Progressão aritmética — PA

1Começar pela mudança de um termo para o seguinte

Imagine fileiras de cadeiras: a primeira tem quatro cadeiras, a segunda tem sete, a terceira tem dez e cada nova fileira tem três cadeiras a mais que a anterior. A regra mantém o mesmo acréscimo. A lista (4, 7, 10, 13, …), construída assim, é uma progressão aritmética, abreviada PA. O que permanece constante é a diferença entre termos consecutivos.

Na aula anterior, $a_n$ indicava o valor na posição $n$. Mantemos essa notação: $a_1$ é o primeiro termo, $a_2$ o segundo e $a_{n+1}$ o próximo depois de $a_n$. O índice $n$ é um inteiro positivo; não é expoente nem multiplicação. A letra $r$ nomeia a diferença fixa, chamada razão da PA. A letra $A$ abaixo representa o valor inicial conhecido.

Uma PA pode ser finita ou infinita. Na finita com $N$ termos, $N$ é um inteiro positivo e as posições são $1,2,\ldots,N$; a passagem só existe até $n=N-1$. Na infinita, usamos $n\in\mathbb N^*$, isto é, $n=1,2,3,\ldots$. No site, $\mathbb N$ inclui zero; o asterisco exclui o zero. Um único termo pode iniciar PAs de qualquer razão e, sozinho, não permite descobrir $r$.

2Razão: próximo menos atual

Na PA, a palavra razão nomeia uma diferença. Em Matemática Básica, razão entre grandezas pode significar um quociente; esse uso da palavra não transforma a razão da PA em uma divisão. Aqui fazemos próximo termo menos termo atual, sempre nessa ordem.

Se o enunciado já afirma que a sequência é PA, uma diferença consecutiva permite obter sua razão. Se a sequência vem de uma fórmula ou regra geral, precisamos demonstrar a constância da diferença para todo índice permitido. Termos reais fracionários e irracionais também podem formar PAs.

3Crescente, decrescente ou constante

Uma razão positiva faz cada termo superar o anterior. Uma razão negativa faz cada termo ficar menor. Razão zero repete o mesmo valor. Chamamos crescente e decrescente no sentido estrito, sem permitir empate entre termos consecutivos.

A justificativa vem diretamente da definição: a diferença próximo menos atual é sempre a razão. Uma lista com um único termo é constante, mas não fornece uma passagem para determinar a razão; por isso os critérios de classificação pela razão são usados com pelo menos dois termos.

4Por que aparece n−1 no termo geral?

Da primeira à segunda posição há uma passagem. Da primeira à terceira, duas. Da primeira à posição $n$, há $n-1$ passagens. Por isso somamos $r$ ao valor inicial exatamente $n-1$ vezes.

Também podemos provar pela recorrência. Na posição 1, a expressão dá $a_1+(1-1)r=a_1$. Se ela vale na posição $n$, acrescentar $r$ dá $a_{n+1}=a_1+(n-1)r+r$, que é $a_1+nr$. Esse é exatamente o resultado da fórmula na posição $n+1$. Começo e passagem justificam todos os índices, como na indução estudada em Sequências.

Uma expressão para um termo distante só é aplicável se essa posição existir. Em uma PA finita de doze termos, calcular pela mesma expressão um valor na posição dezoito não o torna parte da lista original.

5Quando a contagem começa no zero

Se o índice zero representa o início de um processo, usaremos outro nome, $b_n$, para deixar a mudança visível. $b_0$ é o valor antes da primeira passagem. Até $b_n$ existem $n$ passagens, e não $n-1$. Não basta trocar a letra do termo inicial mantendo a mesma contagem.

6Partir de uma posição conhecida

Não precisamos conhecer o primeiro termo para comparar outras posições. Se $a_p$ é conhecido, o deslocamento até $a_n$ é $n-p$. Aqui $p$ e $n$ são índices válidos. Avançar usa um deslocamento positivo; voltar usa um deslocamento negativo.

Se conhecemos dois termos em posições distintas, a diferença dos valores é o número de passagens multiplicado pela razão: $a_q-a_p=(q-p)r$. Como $q-p\ne0$, podemos dividir e isolar $r$. A letra $q$ é outro índice, não uma razão de PG nesta fórmula.

7O valor aparece? Em qual posição?

Para localizar um valor $L$, igualamos o termo geral a ele e resolvemos para $n$. Se $r\ne0$, a equação tem no máximo uma solução real. Mas uma posição precisa ser inteira, positiva e pertencente ao domínio da sequência: uma solução real não é automaticamente um índice.

Para uma PA finita, ainda se verifica o índice final. O valor 81 do primeiro exemplo fica fora da lista se ela contiver somente os dez primeiros termos. Pertinência depende da regra e do domínio.

8O termo é afim, mas o gráfico é discreto

Distribuir a razão no termo geral dá $a_n=rn+(a_1-r)$. Chamando a constante $a_1-r$ de $b$, obtemos uma expressão afim do índice. “Afim” significa da forma coeficiente vezes variável mais uma constante; o caso de coeficiente zero é constante. Aqui a variável só assume os índices declarados.

Alinhamento dos pontos é uma consequência da expressão afim. O desenho não autoriza acrescentar o índice 1,5 à sequência. Também não basta ver três pontos alinhados para garantir uma regra para todos os índices de uma sequência que não foi definida.

9O termo do meio e a média aritmética

Média aritmética de dois números é a soma dividida por dois. Se três termos consecutivos são $a$, $b$ e $c$, ter diferenças iguais significa $b-a=c-b$. Ao reunir os dois termos $b$ de um lado, obtemos $2b=a+c$. Assim, o termo do meio é a média dos vizinhos.

A recíproca também vale: a igualdade do dobro do meio com a soma das pontas implica igualdade das duas diferenças. Para provar que uma sequência inteira é PA por esse teste, ele precisa valer em todas as trincas consecutivas. Uma única trinca correta não controla as demais.

10Termos equidistantes e somas iguais

Termos equidistantes dos extremos ocupam posições como primeira e última, segunda e penúltima. Em uma PA de $n$ termos, os índices desses pares somam $n+1$. Ao avançar uma posição no termo da esquerda, somamos $r$; ao recuar uma no da direita, subtraímos $r$. As duas mudanças se cancelam na soma.

A prova geral usa o termo geral: $a_i+a_j=2a_1+(i+j-2)r$. Portanto só a soma dos índices decide a soma dos valores. Se $i+j=p+q$, as duas expressões são iguais. As letras $i,j,p,q$ representam índices inteiros existentes, e não valores dos termos.

11Escrever três termos de duas maneiras

Podemos começar pelo primeiro termo $x$ e acrescentar a razão. Podemos também usar o termo central $c$ e escrever um termo à sua esquerda e outro à direita. São descrições equivalentes; para a mesma lista, $c=x+r$. Não se deve manter o mesmo significado para a letra central e para a letra inicial sem ajustar essa relação.

Na forma centrada, a soma é $(c-r)+c+(c+r)=3c$. O produto das pontas é $(c-r)(c+r)=c^2-r^2$. Essa escrita aproveita o cancelamento das parcelas opostas e o produto da soma pela diferença, já estudados em Álgebra.

12Cinco termos têm centro; quatro têm um par central

Com cinco termos, podemos escolher como centro o terceiro termo $c$. Dois termos ficam de cada lado. A razão continua sendo $r$, e a soma fica $5c$. A escrita a partir do primeiro termo $x$ representa a mesma lista quando $c=x+2r$.

Com quatro termos, a média dos dois centrais será chamada de $c$. Usaremos $t$ para metade da razão. Os deslocamentos em relação a essa média são $-3t$, $-t$, $t$ e $3t$, nessa ordem; t pode ter qualquer sinal. A diferença entre vizinhos é $2t$, não $t$. A soma dos quatro termos é $4c$.

Se quisermos conservar diretamente a letra $r$ para a razão, podemos escrever os quatro termos como $c-3r/2$, $c-r/2$, $c+r/2$ e $c+3r/2$. É a mesma parametrização com $t=r/2$. O centro $c$ não precisa aparecer como termo: no exemplo, dez fica entre sete e treze.

13Inserir meios aritméticos entre dois extremos

Inserir, ou interpolar, meios aritméticos significa colocar termos entre dois extremos para que a lista completa seja uma PA. Se inserirmos $m$ números entre $A$ e $B$, haverá $m+2$ termos, mas somente $m+1$ passagens. As letras $A$ e $B$ são valores extremos; $m$ é uma quantidade inteira não negativa.

Se os extremos forem iguais, a razão é zero e todos os meios são iguais a eles. Se não houver meio a inserir, a lista tem apenas os dois extremos e uma passagem. A fórmula conta passagens, e não “divide pelo número de meios”.

14Selecionar termos com um salto fixo de posições

Uma subsequência seleciona termos mantendo a ordem das posições. Se cada seleção avança $h$ posições, acumulamos $h$ passagens da PA original: a nova razão é $hr$. Aqui $h$ é inteiro positivo. Usamos $k$ como índice da nova lista: $k=1$ escolhe a primeira posição selecionada, $k=2$ escolhe a segunda, e assim por diante. A letra $k$ acompanha a contagem das escolhas.

Escolher todas as posições pares ou todas as ímpares usa salto dois, portanto dobra a razão. Saltos variáveis não garantem PA. Inverter uma PA finita mantém seus valores em ordem inversa e troca a razão de sinal; uma PA infinita não possui último termo pelo qual começar essa inversão completa.

15Somar, multiplicar e combinar PAs

Ao somar o mesmo número a todos os termos, as diferenças não mudam. Ao multiplicar todos por um número fixo $u$, as diferenças também são multiplicadas por $u$. Na expressão abaixo, $v$ é o número somado e $b_n$ nomeia a sequência transformada.

A prova é subtrair dois termos transformados consecutivos. O resultado $b_{n+1}-b_n$ é $u(a_{n+1}-a_n)$, que vale $ur$. Se $u=0$, todos os termos se tornam $v$. Se somarmos duas PAs nas mesmas posições, as diferenças também se somam. Os índices precisam representar posições correspondentes.

16Somar termos é uma pergunta diferente

O símbolo $S_n$ representa a soma dos primeiros $n$ termos, chamada soma parcial. Por exemplo, $S_3=a_1+a_2+a_3$. O valor $a_3$ é apenas a terceira parcela. Convencionamos $S_0=0$, pois nenhuma parcela foi somada.

Outra escrita é $\sum_{k=1}^{n}a_k$. O símbolo $\Sigma$ manda somar. O índice $k$ começa em 1, passa por cada inteiro e termina em $n$, incluindo as duas pontas. A letra $k$ localiza a parcela em cada passagem; $n$ fixa quantas parcelas entram. Não há multiplicação automática por $k$.

17Deduzir a soma escrevendo a lista ao contrário

Considere uma PA com os primeiros $n$ termos disponíveis. Escreva a soma na ordem original e depois escreva a mesma soma com as parcelas invertidas. Somando as duas escritas coluna por coluna, cada par vale $a_1+a_n$, porque os índices de cada par somam $n+1$. Existem $n$ colunas.

O resultado é $2S_n=n(a_1+a_n)$. Dividir por dois recupera uma única soma. Esse argumento vale com uma quantidade par ou ímpar de termos: na coluna central de uma lista ímpar, o termo central aparece duas vezes. Não estamos deixando uma parcela sem contar.

18Somar conhecendo o primeiro termo e a razão

Se o último termo não foi dado, substituímos $a_n=a_1+(n-1)r$ na fórmula da soma. Dentro dos parênteses ficam dois exemplares do primeiro termo e $n-1$ razões. É a mesma soma, escrita com outros dados.

Todas essas somas usam uma quantidade finita de parcelas. Infinito não é um índice final que possamos substituir na fórmula. A existência de uma lista infinita não garante uma soma infinita com valor real. As condições de soma infinita da PG serão tratadas na próxima aula.

19A média da PA e o centro da lista

A média aritmética de uma lista finita é sua soma dividida pelo número de termos. Dividindo a fórmula da soma por essa quantidade, resta a média dos extremos. Se a lista tem quantidade ímpar, esse valor é o termo central; se tem quantidade par, fica no ponto médio entre os dois centrais.

20Somar somente um trecho

O trecho da posição $p$ à posição $q$, com $p\le q$, também é uma PA. Ele tem $q-p+1$ termos, porque os dois extremos entram. Podemos aplicar a fórmula dos extremos ao trecho ou calcular a diferença de somas $S_q-S_{p-1}$.

Se a primeira e a última posição coincidirem, há uma parcela. A expressão quantidade de passagens mais uma evita tanto esquecer um extremo quanto contar duas vezes o mesmo termo.

21Inteiros, pares e ímpares: entender o que n conta

Os inteiros positivos até um limite formam uma PA de razão um. Os pares positivos têm razão dois e começam em dois; os ímpares positivos têm razão dois e começam em um. Em cada fórmula, precisamos distinguir a quantidade de parcelas do último valor.

Para os inteiros positivos, os extremos são 1 e $n$, e há $n$ termos: a soma é $n(n+1)/2$. Dobrar cada parcela dá a soma dos pares $n(n+1)$. Para os ímpares, o último é $2n-1$; a fórmula dá $n[1+(2n-1)]/2=n^2$.

22Contar múltiplos dentro de um intervalo

Os múltiplos de um inteiro positivo, em ordem crescente, formam uma PA com esse inteiro como razão. Para contar os que pertencem a um intervalo, localizamos primeiro os extremos que realmente são múltiplos. Um limite do intervalo não precisa ser uma parcela.

Se o primeiro múltiplo encontrado já ultrapassar o limite superior, não há parcela: a contagem e a soma são zero. Em intervalos que excluem uma ponta, retire o extremo correspondente se ele for múltiplo. Não se arredonda indiscriminadamente uma contagem pela fórmula sem localizar os termos.

23Descobrir a quantidade de parcelas pelo total

Quando o total $T$ é dado e a quantidade $n$ é desconhecida, usamos a fórmula da soma como uma equação. Se a razão não é zero, geralmente surge uma equação do segundo grau. A solução final deve atender à contagem e ao domínio: $n$ é inteiro e não negativo, ou positivo se o problema exige pelo menos uma parcela.

Se todos os termos somados forem positivos, cada nova parcela aumenta a soma e dois comprimentos diferentes não dão o mesmo total. Com razão zero, a equação vira quantidade vezes valor constante. Se o valor constante também for zero, todo comprimento permitido dá total zero e nenhum dá total diferente de zero.

24Termo afim, soma quadrática

Ao expandir a soma pela razão, o coeficiente de $n^2$ é $r/2$ e o de $n$ é $a_1-r/2$. Chamamos esses coeficientes fixos de $A$ e $B$, respectivamente. Aqui $A$ é o coeficiente do quadrado, não o extremo usado em interpolação: letras são nomes cujo significado depende da definição local. Se $r\ne0$, a soma é quadrática; se $r=0$, o termo quadrático desaparece.

Podemos fazer o caminho inverso usando $a_n=S_n-S_{n-1}$. Como $(n-1)^2=n^2-2n+1$, a diferença dos quadrados de índices é $2n-1$, e a diferença dos próprios índices é um. Portanto a subtração das somas dá $A(2n-1)+B$. Distribuindo A, chegamos a $2An+B-A$, expressão afim de razão $2A$. A fórmula das somas deve valer desde zero, com $S_0=0$.

25Sinal dos termos e crescimento da soma

Em uma PA decrescente, pode ser necessário saber até onde os termos continuam positivos. Aplicamos a condição $a_n>0$ ao termo geral e resolvemos uma inequação. A resposta final deve usar índices inteiros; zero não é positivo.

Se um termo for zero, acrescentá-lo mantém o total: pode haver duas somas parciais máximas consecutivas. Se o problema trouxer uma lista finita que termina antes da troca de sinal, restrinja a análise às posições existentes. Não basta achar o vértice de uma parábola real e aceitar uma quantidade fracionária de parcelas.

26Aplicações: definir o que cada termo mede

Antes de escolher uma fórmula, declare se o termo mede uma quantidade de uma única etapa ou o total acumulado. Confira a unidade e o índice inicial. Um acréscimo fixo de unidades produz PA; aumentar sempre pela mesma porcentagem usa um fator e será estudado em PG. Um processo real só segue o modelo durante o período em que a regra é assumida.

Em questões de prova, registre primeiro os dados e a pergunta, identifique o que conta como posição, confira se a diferença é realmente fixa e só então escolha termo, contagem ou soma. Ao terminar, substitua na regra e verifique sinais, unidade, integridade dos índices e limites do contexto.

27Agora é com você

O banco tem trinta questões no total: 26 objetivas e quatro discursivas. A sequência vai da identificação da razão até contagens, somas e justificativas. Nas discursivas, escreva a origem dos índices, as condições usadas e uma conferência do resultado.