que juntas formam B. O percentual do complemento é 100−p quando a parte tem p%. A regra exige a mesma base e uma divisão completa do todo.

B ≥ 0 é a base inicial e r,s ≥ 0 são taxas em forma decimal. Para subgrupos contidos uns nos outros, r e s estão entre 0 e 1. A segunda taxa se refere a A; o percentual de C sobre B é 100sr. Não se supõe independência nem se multiplicam porcentagens de grupos sem essa relação declarada.

V₀ ≥ 0 é o valor inicial, r = p/100 ≥ 0 a taxa de aumento, F o fator multiplicativo e V₁ o valor final. A parcela acrescida é rV₀. Os índices 0 e 1 identificam antes e depois; não são expoentes. F não é o número percentual p.

V₀ ≥ 0 e 0 ≤ r ≤ 1 para um desconto que mantém o resultado não negativo. A parcela retirada é rV₀. Desconto de 100% dá F = 0 e valor final zero; desconto acima de 100% não descreve um preço final não negativo neste modelo.

V₀ > 0 e V₁ ≥ 0. ΔV, lido delta V, é a diferença absoluta e mantém a unidade dos valores. r é a variação relativa assinada; seu número percentual é p = 100r. r positivo indica aumento, r negativo indica queda, e r = 0 indica estabilidade. Não há taxa relativa usual quando V₀ = 0.

V₁ ≥ 0 e F > 0 são conhecidos; a transformação foi V₁ = FV₀. Para aumento, F = 1+r; para desconto menor que 100%, F = 1−r. Não se recupera a base aplicando ao valor final a taxa de sinal contrário. Com F = 0, o valor inicial não pode ser determinado só pelo final zero.

n ≥ 1 é o número inteiro de etapas; V₀ > 0 é o inicial e Vₙ é o final. Fᵢ é o fator da etapa i, com 1 ≤ i ≤ n; cada fator não negativo se aplica ao resultado anterior. Fᵢ = 1+rᵢ para variação assinada rᵢ ≥ −1. “eq” significa equivalente, e essa taxa se refere à base inicial. Fatores fixos comutam se não houver arredondamentos intermediários, parcelas fixas ou mudança das regras.

r,s ≥ 0 são taxas decimais de aumentos aplicados em sequência. A expansão (1+r)(1+s)−1 explica o termo adicional rs. O número percentual equivalente é 100(r+s+rs). A soma simples r+s corresponde a acréscimos calculados separadamente sobre a mesma base, não ao modelo sucessivo.

0 ≤ d,e ≤ 1 são taxas decimais de descontos sucessivos. O fator final é (1−d)(1−e) e o desconto equivalente é 1 menos esse produto. O resultado permanece entre 0 e 1. d+e sozinho conta novamente uma parcela já retirada.

0 ≤ r ≤ 1. Os fatores são aplicados sucessivamente, sem parcelas fixas nem arredondamentos intermediários. Para r > 0, o resultado é menor que o inicial; a perda relativa é r². A ordem dos dois fatores não muda o produto sob essas hipóteses.

0 ≤ d < 1 é a taxa decimal da queda sobre um valor inicial positivo; u é a taxa de aumento calculada sobre o valor que restou. A condição (1−d)(1+u) = 1 produz a fórmula. Se d = 1, o valor restante é zero e nenhum aumento percentual finito sobre ele recupera o inicial positivo.

r ≥ 0 é a taxa decimal do aumento inicial sobre um valor positivo. d é a taxa de desconto calculada sobre o valor aumentado; (1+r)(1−d) = 1. Para r > 0, d < r e d < 1.

V₀ > 0, Vₙ ≥ 0 e K > 0. A sequência foi Vₙ = V₀KF, com F desconhecido. Aqui K é apenas uma abreviação definida para o produto conhecido, não uma nova taxa. De F, obtenha a taxa assinada F−1; um desconto admissível exige 0 ≤ F ≤ 1.

n ≥ 1 é inteiro e F > 0 é o fator total de n etapas iguais. A taxa procurada deve ter fator 1+r > 0, portanto r > −1. A raiz positiva resolve (1+r)ⁿ = F. Não se divide simplesmente a taxa total por n; se as etapas reais tiveram taxas distintas, o resultado é apenas uma taxa constante equivalente.

p₀ e p₁ são os números antes de % em duas taxas comparáveis. A diferença Δp é expressa em pontos percentuais. A variação relativa r exige p₀ > 0 e seu número percentual é 100r. Uma taxa inicial de 0% permite calcular pontos percentuais, mas não a variação relativa por essa divisão.

B₁,B₂ > 0 são bases não sobrepostas, medidas na mesma unidade; p₁,p₂ são os números percentuais do mesmo atributo em cada grupo. A soma dos valores correspondentes dividida pela soma das bases fornece p. A média aritmética simples só serve em geral quando B₁ = B₂. Misturas por volume exigem volumes aditivos.

0 ≤ p ≤ 100 é o número percentual de uma categoria num todo. O ângulo central θ é medido em graus. Categorias exclusivas e exaustivas somam 100% e seus ângulos somam 360°. Não use um gráfico de setores para somar grupos com sobreposição.

C > 0 é o custo considerado e V > 0 o preço de venda; L é o resultado antes de despesas não incluídas em C. r_C compara o resultado com o custo e r_V, com a venda. Taxas decimais podem ser negativas em uma perda. Para lucro com C > 0, a margem sobre venda é menor que 1; o acréscimo sobre custo pode superar 1.

C > 0 é o custo considerado e 0 ≤ m < 1 é a margem decimal desejada sobre o preço de venda. De (V−C)/V = m resulta C = (1−m)V. A fórmula não é V = C(1+m), pois essa última aplicaria um acréscimo sobre custo, com outra referência.

q₀ = A₀/B₀, com B₀ > 0, A₀ ≥ 0. O numerador passa a A₁ = F_A A₀, com F_A ≥ 0, e a referência passa a B₁ = F_B B₀, com F_B > 0. Então q₁ = A₁/B₁. Uma mudança percentual na razão depende do quociente dos fatores, não da diferença simples entre suas taxas.

O valor inicial e a referência inicial são positivos. a ≥ −1 é a variação decimal do valor e b > −1 a da referência, em intervalos compatíveis. O quociente dos fatores mede a mudança do valor em unidades da referência. Quando a referência é o preço de uma mesma cesta hipotética, o modelo calcula a mudança da quantidade de cestas que o valor permite adquirir. Não equivale em geral a a−b.

G representa o valor de uma grandeza, u é a unidade escolhida e n seu valor numérico nessa unidade. Para comprimentos, áreas, volumes, massas e durações, usamos n ≥ 0. Mudar a unidade muda n, preservando G. Uma temperatura Celsius pode ter valor numérico negativo.

São equivalências exatas de unidades da mesma grandeza. A sequência km, hm, dam, m, dm, cm, mm tem fator dez entre vizinhos. Converter para unidade menor aumenta o valor numérico; converter para maior diminui-o.

u e v são unidades da mesma grandeza, c > 0 é o fator exato que expressa uma unidade u em v e x é o valor numérico inicial. Multiplicar por (c v)/(1 u) equivale a multiplicar por um. Inverta esse fator para converter de v para u.

c > 0 e k = 1, 2 ou 3, respectivamente para comprimento, área ou volume construídos a partir da unidade linear u. k é apenas o expoente, não o símbolo de uma unidade. A potência alcança todo o produto c v; não se conserva o fator linear ao converter área ou volume.

a e b são valores numéricos de grandezas da mesma natureza expressas na mesma unidade u. A mesma regra vale para a subtração, respeitando o contexto. Antes de somar, converta unidades diferentes. Não se soma comprimento com área.

a,b > 0 são comprimentos dos lados perpendiculares na mesma unidade. P mede o contorno e usa unidade linear; A mede a superfície e usa a unidade ao quadrado. Por exemplo, a e b em metros produzem P em m e A em m². A dedução usa soma dos quatro lados e contagem de quadrados unitários.

O quadrado de lado 1 m tem dez decímetros em cada direção: 10 · 10 quadrados de 1 dm². Para cm², são 100 · 100. Entre unidades quadradas vizinhas da sequência métrica, o fator é cem, porque o fator linear dez é elevado ao quadrado.

ha é hectare, área de um quadrado de lado 100 m. a é o símbolo da unidade are, quando utilizada; 1 ha = 100 a. Hectare é unidade de área e não de comprimento. O significado de unidades regionais, como alqueire, precisa ser declarado pelo enunciado; não se presume um único valor.

Aₙ ≥ 0 é a área necessária já incluindo a reserva prevista; Aₑ > 0 é a cobertura por embalagem, na mesma unidade. N mínimo é o número inteiro de embalagens. Os símbolos ⌈x⌉, lidos teto de x, indicam o menor inteiro maior ou igual a x. O modelo pressupõe aproveitamento da cobertura declarada e não resolve um plano real de cortes.

Entre unidades cúbicas vizinhas da sequência métrica, o fator é mil: dez posições em cada uma de três direções dão 10³ cubos menores. Ao saltar diretamente de m para cm, o fator linear cem é elevado ao cubo, produzindo um milhão.

a,b,c > 0 são comprimentos de arestas perpendiculares de um bloco retangular na mesma unidade; o volume fica na unidade cúbica. Na segunda escrita, A_b = ab é a área da base e h = c é a altura perpendicular. Nesta aula, aplicamos a relação ao bloco retangular; ela não é uma fórmula para todo sólido. Dimensões internas determinam a capacidade útil de um recipiente.

L significa litro; também se aceita l, mas usamos L para distinguir da escrita do número um. A sequência kL, hL, daL, L, dL, cL, mL tem fator dez por passo. Isso não muda o fator mil entre unidades cúbicas vizinhas. Litro mede volume; capacidade é o volume interno que o recipiente pode comportar.

V_c ≥ 0 é a capacidade e 0 ≤ f ≤ 1 é a fração ocupada, em forma decimal ou fracionária; V_o é o volume ocupado na mesma unidade. Em um recipiente de seção horizontal constante e fundo plano, a fração da altura ocupada coincide com f. Em formatos variáveis, essa coincidência não é geral.

t significa tonelada, kg quilograma, g grama e mg miligrama. A unidade de base do SI para massa é kg; seus múltiplos e submúltiplos são formados a partir de grama. Massa não é força peso. Não se converte massa em volume sem informação adicional, como a densidade nas condições do problema.

s, min, h e d representam segundo, minuto, hora e dia. Nesta aula, um dia de duração convencional tem 24 h e uma semana tem sete dias. Meses e anos civis não têm uma quantidade única de dias: é preciso conhecer o calendário ou a convenção dada, sem presumir mês de trinta dias.

h,m,s são valores numéricos de horas inteiras, minutos e segundos de uma duração; H é a quantidade total em horas decimais. Na escrita normalizada, 0 ≤ m < 60 e 0 ≤ s < 60. Aqui m é uma variável de contagem de minutos; o símbolo de unidade metro, escrito após um número, tem outro uso.

t_i e t_f são coordenadas temporais de início e fim na mesma referência e unidade, com t_f ≥ t_i. Δ, delta, indica diferença. Os índices i e f significam inicial e final. Ao atravessar meia-noite, inclua a mudança de dia; horários isolados não determinam uma duração sem informar os dias e as regras do relógio.

d total ≥ 0 é a distância percorrida, Δt > 0 é o tempo total incluindo paradas quando considerado o percurso inteiro, e v_m é a rapidez média, usualmente chamada velocidade média nesses problemas. A velocidade vetorial da Física usa deslocamento, não distância. A segunda igualdade usa rapidez v constante; unidades precisam ser compatíveis.

As relações vêm de 1 km = 1000 m e 1 h = 3600 s. Para passar o valor numérico de km/h a m/s, divida por 3,6; para a volta, multiplique. A conversão modifica numerador e denominador. O fator 3,6 é exato.

ΔV é o volume transferido no intervalo Δt > 0, e Q_m é a vazão média, por exemplo em L/min. Q constante permite calcular o volume por multiplicação e o tempo por ΔV/Q quando Q > 0. Se a vazão variar, não se usa um valor instantâneo isolado para todo o intervalo.

Q_e,Q_s ≥ 0 são vazões constantes de entrada e saída na mesma unidade; Q líquido é a diferença. V_i e V_f são volumes inicial e final; Δt ≥ 0. A igualdade vale enquanto ambas as vazões se mantiverem e o volume permanecer entre zero e a capacidade. Q líquido zero conserva o volume; positivo enche e negativo esvazia.

ρ é a letra grega rô e indica densidade média; m ≥ 0 é a massa, V > 0 é o volume. Para um material homogêneo em condições fixadas, a mesma densidade relaciona porções diferentes. Temperatura, composição e outras condições podem alterar a densidade. Não se presume que todo litro de material tenha massa de um quilograma.

Use 1 g = 0,001 kg e 1 cm³ = 0,000001 m³. A razão 0,001/0,000001 é mil. Converter apenas a massa sem converter o volume não conserva a densidade expressa. A relação é de unidades e não depende de qual material foi medido.

d ≥ 0 e V > 0 são os valores numéricos da distância em km e do combustível em L; e é o valor numérico da autonomia em km/L. c é o valor numérico do consumo em L por 100 km. A segunda igualdade exige e > 0 e essas unidades específicas; deriva de 100 km divididos pela autonomia. Maior km/L significa menor L por 100 km, sob condições comparáveis.

C e F são os valores numéricos da mesma temperatura em °C e °F, respectivamente, não símbolos de unidades. Os zeros das escalas são diferentes, por isso há a soma de 32. Para diferenças de temperatura, ΔF = (9/5)ΔC, sem somar 32. Para temperaturas termodinâmicas usuais, C ≥ −273,15.

T_K é o valor numérico em kelvin da temperatura cujo valor em °C é C. K maiúsculo, depois do número, é o símbolo da unidade kelvin; não é uma constante de proporcionalidade nem se escreve °K. O intervalo de 1 K tem a mesma magnitude que 1 °C. Neste tratamento elementar, T_K ≥ 0 e C ≥ −273,15.

g,m,s são contagens de graus, minutos de arco e segundos de arco; D é o valor numérico total em graus decimais de um ângulo não negativo. Na escrita normalizada, 0 ≤ m,s < 60. Os símbolos ′ e ″ são angulares, diferentes de min e s de tempo. Uma volta completa tem 360°. Não se presume a mesma grandeza só porque há divisão por sessenta.

x ≥ 0 é o valor exato, r > 0 é o passo do arredondamento e v é o múltiplo de r exibido. Arredonda-se para o mais próximo e, no empate, para cima; o intervalo deve ser intersectado com x ≥ 0. O erro de arredondamento tem magnitude no máximo r/2. Isso não determina toda a incerteza de uma medição real.