Somas especiais
Alguns somatorios aparecem tantas vezes que viram ferramentas de trabalho. Quando eles estao bem fixados, o aluno para de improvisar e passa a reconhecer blocos conhecidos dentro de expressoes maiores.
Somatorios uteis
- Naturais 1+2+...+n = n(n+1)/2
- Impares 1+3+...+(2n-1) = n2
- Quadrados 12+22+...+n2 = n(n+1)(2n+1)/6
- PA Sn = n(a1 + an)/2
- PG Sn = a1(qn-1)/(q-1)
Estrategia: quando o somatorio não vem pronto, tente separar em partes conhecidas, deslocar o índice ou transformar a expressao em diferenca de somas mais simples.
Somas telescopicas
Uma soma telescopica e aquela em que varios termos se cancelam depois de uma decomposicao adequada. é um tipo de simplificacao muito elegante, porque reduz um somatorio grande a poucas bordas sobreviventes.
Ideia central
1/[k(k+1)] = 1/k - 1/(k+1)
Depois da decomposicao, os termos intermediarios se anulam.
Exemplo
Calcule 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 pelo padrão 1/[k(k+1)].
1
Escreva cada termo como 1/k - 1/(k+1).
2
Some: (1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5).
Quase tudo cancela, restando 1-1/5 = 4/5.
PA x PG
| Tipo | Padrão | Modelo | Crescimento |
|---|---|---|---|
| PA | soma constante | an = a1 + (n-1)r | linear |
| PG | multiplicação constante | an = a1qn-1 | exponencial |
| Recorrencia afim | mistura termo anterior e constante | an+1 = p an + b | caso a caso |
Exercícios
Cheque rápido
Qual é a soma infinita da PG 8, 4, 2, 1, ...?