Porcentagem

1Por cento: comparar com uma referência de cem

Na aula anterior, usamos razões para comparar quantidades. Porcentagem é uma forma de escrever essas razões tomando cem como referência. Dizer que 25% de uma coleção são azuis significa que a parte azul corresponde a 25 de cada cem partes iguais do total. Não é necessário que a coleção tenha exatamente cem objetos.

Na fórmula, p é o número antes do símbolo %, e r é a mesma taxa escrita como número decimal ou fração. Para 25%, p = 25 e r = 0,25. Essas letras apenas nomeiam os valores; não são operações. Usaremos B para a base, isto é, o valor que representa 100% em cada pergunta.

2Fração, decimal e porcentagem: trocar a escrita sem mudar o valor

Para passar de porcentagem a número decimal, divida o número percentual por cem. Para fazer a volta, multiplique o decimal por cem e escreva o resultado seguido de %. Frações podem ser reduzidas, divididas ou transformadas em frações equivalentes de denominador cem.

Zero por cento representa a quantidade zero da base; 100% representa a base inteira. Porcentagens negativas aparecerão como variações assinadas, por exemplo −8% para uma queda. Não representam uma quantidade negativa de pessoas dentro de um grupo.

3Construir cálculos mentais a partir de porcentagens conhecidas

Conhecer algumas frações equivalentes ajuda a estimar e conferir: 50% é metade; 25%, um quarto; 20%, um quinto; 10%, um décimo; 5%, metade de 10%; 1%, um centésimo; e 12,5%, um oitavo. Podemos decompor a taxa em parcelas, desde que todas se refiram à mesma base.

4Encontrar a quantidade: porcentagem de uma base conhecida

Para calcular uma porcentagem de um valor, primeiro identifique o que representa 100%. Depois transforme a taxa em fração ou decimal e multiplique pela base. A letra A vai representar a quantidade encontrada, na mesma unidade de B.

5Encontrar a taxa: que porcentagem uma quantidade representa?

Se conhecemos a quantidade e a referência, a divisão A/B informa sua fração do total. Multiplicar esse resultado por cem encontra o número que será escrito antes de %. A referência precisa ser positiva para essa comparação.

6Encontrar o total: a porcentagem e a quantidade já são conhecidas

Agora queremos descobrir o que corresponde a 100%. Se A é uma fração r de uma base B, temos A = rB. Dividir os dois lados por r positivo isola a base. Para recuperar B, precisamos desfazer a multiplicação por r; multiplicar A por r outra vez não é, em geral, essa operação inversa. Para A positiva, esse novo produto diminuiria A se 0 < r < 1, mas o aumentaria se r > 1.

A fórmula de recuperar a base exige taxa diferente de zero. Se dissermos que uma parte positiva corresponde a 0% de um total finito, não há solução. Se a parte é zero e a taxa também, qualquer base não negativa satisfaz a igualdade e o total não fica determinado.

7Nomear a base antes de interpretar “de”, “a mais” e “a menos”

“A é 120% de B” significa A = 1,20B. “A é 120% maior que B” acrescenta 1,20B ao próprio B e significa A = 2,20B. As palavras determinam se a porcentagem descreve o valor completo ou só a diferença.

8Complementos, subgrupos e sobreposição: quando somar ou multiplicar

Porcentagens de categorias exclusivas que completam o mesmo todo somam 100%. O complemento de uma parte é o que falta para esse todo. Já uma porcentagem de um subgrupo usa uma referência intermediária: é preciso acompanhar cada etapa.

9Aumento percentual: juntar o valor inicial e o acréscimo

Um aumento de 15% mantém os 100% iniciais e acrescenta 15% da mesma base. O resultado corresponde a 115% do valor inicial, isto é, a multiplicá-lo por 1,15. Vamos chamar esse multiplicador de fator F: ele indica por quanto o valor é multiplicado.

V₀ significa valor inicial; V₁, valor depois da mudança. Os pequenos números 0 e 1 são índices que identificam as etapas, não expoentes. A taxa r aparece em decimal: para 15%, r = 0,15, e F = 1+r = 1,15. F já contém a parcela inicial inteira.

10Desconto percentual: retirar uma parte da base

Com um desconto de 20%, restam 80% do valor inicial. Podemos calcular o desconto e subtrair ou multiplicar diretamente pelo fator 0,80. O número retirado e o valor restante são respostas diferentes.

11Calcular a mudança absoluta e a variação percentual

Quando conhecemos antes e depois, primeiro subtraímos para saber a mudança na unidade original. Depois dividimos essa diferença pelo valor inicial positivo para saber sua proporção. A letra grega Δ, lida “delta”, representa essa diferença; ΔV é V₁−V₀.

12Cálculo inverso: recuperar o valor antes da mudança

Se um valor foi multiplicado por F positivo, desfazemos a operação dividindo por F. Aplicar a mesma taxa com sinal oposto ao valor final usaria outra referência e não desfaria a multiplicação.

Se o fator fosse zero, como num desconto de 100%, todo valor inicial não negativo terminaria em zero. Só saber que o resultado é zero não determina qual era o inicial. A divisão inversa exige F diferente de zero.

13Aumentos e descontos sucessivos: multiplicar os fatores

Em mudanças sucessivas, cada etapa parte do resultado da anterior. Por isso a base muda. Se uma quantidade aumenta 10% e depois 20%, o segundo aumento incide sobre 110% da base inicial. Vamos multiplicar os fatores, mantendo separados a taxa de cada etapa e o efeito total.

Na escrita geral, n conta as mudanças; Vₙ é o valor depois de todas elas. F₁, F₂, …, Fₙ são os fatores da primeira até a última etapa. O índice i em Fᵢ indica uma etapa qualquer. A abreviação “eq” em r_eq significa equivalente: uma única taxa que produz o mesmo resultado sobre o valor inicial.

A justificativa é a distributividade: (1+r)(1+s) = 1+r+s+rs. Ao subtrair o 1 que representa a base inicial, resta r+s+rs. O termo rs vem do aumento aplicado também à parcela acrescentada antes. Para percentuais pequenos, somar pode servir só como estimativa; o produto continua sendo o cálculo exato do modelo.

A ordem de fatores percentuais fixos não altera o produto, desde que cada taxa se aplique ao resultado anterior e não existam arredondamentos intermediários, cobranças fixas ou outras regras. Isso não significa que todas as promoções ou cobranças possam ser trocadas de ordem sem análise.

14Por que uma queda e uma alta iguais não se anulam

Um aumento de 20% e um desconto de 20% usam bases diferentes quando aplicados em sequência. Partindo de 100, o aumento leva a 120 e o desconto retira 24, levando a 96. Trocar a ordem leva de 100 a 80 e depois a 96. As taxas têm o mesmo número, mas não desfazem uma à outra.

Para recuperar uma queda, a alta precisa ser calculada sobre o que restou. Se a queda foi d e a recuperação é u, exigimos $(1-d)(1+u)=1$. Como $0\le d<1$, podemos dividir por $1-d$ e obter $1+u=1/(1-d)$. Subtraindo 1, fica $u=1/(1-d)-1$. Escrevendo esse 1 com o mesmo denominador, o numerador passa a ser $1-(1-d)=d$; por isso $u=d/(1-d)$. Para desfazer uma alta $r\ge0$, o fator de volta é $1/(1+r)$. A taxa de desconto é um menos esse fator: $1-1/(1+r)$. Escrevendo com o mesmo denominador, o numerador é $(1+r)-1=r$; portanto o desconto é $r/(1+r)$.

15Encontrar uma taxa escondida ou uma taxa constante por etapa

Quando falta uma taxa de uma sequência, escreva primeiro a igualdade entre o valor final e o inicial multiplicado pelos fatores. Isole o fator desconhecido por divisão. Na fórmula, K abrevia o produto dos fatores que já conhecemos; é só um nome definido para esse produto, não um percentual novo.

Se buscamos a mesma taxa em n etapas iguais, o fator constante repetido n vezes deve produzir o fator total F. Portanto (1+r)ⁿ = F e usamos a raiz positiva para obter 1+r. A letra n é um inteiro que conta as etapas; a raiz de índice n desfaz a potência de expoente n, mantendo o fator positivo.

Se as etapas reais tiverem taxas diferentes, a raiz fornece uma taxa constante equivalente, não revela cada taxa ocorrida. O período e a regra de repetição precisam ser declarados. Essa ideia prepara Matemática Financeira; os regimes de juros e as conversões entre taxas serão desenvolvidos na matéria própria.

16Pontos percentuais: diferença entre taxas não é sua variação relativa

Se um indicador passa de 20% para 25%, a diferença entre os números percentuais é cinco pontos percentuais, abreviados p.p. Para saber quanto a taxa cresceu relativamente, comparamos esses cinco com o valor anterior vinte: 5/20 = 25%. As duas descrições falam da mesma mudança com referências diferentes.

17Juntar grupos e misturas: ponderar pelas bases

Percentuais de grupos de tamanhos diferentes não recebem, em geral, o mesmo peso. Para encontrar o percentual conjunto, recupere as quantidades de cada grupo, some-as e divida pelo total conjunto. A fórmula de média ponderada é apenas uma abreviação dessas operações.

18Ler porcentagens em gráficos e conferir o total

Um gráfico percentual precisa identificar a população ou quantidade de referência. Num gráfico de setores, o círculo inteiro representa 100% e cada ângulo central acompanha a fração da categoria. Isso só funciona como divisão do total se as categorias forem exclusivas e completarem esse total.

19Percentual sobre custo e percentual sobre venda: duas bases

Num problema de compra e venda, a diferença entre preço de venda e custo considerado pode ser comparada com duas referências. Sobre o custo, ela mede o acréscimo em relação ao que foi gasto. Sobre a venda, mede qual fração do preço vendido corresponde a esse resultado. Escrever apenas “lucro de 20%” sem dizer a base pode deixar o enunciado ambíguo.

20Cobranças e promoções: localizar a base de cada parcela

Uma taxa adicional hipotética deve indicar sobre qual valor incide. Se uma cobrança representa 10% do valor sem a cobrança, ela não representa 10% do total já acrescido. Também é preciso distinguir duas parcelas sobre a mesma base de duas transformações sucessivas.

Se duas cobranças de 10% e 5% forem ambas calculadas sobre 200 reais, suas parcelas somam 20+10 = 30 reais. Se forem sucessivas, o fator será 1,10 · 1,05 = 1,155 e o acréscimo será 31 reais. O enunciado, e não a simples presença de duas porcentagens, determina a conta.

21Quando a quantidade e a referência mudam juntas

Uma participação é uma razão. Se o numerador muda por um fator e o denominador por outro, a nova razão recebe o quociente desses fatores. Precisamos acompanhar os dois valores, em vez de apenas somar ou subtrair suas taxas.

O mesmo raciocínio permite comparar um valor com o preço de uma referência que também mudou. Se a quantia cresce por 1+a e o preço de uma mesma cesta por 1+b, a quantidade de cestas que ela permite comprar muda por (1+a)/(1+b). A variação relativa dessa capacidade é o fator menos um.

22Arredondamento e contagens: interpretar a resposta antes de fechar a conta

Conserve frações e fatores exatos durante o cálculo sempre que possível. Só depois aplique a precisão pedida. Em dinheiro, um enunciado pode determinar arredondamento do valor final ou de uma parcela intermediária; em contagens, também precisamos saber se a exigência é exata, mínima ou máxima.

Antes de finalizar, confira: qual é a base; se a taxa já foi dividida por cem; se a pergunta pede a parcela ou o valor completo; se as mudanças usam a mesma referência; se o resultado precisa ser inteiro; e em qual etapa o arredondamento foi definido. Comparações nominais de pagamentos e taxas por período serão retomadas em Matemática Financeira com as hipóteses próprias.

23Agora é com você

O banco tem trinta questões no total. Comece identificando a base e traduzindo a porcentagem para fração ou decimal. Nas aplicações, justifique os fatores, os denominadores e a etapa de arredondamento; as quatro questões discursivas desenvolvem situações combinadas.

24O que guardar desta aula

• p% = p/100. p é o número antes de % e r = p/100 é a taxa decimal. 0,5% vale 0,005; o decimal 0,5 vale 50%.
• B é a base que representa 100%; A é a quantidade correspondente. A mesma taxa sobre bases diferentes produz quantidades diferentes.
• Para achar a quantidade, A = rB. Para a taxa, r = A/B exige B > 0. Para recuperar a base, B = A/r exige r > 0.
• A referência zero não determina uma taxa pela razão; taxa zero e parte zero também não determinam uma base única.
• Uma parte contida no todo tem percentual de 0 a 100. Comparações e aumentos podem superar 100%; variações assinadas podem ser negativas.
• “120% de B” é 1,20B; “120% maior que B” é 2,20B. Inverter a comparação muda a referência e, em geral, a taxa.
• Complementos sem sobreposição completam 100% da mesma base. Em subgrupos sucessivos, multiplique as frações; em grupos sobrepostos, evite dupla contagem.
• V₀ e V₁ indicam antes e depois. Um aumento decimal r tem fator F = 1+r; um desconto tem F = 1−r, com r entre 0 e 1 no modelo de valor não negativo.
• A diferença absoluta é ΔV = V₁−V₀. A variação relativa divide essa diferença pelo inicial positivo; o sinal distingue alta e queda.
• Para recuperar o valor inicial, divida o final pelo fator positivo. Desconto de 100% perde a informação da base e não admite essa inversão.
• Variações sucessivas multiplicam fatores. Dois aumentos dão taxa r+s+rs; dois descontos dão desconto d+e−de.
• Somar taxas diretamente exige parcelas calculadas sobre a mesma base. Trocar a ordem de fatores fixos não autoriza trocar uma cobrança fixa com um aumento.
• Aumento e desconto sucessivos da mesma taxa r produzem fator 1−r². Uma queda d < 1 exige recuperação d/(1−d); uma alta r é desfeita por desconto r/(1+r).
• Uma taxa desconhecida é encontrada isolando seu fator. Uma taxa constante equivalente em n etapas usa a raiz positiva do fator total, não a divisão simples da taxa por n.
• Pontos percentuais são a diferença entre números percentuais. A mudança de 20% para 25% é alta de cinco p.p. e aumento relativo de 25% na taxa.
• Percentuais conjuntos usam as bases como pesos. A média simples só serve em geral para bases iguais; misturas por volume exigem volumes aditivos.
• Num gráfico de setores de categorias exclusivas e completas, p% corresponde a 360° · p/100. Percentuais exibidos com arredondamento podem não somar exatamente 100%.
• Acréscimo sobre custo e margem sobre venda usam denominadores diferentes. Uma margem m sobre venda pede preço C/(1−m), para custo positivo e 0 ≤ m < 1.
• Se numerador e referência mudam, a razão recebe o quociente dos fatores. Ajustar um valor por uma referência que também cresceu não equivale, em geral, a subtrair as taxas.
• Arredonde na etapa e na precisão declaradas. Em contagens, confira se a exigência de porcentagem é exata ou um limite antes de escolher o inteiro.

A próxima aula de Matemática Básica será Grandezas e medidas. Vamos organizar unidades, conversões de comprimento, área, volume, capacidade, massa e tempo e aplicações com unidades compostas.