Progressão geometrica
Na PG, o quociente entre termos consecutivos e constante. O comportamento deixa de ser aditivo e passa a ser multiplicativo: cada passo escala o termo anterior pela mesma razão.
PG
- Razão q = an+1/an
- Termo geral an = a1qn-1
- Soma finita Sn = a1(qn-1)/(q-1), se q ≠ 1
- Soma infinita S∞ = a1/(1-q), se |q| < 1
Exemplo
Na sequência 3, 6, 12, 24, ..., determine a razão e o termo geral.
1
Cada termo e o dobro do anterior, então q=2.
an = 3.2n-1.
Propriedades da PG
| Propriedade | Descrição |
|---|---|
| Termo medio positivo | em PG positiva, an2 = an-1an+1 |
| Produto equidistante | termos igualmente afastados dos extremos tem produto constante |
| Crescimento exponencial | quando |q| > 1, os módulos crescem rápido |
| Convergencia | se |q| < 1, os termos tendem a zero |
| Razão negativa | os sinais alternam se q < 0 |
Meios geometricos e soma infinita
Inserir meios geometricos e manter constante a razão multiplicativa. Isso conversa diretamente com juros compostos, decaimento e processos de escala.
Interpolacao geometrica
- Dados extremos A e B positivos, com m meios
- Intervalos m+1
- Razão q = (B/A)1/(m+1)
Exemplo
Insira 2 meios geometricos entre 2 e 54.
1
Há 4 termos ao todo, então q3 = 54/2 = 27.
2
Logo q = 3.
A PG fica 2, 6, 18, 54.
Exercício rápido
Cheque rápido
Numa PG com a1=5 e q=3, quanto vale a4?