Tópicos Avançados de Cálculo

Integrais improprias

Uma integral e impropria quando o intervalo e infinito ou quando a função explode em algum ponto. O cálculo passa a depender de limites.

Intervalo infinito

\int a \infty f(x)dx = lim b\to\infty \int a b f(x)dx

Se esse limite existe e e finito, a integral converge. Se não, diverge.

Uma sequência é uma lista ordenada de termos. Em cálculo, a pergunta principal e se os termos se aproximam de algum valor quando o índice cresce.

Comportamento	Leitura	Exemplo
convergente	$a n \to L$	$1/n \to 0$
divergente	não se aproxima de valor finito	$n \to \infty$
oscilante	alterna sem estabilizar	$(-1) n$

Série e soma infinita. Antes de somar, precisamos saber se a soma faz sentido.

Série geometrica

a + ar + ar 2 + ... = a/(1-r), se |r| < 1

!

Teste necessário: se

a n

não tende a zero, a série

\sum a n

diverge.

Depois do teste necessário, entram critérios para decidir se uma série converge. A escolha depende da aparencia do termo geral.

Teste	Use quando...	Ideia
Comparacao	o termo lembra uma série conhecida	compare com uma maior convergente ou menor divergente
Razão	há fatoriais ou potências	análise $lim \|a n+1 /a n \|$
Raiz	há potências do tipo $(... ) n$	análise $lim n \sqrt\|a n \|$
Alternada	os sinais alternam	termos decrescem para zero

!

Atalho honesto: se o termo geral não tende a zero, pare: a série diverge antes de qualquer teste sofisticado.

Taylor aproxima funções por polinômios construidos a partir das derivadas em um ponto. Maclaurin e o caso particular centrado em zero.

Taylor em torno de a

f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a) 2 /2!+...

Uma equação diferencial envolve uma função desconhecida e suas derivadas. No primeiro contato, o caso mais amigavel e o separavel.

Separavel

dy/dx = g(x)h(y) \to dy/h(y) = g(x)dx

Modelo

Resolva

dy/dx = ky

.

1

Separe:

dy/y = k dx

.

2

Integre:

ln|y| = kx + C

.

y = Ce kx

.

Cheque rápido

Qual condicao garante a convergencia da série geometrica

a+ar+ar 2 +...

?