Fundamentos de Funções

O que é uma função?

Nível básico

Uma função é uma regra que pega uma entrada e devolve uma única saída. Entrada é o valor que colocamos na função. Saída é o valor que a função devolve depois de aplicar a regra.

O detalhe principal é: uma mesma entrada não pode ter duas saídas diferentes.

Entradax = 2

→

Regraf(x) = x + 4

→

Saídaf(2) = 6

A função recebe 2, soma 4 e devolve 6.

Analogia da máquina: pense em uma máquina. Você coloca um número, a máquina aplica uma regra e devolve outro número. Se você colocar o mesmo número novamente, a máquina deve devolver a mesma resposta.

!

Pegadinha comum: a mesma saída pode aparecer para entradas diferentes. O que não pode é a mesma entrada gerar duas saídas diferentes. Por exemplo, em f(x)=x², temos f(2)=4 e f(-2)=4. Isso ainda é função.

Depois da ideia intuitiva, podemos escrever a função de forma mais formal.

Definição formal

f : A \to B

Para cada x em A, existe um único y em B tal que y = f(x).

Nessa escrita, A é o conjunto de partida, B é o conjunto de chegada, x é um elemento de A e f(x) é o valor correspondente em B. Não precisa decorar a linguagem formal de primeira. O mais importante é entender que cada x permitido tem uma única saída.

É função

Cada elemento do conjunto A tem exatamente uma seta saindo.

Não é função

Não é função, porque a mesma entrada 1 tem duas saídas.

Teste da reta vertical

Se uma reta vertical corta o gráfico em mais de um ponto, significa que existe um mesmo x com duas saídas y. Então não é função.

Passa no teste

A reta vertical encontra apenas um ponto.

Falha no teste

A mesma vertical corta dois pontos: há duas saídas para o mesmo x.

!

Não confunda: reta vertical testa se é função. Reta horizontal testa injetividade.

Notação, domínio e imagem

Nível básico

Quando escrevemos $f(x)$ , lemos “f de x”. Isso significa o valor que a função devolve quando a entrada é $x$ .

Atenção: f(x) não significa f multiplicado por x.

Na prática, calcular f(a) significa substituir x por a em toda a fórmula.

Exemplo simples

Se

f(x)=3x-1

, calcule

f(2)

.

1

Troque

x

por

2

.

2

f(2)=3 \cdot 2 - 1 = 5

.

Quando a entrada é 2, a saída é 5.

Ideia	Pergunta que responde	Exemplo
Domínio	Quais entradas são permitidas?	Em $f(x)=1/x$ , $x=0$ não é permitido, pois zera o denominador.
Imagem	Quais saídas a função realmente produz?	Em $f(x)=x²$ , considerando domínio real, as saídas são maiores ou iguais a zero.
Contradomínio	Em que conjunto as saídas são consideradas?	É o conjunto onde combinamos que as saídas serão consideradas.

Exemplo

Se

f(x)=2x-3

, calcule

f(0)

,

f(3)

e

f(-1)

.

1

Para calcular

f(a)

, troque todo

x

por

a

.

2

f(0)=2 \cdot 0 - 3 = -3

.

3

f(3)=2 \cdot 3 - 3 = 3

.

4

f(-1)=2 \cdot (-1) - 3 = -5

.

f(0)=-3

,

f(3)=3

e

f(-1)=-5

.

Exemplo com conjuntos: seja f: {1,2,3} → {2,4,6,8}, com f(1)=2, f(2)=4 e f(3)=6. Domínio: {1,2,3}. Contradomínio: {2,4,6,8}. Imagem: {2,4,6}. O 8 está no contradomínio, mas não está na imagem, porque nenhuma entrada chega nele.

Representações de uma função

Nível básico

Uma função não aparece sempre como fórmula. Em questões, ela pode aparecer como tabela, gráfico, diagrama ou texto. O aluno precisa aprender a mudar de linguagem.

Representação	O que mostra bem	Cuidado
Fórmula	A regra de cálculo.	Pode esconder restrições de domínio.
Tabela	Valores específicos.	Nem toda tabela grande mostra a função inteira. Ela pode mostrar apenas alguns valores.
Gráfico	Forma, crescimento, zeros e imagem.	Depende da escala e do domínio desenhado.
Diagrama	Associação entre entrada e saída.	É mais comum em conjuntos finitos.
Texto	Situações e modelos.	“O dobro de um número mais 1” vira $f(x)=2x+1$ .

Mesma função, três leituras

A função

f(x)=2x+1

pode aparecer por fórmula, tabela e gráfico.

x	f(x)	Ponto
-1	-1	(-1, -1)
0	1	(0, 1)
1	3	(1, 3)
2	5	(2, 5)

A fórmula, a tabela e o gráfico representam a mesma função.

Imagem e contradomínio

Nível intermediário

Contradomínio é o conjunto onde as saídas são declaradas. Imagem é o conjunto das saídas que a função realmente consegue produzir. Em muitos exercícios, confundir os dois gera respostas erradas.

?

Pergunta-chave: a função pode atingir todos os valores prometidos pelo contradomínio, ou só uma parte deles?

Exemplo comparado

Considere

f: R \to R

,

f(x)=x²

.

1

O contradomínio declarado é

R

.

2

Mas

x²

nunca produz valores negativos.

Imagem:

[0,+\infty)

. Logo, imagem e contradomínio não coincidem.

Como x² nunca é negativo, a imagem é [0,+∞).

Mudando o contradomínio

Se definirmos

g: R \to [0,+\infty)

,

g(x)=x²

, a regra é a mesma, mas o contradomínio mudou.

Agora a imagem coincide com o contradomínio. Essa ideia será retomada na classificação de funções.

Domínio com restrições

Nível intermediário

Em exemplos simples, o domínio pode ser dado no enunciado. Mas, quando aparece uma fórmula, precisamos verificar se alguma operação cria restrição.

Para achar o domínio com segurança, não basta olhar a fórmula de relance. É preciso perguntar o que poderia “quebrar” a expressão: divisão por zero, raiz par de número negativo e logaritmo de número não positivo são os casos clássicos.

Expressão	Condição de existência	Leitura
$1/g(x)$	$g(x) \neq 0$	O denominador não pode ser zero.
$\sqrtg(x)$	$g(x) \geq 0$	Em números reais, raiz de índice par exige radicando maior ou igual a zero.
$log(g(x))$	$g(x) > 0$	O logaritmo só existe quando o argumento é positivo.

Para depois: em funções compostas, também precisamos verificar se a saída de uma função pode entrar na outra. Em f(g(x)), o valor x precisa poder entrar em g e o resultado g(x) precisa poder entrar em f.

Exemplo básico 1

Determine o domínio de

f(x)=1/(x-2)

.

1

O denominador não pode ser zero:

x-2 \neq 0

.

2

Logo,

x \neq 2

.

Domínio: todos os reais, exceto

2

.

Exemplo básico 2

Determine o domínio de

f(x)=\sqrt(x+3)

.

1

Para a raiz quadrada existir nos reais, precisamos de

x+3 \geq 0

.

2

Então

x \geq -3

.

Domínio:

[-3,+\infty)

.

Exemplo intermediário

Determine o domínio de

f(x)=\sqrt((x-1)/(x-3))

.

1

Exija

(x-1)/(x-3) \geq 0

e

x \neq 3

.

2

Os pontos críticos são

1

e

3

.

Intervalo	(-∞,1)	x=1	(1,3)	x=3	(3,+∞)
Sinal de (x-1)/(x-3)	positivo	zero	negativo	não existe	positivo

3

Como precisamos de valor maior ou igual a zero, ficam os intervalos positivos e o ponto que zera o numerador.

Domínio:

(-\infty,1] \cup (3,+\infty)

. O

1

entra; o

3

não entra porque zera o denominador.

Classificação

Nível avançado

Esta parte é um primeiro contato. Se ficar difícil, estude apenas a ideia geral e volte depois de ver gráficos e funções elementares.

Classificar uma função ajuda a entender como ela se comporta. Injetora, sobrejetora e bijetora são classificações ligadas à relação entre domínio, imagem e contradomínio.

Tipo	Leitura	Exemplo ou consequência
Injetora	Entradas diferentes geram saídas diferentes.	$f(x)=2x$ é injetora em $R$ .
Não injetora	Duas entradas podem chegar à mesma saída.	$f(x)=x²$ não é injetora em $R$ , pois $f(2)=f(-2)=4$ .
Sobrejetora	Todo elemento do contradomínio é atingido.	Depende do contradomínio escolhido.
Bijetora	É injetora e sobrejetora.	Tem inversa bem definida.
Par	$f(-x)=f(x)$ .	Exemplo: $f(x)=x²$ . Simetria em relação ao eixo y.
Ímpar	$f(-x)=-f(x)$ .	Exemplo: $f(x)=x³$ . Simetria em relação à origem.

Injetora

Não repete saída.

Não injetora

Duas entradas chegam à mesma saída.

Sobrejetora

Todos os elementos do contradomínio recebem seta.

Bijetora

Não repete saída e usa todo o contradomínio.

Teste horizontal: injetiva

A horizontal corta uma vez.

Teste horizontal: não injetiva

A horizontal corta duas vezes.

!

Pegadinha: reta vertical testa se é função. Reta horizontal testa se é injetora.

Par e ímpar: função par tem simetria em relação ao eixo y, como f(x)=x². Função ímpar tem simetria em relação à origem, como f(x)=x³. Uma função pode não ser nem par nem ímpar. Não basta olhar um ponto: a condição precisa valer para todo x do domínio.

Como pensar uma função

Uma boa forma de raciocinar é separar a análise em quatro perguntas. Isso evita que a matéria vire apenas coleção de fórmulas e nomes.

1

Qual é a entrada permitida?

Essa pergunta leva ao domínio. Antes de qualquer conta, descubra onde a função existe.

2

O que a regra faz com a entrada?

Essa é a alma da função: dobrar, deslocar, elevar ao quadrado, modular, inverter.

3

Que tipo de saída ela produz?

Essa pergunta leva à imagem e ajuda a antecipar o gráfico e o comportamento.

4

O gráfico confirma essa leitura?

Quando fórmula e gráfico contam a mesma história, a matéria fica muito mais estável na cabeça.

Checklist para resolver uma questão de função:

O enunciado deu a função ou preciso montar a regra?
Qual é o domínio?
O que a questão pede: valor, domínio, imagem, gráfico, sinal ou classificação?
Preciso substituir um número em x?
Preciso resolver uma equação?
O gráfico ajuda?

Como aparece em questões

Calcular f(a) substituindo x por um número.
Identificar se uma relação é função.
Usar o teste da reta vertical.
Encontrar domínio de expressões.
Diferenciar domínio, imagem e contradomínio.
Interpretar tabela ou gráfico.
Identificar se uma função é injetora, sobrejetora ou bijetora.
Reconhecer funções pares e ímpares.

Erros comuns em fundamentos de funções

Achar que f(x) significa f multiplicado por x.
Esquecer que a mesma entrada não pode ter duas saídas.
Achar que duas entradas não podem ter a mesma saída.
Confundir domínio com imagem.
Confundir imagem com contradomínio.
Esquecer que denominador não pode ser zero.
Esquecer que raiz quadrada exige radicando não negativo.
Esquecer que logaritmo exige argumento positivo.
Usar o teste da reta horizontal para saber se é função.
Usar o teste da reta vertical para saber se é injetora.
Achar que toda função tem inversa.
Classificar como par ou ímpar testando apenas um número.

Resumo para prova

Função associa cada entrada a uma única saída.
f(x) se lê “f de x” e representa a saída da função.
Calcular f(a) significa substituir x por a.
Domínio é o conjunto das entradas permitidas.
Imagem é o conjunto das saídas realmente produzidas.
Contradomínio é o conjunto onde as saídas são consideradas.
Um gráfico representa função se passar no teste da reta vertical.
Fórmula, tabela, gráfico, diagrama e texto podem representar a mesma função.
Denominador não pode ser zero.
Raiz de índice par exige radicando maior ou igual a zero.
Logaritmo exige argumento positivo.
Injetora não repete saída.
Sobrejetora atinge todo o contradomínio.
Bijetora é injetora e sobrejetora.
Função par tem simetria no eixo y.
Função ímpar tem simetria na origem.

Exercícios por nível

Básicos

Exercício 1 - Substituição

Se

f(x)=3x+2

, quanto vale

f(4)

?

Exercício 2 - Relação função

Uma relação associa 1 → 2, 2 → 3 e 3 → 3. Essa relação é função?

Exercício 3 - Não função

Uma relação associa 1 → 2, 1 → 3 e 2 → 4. Ela é função?

Intermediários

Exercício 4 - Domínio

Em

f(x)=1/x

, qual valor não pertence ao domínio?

Exercício 5 - Restrição

Qual é a restrição de domínio de

f(x)=1/(x-5)

?

Exercício 6 - Raiz

Qual é o domínio real de

f(x)=\sqrt(x-4)

?

Exercício 7 - Teste da reta vertical

Um gráfico é cortado por uma mesma reta vertical em dois pontos. Ele representa função?

Avançados

Exercício 8 - Função par

A função

f(x)=x²

é:

Exercício 9 - Classificação

Uma função entre conjuntos finitos liga 1 → a, 2 → b e 3 → c, e o contradomínio é {a,b,c}. Ela é:

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Fundamentos de funções

O que é uma função?

É função

Não é função

Teste da reta vertical

Passa no teste

Falha no teste

Notação, domínio e imagem

Representações de uma função

Imagem e contradomínio

Domínio com restrições

Classificação

Injetora

Não injetora

Sobrejetora

Bijetora

Teste horizontal: injetiva

Teste horizontal: não injetiva

Como pensar uma função

Qual é a entrada permitida?

O que a regra faz com a entrada?

Que tipo de saída ela produz?

O gráfico confirma essa leitura?

Como aparece em questões

Erros comuns em fundamentos de funções

Resumo para prova

Exercícios por nível