1Sequências numéricas
Aula ainda não marcada como estudada neste navegador.
- Sequência é uma lista ordenada de termos. Posição e repetição importam; um conjunto não registra essas informações da mesma forma.
- é o valor na posição n. é o próximo termo; é o valor atual acrescido de um. O índice não é expoente nem multiplicação.
- O domínio informa os índices válidos. Uma sequência finita tem quantidade determinada de posições; uma infinita não tem um último termo chamado infinito.
- A indexação pode começar em zero ou em outro inteiro, desde que isso seja declarado. O índice inicial não determina o valor inicial.
- Duas sequências são iguais quando têm o mesmo domínio de índices e o mesmo valor em cada posição; um começo comum não basta.
- A sequência numérica associa a cada índice um único número real. Seu gráfico usa pontos nas posições permitidas, sem acrescentar entradas fracionárias automaticamente.
- Uma fórmula explícita calcula o termo a partir da posição. Substitua o índice em todas as ocorrências e respeite parênteses, sinais e potências.
- Para procurar um valor, resolva a equação da fórmula com esse valor e confira se as soluções pertencem ao domínio. Pode haver nenhuma, uma ou várias posições.
- Toda regra precisa existir em todos os índices declarados: denominadores não podem ser zero e raízes quadradas reais exigem radicando não negativo.
- Poucos termos podem sugerir um padrão, mas regras diferentes podem ter o mesmo começo. Uma construção ou condição expressa fornece a justificativa da continuação.
- Regras por casos devem cobrir o domínio de modo consistente. Em uma intercalação por paridade, o caso é escolhido pelo índice, não pelo valor do termo.
- Uma recorrência usa termos anteriores e dados iniciais. A quantidade de dados precisa permitir o começo, e todas as operações da passagem devem existir.
- Uma fórmula explícita e uma recorrência podem representar a mesma sequência. Base e passo da indução justificam a concordância em todos os índices.
- Crescente e decrescente são estritas nesta aula. Não decrescente e não crescente permitem igualdades. Uma sequência constante satisfaz ambas as versões fracas.
- O sinal da diferença consecutiva prova monotonia. Comparações pelo quociente exigem atenção aos sinais e à ausência de zero no denominador.
- Limitação usa números fixos acima e abaixo de todos os termos. Crescer não obriga a ser ilimitada; ser limitada não obriga os valores a se aproximarem de um único número.
- Periodicidade repete valores após um deslocamento inteiro fixo em todos os índices. O resto da divisão de n−1 pelo tamanho do ciclo localiza uma posição distante.
- Uma subsequência seleciona índices estritamente crescentes. Reindexar a lista inteira conserva todos os valores e apenas muda os nomes das posições.
- Fatorial é produto dos inteiros positivos até n, com 0! = 1. O símbolo ! não é potência e não pode ser cancelado como se fosse um fator independente.
- é soma dos primeiros n termos e . O símbolo indica as parcelas e seus índices; recupera o último termo acrescentado.
2Progressão aritmética — PA
Aula ainda não marcada como estudada neste navegador.
- PA é uma sequência real cuja diferença próximo menos atual é constante. A palavra razão, aqui, nomeia essa diferença, não um quociente.
- A razão pode ser positiva, negativa ou zero. Ela define se a PA é crescente, decrescente ou constante; o sinal dos valores isolados não decide.
- Uma lista finita só permite seus próprios índices. Uma lista com um termo não determina uma razão única; um início observado não prova a continuação infinita.
- conta n−1 passagens a partir da posição um. Se o início é , usamos .
- Entre posições p e n, . Dois termos em posições distintas dão a razão pela diferença dos valores dividida pela diferença dos índices.
- Localizar um valor exige índice inteiro permitido. Para razão não nula, resolvemos a equação; para razão zero, comparamos diretamente com o valor constante.
- O termo geral é afim no índice. O gráfico tem pontos alinhados, mas índices fracionários não são acrescentados ao domínio da sequência.
- Em três termos consecutivos, o do meio é a média dos vizinhos. Para caracterizar uma sequência inteira, o critério deve valer em todas as trincas consecutivas.
- Pares de termos com a mesma soma de índices têm a mesma soma de valores. Pares equidistantes dos extremos somam o primeiro mais o último.
- Três ou cinco termos podem ser escritos ao redor do termo central. A forma centrada simplifica a soma e mantém a razão da PA.
- Em quatro termos escritos como (c−3t,c−t,c+t,c+3t), a razão é 2t. O centro c é a média dos dois centrais e pode não ser termo.
- Inserir m meios entre dois extremos produz m+2 termos e m+1 passagens. Divida a diferença dos extremos por m+1, respeitando a ordem.
- Selecionar posições com salto inteiro fixo h multiplica a razão por h. Inverter uma PA finita troca o sinal da razão.
- Transformações afins dos termos e somas de PAs preservam a classe, com razões correspondentes. Produtos termo a termo não preservam PA em geral.
- é o total dos primeiros n termos, enquanto é uma parcela. ; Σ indica quais parcelas somar e k percorre seus índices.
- A duplicação da soma, com ordem invertida, prova . Substituir o termo geral permite usar a razão. As fórmulas valem para qualquer sinal, com n finito.
- A média de uma PA finita é a média dos extremos. Um trecho da posição p à q tem q−p+1 parcelas, incluindo as pontas.
- Nas somas de inteiros, pares e ímpares, n conta parcelas. Para contar múltiplos em um intervalo, localize primeiro e último efetivamente incluídos.
- Uma soma dada pode admitir mais de uma quantidade de parcelas quando existem termos negativos. Todas as soluções precisam passar pelas condições de índice e domínio.
- Somas parciais de PA são quadráticas sem termo constante, ou lineares no caso de razão zero. Recuperar termos usa a diferença de somas e a condição S₀=0. O sinal da parcela acrescentada controla o crescimento da soma.
3Progressão geométrica — PG
Aula ainda não marcada como estudada neste navegador.
- PG é uma sequência em que a passagem ao termo seguinte multiplica por um fator fixo q. A razão da PA é uma diferença; a da PG é o fator de multiplicação.
- O quociente próximo dividido pelo atual só existe com denominador não nulo. Zero se propaga pela recorrência; uma PG toda nula admite qualquer fator e não identifica razão única.
- O termo geral é para q ≠ 0. Há n−1 passagens desde a posição um. Com origem no zero, usamos . Para q = 0, conserve o início e trate os zeros seguintes sem usar 0⁰.
- Entre posições existentes, o deslocamento conta fatores. Ao obter a razão por uma potência, expoente par pode deixar dois sinais reais ou nenhuma solução; confira condições e todos os dados.
- Para razão positiva, a monotonia depende também do sinal inicial. Primeiro termo negativo inverte a classificação usual dos termos positivos.
- Com primeiro termo não nulo e razão negativa, os sinais alternam. Razão −1 produz ciclo de duas posições; módulo menor que um reduz os módulos sem atingir zero em posição finita.
- Razão um produz lista constante. Razão zero com início não nulo produz lista estacionária; o início é seguido por zeros. A lista nula é constante para qualquer fator.
- Procurar um valor exige posição inteira e pertencente ao domínio. Casos constantes, estacionários e periódicos são tratados antes de supor unicidade.
- Para três termos consecutivos não nulos, o quadrado do meio é o produto das pontas. A média geométrica positiva escolhe a raiz positiva; a equação pode admitir o sinal negativo.
- Produtos de pares com a mesma soma de índices são iguais na PG de razão não nula. As formas centradas facilitam produtos, conservando as restrições das divisões.
- Na forma centrada de quatro termos com t positivo, a razão é t². Essa parametrização não cobre razões negativas. Nas formas de três e cinco termos, a razão é o próprio q.
- Inserir m meios cria m+1 passagens. Resolva a potência da razão nos reais e confira sinais. Se o primeiro extremo é zero, todos os seguintes precisam ser zero.
- Selecionar posições com salto fixo h dá razão qʰ. Inverter PG finita com razão não nula dá a razão inversa. Produtos e quocientes termo a termo preservam PG sob as condições de existência.
- Produto Pₙ, termo aₙ e soma Sₙ são quantidades diferentes. Uma identidade para o quadrado do produto não decide o sinal do produto.
- A soma finita é deduzida multiplicando por q e subtraindo. A fórmula divide por q−1, portanto exige q ≠ 1; razão um usa parcelas iguais. S₀ = 0 é definido separadamente.
- Valores posicionais de um algarismo repetido formam PG. Somatórios com pesos em PA podem ser tratados por multiplicação e subtração adaptadas, sem chamar a lista ponderada de PG.
- Um trecho inclusivo tem último índice menos primeiro índice mais um parcelas. Somatórios precisam ser lidos desde seu índice inicial real. Problemas inversos conservam somente quantidades permitidas.
- Uma taxa decimal fixa i corresponde ao fator 1+i. Valor após n períodos usa origem no zero e supõe ausência de outras mudanças. Aumento percentual fixo não é aumento absoluto fixo.
- Soma infinita é o limite das somas parciais. Para primeiro termo não nulo, a PG tem soma ordinária real exatamente quando |q| < 1; então S = a₁/(1−q). A lista toda nula tem soma zero diretamente.
- O resto mede a diferença entre o limite e a soma parcial; seu módulo dá o tamanho do erro. Caudas começam no termo da posição escolhida. Razão negativa pode aproximar a soma pelos dois lados.
- Áreas e volumes semelhantes usam o quadrado e o cubo do fator linear. Percursos repetidos contam separadamente cada deslocamento. Dízimas periódicas são somas de blocos com razão decimal fixa, com atenção ao número de casas.
O registro de estudo é local e não exige cadastro.