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Trilha 3

Aplicações de Derivadas

Depois de aprender a derivar, o passo importante e usar a derivada para ler problemas: onde cresce, onde diminui, onde otimiza e como aproximar valores.

Problemas de otimizacao

Otimizar e encontrar o maior ou menor valor possivel de uma grandeza. Em cálculo, o roteiro mais comum e transformar o enunciado em uma função de uma variavel e estudar seus pontos criticos.

1

Escolha a variavel

Nomeie a grandeza que controla o problema.

2

Monte a função

Escreva a área, volume, custo ou lucro em função dessa variavel.

3

Derive e zere

Resolva f'(x)=0 e teste o ponto no intervalo permitido.

Exemplo classico
Entre retângulos de perímetro 20, qual tem maior área?
1
Se os lados sao x e y, então 2x+2y=20, logo y=10-x.
2
A área e A(x)=x(10-x)=10x-x2.
3
A'(x)=10-2x. Zerando, x=5.
O retângulo de maior área e o quadrado de lado 5.

Taxa relacionada

Taxas relacionadas aparecem quando varias grandezas mudam ao mesmo tempo. A chave e derivar uma relação inteira em função do tempo.

Ideia central
relação entre grandezas → derive em relação a t
Mesmo que a fórmula tenha x, y ou r, todas dependem do tempo.
Exemplo
O raio de um círculo cresce a 2 cm/s. Qual a taxa de variação da área quando r=5?
1
A área e A=πr2.
2
Derivando no tempo: dA/dt=2πr . dr/dt.
3
Substitua r=5 e dr/dt=2.
dA/dt=20π cm2/s.

Esboco de gráficos

Derivadas ajudam a desenhar o comportamento da função sem depender de muitos pontos soltos. O objetivo e descobrir intervalos de crescimento, extremos, concavidade e possiveis pontos de inflexao.

FerramentaO que revelaLeitura
f'(x)crescimento e decrescimentopositiva sobe, negativa desce
f'(x)=0ponto criticocandidato a máximo ou mínimo
f''(x)concavidadepositiva abre para cima, negativa para baixo
troca de sinal de f''inflexaoa concavidade muda

Aproximacao linear

Perto de um ponto, uma função suave se parece com sua reta tangente. Essa ideia permite estimar valores sem calcular a função exatamente.

Linearizacao em x = a
L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)
Para x perto de a, usamos f(x) ≈ L(x).
Estimativa
Aproxime √101.
1
Use f(x)=√x perto de a=100.
2
f(100)=10 e f'(x)=1/(2√x), então f'(100)=1/20.
√101 ≈ 10 + (1/20).1 = 10,05.

Exercício rápido

Cheque rápido
Em otimizacao, por que resolvemos f'(x)=0?
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