Sequências
Uma sequência é uma função cujo domínio normalmente é o conjunto dos naturais. Cada valor é um termo.
Notação
- Termo aₙ
- Primeiro termo a₁
- Recorrência termo definido a partir de termos anteriores
- Termo geral fórmula direta para aₙ
Progressão Aritmética
PA é uma sequência em que a diferença entre termos consecutivos é constante.
PA
- Razão r = aₙ₊₁ − aₙ
- Termo geral aₙ = a₁ + (n − 1)r
- Termo médio aₖ = (aₖ₋₁ + aₖ₊₁)/2
- Soma Sₙ = (a₁ + aₙ)n / 2
Exemplo
2, 5, 8, 11, ...
a₁ = 2, r = 3, aₙ = 2 + (n − 1)3
Propriedades da PA
| Propriedade | Descrição |
|---|---|
| Crescente | r > 0 |
| Constante | r = 0 |
| Decrescente | r < 0 |
| Termos equidistantes | Em uma PA finita, termos equidistantes dos extremos têm soma constante. |
| Interpolação aritmética | Inserir meios aritméticos entre dois extremos mantendo a razão constante. |
Progressão Geométrica
PG é uma sequência em que o quociente entre termos consecutivos é constante.
PG
- Razão q = aₙ₊₁ / aₙ
- Termo geral aₙ = a₁qn−1
- Soma finita Sₙ = a₁(qⁿ − 1)/(q − 1), q ≠ 1
- Soma infinita S∞ = a₁/(1 − q), se |q| < 1
Exemplo
3, 6, 12, 24, ...
a₁ = 3, q = 2, aₙ = 3 · 2n−1
Propriedades da PG
| Propriedade | Descrição |
|---|---|
| Termo médio positivo | Em PG positiva, aₖ² = aₖ₋₁ · aₖ₊₁ |
| Crescimento exponencial | Quando |q| > 1, os módulos crescem rapidamente. |
| Convergência | Se |q| < 1, os termos tendem a 0. |
| Interpolação geométrica | Inserir meios geométricos entre dois termos mantendo q constante. |
Somas especiais
Somatórios úteis
- Naturais 1 + 2 + ... + n = n(n + 1)/2
- Ímpares 1 + 3 + ... + (2n − 1) = n²
- Quadrados 1² + 2² + ... + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6
PA x PG
| Tipo | Padrão | Modelo | Crescimento |
|---|---|---|---|
| PA | Soma constante | aₙ = a₁ + (n − 1)r | Linear |
| PG | Multiplicação constante | aₙ = a₁qn−1 | Exponencial |