Progressão geométrica — PG

1Agora a passagem é uma multiplicação

Na PA, cada passagem acrescenta uma quantidade fixa. Agora imagine um processo que começa em três e dobra o valor a cada etapa: (3, 6, 12, 24, 48, …). As diferenças mudam, mas o fator de multiplicação é sempre dois. Essa é a ideia de progressão geométrica, abreviada PG.

Continuamos usando $a_n$ para o valor na posição $n$. O índice é um inteiro positivo: $a_1$ é o primeiro termo, e $a_{n+1}$ é o próximo depois de $a_n$. A letra $q$ será o fator fixo, chamado razão da PG. A letra $A$ abaixo representa o primeiro valor conhecido. Uma recorrência informa o começo e como passar ao termo seguinte.

A PG pode ser finita, com posições de 1 a $N$, ou infinita, com índices em $\mathbb N^*=\{1,2,3,\ldots\}$. $N$ é a quantidade inteira de termos, e a passagem na lista finita só vale para $1\le n<N$. No site, $\mathbb N$ inclui zero e o asterisco o exclui. Uma lista curta não determina sozinha uma continuação infinita; é a regra dada que justifica a construção.

2Calcular a razão sem dividir por zero

Quando o termo atual não é zero, a razão pode ser encontrada dividindo o próximo pelo atual. Se já sabemos que a lista é PG, uma divisão válida basta. Para reconhecer uma lista finita desconhecida, é preciso conferir todas as passagens; para uma regra infinita, demonstrar que o fator funciona em todo índice.

Usaremos a definição por multiplicação, que também admite zero. Multiplicar zero por um número real sempre dá zero; portanto, depois de um termo zero, não pode surgir um termo não nulo. A razão da sequência toda nula não é identificada pelos valores: qualquer fator real mantém seus zeros.

O índice p marca uma posição em que apareceu zero; n percorre essa posição e as seguintes que existem. A seta $\Longrightarrow$ significa “implica”: a condição à esquerda obriga a conclusão à direita.

Um único termo também não determina razão única, pois ainda não há passagem. A definição multiplicativa é a referência nos casos com zero; o teste por quocientes só é usado nas divisões que existem.

3Termo geral: contar os fatores

O segundo termo contém um fator $q$ depois de $a_1$; o terceiro contém dois. Da posição um até a posição $n$ existem $n-1$ passagens, portanto $n-1$ multiplicações pelo mesmo fator. Potência registra essa multiplicação repetida.

Para $q\ne0$, a fórmula começa corretamente: $a_1q^0=a_1$, pois uma base não nula elevada a zero vale um. Se a expressão vale em $n$, multiplicar por q dá $a_1q^{n-1}\cdot q=a_1q^n$, a expressão na posição seguinte. O começo e essa passagem provam o termo geral por indução. Se $q=0$, conservamos o primeiro termo dado e todos os seguintes são zero; não precisamos atribuir valor a $0^0$.

A expressão só calcula termos que pertencem ao domínio anunciado. Uma PG finita de quatro posições não passa a ter uma sétima posição só porque a expressão algébrica pode ser avaliada ali.

4Valor inicial no instante zero

Em alguns modelos, o índice conta quantas etapas completas já ocorreram. Nesse caso, $b_0$ é o valor inicial e $b_n$ é o valor depois de $n$ etapas. Há n fatores, e não n−1. A mudança de origem altera a fórmula usada com o dado inicial.

Para razão zero, declare o valor inicial separadamente: a partir da primeira etapa, os valores são zero. A notação evita usar zero elevado a zero no instante inicial.

5Relacionar duas posições e encontrar a razão

A partir de uma posição conhecida $p$, o deslocamento até $n$ conta $n-p$ fatores. Com razão não nula, também podemos voltar: um expoente negativo indica o inverso da potência. Aqui p e n são índices existentes.

Se $a_p\ne0$ e conhecemos um termo posterior $a_s$, podemos dividir os valores e obter uma potência da razão. A letra s é o índice posterior, com $s>p$. O número de passagens é $s-p$, não a quantidade de termos contando as pontas.

6Crescimento depende do fator e do sinal inicial

Se a razão é positiva, a multiplicação preserva o sinal dos termos. Para termos positivos, um fator maior que um aumenta os valores, e um fator entre zero e um os reduz. Para termos negativos, a conclusão se inverte: aumentar o módulo, isto é, a distância até zero, deixa o número menor, enquanto aproximá-lo de zero o torna maior.

A prova vem da diferença: $a_{n+1}-a_n=a_n(q-1)$. Se ela é positiva em todas as passagens, a lista cresce estritamente; se é negativa, decresce estritamente. Quando $q>0$, o sinal de $a_n$ é o mesmo de $a_1$, por isso a análise se resume aos dois fatores dessa diferença.

Razão um produz uma PG constante. Primeiro termo zero produz a lista toda nula, com qualquer fator. Razão zero e primeiro termo não nulo produzem uma PG estacionária: o primeiro valor é seguido apenas de zeros. Na sequência infinita estacionária não há monotonia estrita em todas as passagens, pois os zeros empatam. Em listas muito curtas, analise somente as passagens existentes.

7Razão negativa e paridade

Com $a_1\ne0$ e $q<0$, cada multiplicação troca o sinal: a PG é oscilante ou alternante. O sinal da potência depende de $n-1$. Se o primeiro termo é positivo, as posições ímpares são positivas e as pares negativas; se o primeiro é negativo, ocorre o contrário.

O símbolo $|q|$ é o módulo: a distância do número q até zero, sempre não negativa. Por exemplo, $|-1/2|=1/2$. Se $q=-1$, os módulos ficam iguais e os valores repetem um ciclo de duas posições: $(A,-A,A,-A,\ldots)$ quando $A\ne0$. Alternância de sinais, diminuição do módulo e repetição são propriedades diferentes.

8O valor procurado ocupa um índice permitido?

Igualamos o termo geral ao valor procurado e investigamos o expoente. Não basta encontrar um número real: a posição deve ser inteira, começar no índice correto e não ultrapassar o final de uma lista finita. Uma tabela de potências pode resolver os exemplos sem depender de uma nova operação.

Nos casos constantes, o valor aparece em todas as posições ou em nenhuma. Com razão zero, o primeiro valor pode aparecer somente no começo, e os zeros ocupam as posições seguintes. Com razão −1, os valores se repetem por paridade. Se a razão positiva for diferente de um e o primeiro termo não for zero, a PG é estritamente monótona e cada valor ocupa no máximo uma posição. Equações exponenciais gerais serão aprofundadas na matéria de Logaritmos.

9Três termos e a média geométrica

Para três termos não nulos $a,b,c$, nessa ordem, a igualdade das razões é $b/a=c/b$. Multiplicar pelos denominadores não nulos dá $b^2=ac$. A volta também é válida nessas condições: dividindo por ab, recuperamos a igualdade dos quocientes.

A média geométrica usual de dois números positivos é a raiz quadrada positiva do produto. A condição “positiva” escolhe um sinal; a equação ao quadrado, sozinha, não escolhe. Com zeros, a condição local isolada pode deixar de caracterizar PG.

10Pares equidistantes têm produtos iguais

Na PA, pares de índices com a mesma soma davam somas de valores iguais. Na PG, eles dão produtos iguais. Para $q\ne0$, multiplicar os termos de índices i e j dá $a_i a_j=a_1^2q^{i+j-2}$. Assim, a soma dos índices controla o produto.

No trecho com um número ímpar de termos, o produto das pontas é o quadrado do termo central. O quadrado não informa o sinal do centro. Se a razão for zero, volte aos termos efetivos e não use uma prova que divide por ela.

11Formas usuais e formas centradas

Três termos podem começar em x ou ser escritos ao redor do termo central c. As escritas representam a mesma lista quando $c=xq$. A forma centrada exige $q\ne0$ e torna o produto igual a $c^3$.

Com cinco termos, o centro é o terceiro. A razão continua sendo q e a correspondência é $c=xq^2$. Os fatores de q se cancelam no produto, deixando $c^5$.

Com quatro termos, uma forma simétrica usa um fator auxiliar t positivo. A razão passa a ser $q=t^2$, e c representa o centro multiplicativo dessa escrita, sem precisar ser um termo. Essa parametrização só cobre razões positivas; não a estendemos a razões negativas por uma raiz quadrada real inexistente.

12Inserir meios geométricos

Inserir m meios significa acrescentar m termos entre os extremos A e B para formar uma PG completa. Há m+2 termos e m+1 multiplicações. Se A não é zero, a relação entre extremos é $B=Aq^{m+1}$. A letra m é uma quantidade inteira não negativa.

Para uma potência de expoente par, resultado negativo não admite razão real; resultado positivo admite as duas raízes opostas. Para expoente ímpar, existe uma única raiz real, com o sinal do resultado. Resultado zero exige razão zero. Por exemplo, não há meio real que forme PG entre dois e −18, porque a razão teria quadrado −9.

Se A for zero, a recorrência só permite extremo final B também zero, e todos os meios são zero. Se A não for zero e B for zero, a razão é zero e todos os termos depois de A são zero. Com m = 0 não há meio inserido, mas ainda existe uma passagem entre os extremos.

13Selecionar posições com salto fixo

Se selecionarmos uma posição a cada h passagens, acumularemos h fatores q. A nova razão será $q^h$. A letra k é o índice da nova lista: k = 1 conta a primeira escolha, k = 2 a segunda. O índice inicial escolhido é p; h é um inteiro positivo fixo.

O salto precisa ser fixo e os índices precisam existir. Uma seleção finita respeita o final da PG original. Inverter a ordem de uma PG finita de razão não nula dá razão inversa, um dividido por q. Razão zero exige análise direta: (5,0,0) invertida vira (0,0,5), que não é PG.

14Combinar PGs: produto e quociente

Se duas PGs usam os mesmos índices, multiplicar os valores correspondentes multiplica também os fatores de passagem. No quociente, os fatores se dividem, desde que todos os denominadores existam. Usaremos $q_a$ e $q_b$ para as razões das duas listas e $q_c,q_d$ para as novas razões.

Multiplicar todos os termos por uma constante também mantém uma razão válida; se a constante é zero, a nova lista é nula e não identifica razão única. Somar PGs ou adicionar a mesma constante a todos os termos não garante outra PG. Por exemplo, somar um a (1,2,4) dá (2,3,5), cujos quocientes três meios e cinco terços são diferentes.

15Produto de vários termos e cuidado com o sinal

O símbolo $P_n$ representa o produto dos primeiros n termos. Cada parcela contribui um fator $a_1$, totalizando $a_1^n$. Os expoentes de q se somam: $0+1+\cdots+(n-1)=n(n-1)/2$, resultado preparado na aula de PA.

Outra identidade vem de multiplicar o produto na ordem original pelo mesmo produto na ordem inversa. Cada par vale $a_1a_n$, e existem n pares, então $P_n^2=(a_1a_n)^n$. Essa igualdade fornece o quadrado do produto; o sinal ainda precisa ser verificado nos fatores.

Com razão zero, o produto de uma parcela é o primeiro termo; a partir de duas parcelas, o produto é zero. Não é necessário usar uma expressão com zero elevado a zero para chegar a essa conclusão.

16Parcela, produto e soma parcial

O símbolo $S_n$ indica a soma dos primeiros n termos: $S_3=a_1+a_2+a_3$, por exemplo. Ele não é o termo $a_n$ nem o produto $P_n$. Definimos $S_0=0$ para representar nenhuma parcela.

Também escrevemos $\sum_{k=1}^{n}a_k$. O símbolo $\Sigma$ manda somar; k percorre os índices inteiros de 1 até n, incluindo ambos. A letra k acompanha a parcela escolhida, e n informa o limite da soma.

17Deduzir a soma por multiplicação e subtração

Escreva $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$. Multiplicar toda essa igualdade por q transforma cada parcela na seguinte, pela recorrência. Ao calcular $qS_n-S_n$, os termos intermediários se cancelam. Restam $qa_n-a_1$. Como $qa_n=a_1q^n$, obtemos $(q-1)S_n=a_1(q^n-1)$.

Se a razão for diferente de um, podemos dividir pelo fator razão menos um. Se a razão for um, essa divisão não existe e somamos as parcelas iguais diretamente. A prova não depende de a razão ser positiva.

Também podemos colocar o primeiro termo em evidência e usar a identidade polinomial que resulta do mesmo cancelamento. As duas demonstrações explicam por que o numerador e o denominador aparecem juntos; trocar o sinal de apenas um deles muda o resultado.

18Razões fracionárias, negativas, um e zero

A soma finita usa uma quantidade inteira de parcelas, inclusive quando a PG de origem é infinita. Não se substitui n por um suposto último índice infinito. O problema da soma infinita exige outra definição e será preparado adiante.

19Somar um trecho ou ler um somatório

Entre as posições p e s, incluindo as duas, há $s-p+1$ parcelas. O trecho também é PG e começa em $a_p$. A letra m abaixo representa essa quantidade. Outra possibilidade é retirar o começo: $S_s-S_{p-1}$.

20Encontrar quantas parcelas formam o total

Se o total T é dado, podemos isolar $q^n$ na fórmula de soma. Isso exige primeiro termo não nulo e razão diferente de um. Depois resolvemos a potência e conservamos somente quantidades inteiras de parcelas dentro do domínio.

Razão um usa n vezes primeiro termo; razão zero repete o mesmo total depois da primeira parcela. Com razão −1 e primeiro termo não nulo, o total é o primeiro termo em toda quantidade ímpar e zero em toda quantidade par. Assim, uma soma dada não garante uma única resposta. As condições não podem ser descartadas quando uma equação parece resolvida.

21Aplicar o cancelamento a outras somas

Os próprios números de algarismos repetidos não formam PG em geral. Porém, cada um pode ser escrito como uma soma de valores posicionais em base dez, que formam PG. Usaremos D para um algarismo de um a nove, n para sua quantidade de repetições e Uₙ para o número formado.

Também podemos adaptar a subtração quando cada potência recebe um peso k. Os pesos 1,2,3,… formam PA, enquanto $1,q,q^2,\ldots$ formam PG. O produto das duas listas é chamado progressão aritmético-geométrica; não é uma PG em geral. Vamos chamar a soma ponderada de $T_n$.

Multiplicar $T_n$ por q desloca as potências. Ao fazer $T_n-qT_n$, a primeira parcela é um; em cada potência intermediária, os pesos diferem de um; a última parcela que sobra é $-nq^n$. Portanto $(1-q)T_n=G_n-nq^n$, em que $G_n$ é a soma $1+q+\cdots+q^{n-1}$. Substituímos $G_n=(1-q^n)/(1-q)$ e colocamos os termos no mesmo denominador: $(1-q)T_n=[1-q^n-nq^n(1-q)]/(1-q)$. Expandir o numerador dá $1-q^n-nq^n+nq^{n+1}=1-(n+1)q^n+nq^{n+1}$. Dividindo novamente por $1-q\ne0$, obtemos o denominador $(1-q)^2$ da fórmula. Aqui evitamos q = 0 na escrita inicial e o tratamos diretamente.

22Porcentagem fixa significa fator fixo

Aumentar uma quantidade positiva em vinte por cento significa conservar cem por cento e acrescentar vinte: ficamos com 120%, isto é, 1,2 vezes o valor anterior. Reduzir vinte por cento conserva oitenta por cento, fator 0,8. A porcentagem usa o valor atual como base em cada etapa.

Um fator negativo alterna sinais e não representa simplesmente uma redução percentual de uma quantidade que deve continuar positiva. Redução de cem por cento leva a zero, caso tratado pela recorrência. Taxas que mudam de um período para outro não geram automaticamente uma PG.

23Períodos completos e juros compostos no modelo

Usaremos $V_0$ para o valor no instante inicial, $V_n$ para o valor após n períodos completos e i para a taxa decimal fixa por período. Os índices e a taxa precisam usar a mesma unidade de tempo. A fórmula abaixo supõe que só a multiplicação pelo fator altera o valor.

Juros compostos são uma aplicação matemática dessa multiplicação: em cada período, os juros incidem sobre o saldo daquele período. Essa atualização periódica do saldo é chamada capitalização. Em um modelo com taxa fixa, sem pagamentos, aportes ou outras cobranças, o saldo inicial é multiplicado por um mais a taxa em cada passagem. Somar os saldos observados não é o mesmo que calcular o saldo final.

Não somamos vinte e cinco por cento de alta e vinte e cinco por cento de baixa como se fossem operações inversas. Os fatores 1,25 e 0,75 produzem 0,9375; sobre cem, terminam em 93,75. Como os fatores são diferentes nessas duas passagens, esse percurso não é uma PG de razão fixa.

24O que significa uma soma infinita existir?

Uma lista infinita não tem última posição. A expressão que indica somar seus termos é chamada série. Para falar de soma infinita, observamos os totais depois de uma, duas, três e cada quantidade finita de parcelas. Se esses totais podem ficar tão próximos quanto quisermos de um mesmo número real, permanecendo próximos daí em diante, dizemos que convergem para esse número. Esse número é a soma da série. Se isso não ocorre, a série diverge.

Antes de obter a fórmula, precisamos saber quando $q^n$ se aproxima de zero. O módulo $|q|$ trata ao mesmo tempo razões positivas e negativas. Quando $0<|q|<1$, defina $t=1/|q|-1$, que é positivo. Então $|q|^n=1/(1+t)^n$.

A desigualdade $(1+t)^n\ge1+nt$ pode ser provada por indução. Para n = 1 há igualdade. Se vale em n, multiplicar por $1+t>0$ dá um valor pelo menos $1+(n+1)t+nt^2$, que é pelo menos $1+(n+1)t$. Como os dois lados são positivos, tomar inversos inverte a comparação e dá o limite superior indicado na fórmula.

A fração $1/(1+nt)$ pode ficar menor que qualquer precisão positiva escolhida: seu denominador cresce sem limite. Portanto $|q|^n$ também se aproxima de zero, e o sinal de $q^n$ não altera o tamanho dessa aproximação. Se q = 0, as potências com n ≥ 1 já são zero. A seta $\longrightarrow$ significa essa aproximação, não igualdade em uma última posição.

25Deduzir a soma infinita geométrica

A soma finita pode ser escrita como $S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)$. Se $|q|<1$, o denominador não é zero e a potência se aproxima de zero. A expressão se aproxima de $a_1/(1-q)$. Chamaremos esse valor de S.

Para justificar o quanto quisermos de precisão, subtraia: $S-S_n=a_1q^n/(1-q)$. O tamanho dessa diferença é uma constante vezes $|q|^n$, que acabamos de provar que tende a zero. Mais precisamente, ponha $C=|a_1|/|1-q|$. Para $0<|q|<1$, o erro é no máximo $C/(1+nt)$. Dada uma precisão $\varepsilon>0$ — a letra grega épsilon nomeia um número positivo escolhido — basta tomar um índice inteiro suficientemente grande, com $n>(C/\varepsilon-1)/t$. Então o erro é menor que essa precisão. Se C = 0 ou q = 0, a conclusão é direta.

Ter razão menor que um não basta: uma razão como −2 é menor que um, mas seu módulo é dois. A condição correta é $|q|<1$, equivalente a $-1<q<1$; os extremos −1 e um ficam excluídos. A sequência toda nula tem soma zero diretamente para qualquer fator declarado, mesmo fora desse intervalo.

26Quanto falta e quantas parcelas precisamos?

O resto $R_n$ é a diferença entre a soma infinita S e a soma parcial $S_n$. Ele tem sinal; o módulo $|R_n|$ mede o tamanho do erro da aproximação. Na PG de razão negativa, a diferença pode mudar de sinal a cada nova parcela.

A parte ainda não somada também é uma PG infinita, chamada cauda. Se ela começa na posição p, seu primeiro termo é o da posição p, e não o primeiro da lista original.

27Quando a fórmula de soma infinita não se aplica

Se $a_1\ne0$ e $|q|\ge1$, os termos não se aproximam de zero. Uma soma convergente exigiria isso: como $a_n=S_n-S_{n-1}$, duas somas parciais aproximando-se do mesmo número teriam diferença aproximando-se de zero. Assim, a condição $|q|<1$ é necessária e suficiente para uma PG infinita não nula ter soma ordinária real.

Com razão um e primeiro termo não nulo, os totais são múltiplos desse primeiro termo e não convergem a um número real. Com primeiro termo zero, porém, a lista é toda nula e qualquer soma é zero. Esse caso não deve ser perdido em uma afirmação que suponha primeiro termo não nulo.

28Áreas, escalas e percursos repetidos

Uma forma de enxergar a soma 1/2+1/4+1/8+… é separar metade da área que ainda resta em cada etapa. Depois de três separações, retiramos sete oitavos e sobra um oitavo. Continuar reduz a sobra tanto quanto quisermos; o total separado converge para a área inicial.

Outra aplicação aparece em figuras semelhantes, que mantêm a forma enquanto cada comprimento é multiplicado pelo mesmo fator positivo. Áreas recebem o quadrado desse fator; volumes, o cubo. A unidade também muda de dimensão, como comprimento, área e volume.

Esses modelos matemáticos não afirmam que uma figura ou um objeto físico repetirá etapas indefinidamente. A interpretação depende das hipóteses: semelhança na escala, fator fixo na repetição e percurso contado corretamente.

29Dízimas periódicas como somas geométricas

Uma dízima periódica repete um bloco de algarismos indefinidamente. Cada nova cópia do bloco ocupa casas mais à direita, multiplicando seu valor por uma potência de um décimo. Isso produz uma PG de razão com módulo menor que um.

Na fórmula, D é o valor inteiro do bloco e d conta seus algarismos, inclusive zeros iniciais. Por exemplo, o bloco 03 tem valor três, mas ocupa duas casas: $0{,}\overline{03}=3/99=1/33$. Usar apenas uma casa mudaria a dízima.

30Agora é com você

O banco tem trinta questões: 26 objetivas e quatro discursivas. Comece identificando o fator e a origem dos índices; avance para propriedades, meios, somas e condições de convergência. Nas discursivas, explique cada hipótese usada e confira o resultado na regra original.