1Matrizes: conceitos e operações
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- Matriz é uma organização retangular de entradas. As dimensões informam primeiro linhas e depois colunas; m×n possui mn posições. Nesta aula, dimensões são positivas e entradas são reais.
- O índice i indica a linha e j a coluna. A posição precisa existir; entrada zero e posição ausente são situações distintas. Índices não são fatores nem expoentes.
- Uma regra de formação precisa de dimensões, domínio e operações definidas em todas as posições. Casos separados devem cobrir os pares de índices sem conflito.
- Matrizes linha e coluna têm uma linha e uma coluna, respectivamente. Uma matriz 1×1 pertence aos dois tipos. Nulas de tamanhos diferentes não são iguais.
- Uma matriz quadrada de ordem n tem n linhas, n colunas e n² entradas. Na diagonal principal, i=j; na secundária, i+j=n+1.
- Diagonal exige zeros fora da diagonal principal; os valores sobre ela são livres. Escalar exige ainda que eles sejam todos iguais. A identidade tem um na diagonal e zero fora dela.
- Triangular superior tem zeros abaixo da diagonal; inferior, acima. Uma diagonal é dos dois tipos. As classificações podem se sobrepor.
- Igualdade exige mesmas dimensões e coincidência em todas as posições. Resolver somente as condições das incógnitas não elimina uma contradição em outra entrada.
- A transposta troca linhas por colunas e os índices de posição, preservando valores e sinais. Transpor duas vezes devolve a matriz original.
- Soma e diferença só existem entre matrizes de mesmo tamanho, posição por posição. Contextos aplicados ainda exigem categorias e unidades correspondentes.
- A soma é comutativa e associativa. A nula é o neutro e a oposta cancela cada entrada; oposta não é inversa multiplicativa.
- Um escalar multiplica todas as entradas, preservando dimensões. Desfazer por divisão escalar exige fator não nulo. As propriedades vêm das operações dos reais em cada posição.
- Simétrica satisfaz Aᵀ=A; antissimétrica satisfaz Aᵀ=−A. Sobre os reais, a diagonal de uma antissimétrica é zero, mas essa condição sozinha não basta.
- Equações aditivas com escalar podem ser resolvidas por propriedades ou entrada a entrada. Escalar zero deixa todos os valores da incógnita possíveis ou nenhum, conforme as outras condições.
- AB exige colunas de A iguais às linhas de B. O resultado conserva linhas de A e colunas de B. Cada entrada soma os produtos da linha escolhida pela coluna escolhida.
- AB pode existir sem BA; ambos podem existir com tamanhos diferentes ou com valores diferentes. Alguns pares comutam, mas isso deve ser verificado.
- Associatividade muda agrupamento, conservando a ordem. Distributividade conserva o lado de cada fator. Identidades e matrizes nulas precisam ter tamanhos compatíveis.
- Produto nulo pode ter dois fatores não nulos. Cancelar automaticamente um fator matricial não nulo é inválido. Potências são produtos da matriz inteira e exigem matriz quadrada.
- O quadrado de A+B contém AB+BA; só vira 2AB quando os fatores comutam. A transposta de AB é BᵀAᵀ, com a ordem invertida.
- Toda matriz real quadrada se decompõe de maneira única em parte simétrica e parte antissimétrica. Modelos matriciais preservam ordem, significado e unidades; na composição com colunas, o fator da direita atua primeiro.
2Determinantes
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- O determinante associa um número real a uma matriz real quadrada de ordem positiva. A matriz e o determinante são objetos distintos; matrizes retangulares não recebem esse número nesta teoria.
- Na ordem um, o determinante é a entrada com seu sinal. Na ordem dois, é ad−bc. Barras de determinante não significam tornar o resultado positivo.
- Sarrus organiza seis produtos e vale somente para a ordem três. Os produtos mantêm os sinais das entradas e o segundo grupo é subtraído por inteiro.
- O menor complementar é o determinante da matriz obtida retirando uma linha e uma coluna. O cofator multiplica esse número por (−1)ⁱ⁺ʲ; o sinal da posição não determina sozinho o sinal final.
- Laplace soma entrada vezes seu cofator em uma única linha ou coluna completa. Uma fila com zeros reduz as contas, e os índices dos cofatores são os originais.
- A definição geral soma escolhas de uma entrada por linha e coluna, com sinais dados pela paridade das inversões das permutações. Ela justifica os métodos e as propriedades.
- Transpor conserva o determinante. Multiplicar uma fila por k multiplica o número por k; separar uma soma em uma fila exige manter as outras fixas.
- Trocar duas filas distintas inverte o sinal. Filas iguais, nulas, proporcionais ou uma fila como combinação das outras dão determinante zero.
- Somar a uma fila um múltiplo de outra conserva o determinante. Substituir Rᵢ por αRᵢ+βRⱼ multiplica por α; a reversão exige α não nulo.
- O determinante triangular é o produto da diagonal principal. A identidade tem determinante um e a nula quadrada tem zero. Uma diagonal principal zero não decide o caso geral.
- Na matriz apoiada na secundária, há o fator (−1)ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾⁄². Na triangular por blocos, o produto dos determinantes exige blocos diagonais quadrados e um bloco inteiro nulo fora da diagonal.
- Multiplicar a matriz inteira por k produz o fator kⁿ, pois altera n linhas. O efeito de −A depende da paridade da ordem.
- Eliminação usa pivôs não nulos e operações registradas. Recuperar o determinante original exige desfazer sinais e fatores. Chió também exige pivô não nulo e divisor pⁿ⁻².
- Binet afirma det(AB)=det(A)det(B) para fatores quadrados da mesma ordem, sem exigir comutatividade. Não se aplica a fatores retangulares.
- Potências positivas recebem a mesma potência do determinante. A potência matricial zero é a identidade, cujo determinante é um, tratada separadamente. Potências negativas dependem de inversa.
- O determinante da soma não é, em geral, a soma dos determinantes. Igualdade dos determinantes não implica igualdade das matrizes ou dos produtos AB e BA.
- Matriz singular tem determinante zero e dependência de filas. Isso não significa matriz nula nem decide sozinho entre sistema impossível e indeterminado.
- Parâmetros exigem domínio antes da simplificação. Valor fora do domínio não é um caso singular. Condições de sinal podem exigir resolver uma inequação.
- Antissimétrica real de ordem ímpar tem determinante zero; a ordem par não permite essa conclusão. Para A quadrada real, det(AAᵀ)=det(A)² é não negativo.
- Módulo do determinante dos lados dá área de paralelogramo ou volume de paralelepípedo. Triângulo usa metade da área, tetraedro usa um sexto do volume. Diferenças de coordenadas colocam os lados na mesma origem.
- Determinante zero na fórmula de área caracteriza alinhamento, incluindo pontos coincidentes. Uma transformação 2×2 multiplica áreas por |det(T)|; o sinal negativo reverte orientação.
3Matriz inversa e equações matriciais
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- A inversa A⁻¹ é a matriz que produz a identidade com A nos dois sentidos. Ela é única, tem a mesma ordem de A e só é escrita quando existe.
- Inversa multiplicativa, oposta e recíprocos das entradas são operações diferentes. Um teste em apenas uma coluna escolhida não demonstra a inversão de todas as entradas.
- Para matrizes reais quadradas de ordem positiva, existir inversa equivale a determinante não nulo, n pivôs e Ax=0 ter somente a solução nula. Também equivale a uma solução única para toda coluna b em Ax=b.
- O determinante da inversa é o recíproco do determinante, inclusive para determinante negativo. Uma matriz não nula pode ser singular e perder informação.
- Na ordem um, inverta a entrada não nula. Na diagonal, inverta apenas as entradas diagonais, todas não nulas, mantendo os zeros restantes.
- Na ordem dois, troque a diagonal principal, mude os sinais das outras duas entradas e multiplique por 1/(ad−bc), com ad−bc≠0.
- Gauss-Jordan aplica operações reversíveis à matriz aumentada inteira [A|I] até obter [I|A⁻¹]. A barra é separador; a esquerda precisa ser identidade, não apenas triangular.
- Trocas, multiplicações de linha por real não nulo e somas de múltiplos podem ser desfeitas. As mesmas operações nos dois blocos registram a inversa. Um pivô zero pode exigir troca; uma matriz singular não reduz a I.
- A adjunta clássica é a transposta da matriz dos cofatores. Vale Aadj(A)=adj(A)A=det(A)I mesmo no caso singular; dividir por det(A) só é permitido se ele for não nulo.
- Para quadradas da mesma ordem, AB=I já implica BA=I. Em retangulares pode haver identidade só de um lado; isso não é a inversa de dois lados aqui definida.
- A inversa da inversa é A; a identidade é sua própria inversa. A inversa da transposta é a transposta da inversa; a inversa de uma simétrica também é simétrica.
- A inversa de kA é A⁻¹/k, com k≠0. A inversa de AB é B⁻¹A⁻¹, com a ordem revertida. Potências negativas são produtos de inversas e exigem inversibilidade.
- Uma triangular inversível tem inversa triangular do mesmo tipo e diagonal de recíprocos. Posições originalmente zero fora dessa região podem tornar-se não nulas.
- Se Nʳ=O para r positivo, I−N tem inversa I+N+…+Nʳ⁻¹, por cancelamento finito dos termos. Não é uma série infinita: exige uma potência exatamente nula; ter entradas de pequeno valor não basta.
- Ortogonal real satisfaz QᵀQ=I e tem Q⁻¹=Qᵀ, com determinante ±1. O determinante ±1 sozinho não implica ortogonalidade. Permutações são um caso ortogonal.
- Dominância diagonal estrita em todas as linhas é suficiente para inversibilidade. Não é necessária; a versão com igualdade permitida não basta sem outras condições.
- Em AX=B, multiplique à esquerda e obtenha A⁻¹B. Em XA=B, multiplique à direita e obtenha BA⁻¹. Dimensões e ordem são parte do problema.
- Em AXB=C, com os fatores externos quadrados inversíveis, X=A⁻¹CB⁻¹. X pode ser retangular. Desfaça os fatores externos antes de somas em parênteses.
- Em AX+BX=C, o coeficiente é A+B. Teste a inversa dessa soma; inversibilidade de A e B separadamente não basta. A inversa não se distribui pela soma.
- Em AX+XB=C não há fatoração geral como (A+B)X. Entrada a entrada pode ser um método apropriado em casos pequenos, com análise das condições resultantes.
- Quando A é singular, AX=B pode não ter solução ou ter várias. Se X₀ é uma solução, todas são X₀+N com AN=O. Para XA=B, use NA=O.
- Parâmetros exigem domínio antes da simplificação. Valores em que a inversa não existe devem ser analisados na equação original; um fator cancelado não restaura a unicidade perdida.
- Reduzir [A|B] a [I|X] resolve AX=B diretamente, inclusive para vários lados direitos. Calcular A⁻¹ inteira pode ser trabalho extra se só uma coluna interessa.
- Uma solução real única ainda precisa respeitar as unidades e restrições do modelo. No plano, a inversa desfaz o fator de área pelo seu recíproco positivo.
- X²=I significa que X é involutória, a própria inversa, e pode ter infinitas soluções matriciais. Não use regras escalares sem verificar o que muda em matrizes.
4Sistemas lineares por matrizes
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- Uma equação linear soma múltiplos de incógnitas reais com coeficientes fixos. Parâmetros são dados; produtos entre incógnitas ou potências não lineares pertencem a outro tipo de problema.
- Uma solução é uma n-upla, na ordem fixada, que satisfaz todas as equações simultaneamente. Resolver é encontrar o conjunto inteiro, não apenas uma atribuição.
- A matriz A é m×n e b é m×1. A matriz aumentada [A|b] é m×(n+1); sua última coluna contém dados, não uma nova incógnita. Variáveis ausentes recebem coeficiente zero.
- Ax=b pode ser lido por linhas ou como combinação das colunas. A compatibilidade exige que b possa ser produzida por essa combinação.
- Trocas, multiplicações de linha por escalar não nulo e somas de múltiplos de outra linha conservam soluções. Operações percorrem também o lado direito e usam os dados atuais.
- Na escada, pivôs são primeiros não nulos de linhas e avançam para a direita; não precisam ser um. Na forma reduzida, valem um e são os únicos não nulos de suas colunas.
- Gauss cria a escada e resolve de baixo para cima. Gauss-Jordan continua acima dos pivôs. Pivô inicial zero pode exigir troca, não divisão por zero ou conclusão imediata de impossibilidade.
- A linha 0=c com c≠0 é contradição e produz SI. Uma linha 0=0 é redundante e não determina sozinha a classificação das demais condições.
- SPD tem uma solução; SPI tem infinitas; SI não tem nenhuma. A afirmação 0,1 ou infinitas vale sobre os reais antes de restrições adicionais do contexto.
- O posto r é o número de pivôs depois de escalonar, não a contagem inicial de linhas não nulas. É também o máximo de linhas ou colunas independentes e é preservado por operações reversíveis de linhas.
- Compare r=posto(A) e q=posto([A|b]). Se q>r, SI; se q=r=n, SPD; se q=r<n, SPI. Primeiro confira compatibilidade, depois unicidade.
- Um sistema compatível tem n−r variáveis livres, uma por coluna de incógnita sem pivô. Cada variável livre precisa de uma escolha real independente.
- Menos equações que incógnitas impede solução real única, mas não garante compatibilidade. Mais equações que incógnitas não obriga impossibilidade: algumas podem ser redundantes.
- Homogêneo Ax=0 sempre possui a solução trivial. Há soluções não triviais exatamente quando r<n. Sua nulidade ν=n−r conta as direções livres.
- Toda solução de Ax=b compatível é uma particular mais uma solução homogênea. A soma de soluções não homogêneas não mantém, em geral, o mesmo lado direito; coeficientes com soma um o preservam.
- Para A quadrada com det(A)≠0, a solução única é A⁻¹b. Determinante zero exige discutir compatibilidade; matriz retangular não recebe esse teste por determinante.
- Cramer usa D=det(A)≠0 e substitui a coluna da incógnita por b para calcular Dⱼ. A razão Dⱼ/D só é válida nessa condição, com as outras colunas e linhas conservadas.
- Se D=0 e algum Dⱼ≠0, o sistema é SI. Se todos forem zero, ainda pode haver SI ou SPI; escalonamento ou postos resolvem a dúvida.
- Parâmetros exigem separar o pivô nulo antes de dividir. O lado direito participa da compatibilidade; uma simplificação não restaura valores fora do domínio original.
- Retas e planos representam condições não degeneradas. A solução pertence à interseção de todas; interseções de pares não bastam. Equações 0=0 e 0=c não nulo têm interpretações distintas.
- Para AX=B com várias colunas, todas precisam ser compatíveis e recebem a mesma sequência de operações. Uma coluna impossível torna a igualdade matricial impossível.
- Posto(A)=m garante existência para todo b; posto(A)=n garante no máximo uma solução para cada b. As duas garantias universais juntas exigem m=n=r.
- Modelos acrescentam domínios como quantidades não negativas ou inteiras. Uma família infinita real pode deixar apenas algumas opções admissíveis. Confira unidades e substitua nas condições originais.
O registro de estudo é local e não exige cadastro.