Princípio Fundamental da Contagem
Se uma tarefa tem etapas independentes, multiplique o número de escolhas de cada etapa.
Regra do produto
total = n₁ · n₂ · ... · nₖ
Exemplo
4 camisas, 3 calças e 2 tênis
4 · 3 · 2 = 24 combinações
Regra da soma: se as opções são alternativas e não acontecem juntas, some as possibilidades.
Fatorial
Fatorial representa produto decrescente de inteiros positivos e aparece em ordenações.
Definição
- n! n · (n − 1) · ... · 2 · 1
- 0! 1
- 1! 1
- Relação n! = n · (n − 1)!
Permutações
Use permutação quando todos os elementos serão ordenados.
Tipos principais
- Simples Pₙ = n!
- Com repetição P = n!/(a!b!c!...)
- Circular P circular = (n − 1)!
Exemplo
Quantos anagramas tem BANANA?
1
6 letras, com A repetido 3 vezes e N repetido 2 vezes.
6!/(3!2!) = 60
Arranjos
Use arranjo quando você escolhe parte dos elementos e a ordem importa.
Arranjo simples
Aₙ,ₚ = n!/(n − p)!
Exemplo
Pódio com 3 lugares entre 8 corredores
A₈,₃ = 8 · 7 · 6 = 336
Combinações
Use combinação quando você escolhe parte dos elementos e a ordem não importa.
Combinação simples
- Fórmula Cₙ,ₚ = n!/[p!(n − p)!]
- Simetria Cₙ,ₚ = Cₙ,ₙ₋ₚ
- Extremos Cₙ,₀ = Cₙ,ₙ = 1
- Pascal Cₙ,ₚ = Cₙ₋₁,ₚ₋₁ + Cₙ₋₁,ₚ
Binômio de Newton
Os coeficientes das expansões de (a + b)ⁿ são combinações.
Expansão
(a + b)ⁿ = Σ Cₙ,ₖ aⁿ⁻ᵏbᵏ
| n | Coeficientes |
|---|---|
| 2 | 1, 2, 1 |
| 3 | 1, 3, 3, 1 |
| 4 | 1, 4, 6, 4, 1 |
Restrições clássicas
| Restrição | Técnica comum |
|---|---|
| Elementos juntos | Tratar o grupo como bloco. |
| Elementos separados | Organizar os demais e distribuir nos espaços. |
| Lugares proibidos | Contar total menos casos proibidos. |
| Alternância | Fixar o tipo mais numeroso e preencher lacunas. |
| Objetos idênticos | Dividir pelos fatoriais das repetições. |
| Distribuição com repetição | Usar combinações completas quando a ordem não importa. |
Combinação completa
CRₙ,ₚ = Cn+p−1,p
Princípio da inclusão-exclusão
Quando conjuntos se sobrepõem, somar diretamente conta interseções mais de uma vez.
Dois e três conjuntos
- 2 conjuntos n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)
- 3 conjuntos n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)−n(A∩B)−n(A∩C)−n(B∩C)+n(A∩B∩C)
Como decidir a fórmula
| Pergunta | Se sim | Se não |
|---|---|---|
| Vai usar todos os elementos? | Permutação | Arranjo ou combinação |
| A ordem importa? | Arranjo | Combinação |
| Há repetição? | Permutação com repetição ou contagem por casos | Fórmulas simples |