Plano cartesiano
O plano cartesiano é uma espécie de mapa. Cada ponto é localizado por dois números: o primeiro indica a posição horizontal e o segundo indica a posição vertical.
Em um ponto P(x, y), x mostra o deslocamento para a direita ou para a esquerda; y mostra o deslocamento para cima ou para baixo.
Pegadinha comum: o ponto é sempre escrito na ordem (x, y). Trocar a ordem muda a posição do ponto. Em provas mais diretas, a banca pode usar os nomes abscissa e ordenada.
Quadrantes
| Região | Sinal de x | Sinal de y |
|---|---|---|
| I quadrante | positivo | positivo |
| II quadrante | negativo | positivo |
| III quadrante | negativo | negativo |
| IV quadrante | positivo | negativo |
Cuidado: pontos sobre os eixos não pertencem a nenhum quadrante. P(0,4) está no eixo y; Q(5,0) está no eixo x.
Distância entre dois pontos
Use a fórmula da distância quando a questão der dois pontos e pedir o comprimento do segmento entre eles. A diferença x₂ - x₁ mede a distância horizontal; a diferença y₂ - y₁ mede a distância vertical. A fórmula vem do Teorema de Pitágoras.
Distância entre A(x₁,y₁) e B(x₂,y₂)
d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]
Exemplo resolvido
Calcule a distância entre A(1,2) e B(5,5).
1Diferença horizontal: 5 - 1 = 4.
2Diferença vertical: 5 - 2 = 3.
d = √(4² + 3²) = √25 = 5.
provas mais diretas: é comum a questão dar dois pontos e pedir o comprimento do segmento. Muitas vezes a conta vira um triângulo 3-4-5.
Ponto médio
O ponto médio é o ponto que fica exatamente no meio do segmento. Para encontrá-lo, tire a média dos valores de x e a média dos valores de y.
Ponto médio
M = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)
Exemplo resolvido
A(2,4) e B(6,10). Calcule o ponto médio.
1M = ((2+6)/2, (4+10)/2).
M = (4, 7).
Prova: ponto médio pode aparecer como centro de um segmento, ponto equidistante das extremidades ou “meio” de um segmento.
Exercícios básicos e intermediários
Básico 1
O ponto P(5, -2) está em qual quadrante?
Básico 2
A distância entre A(-1,3) e B(3,0) é:
Intermediário
O ponto médio de A(2,4) e B(6,10) é: