Fórmulas de Matrizes

m e n são inteiros positivos: primeiro m linhas, depois n colunas. i e j são índices inteiros; i identifica a linha e j a coluna. Cada entrada aᵢⱼ é um número real nesta aula. A tem mn posições, mesmo que valores se repitam. A notação m×n descreve a forma, não uma multiplicação dos elementos.

Os índices precisam existir na matriz: 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. O subscrito não é produto nem expoente. Para índices de vários algarismos, use separação como a₂,₁₂ para indicar linha dois e coluna doze; a₂₁₂ sem separador pode ser ambíguo.

A e B devem ter exatamente as mesmas dimensões; sob essa hipótese, a equivalência usa todos os pares de índices válidos. A seta dupla significa se, e somente se. Matrizes de dimensões diferentes são distintas mesmo que seus valores coincidam ou sejam todos zero. Todas as condições de uma igualdade devem ser verificadas.

n ≥ 1 é inteiro e recebe o nome de ordem da matriz quadrada. Uma matriz de ordem n tem n² entradas. Aqui chamamos de retangular não quadrada a matriz cujas quantidades de linhas e colunas são diferentes.

A matriz é n×n e os índices vão de 1 a n. A principal vai do canto superior esquerdo ao inferior direito; a secundária, do superior direito ao inferior esquerdo. Em ordem ímpar, a posição central pertence às duas; em ordem par, elas não compartilham posição.

m,n ≥ 1 são inteiros. Todas as entradas são zero. O símbolo O representa uma matriz inteira, com dimensões, e não um único escalar. Matrizes nulas de tamanhos diferentes não são iguais. Uma matriz nula quadrada também é diagonal.

A é quadrada. A condição vale em toda posição fora da diagonal principal. As entradas da própria diagonal podem ser quaisquer reais, inclusive zero; não precisam ser iguais.

n ≥ 1 e λ é um número real, lido lambda. D é diagonal de ordem n e todas as entradas da diagonal principal valem λ. O número λ é um escalar; D é a matriz inteira. Para λ = 0 temos a nula quadrada; para λ = 1 temos a identidade.

Iₙ é quadrada de ordem n ≥ 1. Tem um em cada posição da diagonal principal e zero em todas as outras. Não é a matriz com todos os elementos iguais a um.

A matriz é quadrada. Superior exige zeros abaixo da diagonal principal; inferior exige zeros acima. A diagonal pode conter zeros. Ser superior e inferior ao mesmo tempo equivale a ser diagonal.

Se A é m×n, Aᵀ é n×m. Em Aᵀ, i vai de 1 a n e j de 1 a m. A letra T indica transposição, não potência numérica. Trocar linhas por colunas duas vezes recupera A; os valores não mudam de sinal.

A e B têm as mesmas dimensões m×n. Cada resultado conserva essas dimensões. Em dados aplicados, cada posição deve representar a mesma categoria e unidade nas duas tabelas. Não basta ter igual quantidade total de elementos.

O tem as mesmas dimensões de A. A oposta inverte todos os sinais e é única: se A+B=O, cada bᵢⱼ é −aᵢⱼ. Oposta é o inverso aditivo; não deve ser confundida com matriz inversa multiplicativa, estudada em outra aula.

As três matrizes têm as mesmas dimensões. As propriedades vêm das somas de reais em cada posição. Associatividade troca o agrupamento; comutatividade troca a ordem. Subtração não é, em geral, comutativa nem associativa.

k é um número real fixo, chamado escalar, e multiplica todas as entradas. A matriz kA mantém as dimensões de A. Se k = 0, o resultado é a nula do mesmo tamanho; se k = −1, o resultado é a oposta. O escalar não é um índice.

k e ℓ são reais; ℓ é a letra ele. A e B têm as mesmas dimensões. As identidades são verificadas em cada posição usando a distributividade e a associatividade dos números reais. Se k ≠ 0 e kA=kB, a igualdade A=B pode ser obtida dividindo cada entrada por k.

A é real e quadrada. A igualdade deve valer para todo par de índices. Entradas espelhadas em relação à diagonal principal são iguais, e os valores na diagonal são livres.

A é real e quadrada; a regra deve valer para todos os índices. Na diagonal, aᵢᵢ=−aᵢᵢ implica 2aᵢᵢ=0, logo aᵢᵢ=0. Ter apenas a diagonal nula não basta. A matriz nula quadrada é simultaneamente simétrica e antissimétrica.

k ≠ 0 é real e X,A,B têm as mesmas dimensões. A equação é resolvida entrada a entrada ou pelas propriedades aditivas. Se k = 0, há solução para todo X desse tamanho quando A=B, e não há solução quando A≠B. Não se está dividindo por uma matriz.

m,n,p são inteiros positivos. O número de colunas de A deve igualar o de linhas de B. O resultado tem as linhas de A e as colunas de B. A ordem importa: existir AB não garante existir BA. Matrizes do mesmo tamanho não são automaticamente multiplicáveis.

u₁,…,uₙ são as entradas da linha e v₁,…,vₙ as da coluna, ambas com a mesma quantidade n. O resultado matricial é 1×1, cujo único valor é a soma dos produtos correspondentes. Não se multiplica a linha inteira por um único elemento nem se somam todos os valores antes de multiplicar.

C=AB, com A de tamanho m×n e B de tamanho n×p. i identifica a linha de A e de C; j identifica a coluna de B e de C. O índice inteiro k percorre as n posições que são combinadas e Σ significa somar. Cada cᵢⱼ usa a linha i inteira de A e a coluna j inteira de B.

A é m×n, B é n×p e C é p×r, com dimensões positivas. Os dois agrupamentos existem e resultam em m×r. O agrupamento pode mudar, mas a ordem A,B,C permanece. A prova reagrupa somas finitas de produtos de números reais.

Em cada identidade, todas as somas e produtos precisam existir; as matrizes somadas têm o mesmo tamanho. k é um escalar real. O fator comum fica do mesmo lado nas parcelas: não se troca AB por BA.

A é m×n; m,n,p,r são inteiros positivos. A identidade da esquerda tem ordem m, e a da direita tem ordem n. A matriz nula do resultado tem as dimensões dadas pela regra do produto; não é um escalar isolado.

É um contraexemplo real 2×2: todos os produtos linha-coluna dão zero, apesar de haver entrada não nula em cada fator. Também não se pode cancelar automaticamente um fator matricial não nulo. A existência de inversa será tratada em aula própria.

A é quadrada de ordem n e s,t são inteiros não negativos. O expoente conta fatores A, e não potências de entradas isoladas. A⁰=Iₙ é a convenção de produto vazio de matrizes, inclusive para a matriz nula quadrada; não estamos atribuindo valor à expressão escalar 0⁰. Expoentes negativos dependem de inversa e não são usados aqui.

A e B são quadradas da mesma ordem. A expansão vem da distributividade. Só se pode reunir os termos centrais em 2AB quando AB=BA. Não se aplica o binômio escalar sem verificar a comutação.

A e B têm o mesmo tamanho e k é um número real. Cada entrada apenas troca os índices, preservando as somas e os fatores numéricos. Para diferença, a identidade correspondente usa Aᵀ−Bᵀ.

A é m×n e B é n×p. A transposta do resultado é p×m; Bᵀ é p×n e Aᵀ é n×m. O produto invertido tem exatamente as dimensões necessárias. Manter a ordem AᵀBᵀ pode ser indefinido ou produzir outro resultado.

A é uma matriz real quadrada. Sᵀ=S e Kᵀ=−K. O fator 1/2 multiplica as matrizes, entrada a entrada. Esta decomposição é única, pois transpor A=S+K dá Aᵀ=S−K; somar e subtrair as duas igualdades determina S e K.

Q tem uma linha por grupo e uma coluna por item; qᵢₖ é a quantidade do item k no grupo i. p é a coluna de preços por unidade na mesma ordem dos itens, e c é a coluna dos custos por grupo. Quantidade vezes preço por unidade dá dinheiro; os itens precisam estar alinhados antes do produto.

X é uma coluna e as dimensões permitem os dois produtos. O fator B atua primeiro, depois A. A seta indica uma consequência. Associatividade explica o produto AB. Trocar a ordem das transformações pode mudar o resultado. Nos exemplos do plano, X contém a coordenada horizontal e depois a vertical.

A é uma matriz real quadrada de ordem n, com n inteiro positivo. det(A) é um número, e A é uma matriz. As barras verticais em torno de uma matriz quadrada também indicam determinante; barras em torno de um número indicam módulo. Matrizes não quadradas não têm determinante nesta teoria.

a é real. O resultado conserva o sinal da entrada: não se calcula o módulo dela.

a, b, c e d são reais. Multiplique a diagonal principal e subtraia o produto da secundária. O sinal da subtração faz parte da regra, inclusive quando algum fator é negativo.

A é 3×3. Repita as duas primeiras colunas apenas como auxílio; a matriz continua sendo de ordem três. P e Q são somas de produtos com seus sinais numéricos, não somas de valores absolutos. Não estenda esse esquema a ordem quatro ou maior.

A tem ordem n ≥ 2. A matriz A com os índices i e j riscados é obtida retirando a linha i e a coluna j; sua ordem é n−1. Mᵢⱼ é o número calculado a partir dessa matriz, e não a matriz restante. 1 ≤ i,j ≤ n.

A tem ordem n ≥ 2 e os índices são válidos. Soma i+j par dá fator +1; soma ímpar dá −1. Isso não garante que o cofator seja positivo ou negativo, pois o próprio menor pode ter qualquer sinal. Para ordem um, pode-se usar o determinante vazio igual a um, dando C₁₁=1.

Na primeira soma, fixe uma linha i e percorra suas colunas j. Na segunda, fixe uma coluna j e percorra suas linhas i. Escolha uma única fila completa; não misture entradas de filas diferentes. Cada cofator usa os índices da matriz original. Vale para n ≥ 2; com a convenção do menor vazio, também para n=1.

n ≥ 1. Sₙ é o conjunto das permutações de 1,…,n. σ(r) escolhe a coluna da linha r, sem repetir colunas. v(σ) conta pares r<s com σ(r)>σ(s), chamados inversões. pσ é o produto das n entradas escolhidas. Π manda multiplicá-las, e Σ soma os n! produtos com seus sinais. Para n=1 há um único termo. Essa definição fundamenta as expansões e as propriedades.

A é quadrada. A transposta troca linhas por colunas; na soma de permutações, cada escolha corresponde à permutação inversa, que tem a mesma paridade. Não se confunde transpor com trocar duas filas.

Dᵢ(w) significa o determinante da matriz cuja linha i é w, mantendo todas as outras linhas fixas. u e v têm n entradas, α e β são reais. A mesma regra vale para uma coluna. Não é uma regra para somar duas matrizes inteiras.

B é obtida de A trocando duas linhas distintas ou duas colunas distintas, com n ≥ 2. Uma troca inverte o sinal; s trocas multiplicam por (−1)ˢ. Trocar uma linha por uma coluna não é essa operação.

A é quadrada e i≠j. Rᵢ e Rⱼ representam linhas inteiras; também vale para colunas. A troca deixa a matriz igual e exige determinante oposto, logo ele é zero sobre os reais.

A é quadrada, inclusive de ordem um. A linha inteira é nula; um elemento zero isolado não basta. Também vale para uma coluna nula.

A é quadrada de ordem n ≥ 2 e i é uma linha válida. A soma percorre as linhas j de um a n, excluindo i. As linhas Rⱼ são somadas entrada a entrada, com coeficientes reais λⱼ, lidos lambda j. Duas filas proporcionais são um caso particular; não é preciso haver um par proporcional. A mesma afirmação vale para colunas.

A matriz é quadrada e k é real. Só a linha i é substituída; a linha j permanece. O novo determinante é igual ao antigo. Cada operação usa a matriz atual. Também vale para colunas. Não autoriza substituir a linha apenas por kRⱼ.

i≠j; α e β são reais, e as demais linhas ficam fixas. Para α=1, conserva. Para α=0, o resultado é zero e a operação perde informação; não pode ser desfeita por divisão. Vale também para colunas.

T é triangular superior ou inferior, de ordem n ≥ 1. Multiplique a diagonal principal, mesmo que inclua zeros. Vale para diagonal e escalar. Não vale para uma matriz quadrada qualquer.

n é inteiro positivo. A identidade tem diagonal principal de uns e a nula tem diagonal de zeros. Matrizes de determinante um não precisam ser a identidade.

A tem ordem n ≥ 1 e todas as entradas fora da diagonal secundária são zero. Inverter a ordem das colunas exige n(n−1)/2 trocas adjacentes. Não se aplica só porque a matriz tem elementos destacados na secundária.

B e C são blocos quadrados de ordens positivas; E e O têm dimensões compatíveis, e O é o bloco inteiro nulo. Vale também com bloco nulo no alto à direita. Na matriz diagonal por blocos, ambos os blocos fora da diagonal são nulos. Não multiplique determinantes de blocos se a condição não for satisfeita.

A tem ordem n ≥ 1 e k é real, incluindo zero. Cada uma das n linhas recebe o fator k. Multiplicar apenas uma linha dá um único fator k, e não kⁿ.

U é obtida de A por s trocas de linhas, q multiplicações de uma linha por números não nulos α₁,…,αq e quaisquer somas de múltiplos de outra linha. U é triangular. Sem multiplicações de linha, o produto no denominador vale um. Todos os fatores devem ser registrados; não se divide por zero.

A tem ordem n ≥ 2. B tem ordem n−1 e índices 1 ≤ i,j ≤ n−1. Para p=1 não há fator de correção. Para p=0, a divisão é inválida: troque filas com controle de sinal ou escolha outro método. Não apague simplesmente a primeira linha e coluna.

A e B são quadradas da mesma ordem positiva. Não exige que AB=BA. O resultado pode ser zero. Não use det(A) ou det(B) para fatores retangulares, mesmo que o produto seja quadrado.

A é quadrada e r é inteiro. Para r≥1, use Binet repetidamente, inclusive quando det(A)=0. Para r=0, A⁰=I e seu determinante é um; esse caso é declarado separadamente para não usar 0⁰ escalar. Potências negativas dependem da inversa, tema da próxima aula.

A e B são quadradas da mesma ordem. Pode haver igualdade em casos particulares, mas não é identidade geral. Na ordem um a igualdade vale. A linearidade em uma única fila, com todas as outras fixas, continua válida.

A é real quadrada. Esse é o critério de singularidade. Suas linhas e colunas apresentam dependência linear: existe uma combinação com coeficientes não todos nulos que dá a fila nula. Determinante não nulo caracteriza matriz não singular. A relação com a existência da inversa será desenvolvida na próxima aula; determinante zero não significa matriz nula.

A é real quadrada de ordem n ≥ 1. Use transposição e det(−A)=(−1)ⁿdet(A). Na ordem par o determinante não é obrigatoriamente zero. Ser simétrica também não obriga determinante zero.

A é real quadrada. Aplicam-se Binet e a igualdade do determinante da transposta. A desigualdade vale porque o quadrado de um real é não negativo; não significa que todas as entradas de AAᵀ sejam positivas.

As colunas u=(a,c) e v=(b,d) descrevem dois lados adjacentes saindo do mesmo vértice, em coordenadas com a mesma unidade por eixo. As barras externas são módulo do número. A área é não negativa; determinante zero significa figura degenerada, achatada e com área zero. Trocar as colunas muda o sinal, conservando a área.

P, Q e R são pontos no mesmo plano e com unidades coerentes. u e v são as colunas dos lados com origem em P; (u v) é a matriz 2×2 com essas duas colunas, não o produto delas. A diagonal divide o paralelogramo em dois triângulos de áreas iguais. Pontos colineares ou coincidentes dão zero.

P, Q e R são pontos do plano. Subtrair a primeira linha das outras e expandir pela terceira coluna transforma D no determinante das diferenças de coordenadas. D=0 equivale a colinearidade, incluindo pontos coincidentes. Os uns não representam uma terceira coordenada espacial do problema.

T é uma matriz real 2×2 agindo em colunas de coordenadas. Para paralelogramos, decorre de Binet aplicado aos lados; para triângulos, basta dividir por dois. O fator vale para figuras planas mensuráveis, aquelas para as quais a medida de área está definida, por decomposição e aproximação. Determinante negativo reverte orientação; zero pode achatar uma figura de área positiva.

A é 3×3 e suas colunas são três lados saindo do mesmo vértice, com coordenadas espaciais em unidades coerentes. O desenho plano é uma projeção, não fornece ângulos ou comprimentos por aparência. Volume é não negativo; determinante zero significa lados em um mesmo plano e volume zero. O volume do tetraedro formado pelos três lados é V/6.

A e B são reais n×n, com n inteiro positivo. A inversa desfaz o produto nos dois sentidos. A⁻¹ não é a oposta −A nem a matriz dos recíprocos das entradas. A notação só é usada quando a inversa existe.

A, B e C são quadradas da mesma ordem, BA=I e AC=I. A associatividade permite reagrupar sem trocar fatores. Assim qualquer inversa à esquerda e qualquer inversa à direita, se ambas existirem, coincidem.

A é real quadrada e inversível. Binet dá det(A)det(A⁻¹)=1, logo det(A)≠0. A recíproca, determinante não nulo implica existência da inversa, é demonstrada pelo método de Gauss-Jordan e pela adjunta.

a é real e não nulo. A matriz (0) não possui inversa. Aqui o recíproco da única entrada funciona porque a multiplicação matricial se reduz à multiplicação de um número.

D é diagonal n×n, dᵢ é sua entrada diagonal da linha i e todos os dᵢ são não nulos. Os índices vão de um a n. As entradas fora da diagonal continuam zero; não se calcula 1/0. Para D=kI, a inversa é (1/k)I, com k≠0.

a, b, c e d são reais. Δ, lido delta, é det(A). Troque as duas entradas da diagonal principal, mude os sinais das outras e multiplique toda a matriz por 1/Δ. Se Δ=0, a inversa não existe; não divida por zero.

Rᵢ é uma linha inteira, k e c são reais e os índices são válidos. Desfaça respectivamente por nova troca, multiplicação por 1/k e soma de −cRⱼ. Na matriz aumentada, cada operação percorre os dois blocos completos e usa a matriz atual.

A é n×n. A seta representa uma sequência de operações elementares de linhas aplicadas aos dois blocos, até a esquerda se tornar a identidade. A matriz aumentada tem n linhas e 2n colunas; sua barra é separador, não determinante ou divisão. Se a esquerda não pode virar I, A não tem inversa.

E é o produto, na ordem aplicada, das matrizes elementares que reduzem A a I. Cada matriz elementar vem de fazer uma operação na identidade e é inversível, porque essa operação pode ser desfeita. A igualdade EA=I implica A=E⁻¹, logo também AE=I; não é preciso supor a inversa de A antes do argumento.

A é real quadrada. Cᵢⱼ=(−1)ⁱ⁺ʲMᵢⱼ é o cofator da entrada (i,j). A adjunta clássica, também chamada adjugata, é a transposta da matriz dos cofatores. Não é só C. Na ordem um, o cofator é um pela convenção do menor vazio.

A é quadrada, incluindo matrizes singulares. Na diagonal, a soma é uma expansão de Laplace; fora dela, é o determinante de uma matriz com duas filas iguais. A identidade não autoriza divisão por det(A) quando ele é zero.

A é real quadrada e det(A)≠0. A adjunta existe também no caso singular, mas a fórmula da inversa não. A fração é um número real que multiplica todas as entradas da adjunta.

A e B são n×n reais. Binet implica det(A)det(B)=1; ambas são inversíveis, e multiplicar AB=I à esquerda por A⁻¹ dá B=A⁻¹. Não estenda o resultado a retangulares: dimensões e identidades podem ser diferentes.

A é quadrada inversível. A própria A desfaz A⁻¹ nos dois sentidos. A identidade se desfaz sozinha.

Todos os fatores são quadrados da mesma ordem e inversíveis. Verifique os produtos dos dois lados por associatividade, sem trocar fatores. Um produto quadrado de fatores da mesma ordem é inversível se, e somente se, cada fator é inversível, por Binet.

A é real quadrada inversível. Transpor AA⁻¹=I e A⁻¹A=I fornece as duas identidades. Se A é simétrica, sua inversa também é simétrica.

A é quadrada inversível e k é real não nulo. Para k=0, kA é nula e não tem inversa. O fator 1/k multiplica a inversa inteira, não as entradas de A separadamente.

A é quadrada inversível; r é inteiro positivo e m,p,q são inteiros. ℤ representa o conjunto dos inteiros. A⁰=I. As leis combinam potências da mesma matriz. Não dão (AB)ʳ=AʳBʳ sem condições adicionais. Um expoente negativo não significa apenas trocar o sinal das entradas.

T é triangular quadrada e todas as entradas diagonais são não nulas. A inversa é triangular do mesmo tipo, com diagonal de recíprocos. As entradas restantes devem ser calculadas: não basta inverter a diagonal e copiar o resto. A inversa pode preencher posições que eram zero.

Q é real quadrada. A primeira identidade define uma matriz ortogonal e implica QQᵀ=I pelo resultado de inversa de um lado. Binet dá det(Q)²=1. Determinante ±1 sozinho não garante ortogonalidade.

N é quadrada e r é inteiro positivo. Uma matriz com alguma potência positiva nula é chamada nilpotente. Σ soma Nᵏ para o índice inteiro k de zero a r−1, com N⁰=I. Multiplicar I−N pela soma em qualquer ordem cancela termos e deixa I−Nʳ=I. Para r=1, N=O e a soma é somente I.

A é real n×n. A implicação Ax=0 ⇒ x=0 deve valer para toda coluna real x de tamanho n×1. Também equivalem: n pivôs na eliminação; Gauss-Jordan reduzir A a I; e Ax=b ter uma única solução para toda coluna real b. A seta dupla significa se, e somente se. Uma única equação Ax=b com A singular não é resolvida pela fórmula da inversa.

A é real n×n e a desigualdade estrita vale para cada linha i de um a n. O módulo da entrada diagonal supera a soma dos módulos das outras entradas da linha. Isso garante inversibilidade. A condição é suficiente, não necessária; trocar > por ≥ sem outras hipóteses não basta. Pela transposição, há uma versão por colunas.

A é quadrada inversível e as dimensões dos produtos são compatíveis. Cancele multiplicando pela inversa do mesmo lado do fator A. Ser apenas não nula não garante cancelamento. Fora dos quadrados, outras condições podem permitir cancelamento, mas não são o critério desta aula.

A é n×n inversível, B é n×p e a incógnita X é n×p, com n,p positivos. Multiplique os dois membros à esquerda por A⁻¹. Há uma única solução, conferida substituindo em AX.

A é n×n inversível; B e X são p×n. Multiplique os dois membros à direita por A⁻¹. B não pode ser mudada de lado. A solução é única e deve ser verificada em XA.

A é n×n inversível, B é p×p inversível e C e X são n×p. A inversa de A entra pela esquerda e a de B pela direita. As ordens de A e B podem ser diferentes; X pode ser retangular.

A e B são quadradas inversíveis de ordens n e p. X, D e C são n×p. Primeiro desfaça os fatores externos pelos lados corretos; depois desfaça a subtração de D. Essa ordem conserva as dimensões e as operações ensinadas.

A e B são n×n, C e X são n×p. A fórmula final exige A+B inversível; as duas primeiras igualdades são equivalentes mesmo no caso singular. A e B serem inversíveis separadamente não garante inversa de A+B. Para XA+XB=C, fatore X à esquerda e multiplique pela inversa à direita.

A é n×n inversível e B é n×p. As mesmas operações de linhas em ambos os blocos produzem X=A⁻¹B à direita. O bloco da direita tem p colunas. Cada coluna resolve uma coluna de B; não é preciso formar A⁻¹ primeiro.

A e B têm dimensões compatíveis, X₀ é uma solução conhecida e N tem as mesmas dimensões de X₀. Toda solução de AX=B tem essa forma, pois a diferença X−X₀ satisfaz A(X−X₀)=O. Para XA=B, a condição correspondente é NA=O. A fórmula não fornece uma solução particular se nenhuma existe.

X é quadrada real. A igualdade X²=I garante a existência da inversa e faz a própria X desfazer o produto; essa matriz é chamada involutória. Não conclua que X seja apenas I ou −I: há outras matrizes e até famílias infinitas.

A é real 2×2 inversível. A transformação inversa divide as áreas pelo fator da transformação original. O sinal do determinante continua sendo o mesmo, pois um real não nulo e seu recíproco têm o mesmo sinal. Não confunda área com comprimento.

Os coeficientes aⱼ e o termo independente b são reais fixos. x₁,…,xₙ são as incógnitas, com n inteiro positivo. Não há produtos entre incógnitas, potências diferentes de um ou incógnitas em denominadores. Coeficientes podem ser zero.

Sᵢ é o conjunto das soluções da equação i, com m inteiro positivo. O símbolo ∩ significa interseção: uma mesma n-upla, na ordem fixada das incógnitas, precisa pertencer a todos os conjuntos. Aqui as soluções são reais.

m e n são inteiros positivos. i indica uma equação e j uma incógnita, com 1≤i≤m e 1≤j≤n. As variáveis têm a mesma ordem em todas as linhas; posições ausentes recebem coeficiente zero. A barra separa os termos independentes, não é divisão ou determinante.

A é m×n, x é n×1 e b é m×1. Cada linha do produto é uma equação. Não é necessário que A seja quadrada; o número de equações m pode ser diferente do número de incógnitas n.

cⱼ é a coluna j de A, com m entradas, e xⱼ é um número desconhecido. O sistema é compatível exatamente quando b é uma combinação linear dessas colunas. Somar múltiplos de colunas produz o mesmo produto Ax, sem trocar as coordenadas da incógnita.

Rᵢ é a linha inteira da matriz aumentada, incluindo b. k e λ são reais; λ é lido lambda. A troca, a divisão por k e a soma de −λRⱼ desfazem as operações. Use a matriz atual em cada passo. Multiplicar uma linha por zero não é equivalente.

p≠0 é o pivô da linha j e a é a entrada da mesma coluna na linha i, i≠j. A operação zera essa entrada e percorre todos os coeficientes e o termo independente. Se o candidato a pivô é zero, procure troca válida ou avance a coluna; não divida por zero.

A equação i está escalonada e aᵢₖ é seu primeiro coeficiente não nulo. As incógnitas de índice maior que k já foram calculadas ou são variáveis livres escolhidas. Se k=n, a soma vazia vale zero. O divisor aᵢₖ é não nulo.

Na forma reduzida, o pivô da linha i é um e o único não nulo de sua coluna k. ℓ, lido ele, indica qualquer outra linha, de um a m. Linhas nulas ficam no fim, e as posições iniciais das linhas não nulas avançam para a direita. Na forma apenas escalonada, pivôs não precisam valer um e podem existir não nulos acima deles.

A linha aparece após operações equivalentes e significa 0=c. Nenhuma atribuição das incógnitas pode satisfazê-la. Um pivô na coluna aumentada indica essa contradição. O valor c pode ser positivo ou negativo.

A linha é uma identidade e não acrescenta condição. Ela não garante sozinha infinitas soluções: outras linhas podem já determinar todas as incógnitas ou conter uma contradição.

SPD significa possível e determinado; SPI, possível e indeterminado; SI, impossível. Compatível ou consistente significa que há ao menos uma solução. A classificação se refere a equações lineares com incógnitas reais, antes de restrições adicionais como integralidade ou não negatividade.

A é m×n. O posto é o número de pivôs da forma escalonada, igual ao número de linhas não nulas dessa forma e ao máximo de linhas ou colunas linearmente independentes. Não conte as linhas não nulas antes de escalonar. Operações elementares de linhas preservam o posto.

A é real m×n e b é m×1. Com um único lado direito, o posto aumentado vale r ou r+1. Um pivô só na coluna aumentada torna os postos diferentes e produz contradição. Esse critério não exige A quadrada.

A tem n colunas de incógnitas e m linhas de equações. Os postos são calculados para o mesmo sistema. Primeiro verifique a compatibilidade; ter pivô em toda coluna de A não elimina uma possível contradição na coluna b.

O sistema é compatível, A tem n colunas e posto r. As colunas de incógnitas sem pivô dão as variáveis livres; cada uma recebe um parâmetro real independente. A coluna dos termos independentes não é uma incógnita nem uma variável livre.

A é m×n. Como r≤m, não pode haver solução real única: se o sistema for compatível, terá infinitas; se houver contradição, será impossível. Ter mais equações que incógnitas, por outro lado, não obriga incompatibilidade.

A é real m×n e o lado direito é a coluna nula m×1. A coluna x=0 sempre é solução, chamada trivial. Há solução não trivial se, e somente se, posto(A)<n. Um homogêneo nunca é impossível.

r é o posto de A e ν, lido nu, é sua nulidade: o número de parâmetros reais independentes de Ax=0. A igualdade é o teorema posto-nulidade. Os vetores-direção obtidos atribuindo um a uma variável livre e zero às outras geram todas as soluções homogêneas e são independentes.

xₚ é uma solução particular conhecida. Toda solução de Ax=b é soma dela com alguma solução v de Ax=0, e toda soma assim satisfaz Ax=b. Se o sistema original não tem solução particular, essa descrição não se aplica.

u e v são colunas n×1, α e β são reais, lidos alfa e beta. Vale para Ax=0 pela distributividade. Se Au=Av=b não nulo, então A(u+v)=2b, e a soma não resolve o mesmo lado direito. Combinações cujos coeficientes somam um conservam b.

A é n×n real. Determinante não nulo garante solução única para toda coluna b. Se det(A)=0, estude compatibilidade: pode haver nenhuma ou infinitas soluções. Não calcule determinante de uma matriz retangular para aplicar esse teste.

A é real n×n e Aⱼ é obtida substituindo apenas a coluna j de A por b, na mesma ordem de linhas. j vai de um a n. Os demais coeficientes ficam fixos. A condição D≠0 é necessária para essa divisão.

As equações são a₁x+b₁y=c₁ e a₂x+b₂y=c₂, com coeficientes reais e D≠0. Dₓ substitui a coluna de x; Dᵧ, a de y. Os índices distinguem as equações, não são expoentes.

A é quadrada. Se algum Dⱼ é não nulo, o sistema é impossível, pois Dⱼ=xⱼD seria necessário a qualquer solução. Todos os Dⱼ nulos não bastam para afirmar SPI: pode haver SI também. Use escalonamento ou postos, incluindo casos de posto baixo.

k e h são dados reais. Para k≠1, y=(h−4)/(k−1). Para k=1 e h=4, a equação vira identidade; para k=1 e h≠4, contradição. Essa expressão surge após eliminar x de x+y=2 e 2x+(k+1)y=h; a classificação usa o sistema inteiro.

Em duas incógnitas, uma equação com algum coeficiente não nulo representa uma reta; em três, um plano. A solução é a interseção comum de todas as condições. Coeficientes todos zero representam o espaço inteiro se bᵢ=0 ou o conjunto vazio se bᵢ≠0. Interseções de pares não garantem interseção de todas.

A é m×n, B é m×p e X é n×p; os sobrescritos entre parênteses indicam colunas, não potências. Cada coluna de B precisa ser compatível com A. Uma coluna impossível torna a equação matricial inteira impossível. Aplique as mesmas operações ao bloco [A|B].

A é real m×n; b percorre todas as colunas reais m×1. Isso exige pivô em cada linha dos coeficientes. Unicidade para cada sistema compatível exige posto(A)=n. Existência e unicidade para todo b ocorrem juntas exatamente quando m=n=posto(A).

Sℝ é o conjunto das soluções reais das equações lineares e D é o domínio do contexto, como quantidades inteiras não negativas. ∩ significa satisfazer as duas exigências. Uma família infinita real pode deixar apenas um número finito de soluções admissíveis; isso não altera sua classificação sobre os reais.