Limites
Limite descreve o valor que uma função se aproxima quando x se aproxima de certo ponto.
Propriedades
- Soma lim(f+g)=lim f + lim g
- Produto lim(fg)=lim f · lim g
- Quociente lim(f/g)=lim f / lim g, se lim g ≠ 0
- Potência lim(fⁿ)=(lim f)ⁿ
Indeterminações comuns: 0/0, ∞/∞, 0·∞, ∞−∞, 1∞, 0⁰ e ∞⁰ exigem transformação algébrica ou técnica específica.
Assíntotas e limites infinitos
Assíntotas descrevem o comportamento do gráfico próximo de pontos problemáticos ou no infinito.
| Tipo | Condição típica |
|---|---|
| Vertical | lim f(x)=±∞ quando x→a |
| Horizontal | lim f(x)=L quando x→±∞ |
| Oblíqua | f(x) se aproxima de ax+b quando x→±∞ |
Limites laterais
- Esquerda x → a⁻
- Direita x → a⁺
- Existência lim existe se os laterais existem e são iguais
Continuidade
Uma função é contínua em x = a quando o limite existe e coincide com o valor da função.
Critério
- Existe f(a)
- Existe lim f(x), quando x → a
- Igualdade lim f(x) = f(a)
Limites notáveis
Clássicos
- Trig. lim sen x / x = 1, quando x → 0
- Exponencial lim (1 + 1/n)ⁿ = e
- Euler lim (1 + x)1/x = e, quando x → 0
Derivadas
A derivada mede taxa de variação instantânea e inclinação da reta tangente.
Definição
f'(x) = limh→0 [f(x+h) − f(x)]/h
| Função | Derivada |
|---|---|
| c | 0 |
| xⁿ | nxⁿ⁻¹ |
| sen x | cos x |
| cos x | −sen x |
| eˣ | eˣ |
| ln x | 1/x |
Regras de derivação
Regras
- Soma (f + g)' = f' + g'
- Produto (fg)' = f'g + fg'
- Quociente (f/g)' = (f'g − fg')/g²
- Cadeia (f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)
Regra de L'Hospital
Em indeterminações do tipo 0/0 ou ∞/∞, pode-se derivar numerador e denominador sob condições adequadas.
Forma básica
lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x)
Use apenas quando a forma for 0/0 ou ∞/∞ e o novo limite existir.
Aplicações de derivadas
| Aplicação | Ideia |
|---|---|
| Crescimento | f'(x) > 0 indica função crescente. |
| Decrescimento | f'(x) < 0 indica função decrescente. |
| Ponto crítico | f'(x) = 0 ou derivada inexistente. |
| Máximos e mínimos | Estudo de sinal de f' ou teste da segunda derivada. |
| Concavidade | f''(x) indica concavidade. |
| Taxas relacionadas | Derivar relações entre grandezas dependentes do tempo. |
| Aproximação linear | f(a+h) ≈ f(a)+f'(a)h para h pequeno. |
Integrais
A integral mede acumulação. A integral indefinida busca primitivas; a definida calcula área orientada.
Integração básica
- Potência ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C, n ≠ −1
- Exponencial ∫eˣ dx = eˣ + C
- Recíproca ∫1/x dx = ln|x| + C
- Definida ∫ab f(x)dx = F(b) − F(a)
Técnicas e aplicações de integração
| Técnica | Quando usar |
|---|---|
| Substituição | Quando há uma função composta e sua derivada aparece no integrando. |
| Partes | Produto de funções, usando ∫u dv = uv − ∫v du. |
| Frações parciais | Funções racionais com denominador fatorável. |
| Substituição trigonométrica | Expressões com √(a²−x²), √(a²+x²), √(x²−a²). |
Aplicações
- Área entre curvas ∫ab [f(x)−g(x)] dx
- Volume por discos V = π∫[R(x)]² dx
- Cascas cilíndricas V = 2π∫ raio · altura dx
- Comprimento de arco L = ∫√(1+[f'(x)]²) dx