Técnicas de Integracao

Como escolher a técnica

Antes de integrar, classifique o integrando. Essa leitura evita tentar técnicas aleatorias e deixa a conta mais curta.

Forma do integrando	Técnica provavel	Sinal de reconhecimento
composicao	substituicao	aparece uma função e algo parecido com sua derivada
produto	por partes	produto entre polinômio, log, trigonométrica ou exponencial
racional	frações parciais	quociente de polinômios com denominador fatoravel
radical quadratico	trigonométrica	formas como $\sqrt(a 2 -x 2)$

Substituicao

Substituicao desfaz composicoes. A ideia e trocar uma parte interna complicada por uma variavel nova.

Exemplo

Calcule

\int 2x cos(x 2) dx

.

1

Escolha

u=x 2

.

2

Então

du=2x dx

.

\int cos(u)du = sen(u)+C = sen(x 2)+C

.

Integracao por partes

Por partes vem da regra do produto. Ela e muito util quando derivar uma parte simplifica a expressao.

Fórmula

\int u dv = uv - \int v du

Exemplo

Calcule

\int x e x dx

.

1

Tome

u=x

e

dv=e x dx

.

2

Logo

du=dx

e

v=e x

.

\int xe x dx = xe x -e x +C

.

Frações parciais

Quando a integral e racional, quebrar a fração em partes menores pode transformar uma expressao dura em logaritmos simples.

Modelo

1/[(x-1)(x+2)] = A/(x-1) + B/(x+2)

1

Multiplique pelo denominador comum.

2

Resolva os coeficientes

A

e

B

.

Depois disso, integre cada termo como logaritmo.

Substituicoes trigonométricas básicas

Essas substituicoes usam identidades para simplificar radicais quadraticos. Elas aparecem menos que substituicao comum, mas sao importantes em problemas mais tecnicos.

Forma	Troca comum	Identidade usada
$\sqrt(a 2 -x 2)$	$x=a sen theta$	$1-sen 2 theta=cos 2 theta$
$\sqrt(a 2 +x 2)$	$x=a tg theta$	$1+tg 2 theta=sec 2 theta$
$\sqrt(x 2 -a 2)$	$x=a sec theta$	$sec 2 theta-1=tg 2 theta$

Exercício rápido

Cheque rápido

Qual técnica combina melhor com

\int 2x cos(x 2)dx

?

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