Sequências numéricas

1Uma lista em que a posição importa

Uma sequência é uma lista organizada por posições. Se registramos as pontuações de uma pessoa em quatro partidas, a ordem informa qual valor pertence a cada partida. Cada entrada da lista é um termo. Nesta aula, estudaremos sequências de números reais: os termos podem ser inteiros, frações, decimais ou irracionais.

Exemplo resolvido · Ler primeiro, segundo, terceiro e quarto

Uma lista de pontuações é (6, 2, 6, 9). Quantos termos ela tem? O valor seis aparece quantas vezes?

Resolução

Há quatro posições, logo quatro termos. Seis ocupa a primeira e a terceira posição.
Uma sequência permite valores repetidos. Trocar a ordem para (2, 6, 6, 9) produz outra lista de pontuações, embora os valores disponíveis sejam os mesmos.

Quatro termos; o valor seis aparece em duas posições.

O índice identifica uma posição, e o valor é o número guardado nela. As posições 1 e 3 têm o mesmo valor seis; continuam sendo duas posições distintas.

Usaremos parênteses para listar sequências. Em um conjunto, a ordem e a repetição de um elemento não alteram os elementos presentes; em uma sequência, essas informações fazem parte da descrição. Uma lista com dois termos também é um par ordenado. Aqui consideraremos sequências com pelo menos um termo.

Exemplo resolvido · Não confundir sequência com conjunto

Compare as sequências (1, 4, 1) e (1, 4). Compare também os conjuntos {1, 4, 1} e {1, 4}.

Resolução

As sequências são diferentes: uma tem três posições e a outra, duas.
Os conjuntos têm os mesmos dois elementos, um e quatro. Repetir a escrita de um elemento não cria outro elemento do conjunto.

Sequências diferentes; conjuntos iguais.

2Índice e valor: aprender a ler a₁, aₙ e aₙ₊₁

A letra $a$ serve para nomear uma sequência. Escrevemos $a_1$ para seu primeiro termo, $a_2$ para o segundo e $a_n$ para o termo da posição $n$ . O número ou a expressão embaixo da letra é o índice. Ele informa onde procurar; não é um expoente e não manda multiplicar a letra pelo índice.

(a_1,a_2,a_3,\ldots)

a é o nome da sequência; o índice inteiro positivo informa a posição. a₁ é o primeiro termo, a₂ o segundo e aₙ o termo de índice n. O índice não é expoente nem um fator multiplicando a. Parênteses destacam a ordem; repetições são permitidas.

Exemplo resolvido · Substituir o índice antes de ler o termo

Na sequência $(6,2,6,9)$ , encontre $a_2$ , $a_3$ e, usando $n=2$ , compare $a_{n+1}$ com $a_n+1$ .

Resolução

$a_2=2$ e $a_3=6$ . Para $n=2$ , o índice $n+1$ é três, então $a_{n+1}=a_3=6$ .
Já $a_n+1=a_2+1=2+1=3$ . Somar ao índice pede outra posição; somar fora do índice altera o valor do termo atual.

$a_{n+1}=6$ e $a_n+1=3$ quando $n=2$ .

A expressão $a_{n-1}$ indica o termo anterior quando esse índice existe. Se a sequência começa em 1, usar $a_{n-1}$ exige $n\ge2$ . A leitura “enésimo termo” significa termo de índice $n$ ; não estamos supondo que seu valor seja o próprio $n$ .

3Quantidade de termos e índice inicial

Uma sequência finita termina depois de uma quantidade determinada de posições. Uma sequência infinita tem um termo para cada índice do domínio infinito declarado. As reticências … indicam continuação, mas o contexto deve dizer como ela ocorre. Uma lista curta observada não prova, sozinha, que o processo pode continuar para sempre.

\begin{gathered}I=\{1,2,\ldots,N\}\\\text{ou }I=\mathbb N^*\end{gathered}

I é o conjunto de índices. Na primeira opção, N ≥ 1 é inteiro e a sequência tem N posições; na segunda, ℕ* = {1,2,3,…}. No EstudaMath, ℕ inclui zero. Se a indexação começar em zero ou em outro inteiro, isso deve ser declarado. Infinito não é um índice final.

Neste site, $\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}$ e $\mathbb N^*=\{1,2,3,\ldots\}$ . Usaremos normalmente índices a partir de 1. Na sequência finita $(a_1,\ldots,a_N)$ , $N$ é o número total de posições e $n$ pode indicar uma delas. O símbolo $\in$ significa “pertence a”.

Exemplo resolvido · Uma sequência infinita não possui um último termo

Os pares positivos, na ordem 2, 4, 6, 8, …, têm um último termo? E a lista dos cinco primeiros pares?

Resolução

Na sequência infinita, depois de qualquer termo existe outro na posição seguinte. Infinito não é um último número da lista.
A lista finita (2, 4, 6, 8, 10) tem cinco termos e termina em dez. Nela não se define automaticamente um sexto termo.

A infinita não tem último termo; a lista finita termina em dez.

Exemplo resolvido · O primeiro índice pode ser zero

Uma sequência tem índices $(0,1,2,3)$ e valores $(12,15,18,21)$ , nessa ordem. Qual é seu primeiro termo e quantas posições existem?

Resolução

O primeiro termo é $b_0=12$ . O índice zero não obriga o valor a ser zero.
Os índices 0, 1, 2 e 3 são quatro posições. Quando se começa em zero, o índice final não coincide com a quantidade de termos.

Primeiro termo de valor doze; quatro posições.

4Descrever uma sequência sem depender só da lista

Uma sequência pode ser apresentada por uma lista completa, uma tabela de índices e valores, uma instrução em palavras, uma fórmula que usa a posição ou uma regra que usa termos anteriores. As descrições precisam informar o domínio e determinar um único valor em cada posição. Uma tabela de observações descreve os dados registrados, mas não garante uma lei para dias que não foram observados.

\begin{gathered}a_n=b_n\\\text{para todo }n\in I\end{gathered}

As duas sequências precisam ter o mesmo conjunto de índices I e o mesmo valor em cada posição. Mesmos valores em outra ordem, uma repetição a mais ou coincidência apenas de alguns termos não garantem igualdade.

Exemplo resolvido · Reconhecer descrições da mesma sequência

Compare a lista finita (4, 7, 10, 13) com a instrução: comece em quatro e acrescente três, até escrever quatro termos.

Resolução

A instrução produz quatro, depois sete, dez e treze, na mesma ordem.
As descrições têm o mesmo domínio de quatro posições e os mesmos valores em cada uma. São duas apresentações da mesma sequência finita.

As descrições são equivalentes.

Exemplo resolvido · Um trecho inicial igual não basta para igualdade

Uma sequência termina em (4, 7, 10) e outra em (4, 7, 10, 13). Elas são iguais por terem o mesmo começo?

Resolução

Não: seus conjuntos de índices têm tamanhos diferentes.
Mesmo que ambas fossem infinitas, ainda seria preciso conferir a regra inteira ou provar a igualdade em todas as posições, não apenas nas três primeiras.

Não são iguais.

5Uma entrada, uma saída: a sequência como função

Uma função é uma associação que dá uma única saída para cada entrada permitida. Numa sequência numérica, a entrada é o índice e a saída é o valor do termo. O domínio é o conjunto de entradas permitidas. Não precisamos estudar toda a matéria de Funções agora; esta ideia explica por que a mesma posição não pode receber dois valores diferentes numa sequência bem definida.

\begin{gathered}a:I\longrightarrow\mathbb R\\n\longmapsto a_n\end{gathered}

I é o conjunto de índices declarado e ℝ é o conjunto dos números reais. A seta expressa que a regra associa um único valor real a cada índice. Índices diferentes podem ter valores iguais. O gráfico registra pares (n,aₙ), sem preencher automaticamente posições não inteiras.

O símbolo $\mathbb R$ representa os reais, conjunto em que ficam os valores desta aula. A escrita $n\mapsto a_n$ diz “o índice $n$ é associado ao termo $a_n$ ”. O gráfico marca pares $(n,a_n)$ : posição na horizontal, valor na vertical. Índices diferentes podem ter a mesma saída.

Os pontos representam os cinco primeiros termos de aₙ = 2n−1. A sequência usa índices inteiros positivos; não se acrescentam pontos com índice 2,5 nem se preenche automaticamente o espaço entre os pontos.

Exemplo resolvido · Por que o gráfico tem pontos separados?

Para $a_n=2n-1$ , com $n\in\mathbb N^*$ , o cálculo $2\cdot2{,}5-1=4$ cria um termo de índice 2,5?

Resolução

A expressão algébrica pode ser calculada nesse número, mas 2,5 não pertence ao domínio declarado.
Os primeiros cinco pontos são (1,1), (2,3), (3,5), (4,7) e (5,9). Uma função definida também para entradas reais seria outro objeto, embora pudesse usar a mesma expressão.

Não há termo de índice 2,5 nessa sequência.

6Fórmula explícita: calcular o termo pela posição

Uma fórmula explícita permite calcular um termo diretamente a partir de seu índice. Identifique a posição, substitua o índice em todas as ocorrências da fórmula e efetue as operações na ordem correta. Use parênteses para evitar trocar uma potência por uma multiplicação ou perder o sinal de uma parcela.

a_n=f(n)

n pertence ao domínio de índices e f é uma regra definida em cada um deles. Para obter aₖ, substitua todas as ocorrências de n pelo índice k, usando parênteses. A fórmula calcula o termo, não necessariamente a soma até ele.

Exemplo resolvido · Uma regra linear

Se $a_n=3n+2$ , para todo inteiro $n\ge1$ , encontre os quatro primeiros termos e $a_{10}$ .

Resolução

$a_1=3\cdot1+2=5$ , $a_2=8$ , $a_3=11$ e $a_4=14$ . Cada termo usa seu próprio índice.
Para $a_{10}$ , substituímos $n=10$ : $3\cdot10+2=32$ . Não é necessário listar todas as posições anteriores.

Primeiros termos: (5, 8, 11, 14); décimo termo: 32.

Exemplo resolvido · Uma regra fracionária

Se $b_n=\frac{n+1}{2n}$ , com $n\ge1$ inteiro, encontre $b_1$ , $b_2$ , $b_3$ e $b_4$ .

Resolução

Substituímos no numerador e no denominador: $b_1=\frac{1+1}{2\cdot1}=\frac22=1$ e $b_2=\frac{2+1}{2\cdot2}=\frac34$ .
Depois, $b_3=\frac{3+1}{2\cdot3}=\frac46=\frac23$ , dividindo numerador e denominador por dois. Na quarta posição, $b_4=\frac{4+1}{2\cdot4}=\frac58$ . Não mantemos o denominador fixo em dois, pois ele é $2n$ .

$1,\ \frac34,\ \frac23,\ \frac58$ .

7Encontrar a posição e verificar se um valor aparece

Calcular o termo a partir da posição e procurar uma posição a partir do valor são perguntas inversas. Para procurar o valor, igualamos a fórmula a ele e resolvemos a equação. Depois verificamos se as soluções são índices permitidos. Uma sequência com valores repetidos pode ter várias posições para o mesmo número.

f(n)=L,\qquad n\in I

L é o valor procurado e aₙ = f(n) é a regra da sequência. Resolva a equação e conserve apenas índices pertencentes a I. Pode haver nenhum, um ou vários índices. Uma solução real fracionária, negativa ou além do final de uma sequência pode não ser admissível.

Exemplo resolvido · A solução precisa ser um índice inteiro

Na sequência $a_n=3n+2$ , com $n\ge1$ inteiro, os valores 47 e 48 aparecem?

Resolução

Para 47, resolvemos $3n+2=47$ . Subtraindo dois dos dois lados, $3n=45$ ; dividindo por três, $n=15$ , um índice permitido. Conferimos: $a_{15}=3\cdot15+2=47$ .
Para 48, $3n+2=48$ dá $3n=46$ e $n=46/3$ . Como esse resultado não é inteiro, não é um índice permitido. Portanto 48 não aparece nessa sequência.

47 aparece na posição quinze; 48 não aparece.

Exemplo resolvido · O domínio finito e o sinal do índice também importam

Considere $b_n=n^2$ , apenas para $n=1,2,\ldots,8$ . O valor 100 aparece? E 36?

Resolução

Resolver $n^2=100$ dá $n=10$ ou $n=-10$ . Nenhum pertence aos índices de 1 a 8.
Para 36, as raízes são 6 e −6; somente $n=6$ é permitido. A lista finita contém 36, mas não 100.

100 não aparece; 36 é o sexto termo.

8Garantir que a regra exista em todos os índices

Uma expressão escrita ao lado de um índice não basta para definir uma sequência. Ela deve fornecer um valor real para cada posição declarada. Denominadores não podem ser zero, e raízes quadradas reais precisam de radicando não negativo. Essas condições determinam onde a regra pode ser usada.

a_n=\frac1{n-2}\quad(n\ne2)

Para uma sequência real, a expressão precisa existir em todos os índices declarados. Esta regra, por exemplo, pode definir uma sequência indexada por n ≥ 3, mas não por todos os positivos sem definir separadamente o termo de índice 2. Não se obtém um termo dividindo por zero.

Exemplo resolvido · Reparar uma declaração incompleta

A expressão $a_n=1/(n-2)$ define uma sequência real em todos os índices $n\ge1$ ?

Resolução

Em $n=2$ , o denominador é zero, então $a_2$ não é definido pela expressão. A declaração para todos os positivos falha.
Uma possibilidade é começar em n = 3, declarando esse domínio. Outra é definir o segundo termo por uma regra separada. Não se remove silenciosamente uma posição de uma sequência anunciada em todos os positivos.

A expressão sozinha não define todos os termos a partir de 1.

\begin{gathered}a_n=\sqrt{7-n}\\1\le n\le7,\quad n\in\mathbb Z\end{gathered}

Esta sequência tem sete termos reais quando os índices são os inteiros de 1 a 7. O radicando 7−n deve ser não negativo. O termo a₇ = 0 existe; a expressão não define a₈ real. A raiz é a principal, não negativa.

Exemplo resolvido · Uma restrição que gera uma sequência finita

Quantos termos reais tem $b_n=\sqrt{7-n}$ quando usamos todos os índices positivos em que a expressão existe?

Resolução

A condição é $7-n\ge0$ , isto é, $n\le7$ . Com índices positivos, ficam 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7.
Os valores são $\sqrt6,\sqrt5,2,\sqrt3,\sqrt2,1,0$ . A oitava posição daria raiz quadrada de −1, fora do conjunto real escolhido.

Sete termos reais; o último é zero.

9Observar um padrão é propor uma regra, não provar sua unicidade

Quando uma questão pede uma continuação, precisamos saber qual regra, propriedade ou contexto deve ser mantido. Um começo como (3, 5, 7, …) sugere acrescentar dois, mas os três números não obrigam essa continuação. A palavra conjectura significa uma proposta que ainda precisa de justificativa.

\begin{gathered}(a_1,a_2,a_3)=(b_1,b_2,b_3)\\\text{pode ocorrer com }a_4\ne b_4\end{gathered}

\begin{gathered}a_1=b_1,\quad a_2=b_2\\a_3=b_3\\\text{pode ocorrer com }a_4\ne b_4\end{gathered}

A igualdade de um trecho inicial só compara esse trecho. Duas regras completas podem coincidir ali e dar continuações diferentes. Uma proposta de padrão precisa ser justificada pela regra ou pelo modelo dado, e não apenas pela observação de poucas posições.

Exemplo resolvido · Construir duas continuações completas

A sequência A tem termo 2n+1 em toda posição n ≥ 1. A sequência B copia A nas três primeiras posições e, de n = 4 em diante, usa 2n+7. Compare seus começos.

Resolução

A começa com (3, 5, 7, 9, 11, …). B começa com (3, 5, 7, 15, 17, …). As duas regras estão completas.
As três primeiras posições coincidem, mas a quarta muda. Logo os três valores iniciais, sem a regra, não determinam um único quarto termo.

O quarto termo pode ser nove ou quinze nesses dois modelos.

Duas regras completas concordam nas três primeiras posições e divergem na quarta. A coincidência inicial não prova que as sequências são iguais.

Isso não impede resolver problemas de padrões: a regra pode vir de uma construção geométrica, de uma condição expressa ou de um processo descrito. O que não fazemos é transformar uma sugestão observada em conclusão obrigatória sem apoio nos dados. Também não se prevê o comportamento de um processo real para sempre apenas porque ele repetiu uma tendência em poucos registros.

10Uma construção visual pode justificar a fórmula

Considere uma figura construída com uma fileira de um ponto, outra de dois e assim por diante, até uma fileira de n pontos. A quantidade total forma uma sequência. Agora a regra não depende de adivinhar: cada etapa n tem exatamente as n fileiras descritas.

Nas etapas 1, 2, 3 e 4, as figuras têm uma, duas, três e quatro fileiras. As contagens são 1, 3, 6 e 10 pontos. A regra da construção determina todas as etapas seguintes.

T_n=\frac{n(n+1)}2

n ≥ 1 é inteiro. A figura contém fileiras com 1, 2, …, n pontos. Duplicar e inverter as fileiras forma um retângulo de n linhas com n+1 pontos cada; dividir por dois recupera a contagem original. T é apenas o nome dessa sequência de contagens.

Chamamos a contagem de $T_n$ . Para justificá-la, escreva as fileiras com 1,2,…,n pontos e, ao lado, outra cópia em ordem inversa: n,n−1,…,1. Em cada uma das n linhas, o par de fileiras soma n+1 pontos. As duas cópias juntas têm n(n+1) pontos; uma cópia tem a metade.

Exemplo resolvido · Usar a construção para uma etapa distante

Quantos pontos há na décima figura triangular?

Resolução

A regra fornece $T_{10}=10\cdot11/2=55$ . O divisor dois desfaz a duplicação das figuras.
A conferência pelas fileiras é 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55. Não usamos apenas a semelhança com os quatro primeiros desenhos.

55 pontos.

11Potências e paridade para alternar sinais

Paridade distingue inteiros pares e ímpares. Multiplicar dois fatores −1 produz +1; agrupar pares de fatores explica o sinal de uma potência de −1. Essa regra é útil para escrever sequências cujos sinais se alternam.

(-1)^n=\begin{cases}1&n\text{ par}\\-1&n\text{ ímpar}\end{cases}

n é inteiro. Para n positivo, um número par de fatores −1 produz +1, e um número ímpar produz −1. No expoente zero, o valor é um. Para n negativo, a potência é o inverso da potência de expoente −n; como o inverso de 1 é 1 e o de −1 é −1, a mesma regra de paridade vale. Para (-1)ⁿ⁺¹, os sinais se invertem em relação à posição n. O sinal alternado sozinho não torna os valores periódicos se a magnitude também variar.

Exemplo resolvido · Combinar o sinal com uma magnitude

Escreva os quatro primeiros termos de $a_n=(-1)^{n+1}(n+2)$ , para $n\ge1$ inteiro.

Resolução

Para n = 1, $a_1=(-1)^2(1+2)=1\cdot3=3$ . Para n = 2, $a_2=(-1)^3(2+2)=(-1)\cdot4=-4$ .
Nas posições 3 e 4, $a_3=(-1)^4(3+2)=1\cdot5=5$ e $a_4=(-1)^5(4+2)=(-1)\cdot6=-6$ . O fator $n+2$ muda a magnitude; a potência controla o sinal.

(3, −4, 5, −6, …).

Exemplo resolvido · Os parênteses mudam o alcance da potência

Compare os termos de índice 2 das regras $b_n=(-2)^n$ e $c_n=-2^n$ .

Resolução

$b_2=(-2)^2=4$ , pois a base inteira é −2.
$c_2=-(2^2)=-4$ , pois a potência alcança apenas o 2. A segunda regra não alterna o sinal: seus termos são todos negativos.

Quatro na primeira regra e menos quatro na segunda.

12Regras por casos e sequências intercaladas

Uma regra por casos escolhe uma expressão conforme a posição. Os casos precisam cobrir todos os índices declarados; se houver sobreposição, as expressões devem concordar onde as duas se aplicam. Para separar posições ímpares e pares, usamos 2k−1 e 2k, com k inteiro positivo.

\begin{gathered}a_{2k-1}=k\\a_{2k}=k+3\end{gathered}

k ≥ 1 é inteiro. 2k−1 percorre as posições ímpares e 2k, as pares. A regra define a sequência (1,4,2,5,3,6,…). A paridade é a da posição, não necessariamente a do valor do termo; todo índice positivo recebe exatamente um caso.

Exemplo resolvido · A paridade é a do índice

Para $a_{2k-1}=k$ e $a_{2k}=k+3$ , encontre os seis primeiros termos e $a_{20}$ .

Resolução

Para k = 1, as posições 1 e 2 recebem 1 e 4. Para k = 2, as posições 3 e 4 recebem 2 e 5. Para k = 3, as posições 5 e 6 recebem 3 e 6.
O índice 20 é par e tem a forma 2k com k = 10. Logo $a_{20}=10+3=13$ . Não escolhemos o caso observando se o valor do termo é par.

(1, 4, 2, 5, 3, 6, …); vigésimo termo de valor treze.

Exemplo resolvido · Conferir se todos os casos ficaram definidos

Uma regra informa apenas os valores em índices pares. Ela define uma sequência em todos os índices positivos?

Resolução

Faltam os índices ímpares, como 1, 3 e 5. A declaração ainda não determina todos os termos.
Podemos completar a regra para os ímpares ou declarar que estamos estudando apenas uma lista indexada pelos pares. O domínio precisa acompanhar a descrição.

Não, se o domínio anunciado contém todos os positivos.

13Recorrência: construir cada termo a partir do anterior

Uma recorrência é uma regra que calcula um termo usando termos anteriores. Para começar o processo, precisamos dos valores iniciais exigidos pela regra. Sem eles, a instrução pode descrever uma família inteira de sequências. Também precisamos conferir se cada operação pode ser realizada em todas as etapas.

\begin{gathered}a_1=4\\a_{n+1}=2a_n+1\quad(n\ge1)\end{gathered}

n é inteiro. O termo inicial e a regra determinam sucessivamente 4, 9, 19, 39, … . aₙ₊₁ é o próximo termo; o +1 do lado direito é uma operação no valor atual. Sem o valor inicial, a recorrência não determina uma sequência única.

Exemplo resolvido · Seguir uma regra de um passo

Calcule os cinco primeiros termos de $a_1=4$ e $a_{n+1}=2a_n+1$ , para $n\ge1$ inteiro.

Resolução

O primeiro já foi dado. Depois, $a_2=2\cdot4+1=9$ , $a_3=2\cdot9+1=19$ .
Continuando, $a_4=2\cdot19+1=39$ e $a_5=2\cdot39+1=79$ . Para calcular $a_3$ , usamos o valor $a_2=9$ , não substituímos o índice 2 no lugar de $a_2$ .

(4, 9, 19, 39, 79).

Exemplo resolvido · Dado inicial e existência são partes da definição

O que falta em $b_{n+1}=b_n+2$ ? E o que falha se $c_1=0$ e $c_{n+1}=1/c_n$ ?

Resolução

Na primeira regra, falta um valor inicial. Começar em um produz (1, 3, 5, …); começar em dois produz (2, 4, 6, …).
Na segunda, calcular o segundo termo exige dividir por zero. Não há sequência real com esses dados e essa recorrência em todas as posições positivas.

A primeira precisa de início; a segunda falha já no cálculo do segundo termo.

14Uma recorrência pode precisar de dois termos iniciais

Se o próximo termo é a soma dos dois anteriores, um único valor inicial não permite começar o terceiro. Precisamos conhecer o primeiro e o segundo. Na escrita com n+2 no índice, a primeira aplicação costuma ser n = 1, que calcula o terceiro termo.

\begin{gathered}a_1=2,\quad a_2=5\\a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\quad(n\ge1)\end{gathered}

\begin{gathered}a_1=2,\quad a_2=5\\a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\\n\ge1\end{gathered}

n é inteiro positivo. Os dois valores iniciais fornecidos produzem (2,5,7,12,19,31,…). Para calcular a₃, use n = 1. Uma regra que usa dois anteriores pode precisar de dois dados iniciais independentes; para esta regra, um único dado não basta.

Exemplo resolvido · Acompanhar as duas posições usadas

Com $a_1=2$ , $a_2=5$ e $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ , encontre os seis primeiros termos.

Resolução

$a_3=5+2=7$ , $a_4=7+5=12$ e $a_5=12+7=19$ .
$a_6=19+12=31$ . A cada passo, usamos os dois valores mais recentes, respeitando a ordem dos índices.

(2, 5, 7, 12, 19, 31).

A sequência de Fibonacci é um exemplo conhecido dessa regra de soma. Com o começo 1, 1, ela produz (1, 1, 2, 3, 5, 8, …). Também se usa a convenção iniciada em 0, 1; por isso é importante declarar os dados e o primeiro índice. A regra de somar dois anteriores, por si só, não obriga os primeiros valores a serem 1 e 1.

Exemplo resolvido · Um único começo não escolhe o segundo

Se a regra soma os dois anteriores e só sabemos que o primeiro vale dois, o terceiro fica determinado?

Resolução

Se o segundo for cinco, o terceiro será sete. Se o segundo for um, o terceiro será três.
Os dois exemplos respeitam a mesma regra de soma e o primeiro termo dado. Falta o segundo valor para decidir qual sequência é a desejada.

Não; faltam dados iniciais.

15Uma mesma sequência pode ter fórmula explícita e recorrente

A fórmula explícita responde diretamente a uma posição. A recorrência descreve a passagem entre etapas. Para mostrar que duas apresentações definem a mesma sequência, não basta comparar algumas entradas: a fórmula deve respeitar os dados iniciais e a mesma regra de passagem.

Exemplo resolvido · Conferir uma passagem simples

Compare $b_n=3n+1$ , para $n\ge1$ , com o começo $b_1=4$ e a regra de acrescentar três a cada passo.

Resolução

Na posição 1, $3\cdot1+1=4$ , coincidindo com o começo. No próximo índice, $b_{n+1}=3(n+1)+1=3n+3+1=3n+4$ . Subtraindo o atual, $b_{n+1}-b_n=(3n+4)-(3n+1)=3n+4-3n-1=3$ . O sinal de menos diante do segundo parêntese troca os sinais de suas parcelas.
Logo a fórmula sempre dá três a mais no próximo índice. Começo e passagem concordam, de modo que as duas descrições produzem a mesma lista. A justificativa de todos os passos será explicitada na próxima seção.

A fórmula e a recorrência definem (4, 7, 10, 13, …).

\begin{gathered}a_n=n^2\\a_1=1\\a_{n+1}=a_n+2n+1\end{gathered}

n ≥ 1 é inteiro. A identidade (n+1)²−n² = 2n+1 mostra que a fórmula explícita satisfaz a recorrência e o mesmo primeiro termo. A prova por indução garante a concordância em todas as posições, não só nas primeiras.

Exemplo resolvido · Uma passagem que depende da posição

Por que os quadrados podem ser gerados acrescentando $2n+1$ ao quadrado da posição n?

Resolução

Expandindo, $(n+1)^2=n^2+2n+1$ . Então o próximo quadrado é o quadrado atual mais $2n+1$ .
A partir de um, acrescentamos três para obter quatro, cinco para obter nove, sete para obter dezesseis. A quantidade acrescentada muda em cada posição; isso ainda é uma recorrência.

O começo é um e os acréscimos são 3, 5, 7, … .

16Justificar todas as posições: base e passo da indução

Indução matemática é uma forma de demonstrar afirmações sobre todos os índices inteiros a partir de um começo. Primeiro provamos o caso inicial. Depois mostramos que, se a afirmação valer em um índice qualquer, ela também valerá no seguinte. A base e o passo encadeiam todos os índices; um deles isolado não basta.

\begin{gathered}P(1)\text{ verdadeira}\\P(k)\Longrightarrow P(k+1)\\\text{para todo }k\in\mathbb N^*\end{gathered}

P(k) é uma afirmação sobre o índice k; ⇒ significa implica. A base estabelece o primeiro caso. O passo demonstra que a validade em qualquer k leva à validade em k+1. Juntos, os dois fatos garantem P(n) para todo inteiro n ≥ 1. Para outro início, ajuste a base e o intervalo do passo.

Na notação, $P(k)$ significa “a afirmação que queremos provar para o índice k”. A seta $\Longrightarrow$ é lida “implica”. No passo, $k$ não é um número escolhido depois de testar vários casos: é um inteiro positivo qualquer. A hipótese $P(k)$ é usada temporariamente para demonstrar $P(k+1)$ .

Exemplo resolvido · Demonstrar a fórmula dos quadrados na recorrência

Uma sequência começa em $a_1=1$ e satisfaz $a_{n+1}=a_n+2n+1$ . Demonstre que $a_n=n^2$ para todo $n\ge1$ .

Resolução

Base: $a_1=1=1^2$ . A afirmação vale no início.
Passo: suponha que $a_k=k^2$ em um índice k ≥ 1. Pela recorrência, $a_{k+1}=a_k+2k+1$ . Substituindo a hipótese, obtemos $a_{k+1}=k^2+2k+1$ , que é igual a $(k+1)^2$ .
O passo é válido para qualquer k positivo. A base alcança o primeiro índice; o passo leva ao segundo, ao terceiro e assim por diante, provando a fórmula em todos eles.

$a_n=n^2$ para todo inteiro $n\ge1$ .

Essa prova também mostra por que testar apenas os primeiros termos não era suficiente. Uma regra explícita que satisfaz o mesmo início e a mesma recorrência tem seus valores determinados em cada etapa. Em recorrências com mais dados iniciais, a base deve fornecer os casos necessários para que o passo possa começar.

17Crescer, decrescer ou permitir repetições

Uma sequência é crescente quando cada termo seguinte é maior que o anterior; é decrescente quando cada seguinte é menor. Usaremos essas palavras no sentido estrito. A exigência deve valer em todas as comparações consecutivas permitidas. Uma lista que sobe, depois desce e depois sobe não é crescente por ter terminado acima do começo.

\begin{gathered}a_{n+1}>a_n\quad\text{crescente}\\a_{n+1}<a_n\quad\text{decrescente}\end{gathered}

\begin{gathered}\text{crescente: }a_{n+1}>a_n\\\text{decrescente:}\\a_{n+1}<a_n\end{gathered}

Cada desigualdade deve valer para todos os índices consecutivos em que ambos os termos existem. Nesta aula, crescente e decrescente significam estritamente. Verificar somente uma comparação ou observar que os termos são positivos não classifica a sequência inteira.

\begin{gathered}a_{n+1}\ge a_n\\a_{n+1}\le a_n\end{gathered}

A primeira condição, para todos os pares consecutivos válidos, define não decrescente; a segunda define não crescente. Igualdades são permitidas. Uma sequência constante satisfaz ambas, mas não as versões estritas. Uma sequência pode mudar de comportamento depois de um trecho inicial.

Não decrescente significa que nunca diminui, embora possa repetir. Não crescente significa que nunca aumenta. Essas quatro condições descrevem tipos de monotonia. Uma sequência constante, que repete sempre o mesmo valor, satisfaz as duas condições fracas e nenhuma das estritas.

Exemplo resolvido · Distinguir aumento estrito de repetição

Classifique as listas finitas (1, 2, 2, 4), (7, 5, 3) e (6, 6, 6).

Resolução

A primeira é não decrescente, mas não estritamente crescente, pois há igualdade entre as posições 2 e 3.
A segunda é estritamente decrescente. A terceira é constante e, portanto, não decrescente e não crescente.

As igualdades distinguem as versões fracas das estritas.

Exemplo resolvido · Sinal positivo não é sinônimo de crescimento

A sequência (1, 1/2, 1/3, 1/4, …), definida como 1/n, é crescente por ter termos positivos?

Resolução

Não. Para n ≥ 1, o denominador aumenta e a fração positiva diminui.
A comparação entre índices consecutivos, e não apenas o sinal dos termos, determina o comportamento.

Ela é estritamente decrescente.

18Provar a monotonia com diferenças ou quocientes

Para justificar uma classificação em todas as posições, calcule o próximo termo e compare com o atual. A diferença mostra diretamente se houve subida, descida ou igualdade. Em algumas sequências de termos positivos, um quociente simplifica a comparação; é preciso conferir essa positividade antes de usar o critério.

d_n=a_{n+1}-a_n

dₙ é o nome da diferença na posição n. Se todas as diferenças são positivas, a sequência é crescente; se todas são negativas, é decrescente. Sinais não negativos ou não positivos fornecem as classificações fracas. A diferença não precisa ser constante para existir monotonia.

Exemplo resolvido · Uma diferença positiva que não é constante

Mostre que $a_n=\frac n{n+1}$ é crescente para $n\ge1$ inteiro.

Resolução

O próximo termo é $a_{n+1}=\frac{n+1}{(n+1)+1}=\frac{n+1}{n+2}$ . Para subtrair $a_n=\frac n{n+1}$ , usamos o denominador comum $(n+1)(n+2)$ : $a_{n+1}-a_n=\frac{(n+1)^2-n(n+2)}{(n+1)(n+2)}$ .
Expandimos o numerador: $(n+1)^2-n(n+2)=n^2+2n+1-(n^2+2n)=1$ . As parcelas $n^2$ e $2n$ se cancelam porque foram subtraídas das mesmas parcelas.
Assim, $a_{n+1}-a_n=\frac1{(n+1)(n+2)}>0$ . Os dois fatores do denominador são positivos para n ≥ 1. Logo todas as comparações são de crescimento.

A sequência é estritamente crescente, embora os acréscimos mudem.

\begin{gathered}R_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}\\a_n>0\\\text{em todos os índices}\end{gathered}

Sob a positividade declarada, Rₙ > 1 em cada comparação implica crescimento, e 0 < Rₙ < 1 implica decrescimento. Rₙ = 1 dá igualdade naquele passo. Para termos negativos, as conclusões de ordem mudam; se aₙ = 0, o quociente é indefinido. A comparação por diferença não tem essa divisão.

Exemplo resolvido · Não aplicar o critério de quociente sem suas hipóteses

A sequência $b_n=-2^n$ , para $n\ge1$ , tem quociente consecutivo igual a dois. Isso prova crescimento?

Resolução

Os termos são negativos: −2, −4, −8, … . O quociente dois multiplica uma quantidade negativa e a deixa menor.
Escreva $b_{n+1}=-2^{n+1}=-2\cdot2^n$ . Ao subtrair o atual $b_n=-2^n$ , temos $b_{n+1}-b_n=-2\cdot2^n-(-2^n)=-2\cdot2^n+2^n=-2^n<0$ . Subtrair o termo negativo equivale a somar seu oposto. Logo ela é decrescente. Se um termo fosse zero, o quociente nem poderia ser calculado nessa posição.

Não; a sequência é decrescente.

19Infinitos termos podem permanecer em uma faixa limitada

Dizer que uma sequência é limitada significa que seus valores permanecem entre dois números fixos. Esses limites não mudam conforme o índice. Limitação superior fornece apenas um teto para os valores; limitação inferior fornece apenas um piso. Ter infinitos termos não obriga os valores a crescerem sem limite.

\begin{gathered}m\le a_n\le M\\\text{para todo }n\in I\end{gathered}

m e M são números reais fixos, independentes do índice. A existência de ambos define uma sequência limitada. Só a primeira desigualdade dá limitação inferior; só a segunda, superior. Os limites não precisam ser os melhores possíveis. Ser crescente ou ter infinitos termos não determina, por si, se há limitação.

Exemplo resolvido · Uma sequência crescente e limitada

Encontre uma faixa que contenha todos os termos de $a_n=n/(n+1)$ para $n\ge1$ .

Resolução

Como $n=(n+1)-1$ , temos $a_n=\frac{(n+1)-1}{n+1}=1-\frac1{n+1}$ . Para n ≥ 1, o denominador n+1 é pelo menos dois, então $0<\frac1{n+1}\le\frac12$ . Subtrair essa fração de um dá $1-\frac12\le a_n<1$ , isto é, $\frac12\le a_n<1$ .
A sequência cresce, conforme já provamos, mas nunca ultrapassa um. Os números 1/2 e 1 servem de limites fixos; não é necessário que o limite superior seja atingido por algum termo.

$\frac12\le a_n<1$ .

Exemplo resolvido · Uma faixa limitada não obriga os valores a se estabilizarem

Compare $b_n=(-1)^n$ e $c_n=n$ , com $n\ge1$ .

Resolução

Os valores da primeira são −1 e 1: ela fica entre esses dois números, mas continua alternando, sem se aproximar de um único valor.
Na segunda, não há limite superior real fixo: para qualquer número proposto como teto, existe um índice inteiro maior que ele. A sequência c é ilimitada superiormente e tem limite inferior um.

A primeira é limitada; a segunda não possui limite superior.

A teoria formal de limites não é um pré-requisito para essas comparações. A distinção já é importante: crescimento, limitação e aproximação de um valor são propriedades diferentes. A soma infinita de uma PG será estudada com suas condições na aula própria, sem concluir que toda sequência limitada pode ser somada infinitamente.

20Ciclos: repetir todos os valores de um bloco

Uma sequência periódica repete seus valores depois de um número fixo de posições. Esse número inteiro positivo é um período. O menor período possível é o período fundamental. Para uma sequência infinita, a repetição precisa valer em qualquer posição, e não apenas nos primeiros blocos que desenhamos.

Uma sequência real periódica é limitada: todos os seus valores já aparecem no bloco finito que se repete, então o menor e o maior valor desse bloco fornecem limites para a lista inteira. A recíproca não vale: permanecer em uma faixa não obriga os valores a se repetirem em um ciclo.

a_{n+p}=a_n\quad(n\ge1)

A sequência aqui é infinita e começa em 1; p ≥ 1 é um inteiro fixo. A igualdade deve valer para todo inteiro n ≥ 1. O menor p possível é o período fundamental. Um trecho repetido ou a simples alternância dos sinais não demonstra periodicidade dos valores.

\begin{gathered}n-1=qp+r\\0\le r<p\\a_n=c_{r+1}\end{gathered}

n ≥ 1, p ≥ 1, q ≥ 0 e r são inteiros. O ciclo declarado é (c₁,…,cₚ). Divida n−1 por p; o resto r localiza a posição r+1 dentro do ciclo. q conta ciclos completos antes dessa posição. Usar n−1 evita tratar resto zero como uma posição inexistente.

O ciclo declarado (2, 5, 7) se repete em blocos de três posições. Para a posição 2026, 2026−1 = 675·3 + 0; a posição dentro do ciclo é 1 e o valor é dois.

Exemplo resolvido · Usar quociente e resto sem deslocar o ciclo

A sequência repete (2, 5, 7) indefinidamente a partir da posição 1. Quais são os termos de índices 2026 e 2027?

Resolução

Dividimos o índice menos um por três. 2025 = 675 · 3 + 0, então a posição 2026 usa o primeiro valor do ciclo: dois.
2026 = 675 · 3 + 1, então a posição 2027 usa o segundo valor: cinco. Na fórmula, q conta blocos completos e r é o resto; r+1 é a posição no ciclo.

Dois e cinco, respectivamente.

Exemplo resolvido · Sinais repetidos não garantem valores repetidos

Compare as regras aₙ = (−1)ⁿ e bₙ = (−1)ⁿn, com índices positivos.

Resolução

A primeira repete (−1, 1) e tem período fundamental dois. A segunda começa com (−1, 2, −3, 4, …); suas magnitudes aumentam.
Se b tivesse um período positivo p, os termos de índices n e n+p precisariam ter a mesma magnitude, mas essas magnitudes seriam n e n+p, diferentes. Logo b não é periódica. Uma sequência constante, por outro lado, tem período fundamental um.

A primeira é periódica; a segunda só alterna os sinais.

21Selecionar posições e mudar a numeração inicial

Uma subsequência é obtida escolhendo posições de uma sequência e mantendo a ordem delas. Podemos selecionar apenas índices pares, por exemplo. Os índices escolhidos devem crescer estritamente; os valores escolhidos podem se repetir. Mudar apenas o primeiro índice da lista inteira é uma reindexação: os valores e a ordem continuam os mesmos.

\begin{gathered}b_k=a_{n_k}\\n_1<n_2<n_3<\cdots\end{gathered}

Os índices nₖ pertencem ao domínio de a e são estritamente crescentes. b é uma subsequência, obtida selecionando posições sem mudar sua ordem. Os valores selecionados podem se repetir. Reindexar a lista inteira a partir de 1 é uma mudança de nomes das posições, diferente de descartar posições.

Exemplo resolvido · Selecionar os termos de índice par

Se $a_n=n^2$ , para $n\ge1$ , escreva a fórmula de $b_k=a_{2k}$ .

Resolução

O índice selecionado é 2k. Substituindo-o na regra, $b_k=(2k)^2=4k^2$ .
As primeiras posições de b recebem os termos 2, 4, 6 e 8 de a: seus valores são 4, 16, 36 e 64. Não estamos selecionando valores apenas por serem pares; estamos escolhendo posições pares.

$b_k=4k^2$ , para $k\ge1$ inteiro.

Exemplo resolvido · Preservar todos os valores ao começar em um

A sequência $c_n=n^2$ começa em $n=0$ . Qual regra descreve a mesma lista começando com índice 1?

Resolução

A lista original é (0,1,4,9,…). Para que a nova posição 1 use o índice antigo 0, escrevemos $d_k=c_{k-1}$ .
Assim, $d_k=(k-1)^2$ , para k ≥ 1. Usar $d_k=k^2$ perderia o zero inicial e começaria em outro valor.

$d_k=(k-1)^2$ , com $k\ge1$ .

22Fatorial: uma regra de produto que também gera sequências

O fatorial de um inteiro positivo é o produto de todos os inteiros de um até ele. Escrevemos um ponto de exclamação depois do número: 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24. Aqui o sinal ! faz parte da operação. Definimos também 0! = 1; não é zero nem uma divisão por zero.

\begin{gathered}n!=1\cdot2\cdots n\quad(n\ge1)\\0!=1\\(n+1)!=(n+1)n!\end{gathered}

n é inteiro não negativo. A primeira linha define o produto para n ≥ 1; a segunda fixa o caso zero. A terceira vale para n ≥ 0 e é compatível com ambos. O símbolo ! é fatorial, não sinal de pontuação nem potência. Fatoriais de negativos e extensões a não inteiros não são definidos nesta aula.

A convenção em zero é compatível com a regra $(n+1)!=(n+1)n!$ : em n = 0, ela dá $1!=1\cdot0!$ , e ambos os lados valem um. O produto sem fatores é convencionado como um, assim como uma soma sem parcelas é convencionada como zero. Não aplicaremos fatorial a números negativos ou fracionários nesta aula.

Exemplo resolvido · Listar termos sem confundir fatorial com potência

Na sequência $a_n=n!$ , com $n\ge1$ , encontre os cinco primeiros termos.

Resolução

Os valores são 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24 e 5! = 120.
Podemos usar $a_{n+1}=(n+1)a_n$ , partindo de $a_1=1$ . A multiplicação muda com a posição; não é uma razão fixa.

(1, 2, 6, 24, 120).

Exemplo resolvido · Cancelar o produto comum

Calcule $6!/4!$ e compare com $6/4$ .

Resolução

$6!=6\cdot5\cdot4!$ , então o quociente é $6\cdot5=30$ . O fatorial 4! é positivo, permitindo o cancelamento.
Não cancelamos o símbolo ! para formar 6/4. Os fatoriais representam produtos completos.

O quociente dos fatoriais é trinta, não 1,5.

23Termo e total: entender as somas parciais e o símbolo Σ

O terceiro termo informa o valor de uma posição; a soma dos três primeiros informa um total. Para distinguir as perguntas, chamamos o total de S com índice n. A letra grega sigma maiúscula, Σ, abrevia uma soma: embaixo fica o início do índice que percorre as parcelas; em cima, o final.

\begin{gathered}S_n=\sum_{k=1}^n a_k\\=a_1+a_2+\cdots+a_n\end{gathered}

n ≥ 1 é inteiro e todos os termos até n existem. Σ é a letra grega sigma maiúscula e indica soma. k é o índice que percorre 1,2,…,n; n é o limite superior. Sₙ é o total dos primeiros n termos, diferente do termo aₙ. Adotamos S₀ = 0 como soma sem parcelas.

Em $\sum_{k=1}^{n}a_k$ , k percorre 1,2,…,n. Ele é uma variável de contagem das parcelas, chamada índice de soma. Não é uma constante de proporcionalidade nem o limite superior. Podemos trocar seu nome por outra letra livre, desde que o façamos em todas as ocorrências desse índice.

Para termos de valores 2, 5 e 8, as somas parciais são 2, 7 e 15. As barras usam a mesma escala e acrescentam uma parcela por vez. A diferença entre 15 e 7 recupera o terceiro termo, oito.

Exemplo resolvido · Expandir antes de somar

Calcule $\sum_{k=1}^{4}(k^2+1)$ e identifique o quarto termo da sequência somada.

Resolução

As parcelas para k = 1, 2, 3 e 4 são 2, 5, 10 e 17. O total é 2+5+10+17 = 34.
O quarto termo é dezessete, e não 34. O total reúne quatro posições; o termo responde a apenas uma delas.

Soma de 34; quarto termo de valor dezessete.

a_n=S_n-S_{n-1}\quad(n\ge1)

n é inteiro, Sₙ soma os primeiros n termos e S₀ = 0. Ao subtrair a soma anterior, as parcelas comuns se cancelam e sobra apenas aₙ. Para n = 1, a fórmula dá a₁ = S₁. Uma expressão proposta para Sₙ deve respeitar a convenção em zero ou tratar o primeiro termo separadamente.

Exemplo resolvido · Recuperar o valor acrescentado no último passo

Se as somas parciais de uma sequência são $S_n=n(n+1)$ para $n\ge0$ , qual é seu termo geral?

Resolução

A expressão dá $S_0=0$ , compatível com a convenção. Para n ≥ 1, $S_{n-1}=(n-1)n$ .
Pela diferença de somas parciais, $a_n=S_n-S_{n-1}=n(n+1)-(n-1)n$ . Colocamos n em evidência: $a_n=n[(n+1)-(n-1)]$ .
Dentro dos colchetes, $(n+1)-(n-1)=n+1-n+1=2$ , pois o sinal de menos troca os sinais do segundo parêntese. Portanto $a_n=n\cdot2=2n$ . Subtrair a soma anterior elimina as parcelas das posições anteriores, sobrando só a parcela da posição n.

$a_n=2n$ , para $n\ge1$ .

\begin{gathered}\sum_{k=p}^{q}a_k=S_q-S_{p-1}\\\text{número de parcelas: }q-p+1\end{gathered}

\begin{gathered}\sum_{k=p}^{q}a_k=S_q-S_{p-1}\\\text{número de parcelas:}\\q-p+1\end{gathered}

p e q são inteiros, 1 ≤ p ≤ q, e os termos de 1 até q existem. S₀ = 0. Os dois extremos entram na soma. Para uma constante c, a soma nessa faixa é (q−p+1)c. As letras p e q aqui são índices, sem relação com a razão de uma PG.

\begin{gathered}\sum_{k=1}^n(ca_k+b_k)\\=c\sum_{k=1}^n a_k+\sum_{k=1}^n b_k\end{gathered}

n ≥ 1 é inteiro, c é uma constante real independente de k e a,b são sequências reais definidas até n. A distributividade e o agrupamento de uma quantidade finita de parcelas justificam a igualdade. Não se retira da soma um fator que dependa de k como se fosse constante; somas infinitas exigem estudo próprio.

Exemplo resolvido · Contar as parcelas e separar uma constante

Calcule $\sum_{k=3}^{7}4$ e depois $\sum_{k=1}^{3}(2k+1)$ .

Resolução

A primeira soma tem os índices 3, 4, 5, 6 e 7: cinco parcelas iguais a quatro, total vinte. São q−p+1 parcelas porque os dois extremos entram.
Na segunda, $2(1+2+3)+(1+1+1)=12+3=15$ . O fator dois é constante e pode sair da soma; o índice k continua percorrendo suas posições.

Vinte e quinze, respectivamente.

Todas as somas desta seção têm uma quantidade finita de parcelas. Não estamos atribuindo automaticamente um valor a uma soma infinita. Nas aulas de PA e PG, desenvolveremos fórmulas próprias de soma e, no caso da PG infinita, as condições que permitem definir seu valor.

24Modelos: o índice precisa acompanhar a situação descrita

Antes de usar uma fórmula em um problema, diga o que o índice conta e o que o valor representa. A posição zero pode indicar o instante anterior à primeira mudança; uma produção de um único dia é diferente da produção acumulada. Uma regra matemática infinita não garante que um processo físico continue indefinidamente com as mesmas condições.

\begin{gathered}E_0=12\\E_{n+1}=E_n+3\quad(n\ge0)\end{gathered}

n é inteiro não negativo e conta dias completos transcorridos; Eₙ é o estoque após n dias. O modelo parte de doze unidades e acrescenta três líquidas a cada dia, enquanto essa regra se mantiver. E₀ é a condição inicial, não o valor zero do estoque. Quantidades acumuladas e produção de um único dia devem ser distinguidas.

Exemplo resolvido · Estoque inicial não é o estoque após um dia

Um estoque começa com doze unidades. A cada dia completo entram quatro e sai uma unidade. Não há outras mudanças no período estudado. Qual é o estoque após três dias?

Resolução

O acréscimo líquido diário é quatro menos um, ou três unidades. O início é E₀ = 12.
Após o primeiro dia, E₁ = 15; após o segundo, E₂ = 18; após o terceiro, E₃ = 21. Chamar o começo de E₁ deslocaria a interpretação de todos os índices se não ajustássemos a definição.

21 unidades após três dias completos.

Exemplo resolvido · Valor do período e valor acumulado

Uma produção é de três peças no primeiro dia, sete no segundo e onze no terceiro. Qual é o terceiro registro e qual é o total produzido nesses três dias?

Resolução

O terceiro registro é a produção do terceiro dia: onze peças.
O total é 3+7+11 = 21 peças. A pergunta de total exige uma soma parcial; não se responde apenas com o termo da última posição.

Onze peças no terceiro dia; 21 no total.

Na próxima aula, chamaremos de PA as sequências com diferença constante entre termos consecutivos. Depois estudaremos PG, com passagem por um fator multiplicativo fixo. Nem toda sequência pertence a essas classes: quadrados, fatoriais, ciclos e outras regras continuam sendo sequências com características próprias.

25Agora é com você

O banco tem trinta questões no total: 26 objetivas e quatro discursivas. Comece lendo o índice, o domínio e o tipo de regra. Justifique as condições usadas; nas discursivas, explique por que o procedimento vale além de algumas posições testadas.

Questão 1 de 300 conferidas

Compreensão · Objetiva

Qual afirmação sobre as sequências (6, 2, 6, 9) e (2, 6, 6, 9) é correta?

ASão iguais porque contêm os mesmos números.BSão diferentes porque os valores não coincidem em todas as posições.CA primeira é inválida porque repete o valor seis.DAmbas têm só três termos, pois seis se repete.

Ative o JavaScript para conferir alternativas interativamente. Todas as questões e resoluções estão disponíveis abaixo.[data-exercise][hidden],[data-solution][hidden]{display:block}.exercise-controls,[data-check-answer],.exercise-progress{display:none}

26O que guardar desta aula

Sequência é uma lista ordenada de termos. Posição e repetição importam; um conjunto não registra essas informações da mesma forma.
$a_n$ é o valor na posição n. $a_{n+1}$ é o próximo termo; $a_n+1$ é o valor atual acrescido de um. O índice não é expoente nem multiplicação.
O domínio informa os índices válidos. Uma sequência finita tem quantidade determinada de posições; uma infinita não tem um último termo chamado infinito.
A indexação pode começar em zero ou em outro inteiro, desde que isso seja declarado. O índice inicial não determina o valor inicial.
Duas sequências são iguais quando têm o mesmo domínio de índices e o mesmo valor em cada posição; um começo comum não basta.
A sequência numérica associa a cada índice um único número real. Seu gráfico usa pontos nas posições permitidas, sem acrescentar entradas fracionárias automaticamente.
Uma fórmula explícita calcula o termo a partir da posição. Substitua o índice em todas as ocorrências e respeite parênteses, sinais e potências.
Para procurar um valor, resolva a equação da fórmula com esse valor e confira se as soluções pertencem ao domínio. Pode haver nenhuma, uma ou várias posições.
Toda regra precisa existir em todos os índices declarados: denominadores não podem ser zero e raízes quadradas reais exigem radicando não negativo.
Poucos termos podem sugerir um padrão, mas regras diferentes podem ter o mesmo começo. Uma construção ou condição expressa fornece a justificativa da continuação.
Regras por casos devem cobrir o domínio de modo consistente. Em uma intercalação por paridade, o caso é escolhido pelo índice, não pelo valor do termo.
Uma recorrência usa termos anteriores e dados iniciais. A quantidade de dados precisa permitir o começo, e todas as operações da passagem devem existir.
Uma fórmula explícita e uma recorrência podem representar a mesma sequência. Base e passo da indução justificam a concordância em todos os índices.
Crescente e decrescente são estritas nesta aula. Não decrescente e não crescente permitem igualdades. Uma sequência constante satisfaz ambas as versões fracas.
O sinal da diferença consecutiva prova monotonia. Comparações pelo quociente exigem atenção aos sinais e à ausência de zero no denominador.
Limitação usa números fixos acima e abaixo de todos os termos. Crescer não obriga a ser ilimitada; ser limitada não obriga os valores a se aproximarem de um único número.
Periodicidade repete valores após um deslocamento inteiro fixo em todos os índices. O resto da divisão de n−1 pelo tamanho do ciclo localiza uma posição distante.
Uma subsequência seleciona índices estritamente crescentes. Reindexar a lista inteira conserva todos os valores e apenas muda os nomes das posições.
Fatorial é produto dos inteiros positivos até n, com 0! = 1. O símbolo ! não é potência e não pode ser cancelado como se fosse um fator independente.
$S_n$ é soma dos primeiros n termos e $S_0=0$ . O símbolo $\Sigma$ indica as parcelas e seus índices; $a_n=S_n-S_{n-1}$ recupera o último termo acrescentado.

Esta é a primeira das três aulas planejadas de PA e PG. A próxima será Progressão aritmética — PA, com razão, termo geral, propriedades, inserção de termos, soma e aplicações, sempre partindo do significado de cada conceito.