Matriz inversa e equações matriciais

1Desfazer uma transformação, recuperando a entrada

Multiplicar um número por dois e depois por meio devolve o número inicial. Com matrizes, procuramos uma operação que desfaça a transformação inteira. Ela precisa recuperar qualquer entrada permitida, e não somente acertar um ponto escolhido. Essa operação será representada pela matriz inversa.

Retome a base: a identidade Iₙ é n×n, com uns na diagonal principal e zeros fora dela. O produto usa linha por coluna, é associativo e geralmente não permite trocar fatores. O determinante está definido para matrizes quadradas. Nesta aula, as entradas são reais, n é inteiro positivo e retomaremos cada técnica antes de usá-la.

Exemplo resolvido · Ir e voltar com um ponto

A matriz $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$ transforma a coluna $P=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$ em qual coluna? O que faz $B=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}$ depois disso?

Resolução

Multiplicando A por P, a primeira coordenada é 2·2+1·1=5 e a segunda é 1·2+1·1=3. A saída é (5,3).
Aplicando B a (5,3), obtemos (5−3,−5+6)=(2,1). Recuperamos o ponto inicial.
Esse teste ilustra a ideia. Para provar que funciona para todos os pontos, verificaremos os produtos das matrizes.

P=(2,1) vai a (5,3) e retorna a (2,1).

A transforma a coluna (2,1) em (5,3). B transforma (5,3) de volta em (2,1). A definição de inversa exigirá os produtos iguais à identidade, para garantir a recuperação de qualquer coluna.

2O que significa A elevado a menos um

Uma matriz quadrada A é inversível quando existe uma matriz B da mesma ordem que produz a identidade tanto em AB quanto em BA. Escrevemos B=A⁻¹ e lemos “A inversa”. A letra n indica a ordem, e o expoente −1 identifica essa operação; ele não manda trocar os sinais.

AB=BA=I_n\qquad B=A^{-1}

\begin{gathered}AB=I_n\\BA=I_n\\B=A^{-1}\end{gathered}

A e B são reais n×n, com n inteiro positivo. A inversa desfaz o produto nos dois sentidos. A⁻¹ não é a oposta −A nem a matriz dos recíprocos das entradas. A notação só é usada quando a inversa existe.

Exemplo resolvido · Verificar os dois sentidos

Use $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$ e $B=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}$ .

Resolução

Em AB, as entradas são 2−1=1, −2+2=0, 1−1=0 e −1+2=1. Logo AB=I₂.
Em BA, as entradas são 2−1=1, 1−1=0, −2+2=0 e −1+2=1. Logo BA=I₂.
B desfaz A nos dois sentidos, então B=A⁻¹. O teste vale para qualquer coluna porque os produtos são matrizes identidade.

B é a inversa de A.

Exemplo resolvido · Recíprocos das entradas não dão a inversa

Na mesma A, troque cada entrada pelo seu recíproco. O resultado desfaz A?

Resolução

A tentativa tem linhas (1/2,1) e (1,1). Todas as entradas de A eram não nulas, então os recíprocos existem.
A primeira entrada do produto de A pela tentativa é 2·(1/2)+1·1=2, diferente do um exigido na identidade.
A oposta −A também é outra operação: ela desfaz a soma A+(−A)=O, não o produto.

Inversa multiplicativa não é recíproco entrada a entrada nem oposta.

Trabalharemos com a inversa comum, de dois lados, para matrizes quadradas. Há inversas de apenas um lado em contextos retangulares, que serão distinguidas mais adiante; elas não autorizam usar A⁻¹ como se fosse a inversa definida aqui.

3Por que não há duas inversas diferentes

Suponha que B desfaça A pela esquerda e C desfaça A pela direita. Então BA=I e AC=I. Reagrupar B(AC) como (BA)C é permitido pela associatividade, sem trocar a ordem dos fatores. O primeiro agrupamento vale B e o segundo vale C; logo B=C.

B=B(AC)=(BA)C=C

A, B e C são quadradas da mesma ordem, BA=I e AC=I. A associatividade permite reagrupar sem trocar fatores. Assim qualquer inversa à esquerda e qualquer inversa à direita, se ambas existirem, coincidem.

Exemplo resolvido · Uma segunda resposta precisa coincidir

Uma conta produziu B e outra produziu C, e ambas foram verificadas como inversas da mesma A. Elas podem ser diferentes?

Resolução

Use B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C.
Se os resultados escritos parecem diferentes, podem ser formas equivalentes, como uma fração fora da matriz e as frações distribuídas. Se alguma entrada é realmente diferente, pelo menos uma verificação falhou.

A inversa, se existe, é única.

4Não ser nula não basta: pode haver perda de informação

Uma transformação que envia duas entradas diferentes à mesma saída perde a possibilidade de recuperar qual delas foi usada. Se Ax=0 para uma coluna x não nula, uma inversa levaria a x=A⁻¹0=0, uma contradição. Essa é uma forma de mostrar que a inversa não existe.

Exemplo resolvido · Duas entradas viram a mesma saída

Considere $S=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$ , $P=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$ e $Q=\begin{pmatrix}-2\\1\end{pmatrix}$ .

Resolução

SP é a coluna nula. Em SQ, a primeira entrada é −2+2=0 e a segunda é −4+4=0.
P e Q são diferentes, mas produzem a mesma saída. Nenhuma regra inversa pode enviar essa única saída de volta a ambas como recuperação única.
S não é a matriz nula, mas seu determinante é 4−4=0. Uma matriz quadrada com determinante zero é chamada singular.

S não possui inversa.

P=(0,0) e Q=(−2,1) são colunas diferentes. A matriz S, de linhas (1,2) e (2,4), envia ambas a (0,0). A saída não identifica qual entrada foi usada.

Há também um teste algébrico necessário. Se AA⁻¹=I, Binet fornece det(A)det(A⁻¹)=1. Portanto det(A) é não nulo, e o determinante da inversa é seu recíproco. Mostraremos com os métodos gerais que essa condição também é suficiente.

\det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}

A é real quadrada e inversível. Binet dá det(A)det(A⁻¹)=1, logo det(A)≠0. A recíproca, determinante não nulo implica existência da inversa, é demonstrada pelo método de Gauss-Jordan e pela adjunta.

5Ordem um, diagonal e matriz escalar

Na ordem um, o problema é o inverso de um único real. Em uma diagonal, cada coordenada é multiplicada pelo valor da sua própria posição diagonal; para desfazer, divida por esses valores. Nenhum deles pode ser zero.

\begin{pmatrix}a\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}1/a\end{pmatrix}

a é real e não nulo. A matriz (0) não possui inversa. Aqui o recíproco da única entrada funciona porque a multiplicação matricial se reduz à multiplicação de um número.

(D^{-1})_{ij}=\begin{cases}1/d_i&i=j\\0&i\ne j\end{cases}

D é diagonal n×n, dᵢ é sua entrada diagonal da linha i e todos os dᵢ são não nulos. Os índices vão de um a n. As entradas fora da diagonal continuam zero; não se calcula 1/0. Para D=kI, a inversa é (1/k)I, com k≠0.

Exemplo resolvido · Um número dentro de uma matriz

Encontre a inversa de $A=\begin{pmatrix}-4\end{pmatrix}$ .

Resolução

O recíproco de −4 é −1/4. O produto (−4)(−1/4) é um nos dois sentidos.

$A^{-1}=\begin{pmatrix}-\frac14\end{pmatrix}$ .

Exemplo resolvido · Os zeros fora da diagonal permanecem

Inverta $D=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&-3&0\\0&0&5\end{pmatrix}$ .

Resolução

As entradas diagonais são não nulas. Usamos os recíprocos 1/2, −1/3 e 1/5 somente nelas.
As outras posições continuam zero. O produto dá um em cada posição diagonal e zero nas demais.

$D^{-1}=\begin{pmatrix}\frac12&0&0\\0&-\frac13&0\\0&0&\frac15\end{pmatrix}$ .

A identidade é sua própria inversa. A matriz kI, chamada escalar, tem inversa (1/k)I quando k≠0. Uma diagonal com pelo menos um zero não tem inversa: ela apaga uma coordenada. Não se calcula o recíproco de um zero fora da diagonal.

6Uma fórmula específica para 2×2

Na ordem dois, comece pelo determinante Δ, lido delta. Se ele não é zero, troque as entradas da diagonal principal, mude os sinais das outras duas e multiplique a matriz toda por 1/Δ. A divisão é escalar, por um número, e só é permitida depois de verificar a condição.

\begin{gathered}A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\\\Delta=ad-bc\ne0\\A^{-1}=\frac1\Delta\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\end{gathered}

a, b, c e d são reais. Δ, lido delta, é det(A). Troque as duas entradas da diagonal principal, mude os sinais das outras e multiplique toda a matriz por 1/Δ. Se Δ=0, a inversa não existe; não divida por zero.

A fórmula vem de um produto. Se $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ e $H=\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$ , então AH e HA têm entradas diagonais ad−bc e entradas fora da diagonal zero. Assim AH=HA=ΔI. Multiplicar H por 1/Δ produz a identidade nos dois lados. Se Δ=0, a condição necessária da seção anterior impede a inversa.

Exemplo resolvido · Uma inversa com frações exatas

Encontre a inversa de $A=\begin{pmatrix}3&1\\0&2\end{pmatrix}$ .

Resolução

O determinante é 3·2−1·0=6, diferente de zero.
A matriz modificada é $\begin{pmatrix}2&-1\\0&3\end{pmatrix}$ . Multiplique cada entrada por 1/6.
A inversa tem linhas (1/3,−1/6) e (0,1/2). Em A vezes essa matriz, a entrada (1,2) é −3/6+1/2=0; as diagonais são um.

$A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac13&-\frac16\\0&\frac12\end{pmatrix}$ .

Exemplo resolvido · Um determinante negativo não impede a inversa

Inverta $H=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ .

Resolução

O determinante é 0·0−1·1=−1. A condição pede diferente de zero, não maior que zero.
Substituindo na fórmula, $H^{-1}=\frac1{-1}\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}=H$ . O fator −1 troca os sinais das entradas da matriz modificada. H troca as duas coordenadas; trocar duas vezes recupera a entrada inicial.

H⁻¹=H.

7Encontrar a inversa pela própria definição

Outra estratégia é escrever uma matriz com entradas desconhecidas e impor AX=I. Igualar cada posição gera equações numéricas. Isso ajuda a compreender o que os métodos automáticos estão resolvendo, mas pode produzir muitas incógnitas em ordens maiores.

Exemplo resolvido · Quatro entradas, quatro condições

Para $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$ , escreva $X=\begin{pmatrix}u&v\\w&z\end{pmatrix}$ e resolva AX=I₂.

Resolução

A primeira coluna exige 2u+w=1 e u+w=0. Subtrair a segunda igualdade da primeira dá u=1; depois w=−1.
A segunda coluna exige 2v+z=0 e v+z=1. Subtrair a segunda igualdade da primeira dá v=−1; depois z=2.
Portanto $X=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}$ . Os dois produtos já foram conferidos na definição.

X=A⁻¹.

As letras u,v,w,z aqui são números desconhecidos, não matrizes. Não confunda a coluna da incógnita com a linha da matriz: a primeira coluna de X resolve A vezes uma coluna igual à primeira coluna da identidade; a segunda faz o mesmo com a segunda coluna.

8Operações que podem ser desfeitas

Gauss-Jordan organiza essas contas por operações de linhas. Retomaremos as três operações elementares: trocar duas linhas; multiplicar uma linha por um real não nulo; somar a uma linha um múltiplo de outra, sem apagar a outra. Rᵢ nomeia a linha i inteira. Cada operação precisa ser reversível, isto é, poder ser desfeita.

\begin{gathered}R_i\leftrightarrow R_j\\R_i\leftarrow kR_i\ (k\ne0)\\R_i\leftarrow R_i+cR_j\ (i\ne j)\end{gathered}

Rᵢ é uma linha inteira, k e c são reais e os índices são válidos. Desfaça respectivamente por nova troca, multiplicação por 1/k e soma de −cRⱼ. Na matriz aumentada, cada operação percorre os dois blocos completos e usa a matriz atual.

Exemplo resolvido · Por que o fator zero é proibido

Quais são as operações inversas de R₂←−3R₂ e R₂←R₂+4R₁?

Resolução

Desfaça a primeira multiplicando R₂ por −1/3. Desfaça a segunda somando −4R₁ a R₂, com R₁ mantida.
Se multiplicasse R₂ por zero, todos os valores da linha seriam apagados. Não existiria multiplicação por 1/0 para recuperá-los.

As operações elementares preservam a possibilidade de voltar.

Na aula de determinantes, algumas dessas operações alteravam o valor por fatores ou sinais. Para achar uma inversa, não precisamos manter o determinante numericamente constante; precisamos aplicar a mesma operação a todas as colunas dos dois blocos e garantir que cada passo possa ser desfeito.

9Gauss-Jordan: transformar A em identidade

Coloque A ao lado de uma identidade de mesma ordem, separando os blocos por uma barra. Isso é uma matriz aumentada. A barra apenas organiza os blocos; ela não indica determinante nem divisão. Faça operações de linhas sobre a largura inteira até o bloco esquerdo virar I. O bloco direito será a inversa.

\begin{gathered}[A\mid I_n]\\\longrightarrow[I_n\mid A^{-1}]\end{gathered}

A é n×n. A seta representa uma sequência de operações elementares de linhas aplicadas aos dois blocos, até a esquerda se tornar a identidade. A matriz aumentada tem n linhas e 2n colunas; sua barra é separador, não determinante ou divisão. Se a esquerda não pode virar I, A não tem inversa.

Um pivô é a entrada não nula usada para eliminar as outras entradas de uma coluna. Normalize-o para um, divida a linha inteira pelo pivô e crie zeros abaixo e acima dele. Se o candidato a pivô é zero, tente uma troca com uma linha abaixo. Só encerrar em uma triangular não basta: à esquerda precisamos da identidade completa.

Exemplo resolvido · Uma troca, uma eliminação e a volta acima do pivô

Calcule a inversa de $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$ usando $\left[\begin{array}{rr|rr}2&1&1&0\\1&1&0&1\end{array}\right]$ .

Resolução

Troque R₁ com R₂: $\left[\begin{array}{rr|rr}1&1&0&1\\2&1&1&0\end{array}\right]$ . A troca percorre os dois blocos.
Faça R₂←R₂−2R₁: $\left[\begin{array}{rr|rr}1&1&0&1\\0&-1&1&-2\end{array}\right]$ .
Multiplique a segunda linha por −1: $\left[\begin{array}{rr|rr}1&1&0&1\\0&1&-1&2\end{array}\right]$ .
Faça R₁←R₁−R₂: $\left[\begin{array}{rr|rr}1&0&1&-1\\0&1&-1&2\end{array}\right]$ . A esquerda agora é I₂.

$A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}$ .

A mesma sequência transforma o bloco A em I₂ e o bloco I₂ na inversa. O painel intermediário vem depois da troca e de R₂←R₂−2R₁; depois normalizamos o segundo pivô e eliminamos a entrada acima dele.

Não faça a operação só no lado esquerdo e copie a identidade no fim. Não opere colunas em parte do processo de linhas: isso muda a relação entre os blocos. É possível desenvolver um método só por colunas com outra disposição, mas ele não é o algoritmo de linhas apresentado aqui.

10Ordem três: a lógica continua a mesma

Exemplo resolvido · Três colunas da inversa ao mesmo tempo

Calcule a inversa de $G=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&1\\0&1&2\end{pmatrix}$ começando por [G|I₃].

Resolução

R₂←R₂−R₁ deixa à esquerda $\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&1&2\end{pmatrix}$ e à direita $\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ .
R₃←R₃−R₂ usa a segunda linha já atualizada. A esquerda vira $\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}$ e a direita vira $\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\1&-1&1\end{pmatrix}$ .
R₂←R₂−R₃ dá esquerda $\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ e direita $\begin{pmatrix}1&0&0\\-2&2&-1\\1&-1&1\end{pmatrix}$ .
R₁←R₁−R₂ leva a esquerda a I₃. A direita é $\begin{pmatrix}3&-2&1\\-2&2&-1\\1&-1&1\end{pmatrix}$ .
Conferindo a primeira linha de G vezes as três colunas encontradas, obtemos (1,0,0). As outras linhas dão (0,1,0) e (0,0,1). O produto no outro sentido também é I₃.

$G^{-1}=\begin{pmatrix}3&-2&1\\-2&2&-1\\1&-1&1\end{pmatrix}$ .

A matriz aumentada tem três linhas e seis colunas; a matriz original continua com ordem três. O bloco que está sendo invertido é que deve ser quadrado, não a tabela auxiliar. Em contas exatas, mantenha frações como frações para não confundir um erro de arredondamento com uma falha de inversibilidade.

11Por que o bloco direito é a inversa

Uma operação elementar pode ser representada por multiplicação à esquerda. Faça a operação na identidade para obter uma matriz E₁. Em qualquer matriz A com o mesmo número de linhas, E₁A faz exatamente essa operação, como se confere entrada a entrada. Como a operação pode ser desfeita, E₁ tem inversa: a matriz da operação contrária.

Exemplo resolvido · A matriz que soma uma linha à outra

Qual operação faz $E_1=\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}$ ao multiplicar A à esquerda?

Resolução

A primeira linha fica igual. A segunda passa a ser três vezes a primeira mais a segunda, isto é, R₂←R₂+3R₁.
A operação contrária é representada por $\begin{pmatrix}1&0\\-3&1\end{pmatrix}$ . Os dois produtos dessas matrizes são I₂.

Multiplicar por E₁ corresponde a uma operação reversível de linhas.

Se aplicamos E₁, depois E₂ e assim até Eₛ, o resultado é Eₛ…E₂E₁A. Chame o produto das operações de E. A sequência contrária, desfeita de trás para frente, dá uma inversa de E. Ao chegar à identidade, temos EA=I. Multiplicar à esquerda pela inversa de E dá A=E⁻¹; portanto também AE=I. No bloco direito, as mesmas operações produziram EI=E. É por isso que ele é A⁻¹.

\begin{gathered}EA=I_n\\EI_n=E=A^{-1}\end{gathered}

E é o produto, na ordem aplicada, das matrizes elementares que reduzem A a I. Cada matriz elementar vem de fazer uma operação na identidade e é inversível, porque essa operação pode ser desfeita. A igualdade EA=I implica A=E⁻¹, logo também AE=I; não é preciso supor a inversa de A antes do argumento.

Se det(A)≠0, as operações reversíveis mantêm o determinante não nulo. A eliminação completa não pode terminar com linha nula; em uma matriz quadrada, há n pivôs e é possível continuar até I. Assim det(A)≠0 garante a existência da inversa. Com a condição necessária já provada por Binet, concluímos: A é inversível se, e somente se, det(A)≠0.

12Quando a esquerda não pode virar identidade

Exemplo resolvido · Linha nula no bloco que deveria ser I

Comece com $\left[\begin{array}{rr|rr}1&2&1&0\\2&4&0&1\end{array}\right]$ e faça R₂←R₂−2R₁.

Resolução

O resultado é $\left[\begin{array}{rr|rr}1&2&1&0\\0&0&-2&1\end{array}\right]$ . O bloco esquerdo possui uma linha nula.
Não existe segundo pivô para produzir a identidade. Seu determinante inicial era zero e operações reversíveis não podem transformá-lo em um.
O bloco direito não é uma inversa só porque contém números. A conclusão do método depende de terminar com a identidade à esquerda.

A matriz inicial é singular e não tem inversa.

Uma entrada diagonal zero antes da eliminação não significa falha: uma troca pode fornecer o pivô. Uma linha que fica nula no bloco esquerdo ao completar a eliminação de uma matriz quadrada, sem que haja pivôs restantes, é outra situação. Nunca divida por um pivô zero.

13Cofatores e a transposição que não pode ser esquecida

Retome o cofator: retire a linha i e a coluna j, calcule o determinante restante Mᵢⱼ e multiplique por (−1)ⁱ⁺ʲ. Organizar todos os cofatores nas posições originais dá a matriz C. Sua transposta é a adjunta clássica de A, também chamada adjugata e escrita adj(A). A entrada (i,j) da adjunta é Cⱼᵢ, com os índices trocados.

\begin{gathered}C=(C_{ij})\\\operatorname{adj}(A)=C^T\\\operatorname{adj}(A)_{ij}=C_{ji}\end{gathered}

A é real quadrada. Cᵢⱼ=(−1)ⁱ⁺ʲMᵢⱼ é o cofator da entrada (i,j). A adjunta clássica, também chamada adjugata, é a transposta da matriz dos cofatores. Não é só C. Na ordem um, o cofator é um pela convenção do menor vazio.

Exemplo resolvido · Uma matriz dos cofatores que realmente muda ao transpor

Para $T=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&3\\0&0&1\end{pmatrix}$ , calcule C e adj(T).

Resolução

Na primeira linha de cofatores: C₁₁=1·1−3·0=1; C₁₂=−(0·1−3·0)=0; C₁₃=0·0−1·0=0.
Na segunda linha: C₂₁=−(2·1−0·0)=−2; C₂₂=1·1−0·0=1; C₂₃=−(1·0−2·0)=0.
Na terceira linha: C₃₁=2·3−0·1=6; C₃₂=−(1·3−0·0)=−3; C₃₃=1·1−2·0=1.
Portanto $C=\begin{pmatrix}1&0&0\\-2&1&0\\6&-3&1\end{pmatrix}$ . Transponha: $\operatorname{adj}(T)=\begin{pmatrix}1&-2&6\\0&1&-3\\0&0&1\end{pmatrix}$ .

A entrada seis passa da posição (3,1) de C para (1,3) da adjunta.

A matriz dos cofatores C aparece acima e a adjunta Cᵀ abaixo. O seis destacado troca linha três, coluna um, por linha um, coluna três. Essa transposição é parte do método, não uma escolha de apresentação.

A adjunta clássica está definida mesmo se A for singular. Ela não é, em geral, a própria inversa. Em outros contextos a palavra adjunta pode designar outra operação; aqui usamos exclusivamente a transposta da matriz dos cofatores, com entradas reais.

14A fórmula geral e sua demonstração

Multiplicar A por sua adjunta produz det(A) na diagonal principal e zero nas outras posições. Essa identidade vale mesmo no caso singular. Para demonstrá-la, olhe uma entrada do produto, formada por uma linha de A e uma coluna da adjunta.

A\operatorname{adj}(A)=\operatorname{adj}(A)A=\det(A)I_n

\begin{gathered}A\operatorname{adj}(A)=\det(A)I_n\\\operatorname{adj}(A)A=\det(A)I_n\end{gathered}

A é quadrada, incluindo matrizes singulares. Na diagonal, a soma é uma expansão de Laplace; fora dela, é o determinante de uma matriz com duas filas iguais. A identidade não autoriza divisão por det(A) quando ele é zero.

A entrada (i,k) de Aadj(A) é a soma de aᵢⱼCₖⱼ para j de um a n. Se i=k, é Laplace pela linha i, dando det(A). Se i≠k, copie a linha i para o lugar da linha k: a nova matriz tem duas linhas iguais e determinante zero. Os cofatores da linha k continuam os mesmos, pois ela é retirada ao formá-los. Laplace por essa linha mostra que a soma é zero. Para adj(A)A, o argumento correspondente usa colunas. Assim os dois produtos são det(A)I.

A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A)

A é real quadrada e det(A)≠0. A adjunta existe também no caso singular, mas a fórmula da inversa não. A fração é um número real que multiplica todas as entradas da adjunta.

Se det(A)≠0, multiplicar a adjunta inteira por 1/det(A) transforma os dois produtos em I. Isso demonstra a fórmula da inversa e também a suficiência do determinante não nulo por outro caminho. Se det(A)=0, a adjunta continua existindo, mas não se pode dividir por esse número.

Exemplo resolvido · Terminar o cálculo com o determinante

Use a adjunta já encontrada para $T=\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&3\\0&0&1\end{pmatrix}$ .

Resolução

T é triangular e seu determinante é 1·1·1=1.
A inversa é a adjunta multiplicada por um. No produto, a entrada (1,3) é 6−6+0=0; as diagonais são um e as outras posições também dão os zeros necessários.

$T^{-1}=\begin{pmatrix}1&-2&6\\0&1&-3\\0&0&1\end{pmatrix}$ .

Na ordem um, a adjunta é a matriz (1), pela convenção do menor vazio; a fórmula devolve (1/a). Na ordem dois, ela coincide com a troca da diagonal e a mudança de sinais que já deduzimos. Em ordens maiores, Gauss-Jordan costuma exigir menos cofatores para fazer à mão.

15Uma identidade basta — com a hipótese de matriz quadrada

Agora podemos justificar um atalho de verificação. Se A e B são quadradas da mesma ordem e AB=I, Binet dá det(A)det(B)=1. Assim A tem inversa. Multiplique a igualdade AB=I à esquerda por A⁻¹: resulta B=A⁻¹, e portanto BA=I. A hipótese de mesma ordem quadrada é indispensável.

AB=I_n\Longrightarrow BA=I_n

A e B são n×n reais. Binet implica det(A)det(B)=1; ambas são inversíveis, e multiplicar AB=I à esquerda por A⁻¹ dá B=A⁻¹. Não estenda o resultado a retangulares: dimensões e identidades podem ser diferentes.

Exemplo resolvido · Um contraexemplo retangular

Use $P=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}$ e $Q=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}$ .

Resolução

PQ=I₂, mas QP é diagonal de ordem três com diagonal (1,1,0), diferente de I₃.
Há uma identidade de um lado, com dimensões diferentes. Isso não torna P ou Q inversível no sentido de dois lados estudado aqui.

Não generalize o atalho das quadradas às retangulares.

Ao aprender o conceito, conferir os dois produtos ajuda a descobrir erros de conta e de ordem. Depois de checar as dimensões quadradas, uma única identidade exata já é uma prova suficiente; uma verificação em apenas um ponto continua não sendo suficiente.

16Inversa da inversa, transposta e fator escalar

As propriedades das inversas vêm da definição e da unicidade: proponha uma candidata, confira os produtos e conclua que ela é a única inversa. Como AA⁻¹=A⁻¹A=I, a própria A é inversa de A⁻¹. A identidade continua sendo a própria inversa.

(A^{-1})^{-1}=A\qquad I_n^{-1}=I_n

\begin{gathered}(A^{-1})^{-1}=A\\I_n^{-1}=I_n\end{gathered}

A é quadrada inversível. A própria A desfaz A⁻¹ nos dois sentidos. A identidade se desfaz sozinha.

(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T

A é real quadrada inversível. Transpor AA⁻¹=I e A⁻¹A=I fornece as duas identidades. Se A é simétrica, sua inversa também é simétrica.

Ao transpor AA⁻¹=I, a ordem do produto se inverte: (A⁻¹)ᵀAᵀ=I. Transpor a outra identidade fornece Aᵀ(A⁻¹)ᵀ=I. Portanto a inversa da transposta é a transposta da inversa. Se A é simétrica, Aᵀ=A, então (A⁻¹)ᵀ=A⁻¹: a inversa também é simétrica.

(kA)^{-1}=\frac1k A^{-1}

A é quadrada inversível e k é real não nulo. Para k=0, kA é nula e não tem inversa. O fator 1/k multiplica a inversa inteira, não as entradas de A separadamente.

Para k≠0, multiplicar kA por (1/k)A⁻¹ cancela os fatores numéricos e deixa I, nos dois sentidos. Para k=0, a matriz é nula e não há inversa. O determinante da inversa, já provado, continua sendo 1/det(A), sem exigir determinante positivo.

Exemplo resolvido · Alterar um fator sem refazer toda a eliminação

Se $A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}$ , encontre (−2A)⁻¹.

Resolução

Multiplique a inversa por −1/2; não multiplique por −2.
O resultado é $\begin{pmatrix}-\frac12&\frac12\\\frac12&-1\end{pmatrix}$ . O produto com −2A cancela os dois fatores numéricos.

(−2A)⁻¹=−A⁻¹/2.

17Desfazer um produto exige inverter a ordem

Em ABx, a transformação B é aplicada primeiro e A depois. Para recuperar x, desfaça A primeiro e B depois: isso produz B⁻¹A⁻¹. A ordem não é um detalhe da escrita; ela representa a sequência em que as ações são desfeitas.

\begin{gathered}(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\\(ABC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}\end{gathered}

Todos os fatores são quadrados da mesma ordem e inversíveis. Verifique os produtos dos dois lados por associatividade, sem trocar fatores. Um produto quadrado de fatores da mesma ordem é inversível se, e somente se, cada fator é inversível, por Binet.

A prova usa associatividade: (AB)(B⁻¹A⁻¹)=A(BB⁻¹)A⁻¹=I. No outro sentido, (B⁻¹A⁻¹)(AB)=B⁻¹(A⁻¹A)B=I. Para três fatores, repita o argumento. Reciprocamente, se AB é inversível e A e B são quadradas da mesma ordem, det(AB)≠0 e Binet exige det(A)≠0 e det(B)≠0; logo ambas são inversíveis.

Exemplo resolvido · Uma ordem incorreta não recupera o ponto

Use $F=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ e $D=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}$ . Aplique primeiro F e depois D ao ponto (2,1).

Resolução

F envia (2,1) a (3,1). D envia (3,1) a (6,1). O produto que representa o percurso é DF.
Para voltar, D⁻¹ divide a coordenada horizontal por dois, levando a (3,1). F⁻¹ subtrai a vertical da horizontal, levando a (2,1). A inversa de DF é F⁻¹D⁻¹.
Se aplicássemos F⁻¹ primeiro, (6,1) viraria (5,1); depois D⁻¹ daria (5/2,1), que não é a entrada inicial.

A ordem correta para desfazer é a ordem inversa.

O percurso começa em (2,1), passa por F para (3,1) e por D para (6,1). A volta aplica D⁻¹ e depois F⁻¹. As operações mais próximas da coluna são executadas primeiro.

A fórmula A⁻¹B⁻¹ para a inversa de AB só coincide com a regra correta em situações em que esses fatores comutam. Isso precisa ser justificado; não é uma propriedade geral das matrizes.

18Potências negativas e um atalho com potência nula

Um expoente inteiro negativo agora tem significado preciso: A⁻² é A⁻¹A⁻¹, A⁻³ tem três fatores A⁻¹, e assim por diante. A matriz precisa ser inversível. A potência zero continua sendo a identidade. Para potências da mesma matriz, os fatores A e A⁻¹ podem ser cancelados em pares, justificando as leis dos expoentes inteiros.

\begin{gathered}A^{-r}=(A^{-1})^r\quad(r\ge1)\\(A^m)^{-1}=(A^{-1})^m\quad(m\in\mathbb Z)\\A^pA^q=A^{p+q}\end{gathered}

\begin{gathered}A^{-r}=(A^{-1})^r\\r\ge1\\(A^m)^{-1}=(A^{-1})^m\\m\in\mathbb Z\\A^pA^q=A^{p+q}\end{gathered}

A é quadrada inversível; r é inteiro positivo e m,p,q são inteiros. ℤ representa o conjunto dos inteiros. A⁰=I. As leis combinam potências da mesma matriz. Não dão (AB)ʳ=AʳBʳ sem condições adicionais. Um expoente negativo não significa apenas trocar o sinal das entradas.

Exemplo resolvido · Expoente negativo é produto de inversas

Se $A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$ , encontre A⁻².

Resolução

O determinante é $1\cdot1-2\cdot0=1$ . Trocar a diagonal, mudar os sinais das outras entradas e dividir por um dá $A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}$ .
Multiplique essa inversa por ela mesma. A entrada (1,2) é −2−2=−4; as diagonais são um e a entrada (2,1) é zero.

$A^{-2}=\begin{pmatrix}1&-4\\0&1\end{pmatrix}$ .

Um caso especial útil é uma matriz N cuja potência Nʳ é nula para algum inteiro positivo r. Ela é chamada nilpotente. Não significa necessariamente N=O. A soma finita I+N+…+Nʳ⁻¹ é uma inversa de I−N: multiplicar em qualquer ordem cancela os termos intermediários e deixa I−Nʳ=I. Na fórmula, Σ manda somar as potências Nᵏ para k inteiro de zero a r−1; a parcela N⁰ é I.

\begin{gathered}N^r=O\\(I-N)^{-1}=\sum_{k=0}^{r-1}N^k=I+N+\cdots+N^{r-1}\end{gathered}

\begin{gathered}N^r=O\\(I-N)^{-1}=\sum_{k=0}^{r-1}N^k\end{gathered}

N é quadrada e r é inteiro positivo. Uma matriz com alguma potência positiva nula é chamada nilpotente. Σ soma Nᵏ para o índice inteiro k de zero a r−1, com N⁰=I. Multiplicar I−N pela soma em qualquer ordem cancela termos e deixa I−Nʳ=I. Para r=1, N=O e a soma é somente I.

Exemplo resolvido · Um zero na matriz original pode virar entrada não nula da inversa

Considere $N=\begin{pmatrix}0&2&0\\0&0&3\\0&0&0\end{pmatrix}$ . Inverta I−N.

Resolução

Em $N^2$ , a entrada (1,3) é $0\cdot0+2\cdot3+0\cdot0=6$ ; nas demais posições, todos os produtos que entram na soma são zero. Assim $N^2=\begin{pmatrix}0&0&6\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$ . Para $N^3=N^2N$ , a única entrada não nula de $N^2$ multiplicaria a terceira linha de N, que é nula. Portanto $N^3=O$ .
Logo (I−N)⁻¹=I+N+N². A entrada (1,3), que era zero em I−N, torna-se seis na inversa.

$(I-N)^{-1}=\begin{pmatrix}1&2&6\\0&1&3\\0&0&1\end{pmatrix}$ .

O atalho exige Nʳ=O exatamente, com r positivo; não pode ser usado só porque algumas entradas são pequenas ou porque N possui zeros. Para r=1, N=O e a soma é apenas I. Não estamos somando uma série infinita.

19Triangulares e matrizes ortogonais

Uma matriz triangular é inversível se, e somente se, todas as entradas da diagonal principal são não nulas, pois seu determinante é o produto delas. Sua inversa é triangular do mesmo tipo. Para uma superior, resolva cada coluna Tx=eⱼ de baixo para cima. Aqui eⱼ é a coluna j da identidade: tem um na posição j e zero nas demais. As últimas n−j incógnitas são zero, porque as respectivas entradas do lado direito são zero e os pivôs diagonais são não nulos. Assim os zeros abaixo da diagonal permanecem. A versão inferior segue pela transposição.

(T^{-1})_{ii}=1/t_{ii}

T é triangular quadrada e todas as entradas diagonais são não nulas. A inversa é triangular do mesmo tipo, com diagonal de recíprocos. As entradas restantes devem ser calculadas: não basta inverter a diagonal e copiar o resto. A inversa pode preencher posições que eram zero.

Exemplo resolvido · A diagonal é fácil; o resto também precisa ser calculado

Inverta $T=\begin{pmatrix}2&3\\0&1\end{pmatrix}$ .

Resolução

Os valores diagonais da inversa são 1/2 e um, e a posição inferior esquerda é zero.
A posição superior direita precisa zerar a entrada (1,2) de TT⁻¹: 2x+3=0, portanto x=−3/2.

$T^{-1}=\begin{pmatrix}\frac12&-\frac32\\0&1\end{pmatrix}$ .

Outro caso especial é uma matriz real quadrada Q que satisfaz QᵀQ=I. Ela é chamada ortogonal. Pelo resultado de inversa de um lado, Q⁻¹=Qᵀ e também QQᵀ=I. Não é uma regra para qualquer matriz. Seu determinante tem quadrado um, portanto vale um ou menos um.

\begin{gathered}Q^TQ=I_n\\Q^{-1}=Q^T\\\det(Q)\in\{-1,1\}\end{gathered}

Q é real quadrada. A primeira identidade define uma matriz ortogonal e implica QQᵀ=I pelo resultado de inversa de um lado. Binet dá det(Q)²=1. Determinante ±1 sozinho não garante ortogonalidade.

Exemplo resolvido · Transpor só basta quando a condição foi verificada

Compare $Q=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ e $D=\begin{pmatrix}2&0\\0&\frac12\end{pmatrix}$ .

Resolução

Q gira as coordenadas em um quarto de volta: (x,y) vira (−y,x). Sua transposta é $Q^T=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$ . No produto $Q^TQ$ , as entradas são $0\cdot0+1\cdot1=1$ , $0\cdot(-1)+1\cdot0=0$ , $(-1)\cdot0+0\cdot1=0$ e $(-1)(-1)+0\cdot0=1$ . Logo $Q^TQ=I_2$ , Q é ortogonal e sua inversa é sua transposta.
D tem determinante um, mas DᵀD é diagonal com valores quatro e 1/4, diferente de I₂. Sua inversa é diagonal com valores 1/2 e dois, não a transposta.

Determinante um sozinho não garante ortogonalidade.

Uma matriz de permutação, obtida trocando linhas da identidade, também tem inversa igual à transposta: suas colunas são as colunas da identidade em outra ordem, e multiplicar pela transposta desfaz a permutação. Simetria não significa ser a própria inversa; uma simétrica inversível tem inversa simétrica, mas em geral diferente dela.

20Critérios de existência e uma condição suficiente

Já conectamos três testes: inversa existente, determinante não nulo e n pivôs na eliminação. Outro teste usa Ax=0: se A tem inversa, somente x=0 pode satisfazê-lo. Se A não tem inversa, det(A)=0 e suas colunas são dependentes, como foi estudado em Determinantes. Os coeficientes não todos nulos dessa dependência formam uma coluna x≠0 com Ax=0. Logo os testes são equivalentes.

\begin{gathered}A\text{ inversível}\\\Longleftrightarrow\det(A)\ne0\\\Longleftrightarrow(Ax=0\Rightarrow x=0)\end{gathered}

A é real n×n. A implicação Ax=0 ⇒ x=0 deve valer para toda coluna real x de tamanho n×1. Também equivalem: n pivôs na eliminação; Gauss-Jordan reduzir A a I; e Ax=b ter uma única solução para toda coluna real b. A seta dupla significa se, e somente se. Uma única equação Ax=b com A singular não é resolvida pela fórmula da inversa.

Para A inversível, cada coluna b fornece uma única solução x=A⁻¹b; a verificação é AA⁻¹b=b. Se toda coluna b possui uma única solução, em particular cada coluna da identidade a possui; reunir essas soluções em colunas forma uma matriz B com AB=I e, portanto, a inversa. Assim a condição “para toda b” também entra no conjunto de equivalências.

Uma maneira suficiente, sem calcular o determinante, é a dominância diagonal estrita: em cada linha, o módulo da entrada diagonal é maior que a soma dos módulos de todas as outras entradas daquela linha. Módulo é o valor não negativo |a|, já apresentado; a palavra estrita exige o sinal >, sem igualdade.

|a_{ii}|>\sum_{\substack{j=1\\j\ne i}}^n|a_{ij}|

A é real n×n e a desigualdade estrita vale para cada linha i de um a n. O módulo da entrada diagonal supera a soma dos módulos das outras entradas da linha. Isso garante inversibilidade. A condição é suficiente, não necessária; trocar > por ≥ sem outras hipóteses não basta. Pela transposição, há uma versão por colunas.

Exemplo resolvido · Suficiente não quer dizer necessária

Compare $A=\begin{pmatrix}4&1\\-1&3\end{pmatrix}$ , $H=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ e $S=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$ .

Resolução

A satisfaz 4>1 e 3>1, portanto é inversível. O determinante 12+1=13 confirma.
H não satisfaz a condição, mas é inversível: seu determinante é −1. Não satisfazer um teste suficiente não significa falhar em todos os testes.
S satisfaz somente 1≥1 nas duas linhas e é singular. Trocar a desigualdade estrita por fraca não basta.

Dominância estrita garante a inversa, mas sua ausência não decide o caso.

A prova usa o teste Ax=0. Suponha uma solução x não nula e escolha uma coordenada xᵢ de maior módulo. Então |xᵢ|>0 e |xⱼ|≤|xᵢ| para todo j. Nas somas seguintes, j percorre de um a n, excluindo i. Na ordem um, a soma vazia vale zero.

A linha i exigiria $a_{ii}x_i=-\sum_{j\ne i}a_{ij}x_j$ . O módulo de uma soma é no máximo a soma dos módulos, regra chamada desigualdade triangular. Assim $|a_{ii}x_i|\le\sum_{j\ne i}|a_{ij}||x_j|$ .

Como cada $|x_j|\le|x_i|$ , essa última soma é no máximo $|x_i|\sum_{j\ne i}|a_{ij}|$ . Pela dominância estrita, esse valor é menor que $|x_i||a_{ii}|=|a_{ii}x_i|$ . Teríamos um número menor que ele mesmo, uma contradição.

Portanto Ax=0 só possui a solução nula e A é inversível. A transposição fornece também um teste de dominância estrita por colunas.

21AX=B: desfazer o fator da esquerda

Uma equação matricial procura uma matriz X desconhecida que satisfaça uma igualdade. Em AX=B, se A tem ordem n e B tem p colunas, X precisa ser n×p. Se A é inversível, multiplique os dois membros à esquerda por A⁻¹. Associar (A⁻¹A)X produz IX=X, e o outro membro vira A⁻¹B.

AX=B\Longleftrightarrow X=A^{-1}B

\begin{gathered}AX=B\\\Longleftrightarrow X=A^{-1}B\end{gathered}

A é n×n inversível, B é n×p e a incógnita X é n×p, com n,p positivos. Multiplique os dois membros à esquerda por A⁻¹. Há uma única solução, conferida substituindo em AX.

Exemplo resolvido · Uma incógnita pode ser retangular

Resolva AX=B com $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$ e $B=\begin{pmatrix}5&1&4\\3&0&1\end{pmatrix}$ .

Resolução

A é 2×2 e B é 2×3; logo X deve ser 2×3. det(A)=1, então existe a inversa já calculada, de linhas (1,−1) e (−1,2).
A primeira linha de A⁻¹B é a primeira de B menos a segunda: (2,1,3). A segunda é menos a primeira de B mais duas vezes a segunda: (1,−1,−2).
Substitua: a primeira linha de AX é duas vezes (2,1,3) mais (1,−1,−2), dando (5,1,4). A segunda é a soma das linhas de X, dando (3,0,1). Recuperamos B.

$X=\begin{pmatrix}2&1&3\\1&-1&-2\end{pmatrix}$ .

A transformação da equação é reversível: toda solução precisa ser A⁻¹B, e essa candidata realmente satisfaz AX=B. Isso demonstra existência e unicidade. Não escreva simplesmente B/A, pois essa escrita esconde o lado de multiplicação e suas condições.

\begin{gathered}AX=AY\Longrightarrow X=Y\\XA=YA\Longrightarrow X=Y\end{gathered}

A é quadrada inversível e as dimensões dos produtos são compatíveis. Cancele multiplicando pela inversa do mesmo lado do fator A. Ser apenas não nula não garante cancelamento. Fora dos quadrados, outras condições podem permitir cancelamento, mas não são o critério desta aula.

Pelo mesmo raciocínio, se AX=AY e A é inversível, multiplique à esquerda por A⁻¹ para concluir X=Y. Em XA=YA, multiplique à direita. Ser uma matriz não nula não basta para cancelar; o exemplo singular que perdeu informação já fornece a falha.

22XA=B: agora a inversa entra pela direita

Em XA=B, o fator A está à direita da incógnita. Multiplique os dois membros à direita por A⁻¹: X(AA⁻¹)=BA⁻¹. A identidade desaparece e resta X=BA⁻¹. Colocar A⁻¹ à esquerda da igualdade não deixa os fatores A e A⁻¹ juntos.

XA=B\Longleftrightarrow X=BA^{-1}

\begin{gathered}XA=B\\\Longleftrightarrow X=BA^{-1}\end{gathered}

A é n×n inversível; B e X são p×n. Multiplique os dois membros à direita por A⁻¹. B não pode ser mudada de lado. A solução é única e deve ser verificada em XA.

Exemplo resolvido · Três linhas e duas colunas na solução

Resolva XA=B, com $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$ e $B=\begin{pmatrix}5&3\\1&0\\4&1\end{pmatrix}$ .

Resolução

B é 3×2, então X é 3×2 e a multiplicação BA⁻¹ existe.
As linhas de BA⁻¹ são (5−3,−5+6)=(2,1), (1,−1) e (4−1,−4+2)=(3,−2).
Multiplicando essas linhas por A, recuperamos respectivamente (5,3), (1,0) e (4,1).

$X=\begin{pmatrix}2&1\\1&-1\\3&-2\end{pmatrix}$ .

Exemplo resolvido · Mesmos dados, equações diferentes

Use agora $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ e $B=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$ . Compare AX=B com XA=B.

Resolução

A inversa é $\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}$ . Em AX=B, a solução A⁻¹B tem linhas (1,−2) e (0,2). Sua entrada (1,2) é $1\cdot0+(-1)\cdot2=-2$ , pela primeira linha de A⁻¹ e a segunda coluna de B.
Em XA=B, a solução BA⁻¹ tem linhas (1,−1) e (0,2). Agora a entrada (1,2) é $1\cdot(-1)+0\cdot1=-1$ , pela primeira linha de B e a segunda coluna de A⁻¹. Elas diferem nessa entrada porque os produtos não comutam.

A posição do fator muda a solução.

Com A de linhas (1,1),(0,1) e B diagonal (1,2), a solução de AX=B tem entrada (1,2) igual a −2; a de XA=B tem essa entrada igual a −1. Ambas usam os mesmos dados, mas as inversas entram por lados diferentes.

23AXB=C: uma inversa em cada lado

Se há um fator inversível de cada lado de X, desfaça A pela esquerda e B pela direita. Não há necessidade de A e B terem a mesma ordem: A pode ser n×n e B pode ser p×p, com X e C retangulares n×p. Reagrupar A⁻¹(AXB)B⁻¹ deixa X.

AXB=C\Longleftrightarrow X=A^{-1}CB^{-1}

\begin{gathered}AXB=C\\\Longleftrightarrow X=A^{-1}CB^{-1}\end{gathered}

A é n×n inversível, B é p×p inversível e C e X são n×p. A inversa de A entra pela esquerda e a de B pela direita. As ordens de A e B podem ser diferentes; X pode ser retangular.

Exemplo resolvido · Duas ordens diferentes com uma matriz retangular no meio

Resolva AXB=C, com $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$ , $B=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$ e $C=\begin{pmatrix}1&6&-5\\0&6&-3\end{pmatrix}$ .

Resolução

A tem inversa de linhas (1,−1),(−1,2). B é diagonal não singular, com inversa diagonal (1,1/2,−1). X deve ser 2×3.
Primeiro calcule A⁻¹C. A primeira linha é a primeira de C menos a segunda: $(1-0,6-6,-5-(-3))=(1,0,-2)$ . A segunda é menos a primeira de C mais duas vezes a segunda: $(-1+2\cdot0,-6+2\cdot6,5+2\cdot(-3))=(-1,6,-1)$ . Portanto $A^{-1}C=\begin{pmatrix}1&0&-2\\-1&6&-1\end{pmatrix}$ .
Multiplicar à direita por B⁻¹ multiplica as três colunas por um, meio e menos um, respectivamente. Assim X tem linhas (1,0,2),(−1,3,1).
Para conferir, AX tem linhas (1,3,5),(0,3,3). Multiplicar as colunas por um, dois e menos um recupera C.

$X=\begin{pmatrix}1&0&2\\-1&3&1\end{pmatrix}$ .

A⁻¹CB⁻¹ está definida nessas dimensões. Tentar colocar A⁻¹B⁻¹C pode nem produzir um produto compatível; quando as ordens coincidem, ainda pode gerar valores errados. Dimensão correta é necessária, mas não suficiente para uma manipulação ser válida.

24Parênteses, fator comum e inversa de uma soma

Trate primeiro a expressão inteira entre os fatores externos. Depois desfaça a soma ou subtração. Em A(X−D)B=C, isole X−D usando as inversas dos lados corretos; só então some D aos dois membros.

\begin{gathered}A(X-D)B=C\\\Longleftrightarrow X=D+A^{-1}CB^{-1}\end{gathered}

A e B são quadradas inversíveis de ordens n e p. X, D e C são n×p. Primeiro desfaça os fatores externos pelos lados corretos; depois desfaça a subtração de D. Essa ordem conserva as dimensões e as operações ensinadas.

Exemplo resolvido · A soma vem depois de desfazer os fatores externos

Na equação anterior, já calculamos A⁻¹CB⁻¹ com linhas (1,0,2),(−1,3,1). Resolva agora A(X−D)B=C, com D de linhas (0,1,0),(2,0,−1).

Resolução

As dimensões de D e de X são 2×3. Isolar o parêntese dá X−D=A⁻¹CB⁻¹.
Some D: as novas linhas são (1,1,2) e (1,3,0). Subtrair D novamente recupera a matriz já verificada no produto.

$X=\begin{pmatrix}1&1&2\\1&3&0\end{pmatrix}$ .

\begin{gathered}AX+BX=C\\\Longleftrightarrow(A+B)X=C\\X=(A+B)^{-1}C\end{gathered}

A e B são n×n, C e X são n×p. A fórmula final exige A+B inversível; as duas primeiras igualdades são equivalentes mesmo no caso singular. A e B serem inversíveis separadamente não garante inversa de A+B. Para XA+XB=C, fatore X à esquerda e multiplique pela inversa à direita.

Exemplo resolvido · O fator comum precisa estar do mesmo lado

Resolva AX+BX=C, com A=I₂, $B=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$ e $C=\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}$ .

Resolução

Pela distributividade, AX+BX=(A+B)X. A soma A+B tem linhas (2,1),(1,1), determinante um e inversa de linhas (1,−1),(−1,2).
Multiplicando essa inversa por C, obtemos a coluna (2,1). Substituir em (A+B)X dá (5,3).

X é a coluna (2,1).

Exemplo resolvido · Inversas não se distribuem pela soma

Se A=B=I₂, compare (A+B)⁻¹ com A⁻¹+B⁻¹.

Resolução

A+B=2I₂, cuja inversa é (1/2)I₂.
A⁻¹+B⁻¹=2I₂. São resultados diferentes, então não há regra geral que distribua a inversa pela soma.

(A+B)⁻¹ não é, em geral, A⁻¹+B⁻¹.

Para usar a inversa de A+B, teste a soma. A=I e B=−I são inversíveis, mas A+B=O não é. Por outro lado, as diagonais com (1,0) e (0,1) não são inversíveis, mas sua soma é I. Em XA+XB=C, fatore X à esquerda e a inversa de A+B deverá entrar à direita.

25Quando X aparece em lados diferentes

Em AX+XB=C, X não está do mesmo lado nos dois termos. Não se pode fatorar como (A+B)X ou X(A+B) em geral. Em casos pequenos, escreva as entradas de X e use a igualdade de matrizes. Isso transforma a dúvida sobre ordem em equações numéricas verificáveis.

Exemplo resolvido · Resolver sem uma fatoração inválida

Use $A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$ , $B=\begin{pmatrix}3&0\\0&4\end{pmatrix}$ e $C=\begin{pmatrix}4&10\\15&24\end{pmatrix}$ . Resolva AX+XB=C.

Resolução

Escreva $X=\begin{pmatrix}u&v\\w&z\end{pmatrix}$ . AX multiplica a primeira linha por um e a segunda por dois. XB multiplica a primeira coluna por três e a segunda por quatro.
As quatro posições exigem 4u=4, 5v=10, 5w=15 e 6z=24. Portanto u=1, v=2, w=3 e z=4.
Conferindo, AX tem linhas (1,2),(6,8) e XB tem linhas (3,8),(9,16). A soma recupera C.

$X=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ .

Esse exemplo tem coeficientes não nulos nas quatro equações, dando solução única. Outras escolhas podem produzir condições incompatíveis ou entradas livres. Não há autorização para supor unicidade apenas porque A e B, separadamente, têm inversas.

26Sem inversa: estudar a igualdade, não dividir por zero

Se A é singular, a expressão A⁻¹B não está definida. Isso não significa automaticamente que AX=B não tenha solução. A igualdade pode ser compatível com várias escolhas de X ou pode ser impossível. Os dados de B também importam.

Exemplo resolvido · Uma coluna inteira de soluções

Resolva $\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\6\end{pmatrix}$ .

Resolução

As equações são x+2y=3 e 2x+4y=6. A segunda é o dobro da primeira, sem condição nova.
Escolha y=s, onde s é qualquer real; então x=3−2s. Toda escolha satisfaz as duas igualdades.

Todas as soluções são (x,y)=(3−2s,s), com s real.

Exemplo resolvido · Uma mudança no lado direito pode eliminar todas

No mesmo produto, troque a coluna do lado direito por (3,7).

Resolução

A primeira igualdade exige x+2y=3. Dobrá-la dá 2x+4y=6, mas a segunda igualdade do problema exige sete.
As duas condições não podem ser satisfeitas ao mesmo tempo.

Não há solução.

\begin{gathered}AX_0=B,\quad AN=O\\X=X_0+N\end{gathered}

A e B têm dimensões compatíveis, X₀ é uma solução conhecida e N tem as mesmas dimensões de X₀. Toda solução de AX=B tem essa forma, pois a diferença X−X₀ satisfaz A(X−X₀)=O. Para XA=B, a condição correspondente é NA=O. A fórmula não fornece uma solução particular se nenhuma existe.

Se uma solução X₀ existe, toda solução é X₀+N, com AN=O. Isso vem da distributividade: A(X₀+N)=AX₀+AN=B. Reciprocamente, se AX=B e AX₀=B, então A(X−X₀)=O, e a diferença é um N permitido. No exemplo compatível, X₀=(3,0) e N=(−2s,s). Para XA=B, a mesma prova usa NA=O. A quarta aula desenvolverá sistemas gerais, variáveis livres e classificação com mais profundidade.

27Parâmetros: manter os valores excluídos

Exemplo resolvido · A fórmula vale em um domínio; os outros valores pedem análise própria

Para $A(t)=\begin{pmatrix}t&1\\1&t\end{pmatrix}$ , resolva $A(t)\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}$ conforme o real t.

Resolução

As entradas existem para todo real. O determinante é t²−1, portanto a inversa existe exatamente quando t≠1 e t≠−1.
Nesses valores permitidos, $A(t)^{-1}=\frac1{t^2-1}\begin{pmatrix}t&-1\\-1&t\end{pmatrix}$ . Multiplicar pela coluna (2,2) dá as coordenadas $x=(2t-2)/(t^2-1)$ e $y=(-2+2t)/(t^2-1)$ , portanto elas são iguais.
Fatoramos $2t-2=2(t-1)$ e $t^2-1=(t-1)(t+1)$ . Assim $x=y=\frac{2(t-1)}{(t-1)(t+1)}=\frac2{t+1}$ . O cancelamento é permitido porque $t-1\ne0$ no domínio considerado; as duas exclusões $t\ne1$ e $t\ne-1$ continuam valendo.
Em t=1, as duas equações viram x+y=2; há infinitas soluções (2−s,s). A expressão simplificada fornece (1,1), que é uma delas, mas não uma solução única obtida por inversa.
Em t=−1, as equações são −x+y=2 e x−y=2. Somá-las dá 0=4, então não há solução.

t≠±1: solução única x=y=2/(t+1); t=1: infinitas; t=−1: nenhuma.

Exemplo resolvido · Uma entrada já pode limitar o domínio

Quando existe a inversa de $D(t)=\begin{pmatrix}\frac1{t-1}&0\\0&t+1\end{pmatrix}$ ?

Resolução

A matriz original exige t≠1 para a primeira entrada existir.
No domínio original, a segunda entrada diagonal não pode ser zero: t≠−1. A primeira nunca é zero.
Para t≠1 e t≠−1, a inversa é diagonal com valores t−1 e 1/(t+1). A fórmula escrita não autoriza reintroduzir t=1, pois a matriz original não existe ali.

A inversa existe para t real diferente de um e de menos um.

28Resolver vários lados direitos sem formar a inversa

Se o objetivo é AX=B, pode ser mais prático aumentar A diretamente com B. As operações que levam A a I levam B a A⁻¹B, isto é, à solução X. Para uma coluna b, resolvemos uma coluna de incógnitas; para várias colunas de B, fazemos todas com as mesmas operações.

[A\mid B]\longrightarrow[I_n\mid X]

\begin{gathered}[A\mid B]\\\longrightarrow[I_n\mid X]\end{gathered}

A é n×n inversível e B é n×p. As mesmas operações de linhas em ambos os blocos produzem X=A⁻¹B à direita. O bloco da direita tem p colunas. Cada coluna resolve uma coluna de B; não é preciso formar A⁻¹ primeiro.

Exemplo resolvido · As mesmas quatro operações com três colunas à direita

Use $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$ e $B=\begin{pmatrix}5&1&4\\3&0&1\end{pmatrix}$ em [A|B].

Resolução

Troque R₁ e R₂. A esquerda tem linhas (1,1),(2,1); a direita tem linhas (3,0,1),(5,1,4).
Faça R₂←R₂−2R₁. A esquerda fica (1,1),(0,−1); a direita fica (3,0,1),(−1,1,2).
Faça R₂←−R₂. A esquerda fica (1,1),(0,1); a direita fica (3,0,1),(1,−1,−2).
Faça R₁←R₁−R₂. A esquerda vira I₂ e a direita tem linhas (2,1,3),(1,−1,−2).

A direita é a solução 2×3 já conferida em AX=B.

Esse processo resolve a igualdade sem escrever a inversa inteira. Para obter a inversa em si, são necessárias as n colunas da identidade como lados direitos. Calcular todas elas pode ser trabalho extra quando só uma coluna b interessa. O algoritmo é o mesmo; muda o que colocamos no bloco direito.

29Interpretar a resposta no problema

Exemplo resolvido · Reconstruir quantidades a partir de recursos

Cada kit do tipo U usa duas folhas e uma tira. Cada kit do tipo V usa uma folha e uma tira. Foram usadas treze folhas e oito tiras. Quantos kits de cada tipo foram feitos?

Resolução

Se x e y contam kits U e V, os recursos dão $\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13\\8\end{pmatrix}$ . As linhas correspondem a folhas e tiras; as colunas, aos tipos de kit.
A inversa dá x=13−8=5 e y=−13+16=3. Conferindo: dez mais três folhas são treze; cinco mais três tiras são oito.
A resposta matemática também atende ao contexto, pois ambas as quantidades são inteiras e não negativas.

Cinco kits U e três kits V.

A inversa fornece a única solução real de um modelo inversível, mas ela ainda precisa respeitar as condições do problema. Se os recursos desse modelo fossem uma folha e duas tiras, a solução real seria x=−1 e y=3. Como não existe quantidade negativa de kits, esses dados seriam incompatíveis com a fabricação descrita, embora a equação real tenha solução.

|\det(A^{-1})|=\frac1{|\det(A)|}

A é real 2×2 inversível. A transformação inversa divide as áreas pelo fator da transformação original. O sinal do determinante continua sendo o mesmo, pois um real não nulo e seu recíproco têm o mesmo sinal. Não confunda área com comprimento.

Exemplo resolvido · Desfazer a ampliação de área

Uma figura foi transformada por $D=\begin{pmatrix}-2&0\\0&3\end{pmatrix}$ e sua imagem tem área 18. Qual era a área original?

Resolução

O determinante é −6, então a transformação multiplica áreas por seis e inverte orientação.
A inversa tem determinante −1/6 e fator de área 1/6. A área original é 18/6=3.

Área original igual a três unidades quadradas.

A recuperação de área não exige que cada comprimento seja multiplicado pelo mesmo fator. A unidade quadrada acompanha o cálculo. O sinal do determinante descreve orientação e não uma área negativa.

30Conferir hipóteses e reconhecer outras equações

Declare as dimensões antes de multiplicar. A⁻¹ exige A quadrada inversível; cada produto adicional precisa ser compatível.
Verifique domínio e existência. Determinante não nulo, n pivôs ou outro critério demonstrado podem justificar a inversa.
Escolha o método: diagonal ou 2×2 quando apropriado; Gauss-Jordan ou adjunta em geral. Para AX=B, considere reduzir [A|B] diretamente.
Conserve o lado de cada fator. Desfaça produtos de trás para frente e só depois resolva somas ou parênteses.
Substitua na equação original e confira todas as entradas. No contexto, verifique também unidades e restrições como quantidades não negativas.

Nem toda equação com matrizes é linear nas entradas desconhecidas. Em X²=I, a incógnita aparece multiplicada por ela mesma. A igualdade afirma que X é sua própria inversa; tal matriz é chamada involutória. Isso não limita X a I e −I, como aconteceria com a equação escalar x²=1.

X^2=I_n\Longleftrightarrow X^{-1}=X

X é quadrada real. A igualdade X²=I garante a existência da inversa e faz a própria X desfazer o produto; essa matriz é chamada involutória. Não conclua que X seja apenas I ou −I: há outras matrizes e até famílias infinitas.

Exemplo resolvido · Uma família inteira, e não só duas respostas

Verifique $X=\begin{pmatrix}1&s\\0&-1\end{pmatrix}$ , com s real, em X²=I₂.

Resolução

As diagonais do quadrado são um. A entrada (1,2) é 1·s+s(−1)=0; a entrada (2,1) também é zero.
Portanto toda escolha real de s dá uma solução. Por exemplo, s=2 produz uma matriz diferente de I₂ e de −I₂.

Há infinitas matrizes que satisfazem X²=I₂.

A próxima aula será Sistemas lineares por matrizes. Ela ampliará os exemplos singulares e a eliminação para coeficientes, termos independentes, variáveis livres e classificação, incluindo os métodos e condições próprios desse tema.

31Agora é com você

O banco contém trinta questões: 26 objetivas e quatro discursivas. A sequência passa por significado, condições de existência, cálculo, propriedades, dimensões, equações e aplicações. Nas discursivas, escreva as operações, conserve os valores excluídos e verifique as respostas na igualdade original.

Questão 1 de 300 conferidas

Compreensão · Objetiva

Para A e B reais n×n, qual condição define B como a inversa de A?

AA+B=O.BAB=BA=Iₙ.CAB=A.DB contém os recíprocos de todas as entradas de A.

Ative o JavaScript para conferir alternativas interativamente. Todas as questões e resoluções estão disponíveis abaixo.[data-exercise][hidden],[data-solution][hidden]{display:block}.exercise-controls,[data-check-answer],.exercise-progress{display:none}

32O que guardar desta aula

A inversa A⁻¹ é a matriz que produz a identidade com A nos dois sentidos. Ela é única, tem a mesma ordem de A e só é escrita quando existe.
Inversa multiplicativa, oposta e recíprocos das entradas são operações diferentes. Um teste em apenas uma coluna escolhida não demonstra a inversão de todas as entradas.
Para matrizes reais quadradas de ordem positiva, existir inversa equivale a determinante não nulo, n pivôs e Ax=0 ter somente a solução nula. Também equivale a uma solução única para toda coluna b em Ax=b.
O determinante da inversa é o recíproco do determinante, inclusive para determinante negativo. Uma matriz não nula pode ser singular e perder informação.
Na ordem um, inverta a entrada não nula. Na diagonal, inverta apenas as entradas diagonais, todas não nulas, mantendo os zeros restantes.
Na ordem dois, troque a diagonal principal, mude os sinais das outras duas entradas e multiplique por 1/(ad−bc), com ad−bc≠0.
Gauss-Jordan aplica operações reversíveis à matriz aumentada inteira [A|I] até obter [I|A⁻¹]. A barra é separador; a esquerda precisa ser identidade, não apenas triangular.
Trocas, multiplicações de linha por real não nulo e somas de múltiplos podem ser desfeitas. As mesmas operações nos dois blocos registram a inversa. Um pivô zero pode exigir troca; uma matriz singular não reduz a I.
A adjunta clássica é a transposta da matriz dos cofatores. Vale Aadj(A)=adj(A)A=det(A)I mesmo no caso singular; dividir por det(A) só é permitido se ele for não nulo.
Para quadradas da mesma ordem, AB=I já implica BA=I. Em retangulares pode haver identidade só de um lado; isso não é a inversa de dois lados aqui definida.
A inversa da inversa é A; a identidade é sua própria inversa. A inversa da transposta é a transposta da inversa; a inversa de uma simétrica também é simétrica.
A inversa de kA é A⁻¹/k, com k≠0. A inversa de AB é B⁻¹A⁻¹, com a ordem revertida. Potências negativas são produtos de inversas e exigem inversibilidade.
Uma triangular inversível tem inversa triangular do mesmo tipo e diagonal de recíprocos. Posições originalmente zero fora dessa região podem tornar-se não nulas.
Se Nʳ=O para r positivo, I−N tem inversa I+N+…+Nʳ⁻¹, por cancelamento finito dos termos. Não é uma série infinita: exige uma potência exatamente nula; ter entradas de pequeno valor não basta.
Ortogonal real satisfaz QᵀQ=I e tem Q⁻¹=Qᵀ, com determinante ±1. O determinante ±1 sozinho não implica ortogonalidade. Permutações são um caso ortogonal.
Dominância diagonal estrita em todas as linhas é suficiente para inversibilidade. Não é necessária; a versão com igualdade permitida não basta sem outras condições.
Em AX=B, multiplique à esquerda e obtenha A⁻¹B. Em XA=B, multiplique à direita e obtenha BA⁻¹. Dimensões e ordem são parte do problema.
Em AXB=C, com os fatores externos quadrados inversíveis, X=A⁻¹CB⁻¹. X pode ser retangular. Desfaça os fatores externos antes de somas em parênteses.
Em AX+BX=C, o coeficiente é A+B. Teste a inversa dessa soma; inversibilidade de A e B separadamente não basta. A inversa não se distribui pela soma.
Em AX+XB=C não há fatoração geral como (A+B)X. Entrada a entrada pode ser um método apropriado em casos pequenos, com análise das condições resultantes.
Quando A é singular, AX=B pode não ter solução ou ter várias. Se X₀ é uma solução, todas são X₀+N com AN=O. Para XA=B, use NA=O.
Parâmetros exigem domínio antes da simplificação. Valores em que a inversa não existe devem ser analisados na equação original; um fator cancelado não restaura a unicidade perdida.
Reduzir [A|B] a [I|X] resolve AX=B diretamente, inclusive para vários lados direitos. Calcular A⁻¹ inteira pode ser trabalho extra se só uma coluna interessa.
Uma solução real única ainda precisa respeitar as unidades e restrições do modelo. No plano, a inversa desfaz o fator de área pelo seu recíproco positivo.
X²=I significa que X é involutória, a própria inversa, e pode ter infinitas soluções matriciais. Não use regras escalares sem verificar o que muda em matrizes.

Esta é a terceira das quatro aulas planejadas de Matrizes. Sistemas lineares por matrizes será a próxima. Fórmulas e Revisão da matéria reúnem os conteúdos já disponíveis, na mesma ordem das aulas.