Ideia central da contagem
Contagem não é apenas “usar fórmula”. O objetivo é descobrir quantos resultados diferentes podem acontecer sem precisar listar todos um por um.
O primeiro passo é entender o que forma um resultado. Em uma senha, por exemplo, cada posição é uma decisão. Em uma roupa, camisa, calça e tênis são decisões. Em uma escolha de transporte, ônibus ou metrô são caminhos alternativos.
| Tipo de situação | Como pensar | Operação comum |
|---|---|---|
| Etapas sucessivas | faço uma escolha, depois outra, depois outra | multiplicação |
| Caminhos alternativos | escolho um tipo de caminho ou outro | soma |
| Casos com proibição | conto respeitando a restrição ou subtraio os casos proibidos | produto, soma ou complemento |
| Ordem de objetos | mudo a posição dos elementos | fatorial |
Árvore de possibilidades
Antes de decorar qualquer fórmula, imagine uma árvore. Cada escolha abre ramos. O total de possibilidades é a quantidade de caminhos completos da raiz até o fim.
Por exemplo: se uma senha tem 2 posições, a primeira com 3 opções e a segunda com 2 opções, cada uma das 3 opções iniciais abre 2 continuações. Isso gera 3 . 2 = 6 caminhos completos.
Regra do produto
A regra do produto aparece quando uma tarefa é formada por etapas. Se a primeira etapa tem 4 possibilidades e, para cada uma delas, a segunda tem 3 possibilidades, o total é 4 . 3 = 12.
A palavra importante é para cada. Para cada camisa, há 3 calças. Para cada primeira letra, há 26 escolhas para a segunda. Para cada algarismo inicial, há opções para os próximos.
Exemplo simples
Uma lanchonete oferece 3 pães, 4 recheios e 2 bebidas. Para montar um lanche completo, a pessoa escolhe pão, recheio e bebida.
Regra da soma
A regra da soma aparece quando há caminhos alternativos. Se uma pessoa pode escolher um ônibus entre 5 linhas ou um metrô entre 2 linhas, ela não escolhe ônibus e metrô ao mesmo tempo. São alternativas.
Quando soma e produto aparecem juntos
Em muitos problemas, você separa em casos e, dentro de cada caso, multiplica etapas. Depois soma os resultados dos casos.
Restrições, repetição e complemento
Problemas de prova raramente dizem apenas “quantas possibilidades existem?”. Eles costumam colocar uma condição: não pode repetir, deve começar por par, precisa terminar em vogal, deve ter pelo menos um algarismo especial.
Com repetição permitida
Se uma escolha pode ser usada novamente, o número de opções geralmente se mantém igual em cada etapa. Uma senha com 4 algarismos, permitindo repetição, tem:
Sem repetição
Se não pode repetir, cada escolha feita reduz as opções seguintes. Uma senha com 4 algarismos distintos tem:
Contar pelo complemento
Às vezes é mais fácil contar tudo e tirar o que não serve. Isso é útil em frases como “pelo menos um”, “nenhum”, “não pode acontecer”.
Fatorial
O fatorial aparece quando estamos ordenando objetos distintos. Ele representa uma multiplicação decrescente.
- n! n . (n - 1) . (n - 2) . ... . 2 . 1
- 5! 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
- 0! 1
Por que 5! conta filas de 5 pessoas? Para a primeira posição há 5 escolhas. Depois sobra 4. Depois 3, depois 2, depois 1.
Princípio da divisão
Muitas fórmulas de combinatória nascem de uma ideia simples: às vezes contamos cada resultado várias vezes. Quando sabemos que cada resultado foi contado exatamente a mesma quantidade de vezes, dividimos por essa repetição.
Exemplo: duplas
De 5 pessoas, quantas duplas podem ser formadas? Se contarmos “primeira pessoa” e “segunda pessoa”, teremos 5 . 4 = 20 escolhas ordenadas. Mas a dupla Ana-Bruno é a mesma que Bruno-Ana.
Exemplo: anagramas com repetição
Na palavra CASA, se as duas letras A fossem diferentes, teríamos 4! ordenações. Mas trocar A por A não muda a palavra. Cada anagrama foi contado 2! vezes.
Método de resolução
Antes de aplicar qualquer fórmula, siga um roteiro. Ele evita a maioria dos erros em combinatória inicial.
| Passo | Pergunta | Decisão |
|---|---|---|
| 1 | O que é um resultado completo? | defina se é senha, roupa, fila, caminho, placa, escolha etc. |
| 2 | Há etapas obrigatórias? | se sim, use produto entre as etapas. |
| 3 | Há casos alternativos? | separe em casos e some no final. |
| 4 | Pode repetir? | se não puder, reduza as opções depois de cada escolha. |
| 5 | A ordem muda o resultado? | se muda, conte ordenações; se não muda, a próxima trilha entra com combinações. |
| 6 | Existe proibição difícil? | considere contar tudo e subtrair os casos proibidos. |
Exemplos guiados
Erros comuns
| Erro | Por que atrapalha | Como corrigir |
|---|---|---|
| Multiplicar alternativas | cria combinações que não existem | se é “ou”, pense em soma de casos |
| Somar etapas | conta escolhas isoladas, não resultados completos | se precisa de todas as decisões, multiplique |
| Ignorar repetição | mantém opções que já deveriam ter acabado | pergunte se o elemento escolhido pode aparecer de novo |
| Deixar a restrição para o final | pode gerar contagem duplicada ou inválida | em números pares, comece pela unidade; em senhas proibidas, use complemento |
| Usar fatorial em qualquer problema | fatorial serve para ordenação, não para toda contagem | verifique se todos os objetos serão colocados em ordem |