A pergunta que decide quase tudo
Depois de dominar a regra do produto, a próxima dificuldade é saber se a ordem muda o resultado. Essa pergunta separa boa parte da combinatória em três blocos.
| Situação | Ordem importa? | Ferramenta provável |
|---|---|---|
| organizar todos os elementos em posições | sim | permutação |
| escolher parte dos elementos e ordenar | sim | arranjo |
| escolher parte dos elementos sem ordenar | não | combinação |
Por que as fórmulas funcionam
As fórmulas de permutação, arranjo e combinação não são três coisas desconectadas. Todas vêm da regra do produto e do princípio da divisão.
| Técnica | Ideia por trás | Fórmula |
|---|---|---|
| Permutação | ordena todos os n elementos | n! |
| Arranjo | escolhe p posições em ordem: n opções, depois n-1, depois n-2... | An,p = n!/(n-p)! |
| Combinação | conta arranjos e divide pelas p! ordens internas de cada grupo | Cn,p = An,p/p! |
Permutações
Use permutação quando todos os elementos distintos serão organizados. Uma fila, uma ordem de apresentação, uma sequência de livros diferentes na prateleira: tudo isso é permutação.
Permutação com repetição
Quando há elementos repetidos, trocar elementos iguais entre si não gera um resultado novo. Por isso dividimos pelos fatoriais das repetições.
Permutação circular
Em uma mesa redonda, rotações iguais não contam como novas disposições. Se todos mudam uma cadeira para a direita, a ordem relativa continua igual. Por isso fixamos uma pessoa e permutamos as demais.
Arranjos
Use arranjo quando você escolhe apenas parte dos elementos e a ordem importa. Pódio, cargos diferentes, senhas sem repetição e posições distintas costumam cair aqui.
Combinações
Use combinação quando você escolhe parte dos elementos e a ordem não importa. Comitês, equipes, grupos e subconjuntos são exemplos clássicos.
- Fórmula Cn,p = n!/[p!(n - p)!]
- Simetria Cn,p = Cn,n-p
- Pascal Cn,p = Cn-1,p-1 + Cn-1,p
Binômio de Newton
Os coeficientes da expansão de (a + b)n são combinações. Isso acontece porque, em cada termo, escolhemos em quais fatores aparecerá o b.
| n | Coeficientes | Expansão resumida |
|---|---|---|
| 2 | 1, 2, 1 | a² + 2ab + b² |
| 3 | 1, 3, 3, 1 | a³ + 3a²b + 3ab² + b³ |
| 4 | 1, 4, 6, 4, 1 | a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴ |
Como diferenciar na prova
| Frase do problema | Leitura correta | Técnica |
|---|---|---|
| “em fila”, “ordem”, “posição” | a troca de lugar muda o resultado | permutação ou arranjo |
| “equipe”, “comissão”, “grupo” | a ordem não importa | combinação |
| “todos os elementos” | vou ordenar tudo | permutação |
| “p entre n” com cargos diferentes | escolhe parte e ordena | arranjo |
| “anagramas” com letras repetidas | ordenação com repetições indistinguíveis | permutação com repetição |
Problemas de prova: leitura guiada
Em exercícios mais fortes, a palavra-chave nem sempre entrega a técnica. Leia o papel de cada escolha: se há cargo, posição, ordem ou função diferente, a ordem importa; se há apenas grupo, a ordem não importa.