Fórmulas de PA e PG

a é o nome da sequência; o índice inteiro positivo informa a posição. a₁ é o primeiro termo, a₂ o segundo e aₙ o termo de índice n. O índice não é expoente nem um fator multiplicando a. Parênteses destacam a ordem; repetições são permitidas.

I é o conjunto de índices. Na primeira opção, N ≥ 1 é inteiro e a sequência tem N posições; na segunda, ℕ* = {1,2,3,…}. No EstudaMath, ℕ inclui zero. Se a indexação começar em zero ou em outro inteiro, isso deve ser declarado. Infinito não é um índice final.

As duas sequências precisam ter o mesmo conjunto de índices I e o mesmo valor em cada posição. Mesmos valores em outra ordem, uma repetição a mais ou coincidência apenas de alguns termos não garantem igualdade.

I é o conjunto de índices declarado e ℝ é o conjunto dos números reais. A seta expressa que a regra associa um único valor real a cada índice. Índices diferentes podem ter valores iguais. O gráfico registra pares (n,aₙ), sem preencher automaticamente posições não inteiras.

n pertence ao domínio de índices e f é uma regra definida em cada um deles. Para obter aₖ, substitua todas as ocorrências de n pelo índice k, usando parênteses. A fórmula calcula o termo, não necessariamente a soma até ele.

L é o valor procurado e aₙ = f(n) é a regra da sequência. Resolva a equação e conserve apenas índices pertencentes a I. Pode haver nenhum, um ou vários índices. Uma solução real fracionária, negativa ou além do final de uma sequência pode não ser admissível.

Para uma sequência real, a expressão precisa existir em todos os índices declarados. Esta regra, por exemplo, pode definir uma sequência indexada por n ≥ 3, mas não por todos os positivos sem definir separadamente o termo de índice 2. Não se obtém um termo dividindo por zero.

Esta sequência tem sete termos reais quando os índices são os inteiros de 1 a 7. O radicando 7−n deve ser não negativo. O termo a₇ = 0 existe; a expressão não define a₈ real. A raiz é a principal, não negativa.

A igualdade de um trecho inicial só compara esse trecho. Duas regras completas podem coincidir ali e dar continuações diferentes. Uma proposta de padrão precisa ser justificada pela regra ou pelo modelo dado, e não apenas pela observação de poucas posições.

n ≥ 1 é inteiro. A figura contém fileiras com 1, 2, …, n pontos. Duplicar e inverter as fileiras forma um retângulo de n linhas com n+1 pontos cada; dividir por dois recupera a contagem original. T é apenas o nome dessa sequência de contagens.

n é inteiro. Para n positivo, um número par de fatores −1 produz +1, e um número ímpar produz −1. No expoente zero, o valor é um. Para n negativo, a potência é o inverso da potência de expoente −n; como o inverso de 1 é 1 e o de −1 é −1, a mesma regra de paridade vale. Para (-1)ⁿ⁺¹, os sinais se invertem em relação à posição n. O sinal alternado sozinho não torna os valores periódicos se a magnitude também variar.

k ≥ 1 é inteiro. 2k−1 percorre as posições ímpares e 2k, as pares. A regra define a sequência (1,4,2,5,3,6,…). A paridade é a da posição, não necessariamente a do valor do termo; todo índice positivo recebe exatamente um caso.

n é inteiro. O termo inicial e a regra determinam sucessivamente 4, 9, 19, 39, … . aₙ₊₁ é o próximo termo; o +1 do lado direito é uma operação no valor atual. Sem o valor inicial, a recorrência não determina uma sequência única.

n é inteiro positivo. Os dois valores iniciais fornecidos produzem (2,5,7,12,19,31,…). Para calcular a₃, use n = 1. Uma regra que usa dois anteriores pode precisar de dois dados iniciais independentes; para esta regra, um único dado não basta.

n ≥ 1 é inteiro. A identidade (n+1)²−n² = 2n+1 mostra que a fórmula explícita satisfaz a recorrência e o mesmo primeiro termo. A prova por indução garante a concordância em todas as posições, não só nas primeiras.

P(k) é uma afirmação sobre o índice k; ⇒ significa implica. A base estabelece o primeiro caso. O passo demonstra que a validade em qualquer k leva à validade em k+1. Juntos, os dois fatos garantem P(n) para todo inteiro n ≥ 1. Para outro início, ajuste a base e o intervalo do passo.

Cada desigualdade deve valer para todos os índices consecutivos em que ambos os termos existem. Nesta aula, crescente e decrescente significam estritamente. Verificar somente uma comparação ou observar que os termos são positivos não classifica a sequência inteira.

A primeira condição, para todos os pares consecutivos válidos, define não decrescente; a segunda define não crescente. Igualdades são permitidas. Uma sequência constante satisfaz ambas, mas não as versões estritas. Uma sequência pode mudar de comportamento depois de um trecho inicial.

dₙ é o nome da diferença na posição n. Se todas as diferenças são positivas, a sequência é crescente; se todas são negativas, é decrescente. Sinais não negativos ou não positivos fornecem as classificações fracas. A diferença não precisa ser constante para existir monotonia.

Sob a positividade declarada, Rₙ > 1 em cada comparação implica crescimento, e 0 < Rₙ < 1 implica decrescimento. Rₙ = 1 dá igualdade naquele passo. Para termos negativos, as conclusões de ordem mudam; se aₙ = 0, o quociente é indefinido. A comparação por diferença não tem essa divisão.

m e M são números reais fixos, independentes do índice. A existência de ambos define uma sequência limitada. Só a primeira desigualdade dá limitação inferior; só a segunda, superior. Os limites não precisam ser os melhores possíveis. Ser crescente ou ter infinitos termos não determina, por si, se há limitação.

A sequência aqui é infinita e começa em 1; p ≥ 1 é um inteiro fixo. A igualdade deve valer para todo inteiro n ≥ 1. O menor p possível é o período fundamental. Um trecho repetido ou a simples alternância dos sinais não demonstra periodicidade dos valores.

n ≥ 1, p ≥ 1, q ≥ 0 e r são inteiros. O ciclo declarado é (c₁,…,cₚ). Divida n−1 por p; o resto r localiza a posição r+1 dentro do ciclo. q conta ciclos completos antes dessa posição. Usar n−1 evita tratar resto zero como uma posição inexistente.

Os índices nₖ pertencem ao domínio de a e são estritamente crescentes. b é uma subsequência, obtida selecionando posições sem mudar sua ordem. Os valores selecionados podem se repetir. Reindexar a lista inteira a partir de 1 é uma mudança de nomes das posições, diferente de descartar posições.

n é inteiro não negativo. A primeira linha define o produto para n ≥ 1; a segunda fixa o caso zero. A terceira vale para n ≥ 0 e é compatível com ambos. O símbolo ! é fatorial, não sinal de pontuação nem potência. Fatoriais de negativos e extensões a não inteiros não são definidos nesta aula.

n ≥ 1 é inteiro e todos os termos até n existem. Σ é a letra grega sigma maiúscula e indica soma. k é o índice que percorre 1,2,…,n; n é o limite superior. Sₙ é o total dos primeiros n termos, diferente do termo aₙ. Adotamos S₀ = 0 como soma sem parcelas.

n é inteiro, Sₙ soma os primeiros n termos e S₀ = 0. Ao subtrair a soma anterior, as parcelas comuns se cancelam e sobra apenas aₙ. Para n = 1, a fórmula dá a₁ = S₁. Uma expressão proposta para Sₙ deve respeitar a convenção em zero ou tratar o primeiro termo separadamente.

p e q são inteiros, 1 ≤ p ≤ q, e os termos de 1 até q existem. S₀ = 0. Os dois extremos entram na soma. Para uma constante c, a soma nessa faixa é (q−p+1)c. As letras p e q aqui são índices, sem relação com a razão de uma PG.

n ≥ 1 é inteiro, c é uma constante real independente de k e a,b são sequências reais definidas até n. A distributividade e o agrupamento de uma quantidade finita de parcelas justificam a igualdade. Não se retira da soma um fator que dependa de k como se fosse constante; somas infinitas exigem estudo próprio.

n é inteiro não negativo e conta dias completos transcorridos; Eₙ é o estoque após n dias. O modelo parte de doze unidades e acrescenta três líquidas a cada dia, enquanto essa regra se mantiver. E₀ é a condição inicial, não o valor zero do estoque. Quantidades acumuladas e produção de um único dia devem ser distinguidas.

A é o valor inicial e r é um número real fixo, chamado razão. n é inteiro positivo e a passagem só se aplica quando n e n+1 estão no domínio. Em uma PA finita com N termos, 1 ≤ n < N. Uma lista com um único termo não determina uma razão única.

A diferença próximo menos atual deve ser a mesma em todas as passagens existentes. Conhecer uma única diferença só determina a razão se já soubermos que a sequência é uma PA. A razão pode ser negativa, zero, fracionária ou irracional; aqui ela não é um quociente.

Para uma PA real com pelo menos dois termos, crescente e decrescente são usados no sentido estrito. O sinal dos termos não decide a classificação; quem decide é a diferença constante r.

Os índices começam em 1. n é inteiro positivo e, na PA finita, não ultrapassa N. Entre a₁ e aₙ há n−1 passagens de tamanho r. A fórmula dá o termo, não a soma até ele.

Agora o primeiro índice é zero: n é inteiro não negativo dentro do domínio declarado. b₀ é o valor inicial e há n passagens até bₙ. Não se usa n−1 mantendo b₀ como ponto de partida.

n e p são índices válidos da mesma PA. O deslocamento de índices é n−p, que também pode ser negativo. p não precisa ser o primeiro índice; r mantém o mesmo sentido de passagem para o próximo termo.

p e q são índices distintos e válidos da mesma PA. O denominador conta as passagens, não os termos incluindo as pontas. Se trocar a ordem do numerador, troque também a do denominador.

L é o valor procurado; r ≠ 0. O resultado deve ser inteiro positivo e respeitar o final da PA finita. Para r = 0, L aparece em todas as posições se L = a₁ e em nenhuma se L ≠ a₁. Não se arredonda um índice fracionário para provar pertinência.

b é um número fixo, o termo independente da expressão. O domínio continua sendo de índices inteiros válidos. Os pontos estão em uma reta, mas não se acrescentam posições fracionárias à sequência. Quando r = 0, a expressão é constante.

a, b e c são três valores reais, nessa ordem, em posições consecutivas. A igualdade equivale a b−a = c−b. Em uma sequência com pelo menos três termos, o critério deve valer em todas as trincas consecutivas para provar que a sequência inteira é PA.

i, j, p e q são índices válidos da mesma PA. Cada soma vale 2a₁+(s−2)r, em que s é a soma comum dos índices. Em particular, aₖ+aₙ₊₁₋ₖ = a₁+aₙ para 1 ≤ k ≤ n.

As duas formas descrevem três termos consecutivos de razão r. Na primeira x é o termo inicial; na segunda c é o termo central. Representam a mesma lista quando c = x+r. A soma é 3c na forma centrada.

As linhas quebradas continuam a mesma lista de cinco termos. Na primeira x é o primeiro termo; na segunda c é o terceiro termo, com c = x+2r. As duas têm razão r. A soma dos cinco termos é 5c.

Cada par de linhas continua uma única lista de quatro termos. Na forma centrada, c é a média dos termos centrais, não um termo da lista em geral. t é metade da razão: a diferença consecutiva é 2t. As formas descrevem a mesma lista com r = 2t e c = x+3t. A soma é 4c. Usar t evita chamar indevidamente a razão de r na segunda forma.

A e B são os extremos, nessa ordem. m ≥ 0 é o número inteiro de termos inseridos: há m+2 termos e m+1 passagens. j vai de 1 a m+2. Os meios inseridos são as posições de 2 a m+1. Para m = 0 não há meio inserido. Extremos inteiros não garantem meios inteiros.

p é um índice inicial válido; h é um inteiro positivo fixo, o salto de posições; k começa em 1 e só percorre índices que existem na PA original. r_b é a razão da nova PA. Posições pares e ímpares usam h = 2. Uma seleção com saltos variáveis pode não ser PA.

u e v são números reais fixos, aₙ pertence a uma PA de razão r e o domínio é mantido. Somar v não muda as diferenças; multiplicar por u multiplica a razão. Se u = 0, a nova PA é constante. Multiplicar duas PAs termo a termo não garante outra PA.

As duas PAs usam os mesmos índices. r_a e r_b são suas razões e r_c é a razão da soma termo a termo. Para a diferença de PAs, a razão é r_a−r_b. Esta operação é diferente de somar as parcelas de uma única PA.

Sₙ soma os primeiros n termos; n ≥ 1 é inteiro e todos esses termos devem existir. S₀ = 0 representa nenhuma parcela. A fórmula vale com razão positiva, negativa ou zero e com termos de qualquer sinal. Não é uma fórmula de soma infinita.

n é o número inteiro de parcelas, com 0 ≤ n ≤ N na PA finita; na infinita, n é finito. Equivale a na₁+n(n−1)r/2. Para r = 0, Sₙ = na₁; para n = 0, S₀ = 0. Não confunda n com o valor do último termo.

n ≥ 1. A média é a soma dividida pela quantidade de termos. Se n é ímpar, coincide com o termo central; se n é par, coincide com a média dos dois termos centrais. Essa média não precisa ser um termo da PA.

p e q são índices inteiros válidos, com p ≤ q. Há q−p+1 parcelas, incluindo as duas pontas. k é apenas o índice que percorre essas parcelas; Σ significa somar. A expressão também vale para p = q.

n ≥ 1 é inteiro. A PA começa em 1, termina em n e tem n termos. Com a convenção de soma vazia, a fórmula também dá zero para n = 0.

n ≥ 1 é a quantidade de pares positivos, e o último valor é 2n. A soma é o dobro de 1+2+…+n. Incluir zero não altera o total, mas altera a quantidade de termos contados.

n ≥ 1 é a quantidade de parcelas, não o último ímpar. O último termo é 2n−1. Aplicar a fórmula da PA dá n[1+(2n−1)]/2 = n².

A é o primeiro e B é o último termo de uma PA finita não constante, na ordem dada; r ≠ 0. N deve ser inteiro positivo. Em contagens de múltiplos em um intervalo, determine primeiro o menor e o maior múltiplo incluídos; os limites do intervalo podem não ser termos.

A e B são constantes reais. A fórmula vale desde n = 0, com S₀ = 0. Se r ≠ 0, a expressão é quadrática; se r = 0, é linear ou nula. Não se trata do termo aₙ, que é afim.

n é inteiro e aₙ = Sₙ−Sₙ₋₁ para n ≥ 1. A condição S₀ = 0 é essencial. Se uma fórmula com termo constante diferente de zero vale apenas para n ≥ 1, calcule a₁ = S₁ separadamente: a sequência inteira pode não ser PA.

Resolva a inequação e mantenha somente os índices inteiros permitidos. Ao dividir por razão negativa, inverta o sinal da desigualdade. Zero não é positivo. Para estudar somas parciais, Sₙ−Sₙ₋₁ = aₙ diz se acrescentar o próximo termo aumenta, mantém ou reduz o total.

T é o total pedido. Resolva para n e confira todas as soluções inteiras não negativas ou positivas, conforme o problema, e dentro do domínio. Não há garantia de uma única solução quando existem parcelas negativas. Para r = 0, a equação é na₁ = T; se também a₁ = 0, separam-se T = 0 e T ≠ 0.

A é o primeiro valor e q é um número real fixo, chamado razão. n é inteiro positivo e a passagem só se aplica quando as duas posições existem. Em uma PG finita de N termos, 1 ≤ n < N. Esta definição admite termos nulos e q = 0. Um único termo não determina a razão.

O quociente é próximo termo dividido pelo atual, com denominador não nulo. Para reconhecer a PG, deve existir um mesmo fator que sirva em todas as passagens, inclusive as que começam em zero. Não se calcula 0/0. Conhecer uma passagem não prova uma regra infinita.

p e n são índices válidos; n não ultrapassa o final da lista finita. Uma vez atingido zero, multiplicar por q mantém zero. Se a₁ = 0, todos os termos são zero para qualquer q; nesse caso os valores não identificam uma razão única.

n ≥ 1 é inteiro dentro do domínio, com q ≠ 0 nesta escrita para evitar 0⁰. Há n−1 multiplicações pela razão. Para q = 0, mantenha a₁ como dado e use aₙ = 0 em n ≥ 2, sem avaliar 0⁰.

n ≥ 0 é inteiro permitido e q ≠ 0 nesta escrita. O índice zero representa o valor inicial; após n passagens há n fatores q. Para q = 0, b₀ é dado e bₙ = 0 em n ≥ 1, sem usar 0⁰.

q ≠ 0; p e n são índices existentes. Deslocamento negativo significa dividir por uma potência positiva de q. A expressão não permite voltar dividindo por zero. Quando q = 0, use a recorrência e os dados iniciais.

p < s são índices válidos e aₚ ≠ 0. A equação admite q = 0 se o termo posterior for zero. O expoente s−p conta passagens. Expoente par pode dar duas razões reais ou nenhuma; expoente ímpar dá uma raiz real. Confira todos os dados e os sinais antes de escolher.

Vale para cada passagem existente, inclusive com zero. Para q > 0 e a₁ ≠ 0, os termos conservam o sinal de a₁, e o sinal desta diferença decide a monotonia. Em uma PG, a diferença não precisa ser constante.

As classificações são estritas nas posições existentes. q = 1 dá sequência constante; a₁ = 0 dá a sequência nula para qualquer q. Com a₁ ≠ 0 e q < 0, há alternância de sinais. Com q = 0 e a₁ ≠ 0, há PG estacionária: primeiro valor não nulo, seguidos de zeros.

L é o valor procurado e I contém somente os índices válidos. A escrita usa q ≠ 0; para q = 0, separam-se primeira posição e demais zeros. Para q = 1 ou a₁ = 0, confira o valor constante; para q = −1, confira a paridade. Não arredonde índices reais para provar pertinência.

Para três reais não nulos a, b e c, nessa ordem, a condição equivale a b/a = c/b, logo caracteriza três termos consecutivos de uma PG. Se a,c > 0 e exige-se b > 0, b = √(ac) é a média geométrica positiva. Sem a exigência de sinal, pode haver b = ±√(ac). Com zeros, verifique a recorrência: a igualdade isolada não basta.

q ≠ 0 e os quatro índices são válidos. O produto comum é a₁²q^(i+j−2). Em particular, os produtos de pares equidistantes dos extremos são a₁aₙ. A hipótese evita 0⁰ nas escritas com expoente zero; com q = 0, trate os termos diretamente.

q ≠ 0. A primeira forma parte do primeiro termo x; a segunda, do termo central c. Descrevem a mesma lista quando c = xq. O produto dos três é c³, inclusive quando os valores são negativos ou zero.

Cada par de linhas continua uma única lista de cinco termos. q ≠ 0 e c = xq². As duas listas usam a mesma razão q. A forma centrada tem produto c⁵. Divisões por q ou q² exigem q não nulo.

Cada par de linhas continua uma única lista de quatro termos. Esta parametrização usa t > 0 e q = t² > 0. c não é necessariamente um termo da lista. O produto é c⁴. Para q < 0, use a forma a partir do primeiro termo, pois não existe t real com t² = q. Para q = 0, use a recorrência.

A ≠ 0 e B são os extremos, nessa ordem; m ≥ 0 é a quantidade inteira de termos inseridos. A lista tem m+2 termos e m+1 passagens. Resolva a equação real para q e confira a recorrência. Para meios positivos entre extremos positivos, escolha q > 0. Se A = 0, somente B = 0 é possível e todos os meios são zero.

p é um índice inicial válido, h ≥ 1 é inteiro fixo e k ≥ 1 conta as escolhas. Só se selecionam posições existentes. q_b é um fator válido para a nova PG, inclusive se a nova lista for nula e não identificar razão única. Para q = 0, a afirmação é entendida pela recorrência, sem usar 0⁰.

As PGs usam os mesmos índices. O produto conserva PG. No quociente, todos os termos bₙ devem ser não nulos e, havendo passagens, q_b ≠ 0. Multiplicar todos os termos por uma constante também conserva PG; somar a mesma constante não garante PG.

q ≠ 0 e n ≥ 1 é inteiro permitido. Pₙ significa multiplicar os n termos. O expoente soma 0+1+…+(n−1). A segunda igualdade não autoriza tomar sempre a raiz positiva: o produto pode ser negativo. Para q = 0, P₁ = a₁ e Pₙ = 0 em n ≥ 2.

q ≠ 1 e n ≥ 1 é inteiro, com todos os termos disponíveis. Vale também para q = 0, pois n é positivo. Sₙ é o total dos primeiros n termos, não o último termo. S₀ = 0 é definido separadamente.

q ≠ 1 e n ≥ 1 é inteiro válido. Inverter simultaneamente os sinais do numerador e do denominador conserva a fração. A segunda forma usa somente o primeiro e o último termos e a razão; q aₙ é calculável mesmo quando a posição n+1 não pertence à lista finita.

n ≥ 1 é inteiro permitido. Para q = 1 não use divisão por q−1. Se a₁ = 0, qualquer soma é zero, seja qual for o fator q. O caso q = −1 alterna termos opostos; não possui soma infinita ordinária quando a₁ ≠ 0.

p ≤ s são índices inteiros válidos e m é a quantidade inclusiva de parcelas. q ≠ 1; para q = 1, o total é maₚ. k percorre as parcelas, e Σ significa somar. Também é possível usar S_s−S_(p−1), com S₀ = 0.

a₁ ≠ 0, q ≠ 1 e n ≥ 1 inteiro permitido; T é a soma pedida. Para q = 0, a soma é a₁ em qualquer n ≥ 1. Para q = −1, a paridade pode dar várias soluções. Em qualquer caso, conserve somente índices válidos e confira na soma original.

D é um algarismo de 1 a 9 e n ≥ 1 é a quantidade inteira de repetições na base dez. Uₙ = D+10D+…+10^(n−1)D é uma soma de PG. A sequência dos próprios Uₙ não é, em geral, uma PG.

n ≥ 1 é inteiro e q ≠ 0,1 nesta escrita para não usar 0⁰ na primeira parcela. Os termos são produtos de uma PA e de uma PG e não formam PG em geral. Para q = 1, Tₙ = n(n+1)/2. Para q = 0, interprete a lista como (1,0,0,…) e obtenha Tₙ = 1. A demonstração usa multiplicação e subtração, sem derivadas.

Para uma quantidade positiva e fator q > 0, i é a taxa por período em forma decimal. Aumento de p% usa i = p/100; redução de p% usa i = −p/100, com 0 ≤ p < 100 para manter positividade. A redução de 100% dá q = 0 e é tratada à parte. Taxa fixa não significa acréscimo absoluto fixo.

n ≥ 0 é inteiro e conta períodos completos, com fator 1+i > 0. V₀ é o valor no início. A taxa i é decimal e usa a mesma unidade de período de n. O modelo supõe taxa fixa e ausência de outras entradas ou saídas; para fator zero, separe início e posições seguintes.

n ≥ 1 é inteiro e t > 0. A desigualdade vem de (1+t)^n ≥ 1+nt. |q| é o módulo, a distância de q até zero; a seta significa que o valor se aproxima de zero tanto quanto quisermos. Se q = 0, qⁿ = 0 diretamente para n ≥ 1.

A PG é infinita e |q| < 1. S é o limite das somas parciais, não uma soma calculada até um último índice infinito. Para a₁ ≠ 0, essa condição é também necessária para a convergência ordinária. A sequência toda nula tem soma zero para qualquer fator q, tratada diretamente.

|q| < 1 e n ≥ 1 é inteiro. Rₙ é a diferença com sinal; |Rₙ| é seu tamanho. Para q negativo, a diferença pode alternar de sinal. Para q = 0, a soma já é exata após a primeira parcela. Em n = 0, use R₀ = S diretamente para evitar 0⁰.

p ≥ 1 é inteiro, a PG é infinita e |q| < 1. A primeira parcela da cauda é aₚ, não a₁. A mesma razão vale nas passagens seguintes; a fórmula também vale se a cauda for nula.

D representa o valor inteiro de um bloco de d algarismos, com d ≥ 1, incluindo zeros iniciais na contagem. A barra indica repetição infinita do bloco. A fração vem de uma PG de primeiro termo D/10^d e razão 10^(−d). Com parte não periódica, separe-a e desloque o começo da PG.

Figuras ou sólidos semelhantes são ampliados por fator linear t > 0 em cada etapa. L, A e V indicam comprimento, área e volume. As três medidas formam PGs com razões diferentes. Sem semelhança ou escala uniforme, não se aplica automaticamente a regra dos quadrados e cubos.