Funções Elementares

Como reconhecer o tipo de função

Antes de aplicar fórmula, observe onde a variável aparece. Ela pode estar no primeiro grau, ao quadrado, dentro de módulo, no expoente ou no denominador. Essa primeira leitura ajuda a prever o gráfico, o domínio e os cuidados da questão.

Se a variável aparece...	Tipo provável	Exemplo	Comportamento esperado
Apenas no primeiro grau	Função afim ou linear, dependendo do caso	$f(x)=2x-1$	Reta, crescimento constante.
Ao quadrado como maior expoente	Quadrática	$f(x)=x²-4x+3$	Parábola, vértice e concavidade.
Dentro de módulo	Modular	$f(x)=\|x-2\|$	Quebra no ponto onde o interior zera.
No expoente	Exponencial	$f(x)=2ˣ$	Crescimento ou decaimento multiplicativo.
No denominador	Racional	$f(x)=1/(x-3)$	Restrições de domínio e assíntotas.

!

Atenção em questões: reconhecer o tipo de função antes de resolver ajuda a prever domínio, imagem, zeros e formato do gráfico.

Função afim ou função do 1º grau

Nível básico

A função afim tem a forma $f(x)=ax+b$ . Seu gráfico é uma reta. O número $a$ controla a inclinação da reta, e o número $b$ indica onde a reta corta o eixo y.

Observação: em muitos materiais,

f(x)=ax+b

é chamada de função do 1º grau ou função afim. A função linear é o caso particular

f(x)=ax

, quando

b=0

.

Forma geral

Função $f(x)=ax+b$
Coeficiente angular $a$ controla a inclinação
Coeficiente linear $b$ marca o corte no eixo y
Zero $x=-b/a$ , se $a\neq0$

Se $a>0$ , a função é crescente. Se $a<0$ , é decrescente. Se $a=0$ , é constante. O zero da função é o ponto onde o gráfico corta o eixo x.

Exemplo:

f(x)=2x-1

. Como

a=2>0

, a reta é crescente. Como

b=-1

, corta o eixo y em

-1

. O zero ocorre em

x=1/2

.

Exemplo resolvido

Para

f(x)=2x-1

, determine o coeficiente angular, o coeficiente linear, o zero da função e se ela é crescente ou decrescente.

1

a=2

, então o coeficiente angular é 2.

2

b=-1

, então o coeficiente linear é -1.

3

Zero:

2x-1=0

, então

2x=1

e

x=1/2

.

4

Como

a>0

, a função é crescente.

!

Pegadinha comum: o coeficiente linear

b

mostra onde a reta corta o eixo y, não o eixo x. O corte no eixo x é encontrado resolvendo

f(x)=0

.

Função quadrática

Nível básico/intermediário

A função quadrática tem a forma $f(x)=ax²+bx+c$ , com $a\neq0$ . Seu gráfico é uma parábola.

Se $a>0$ , a parábola abre para cima.
Se $a<0$ , a parábola abre para baixo.
O vértice indica mínimo ou máximo.
As raízes são os pontos onde o gráfico corta o eixo x.

Elementos centrais

Função $f(x)=ax²+bx+c$
Discriminante $Δ = b²-4ac$
Raízes $x = (-b \pm \sqrtΔ)/(2a)$ , se $Δ \geq 0$
Vértice x $x_v = -b/(2a)$
Vértice y $y_v = -Δ/(4a)$
Eixo $x=x_v$

Exemplo:

f(x)=x²-4x+3

. A parábola abre para cima porque

a=1>0

, corta o eixo x em 1 e 3 e tem vértice em

(2,-1)

.

Exemplo resolvido

Para

f(x)=x²-4x+3

, encontre as raízes e o vértice.

1

a=1

,

b=-4

,

c=3

.

2

Δ=(-4)²-4\cdot1\cdot3=16-12=4

.

3

x=(4\pm\sqrt4)/2=(4\pm2)/2

, então

x=1

ou

x=3

.

4

x_v=-b/(2a)=4/2=2

.

5

y_v=f(2)=2²-4\cdot2+3=4-8+3=-1

.

Raízes:

1

e

3

. Vértice:

(2,-1)

.

!

Pegadinhas: o valor de

c

mostra onde a parábola corta o eixo y, não o eixo x. Se

Δ<0

, a parábola não corta o eixo x, mas ainda pode ter vértice e gráfico.

Função modular

Nível intermediário

A função modular envolve valor absoluto. O módulo transforma uma quantidade em distância até zero, por isso o resultado de $|x|$ nunca é negativo.

Quando aparece $|x-a|$ , o ponto de quebra geralmente ocorre em $x=a$ . Em $f(x)=|x-2|$ , o interior zera quando $x-2=0$ , ou seja, em $x=2$ .

Definição por partes

|x| = x, se x \geq 0 |x| = -x, se x < 0

Valores negativos são refletidos para cima.

O gráfico de

|x|

tem formato de V.

Exemplo resolvido

Resolva

|x-3|=5

.

1

x-3=5

ou

x-3=-5

.

2

Da primeira equação,

x=8

. Da segunda,

x=-2

.

Soluções:

x=8

ou

x=-2

. O módulo mede distância: estar a 5 unidades de 3 significa estar em 8 ou -2.

!

Pegadinha comum:

|x-3|

não é sempre

x-3

. Se

x<3

, o interior fica negativo e o módulo troca o sinal.

Função exponencial

Nível intermediário

Na função exponencial, a variável aparece no expoente. Isso gera crescimento ou decaimento multiplicativo.

Forma

Função $f(x)=aˣ$ , com $a>0$ e $a\neq1$
Crescente se $a>1$
Decrescente se $0<a<1$
Imagem sempre positiva
Ponto fixo passa por $(0,1)$ , pois $a⁰=1$

Quando

a>1

, a função cresce. Quando

0<a<1

, a função decresce.

Exemplo de crescimento

Uma população dobra a cada hora. Se começa com 500 indivíduos, qual modelo representa a quantidade após

t

horas?

1

Dobrar significa multiplicar por 2 a cada hora.

2

O fator multiplicativo fica elevado ao tempo. Após 0 horas,

P(0)=500

, porque

2⁰=1

.

P(t)=500 \cdot 2ᵗ

.

Exemplo de decaimento

Uma substância perde 20% da massa por hora. Se começa com 100 g, qual modelo representa a massa após

t

horas?

1

Perder 20% significa permanecer com 80%, por isso o fator é

0,8

.

M(t)=100 \cdot (0,8)ᵗ

.

!

Pegadinhas: crescer 20% não significa somar 20 a cada etapa; significa multiplicar por 1,2. Perder 20% não significa multiplicar por 0,2; significa multiplicar por 0,8.

Função racional

Nível intermediário

Função racional é uma razão entre expressões algébricas. O cuidado principal é que o denominador nunca pode ser zero.

Caso básico

Recíproca $f(x)=1/x$
Domínio $x\neq0$
Imagem $y\neq0$
Assíntotas $x=0$ e $y=0$

O gráfico se aproxima dos eixos, mas não toca neles.

Domínio com denominador

Determine o domínio de

f(x)=3/(x-2)

.

1

O denominador não pode ser zero.

2

Resolva

x-2\neq0

, então

x\neq2

.

Domínio:

R - {2}

. O valor

x=2

é excluído porque deixaria o denominador igual a zero.

!

Pegadinhas: não basta olhar o numerador. O domínio da função racional depende principalmente dos valores que zeram o denominador. O valor proibido também pode aparecer depois de fatorar e simplificar; a restrição original pode continuar importante dependendo do contexto.

Comparativo

Tipo	Gráfico típico	Leitura rápida	Cuidado comum
Afim	Reta	Cresce ou decresce conforme o sinal de $a$ .	Não confundir corte no eixo y com raiz.
Quadrática	Parábola	Tem vértice e pode ter duas, uma ou nenhuma raiz real.	$Δ$ define a quantidade de raízes reais.
Modular	V	Muito ligada à definição por partes.	Ponto de quebra onde o módulo zera.
Exponencial	Curva sempre positiva	Crescimento ou decaimento multiplicativo.	A base precisa ser positiva e diferente de 1.
Racional	Hipérbole ou razão mais geral	Pede atenção ao denominador.	Denominador não pode ser zero.

Como aparece em questões

Identificar o tipo de função pela fórmula.
Calcular valores como $f(2)$ ou $g(-3)$ .
Encontrar raízes.
Interpretar gráficos.
Identificar crescimento ou decrescimento.
Achar vértice de parábola.
Resolver equações modulares simples.
Montar modelo exponencial de crescimento ou decaimento.
Encontrar domínio de função racional.

Erros comuns em funções elementares

Chamar toda função afim de linear sem perceber o caso $b=0$ .
Confundir coeficiente angular com coeficiente linear.
Achar que $b$ é a raiz da função afim.
Esquecer que a função quadrática precisa ter $a\neq0$ .
Achar que $c$ é raiz da parábola.
Esquecer que $Δ$ define a quantidade de raízes reais.
Tratar $|x-a|$ como $x-a$ em todos os casos.
Esquecer que exponencial tem variável no expoente.
Confundir crescimento percentual com soma constante.
Multiplicar por 0,2 quando a perda é de 20%, em vez de multiplicar por 0,8.
Esquecer que denominador não pode ser zero.
Ignorar assíntotas em função racional.

Resumo para prova

Função afim: $f(x)=ax+b$ . O gráfico é uma reta.
Em $f(x)=ax+b$ , $a$ controla a inclinação e $b$ indica o corte no eixo y.
Zero da função afim: $x=-b/a$ , se $a\neq0$ .
Função quadrática: $f(x)=ax²+bx+c$ . O gráfico é uma parábola.
Se $a>0$ , a parábola abre para cima. Se $a<0$ , abre para baixo.
$Δ=b²-4ac$ ajuda a encontrar as raízes.
Função modular tem gráfico em V.
$|x|$ nunca é negativo.
Função exponencial tem variável no expoente.
Se $a>1$ , a exponencial cresce. Se $0<a<1$ , decresce.
Função racional exige cuidado com o denominador.
Em função racional, valores que zeram o denominador saem do domínio.

Exercícios por nível

Básicos

Exercício 1 - Reconhecimento

A função

f(x)=3x-7

é de que tipo?

Exercício 2 - Função afim

Na função

f(x)=-2x+5

, a função é:

Exercício 3 - Substituição

Se

g(x)=x²-9

, qual é o valor de

g(-3)

?

Intermediários

Exercício 4 - Quadrática

Para

f(x)=x²-5x+6

, quais são as raízes?

Exercício 5 - Modular

Resolva

|x-4|=6

.

Exercício 6 - Exponencial

Uma quantidade triplica a cada etapa e começa em 5. Qual modelo representa a quantidade após t etapas?

Exercício 7 - Racional

Qual valor deve ser excluído do domínio de

f(x)=1/(x+4)

?

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Função afim ou função do 1º grau

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