Determinantes

1Da matriz inteira a um único número

Na aula anterior, uma matriz serviu para organizar entradas e representar operações. Agora associaremos um número a cada matriz quadrada. Esse número, chamado determinante, ajuda a reconhecer quando as linhas trazem uma relação de dependência e a calcular fatores de área e volume. Ele não guarda toda a informação da matriz.

Retome o necessário: linhas são horizontais, colunas são verticais e ordem n significa n linhas e n colunas. A entrada aᵢⱼ fica na linha i, coluna j. Nesta aula, n é inteiro positivo, todos os elementos são reais e os índices começam em um. Precisaremos das quatro operações, de potências e das operações matriciais já ensinadas; regras novas serão construídas aqui.

\det(A)\in\mathbb R

A é uma matriz real quadrada de ordem n, com n inteiro positivo. det(A) é um número, e A é uma matriz. As barras verticais em torno de uma matriz quadrada também indicam determinante; barras em torno de um número indicam módulo. Matrizes não quadradas não têm determinante nesta teoria.

Exemplo resolvido · A matriz não é o determinante

Para $A=\begin{pmatrix}3&1\\2&4\end{pmatrix}$ , uma regra que aprenderemos dá $\det(A)=3\cdot4-1\cdot2=10$ . O que representa cada objeto?

Resolução

A tem quatro posições organizadas em duas linhas e duas colunas. Seu determinante é o único número dez, obtido por uma regra específica.
Escrever det(A)=10 não permite substituir A por dez em um produto matricial. Outras matrizes também podem ter determinante dez.

A é 2×2; det(A) é um número real.

A escrita $\begin{vmatrix}3&1\\2&4\end{vmatrix}$ também significa determinante. Já $|-10|=10$ é módulo: a distância de um número até zero. Um determinante pode ser negativo; as barras em torno da matriz não mandam tornar o resultado positivo. Vamos preferir det(A) quando houver risco de confusão.

Exemplo resolvido · Primeiro verifique a forma

Uma tabela 2×3 possui determinante nesta aula?

Resolução

Não. O determinante que estudamos está definido para matrizes quadradas.
Não complete com zeros nem apague uma coluna por conta própria: isso criaria outra matriz e outro problema.

Não há determinante dessa matriz 2×3.

2Começar pelas ordens um e dois

Na ordem um, a matriz possui somente uma entrada e o determinante é essa entrada. Na ordem dois, a regra combina os quatro elementos: produto da diagonal principal menos produto da diagonal secundária. As multiplicações acontecem antes da subtração.

\det\begin{pmatrix}a\end{pmatrix}=a

a é real. O resultado conserva o sinal da entrada: não se calcula o módulo dela.

\begin{gathered}A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\\\det(A)=ad-bc\end{gathered}

a, b, c e d são reais. Multiplique a diagonal principal e subtraia o produto da secundária. O sinal da subtração faz parte da regra, inclusive quando algum fator é negativo.

Exemplo resolvido · Um sinal que precisa continuar

Calcule $\det(\begin{pmatrix}-7\end{pmatrix})$ .

Resolução

A única entrada é menos sete. A definição não pede valor absoluto.

O determinante é −7.

Exemplo resolvido · Dois produtos, depois a diferença

Calcule o determinante de $A=\begin{pmatrix}3&1\\2&4\end{pmatrix}$ .

Resolução

A diagonal principal fornece 3·4=12; a secundária fornece 1·2=2.
Subtraia o segundo produto do primeiro: 12−2=10.

det(A)=10.

Os dois produtos usam diagonais diferentes: 3·4 na principal e 1·2 na secundária. O resultado é 12−2=10. As linhas do desenho orientam multiplicações, não representam um produto matricial.

A regra também admite entradas fracionárias, irracionais, negativas e zero. Um zero pode simplificar um dos produtos, mas não torna necessariamente o determinante nulo.

3Subtrair um produto negativo

Exemplo resolvido · Manter os parênteses até conferir o sinal

Se $B=\begin{pmatrix}-2&3\\4&-1\end{pmatrix}$ , encontre det(B).

Resolução

O primeiro produto é $(-2)(-1)=2$ . O segundo é $3\cdot4=12$ .
Portanto o resultado é 2−12=−10, que pode e deve ser negativo.

det(B)=−10.

Exemplo resolvido · A segunda multiplicação também pode ser negativa

Calcule det(C), com $C=\begin{pmatrix}1&-2\\3&4\end{pmatrix}$ .

Resolução

Pela regra, $1\cdot4-(-2)\cdot3=4-(-6)$ .
Subtrair menos seis equivale a somar seis, dando dez. Não troque o produto −6 pelo seu módulo.

det(C)=10.

Na ordem dois, resultado zero significa igualdade entre os dois produtos. Ele pode surgir sem nenhuma entrada zero: a matriz com linhas (1,2) e (2,4) tem determinante 4−4=0. Mais adiante veremos a relação entre essas linhas.

4Ordem três: organizar os seis produtos

Na ordem três, cada produto usa três entradas: uma por linha e uma por coluna. Existem seis escolhas sem repetir coluna. A regra de Sarrus reúne três produtos em uma soma P e os outros três em uma soma Q; o determinante é P−Q. As letras a até i da fórmula nomeiam entradas, e i nesse quadro não é um índice variável.

\begin{gathered}A=\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}\\P=aei+bfg+cdh\\Q=ceg+bdi+afh\\\det(A)=P-Q\end{gathered}

A é 3×3. Repita as duas primeiras colunas apenas como auxílio; a matriz continua sendo de ordem três. P e Q são somas de produtos com seus sinais numéricos, não somas de valores absolutos. Não estenda esse esquema a ordem quatro ou maior.

Para recordar as escolhas, copie as duas primeiras colunas à direita. As três diagonais que descem para a direita formam P; as três que sobem para a direita formam Q. A tabela auxiliar tem cinco colunas, mas a matriz original permanece 3×3. O sinal externo de cada grupo não substitui os sinais das entradas.

Exemplo resolvido · Um mesmo exemplo para comparar métodos

Calcule det(A), sendo $A=\begin{pmatrix}2&1&0\\3&-1&4\\1&2&5\end{pmatrix}$ .

Resolução

Em P: $2(-1)5=-10$ , $1\cdot4\cdot1=4$ e $0\cdot3\cdot2=0$ . Assim P=−6.
Em Q: $0(-1)1=0$ , $1\cdot3\cdot5=15$ e $2\cdot4\cdot2=16$ . Assim Q=31.
Faça a diferença entre as somas completas: −6−31=−37.

det(A)=−37.

Os dois painéis repetem a mesma tabela auxiliar. No primeiro, as três diagonais descendentes dão −10, 4 e 0. No segundo, as ascendentes dão 0, 15 e 16. Subtraímos o segundo grupo completo.

Sarrus é uma regra específica para a ordem três. Na ordem quatro há 24 escolhas de uma entrada por linha e coluna, e copiar colunas não produz todas elas com os sinais corretos. Para ordens maiores, precisamos de um método geral.

5Retirar uma linha e uma coluna: menor e cofator

Para reduzir uma matriz quadrada a outra menor, escolha uma posição e retire a linha e a coluna que passam por ela. A matriz restante tem ordem uma unidade menor. O seu determinante é o menor complementar dessa posição. Chamaremos esse número de Mᵢⱼ; a letra maiúscula aqui não nomeia a matriz restante.

M_{ij}=\det(A_{\widehat i\widehat j})

A tem ordem n ≥ 2. A matriz A com os índices i e j riscados é obtida retirando a linha i e a coluna j; sua ordem é n−1. Mᵢⱼ é o número calculado a partir dessa matriz, e não a matriz restante. 1 ≤ i,j ≤ n.

O cofator Cᵢⱼ usa esse menor e um fator de sinal que depende da posição: +1 quando i+j é par e −1 quando é ímpar. O padrão começa com mais no canto superior esquerdo e alterna como um tabuleiro. O sinal do cofator final ainda depende do valor do menor.

C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}

A tem ordem n ≥ 2 e os índices são válidos. Soma i+j par dá fator +1; soma ímpar dá −1. Isso não garante que o cofator seja positivo ou negativo, pois o próprio menor pode ter qualquer sinal. Para ordem um, pode-se usar o determinante vazio igual a um, dando C₁₁=1.

Exemplo resolvido · Elemento, menor e cofator são três números distintos

Na matriz $A=\begin{pmatrix}2&1&0\\3&-1&4\\1&2&5\end{pmatrix}$ , encontre $a_{23}$ , $M_{23}$ e $C_{23}$ .

Resolução

A entrada da linha dois, coluna três, é quatro.
Retirando essa linha e essa coluna, resta $\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ . Seu determinante é 4−1=3, logo M₂₃=3.
Como 2+3=5 é ímpar, $C_{23}=(-1)^5\cdot3=-3$ .

a₂₃=4, M₂₃=3 e C₂₃=−3.

A linha dois e a coluna três são riscadas. As entradas preservadas, 2 e 1 na primeira linha e 1 e 2 na segunda, formam a matriz do menor M₂₃=3. A posição (2,3) usa sinal menos; C₂₃=−3.

Exemplo resolvido · Casa de sinal mais não garante cofator positivo

Na mesma matriz, encontre $C_{11}$ .

Resolução

Retire linha um e coluna um: o menor vem de $\begin{pmatrix}-1&4\\2&5\end{pmatrix}$ .
Seu determinante é −5−8=−13. O fator de posição é +1, portanto o cofator continua −13.

C₁₁=−13.

Para n≥2, a retirada deixa ao menos uma entrada. Se quisermos incluir a ordem um nessa notação, adotamos determinante da matriz vazia igual a um: seu único cofator é um. Essa convenção é apenas a base da recorrência; não exige trabalhar com tabelas sem linhas nos exemplos.

6Laplace: somar entrada vezes seu cofator

Escolha uma linha completa ou uma coluna completa; chamaremos qualquer uma delas de fila. Para cada entrada dela, calcule o cofator da mesma posição, multiplique entrada por cofator e some todos os resultados. Essa expansão é chamada desenvolvimento de Laplace. Ela funciona em qualquer ordem; uma fila com muitos zeros dá menos contas.

\begin{array}{c|c}\text{linha }i&\text{coluna }j\\\det(A)=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}C_{ij}&\det(A)=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}C_{ij}\end{array}

\begin{gathered}\det(A)=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}C_{ij}\\\det(A)=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}C_{ij}\end{gathered}

Na primeira soma, fixe uma linha i e percorra suas colunas j. Na segunda, fixe uma coluna j e percorra suas linhas i. Escolha uma única fila completa; não misture entradas de filas diferentes. Cada cofator usa os índices da matriz original. Vale para n ≥ 2; com a convenção do menor vazio, também para n=1.

Σ, a letra grega sigma maiúscula, manda somar os termos do índice inicial ao final. Na expansão por uma linha i, i fica fixo e j percorre de um a n. Na expansão por uma coluna j, j fica fixo e i percorre de um a n. Os índices dos cofatores são os da matriz original, antes de retirar filas.

Exemplo resolvido · Expandir pela terceira coluna

Use a terceira coluna de $A=\begin{pmatrix}2&1&0\\3&-1&4\\1&2&5\end{pmatrix}$ .

Resolução

A soma é $0C_{13}+4C_{23}+5C_{33}$ . O termo com entrada zero vale zero sem calcular o cofator.
Já encontramos C₂₃=−3. Para C₃₃, o menor tem linhas (2,1) e (3,−1): determinante −2−3=−5, com fator de posição +1.
Logo $\det(A)=4(-3)+5(-5)=-12-25=-37$ .

O resultado coincide com Sarrus: −37.

Exemplo resolvido · Conferir pela primeira linha

Expanda a mesma matriz pela primeira linha.

Resolução

C₁₁=−13. Para C₁₂, o menor tem linhas (3,4) e (1,5), cujo determinante é 15−4=11; o sinal da posição torna C₁₂=−11.
A entrada da terceira coluna é zero. Assim a soma é 2(−13)+1(−11)+0=−37.

Escolher outra fila completa conserva o resultado.

Não some somente os cofatores, pois faltariam os fatores aᵢⱼ. Também não use um cofator de outra casa por ele ter valor mais fácil. A consistência entre as expansões será justificada pela definição geral a seguir.

7Reduzir uma ordem de cada vez

Uma expansão de ordem quatro produz determinantes de ordem três; outra expansão pode reduzi-los a ordem dois. Isso é um procedimento recursivo: cada passo recorre ao mesmo método em um tamanho menor. Use os zeros antes de iniciar contas extensas.

Exemplo resolvido · Uma matriz 4×4 com uma coluna conveniente

Calcule det(T), com $T=\begin{pmatrix}2&1&0&0\\0&3&4&0\\0&0&-1&2\\0&0&0&5\end{pmatrix}$ .

Resolução

Na primeira coluna só a entrada dois é não nula. O fator de posição (1,1) é positivo. Resta $2\det(\begin{pmatrix}3&4&0\\0&-1&2\\0&0&5\end{pmatrix})$ .
Expanda novamente pela primeira coluna: resta $2\cdot3\det(\begin{pmatrix}-1&2\\0&5\end{pmatrix})$ .
O determinante 2×2 é $(-1)5-2\cdot0=-5$ . O total é $2\cdot3(-5)=-30$ .

det(T)=−30.

Haverá um atalho para essa matriz triangular, mas o cálculo mostra de onde ele vem. Nem toda matriz grande precisa de uma expansão completa: combinar propriedades e operações de filas geralmente é mais eficiente.

8Por que há um valor único: escolhas e permutações

Para justificar os métodos, precisamos organizar as escolhas que apareceram em Sarrus. Uma permutação de 1,…,n é uma lista desses números sem repetição. Ela escolhe uma coluna para cada linha. Por exemplo, (2,3,1) escolhe as posições (1,2), (2,3) e (3,1). Toda coluna aparece uma vez.

Uma inversão é um par fora da ordem crescente: uma posição anterior tem valor maior que uma posterior. Em (2,3,1), os pares 2>1 e 3>1 dão duas inversões. Em (3,2,1), há três. O sinal da escolha é mais quando o número de inversões é par e menos quando é ímpar.

p_\sigma=\prod_{r=1}^{n}a_{r,\sigma(r)}\qquad\det(A)=\sum_{\sigma\in S_n}(-1)^{v(\sigma)}p_\sigma

\begin{gathered}p_\sigma=\prod_{r=1}^{n}a_{r,\sigma(r)}\\\det(A)=\sum_{\sigma\in S_n}(-1)^{v(\sigma)}p_\sigma\end{gathered}

n ≥ 1. Sₙ é o conjunto das permutações de 1,…,n. σ(r) escolhe a coluna da linha r, sem repetir colunas. v(σ) conta pares r<s com σ(r)>σ(s), chamados inversões. pσ é o produto das n entradas escolhidas. Π manda multiplicá-las, e Σ soma os n! produtos com seus sinais. Para n=1 há um único termo. Essa definição fundamenta as expansões e as propriedades.

Na fórmula, σ, lido sigma minúsculo, nomeia uma permutação; Sₙ reúne todas elas. σ(r) é a coluna escolhida na linha r; v(σ) conta as inversões. O símbolo Π, pi maiúsculo, manda multiplicar as entradas para r de um a n; chamamos esse produto de pσ. Σ soma esses produtos com seus sinais. Há n! escolhas, onde n! significa 1·2·…·n, chamado fatorial; 3!=6 e 4!=24.

Exemplo resolvido · Recuperar as primeiras regras

Como a definição gera as regras de ordem dois e três?

Resolução

Na ordem dois, a lista (1,2) tem zero inversões e dá +a₁₁a₂₂. A lista (2,1) tem uma inversão e dá −a₁₂a₂₁.
Na ordem três, (1,2,3), (2,3,1) e (3,1,2) têm sinal mais; (3,2,1), (2,1,3) e (1,3,2) têm sinal menos. São exatamente os seis produtos de Sarrus.
Na ordem um, a única lista é (1), sem inversões; o resultado é a única entrada.

As regras pequenas são casos da mesma definição.

Agora fixe a entrada da posição (i,j). Os termos que a usam precisam escolher as outras entradas nas linhas e colunas restantes. Eles correspondem às permutações do menor. Mover a linha i para o começo exige i−1 trocas vizinhas; mover a coluna j para o começo exige j−1. O fator combinado é (−1)ⁱ⁺ʲ⁻²=(−1)ⁱ⁺ʲ. Por isso a soma dos termos que usam aᵢⱼ é aᵢⱼCᵢⱼ. Agrupar todos os termos pela coluna escolhida numa linha fixa demonstra Laplace por essa linha; agrupar pela linha escolhida numa coluna fixa demonstra a versão por coluna.

Uma troca de dois lugares vizinhos inverte a paridade das inversões: o par trocado muda sua ordem e os outros pares mantêm a contagem total. Trocar lugares distantes r<s pode ser feito em 2(s−r)−1 trocas vizinhas, quantidade ímpar; portanto também inverte o sinal. Isso fundamenta o controle de sinais usado na demonstração, sem depender de uma escolha particular de expansão.

9Linhas e colunas: transpor não altera o valor

A transposta troca todos os índices: a posição (i,j) passa a (j,i). Uma escolha de uma entrada por linha e coluna continua sendo uma escolha válida depois da transposição. Na linguagem de permutações, a nova lista é a permutação inversa, que desfaz a escolha anterior.

\det(A^T)=\det(A)

A é quadrada. A transposta troca linhas por colunas; na soma de permutações, cada escolha corresponde à permutação inversa, que tem a mesma paridade. Não se confunde transpor com trocar duas filas.

Por que o sinal é o mesmo? Uma inversão r<s com σ(r)>σ(s) corresponde, na lista inversa, ao par de valores σ(s)<σ(r) que aparecem em ordem invertida. Essa correspondência é reversível, logo o número de inversões é igual. Os produtos numéricos também são iguais, apenas reordenados. Somando, obtemos det(Aᵀ)=det(A). Assim, cada propriedade provada para linhas terá uma versão para colunas.

Exemplo resolvido · As entradas mudam de posição, mas o número se conserva

Compare $A=\begin{pmatrix}2&3\\1&4\end{pmatrix}$ com sua transposta.

Resolução

det(A)=2·4−3·1=5.
A transposta tem linhas (2,1) e (3,4), logo seu determinante é 2·4−1·3=5.

Os dois determinantes valem cinco.

Transpor é diferente de trocar duas linhas. Também não confunda determinante com a soma da diagonal principal: nessa matriz, a soma é seis, enquanto o determinante vale cinco.

10Uma fila por vez: fatores e somas

Em cada produto da definição aparece exatamente uma entrada de cada linha. Se multiplicarmos uma linha inteira por um número α, lido alfa, cada produto recebe um fator α. Se uma linha for u+v, cada produto se separa em duas parcelas pela distributividade. As demais linhas precisam continuar fixas. Essa propriedade se chama linearidade em uma fila; valer para cada fila separadamente é chamado multilinearidade.

Na fórmula, u e v são linhas com n entradas; α e β, lidos alfa e beta, são números reais. Dᵢ(w) significa colocar a linha w na posição i e manter todas as outras linhas. Não é multiplicação de D por i ou w.

\begin{gathered}D_i(\alpha u+\beta v)\\=\alpha D_i(u)+\beta D_i(v)\end{gathered}

Dᵢ(w) significa o determinante da matriz cuja linha i é w, mantendo todas as outras linhas fixas. u e v têm n entradas, α e β são reais. A mesma regra vale para uma coluna. Não é uma regra para somar duas matrizes inteiras.

Exemplo resolvido · Tirar um fator de uma linha

Compare $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix}$ e $B=\begin{pmatrix}3&6\\3&5\end{pmatrix}$ .

Resolução

det(A)=5−6=−1. A primeira linha de B é três vezes a primeira de A e a outra linha não mudou.
Assim det(B)=3(−1)=−3. Diretamente: 3·5−6·3=15−18=−3.

Um único fator três sai do determinante.

Exemplo resolvido · Separar somente uma linha em duas parcelas

Calcule o determinante de $C=\begin{pmatrix}1+4&2-1\\3&5\end{pmatrix}$ separando a primeira linha.

Resolução

A primeira parcela usa a linha (1,2), mantendo a segunda (3,5); seu determinante é −1.
A segunda parcela usa (4,−1) sobre a mesma segunda linha; seu determinante é 20+3=23.
A soma é −1+23=22. Conferindo C com linha (5,1), temos 25−3=22.

A separação da fila dá 22.

Para colunas, o raciocínio é o mesmo pela transposição. Mais adiante veremos por que mudar todas as filas de uma vez não autoriza somar determinantes de matrizes inteiras.

11Trocar duas filas muda o sinal; filas iguais dão zero

Trocar duas linhas apenas reordena as escolhas da definição geral, mas cada escolha passa a ter sinal oposto: uma troca tem paridade ímpar, como vimos. Portanto o determinante muda de sinal. Se as duas linhas são iguais, a troca deixa a matriz como estava; o número precisa ser igual ao seu oposto. Sobre os reais, isso obriga que seja zero.

\det(B)=-\det(A)

B é obtida de A trocando duas linhas distintas ou duas colunas distintas, com n ≥ 2. Uma troca inverte o sinal; s trocas multiplicam por (−1)ˢ. Trocar uma linha por uma coluna não é essa operação.

R_i=R_j\Longrightarrow\det(A)=0

A é quadrada e i≠j. Rᵢ e Rⱼ representam linhas inteiras; também vale para colunas. A troca deixa a matriz igual e exige determinante oposto, logo ele é zero sobre os reais.

Exemplo resolvido · Uma troca e duas trocas

Comece com $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ .

Resolução

O determinante inicial é 4−6=−2.
Trocando as duas linhas, obtemos linhas (3,4) e (1,2), cujo determinante é 6−4=2.
Trocando também as duas colunas, obtemos linhas (4,3) e (2,1): determinante 4−6=−2. Duas inversões de sinal se anulam.

Uma troca inverte; duas trocas conservam o sinal inicial.

Exemplo resolvido · Reconhecer antes de calcular

Qual é det(B), com $B=\begin{pmatrix}2&1&4\\3&0&5\\2&1&4\end{pmatrix}$ ?

Resolução

A primeira e a terceira linhas são iguais. Trocá-las não altera a matriz, mas troca o sinal do determinante.
Se D=−D, então 2D=0, e D=0.

det(B)=0.

As condições se referem a filas inteiras e distintas. Repetir dois números isolados não basta. Para a ordem um não há duas filas distintas que possam ser trocadas.

12Filas nulas, proporcionais e combinações

Se uma linha inteira é zero, cada produto da definição contém um fator zero. Se uma linha é um múltiplo de outra, tire o fator e sobram filas iguais. Se uma linha é soma de múltiplos das demais, separe a soma pela linearidade: cada parcela contém duas filas iguais. Todos esses casos anulam o determinante.

R_i=0\Longrightarrow\det(A)=0

A é quadrada, inclusive de ordem um. A linha inteira é nula; um elemento zero isolado não basta. Também vale para uma coluna nula.

\begin{gathered}R_i=\sum_{\substack{j=1\\j\ne i}}^n\lambda_jR_j\\\Longrightarrow\det(A)=0\end{gathered}

A é quadrada de ordem n ≥ 2 e i é uma linha válida. A soma percorre as linhas j de um a n, excluindo i. As linhas Rⱼ são somadas entrada a entrada, com coeficientes reais λⱼ, lidos lambda j. Duas filas proporcionais são um caso particular; não é preciso haver um par proporcional. A mesma afirmação vale para colunas.

Exemplo resolvido · Proporcionalidade com fator negativo

Considere $A=\begin{pmatrix}2&-1&3\\-4&2&-6\\1&0&2\end{pmatrix}$ .

Resolução

A segunda linha é −2 vezes a primeira, em todas as posições.
Retirar o fator −2 deixa duas linhas iguais, cujo determinante é zero. Multiplicar zero por −2 continua dando zero.

det(A)=0.

Exemplo resolvido · Determinante nulo sem um par de filas proporcionais

Analise $B=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&1&3\\2&-1&1\end{pmatrix}$ .

Resolução

A terceira linha é duas vezes a primeira menos a segunda: (2,0,4)−(0,1,3)=(2,−1,1).
Expandir essa combinação na terceira linha dá duas parcelas, ambas com filas repetidas. Logo o resultado é zero.
Nenhum par de linhas é proporcional. Portanto procurar somente pares pode deixar uma dependência passar despercebida.

det(B)=0 por uma combinação de linhas.

Uma combinação linear de filas é uma soma de múltiplos delas, entrada a entrada. Dizemos que há dependência linear quando uma combinação com coeficientes não todos nulos dá a fila nula. Uma relação que expressa uma fila pelas outras produz essa dependência: leve todos os termos para um mesmo lado. A ligação completa com determinante zero será retomada depois da eliminação.

13Criar zeros sem mudar o determinante

Substitua uma linha pela soma dela com um múltiplo de outra linha, mantendo a outra linha no lugar. Pela linearidade, o novo determinante é o antigo mais uma parcela com duas filas proporcionais. A parcela extra é zero. Essa é a operação que permite criar zeros com segurança.

R_i\leftarrow R_i+kR_j\quad(i\ne j)

A matriz é quadrada e k é real. Só a linha i é substituída; a linha j permanece. O novo determinante é igual ao antigo. Cada operação usa a matriz atual. Também vale para colunas. Não autoriza substituir a linha apenas por kRⱼ.

Exemplo resolvido · A linha que permanece é essencial

Em $A=\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}$ , faça $R_2\leftarrow R_2-2R_1$ .

Resolução

R₁ e R₂ representam a primeira e a segunda linhas. A seta significa substituir a linha indicada pelo resultado da conta.
A nova segunda linha é (5,3)−2(2,1)=(1,1). A primeira continua (2,1).
Antes: 2·3−1·5=1. Depois: 2·1−1·1=1.

A operação conserva o determinante um.

\begin{gathered}R_i\leftarrow\alpha R_i+\beta R_j\\\det(B)=\alpha\det(A)\end{gathered}

i≠j; α e β são reais, e as demais linhas ficam fixas. Para α=1, conserva. Para α=0, o resultado é zero e a operação perde informação; não pode ser desfeita por divisão. Vale também para colunas.

Exemplo resolvido · Multiplicar a própria linha também precisa entrar no registro

Se det(A)=7 e somente a linha três vira 2R₃−5R₁, qual é o novo determinante?

Resolução

Pela linearidade, a contribuição da própria linha é 2det(A). A contribuição com R₁ na posição três tem duas linhas proporcionais e vale zero.
O resultado é 2·7=14. Não é sete: o coeficiente da linha original foi dois.

O novo determinante é 14.

A versão para colunas é igualmente válida. Se o coeficiente da própria fila é zero, a operação não é reversível e pode apagar informação. Não faça divisões por esse coeficiente. Execute uma operação por vez usando os valores da matriz atual.

14Triangulares, identidade e diagonal secundária

Uma matriz triangular superior tem zeros abaixo da diagonal principal; uma inferior tem zeros acima. Expandir a superior pela primeira coluna deixa somente a primeira entrada diagonal, depois a segunda, e assim por diante. O resultado é o produto da diagonal. A inferior é a transposta de uma superior, então tem a mesma regra.

\det(T)=\prod_{i=1}^{n}t_{ii}

T é triangular superior ou inferior, de ordem n ≥ 1. Multiplique a diagonal principal, mesmo que inclua zeros. Vale para diagonal e escalar. Não vale para uma matriz quadrada qualquer.

\det(I_n)=1\qquad\det(O_{n\times n})=0

\begin{gathered}\det(I_n)=1\\\det(O_{n\times n})=0\end{gathered}

n é inteiro positivo. A identidade tem diagonal principal de uns e a nula tem diagonal de zeros. Matrizes de determinante um não precisam ser a identidade.

Exemplo resolvido · Zeros fora da diagonal simplificam tudo

Calcule det(U), com $U=\begin{pmatrix}2&7&-1\\0&-3&4\\0&0&4\end{pmatrix}$ .

Resolução

A matriz é triangular superior. Multiplicamos as três entradas da diagonal principal.
O resultado é $2(-3)4=-24$ . Os valores sete, menos um e quatro acima da diagonal não entram no produto final.

det(U)=−24.

Exemplo resolvido · Diagonal zero só decide quando a estrutura permite

Compare $T=\begin{pmatrix}2&1\\0&0\end{pmatrix}$ e $H=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ .

Resolução

T é triangular e tem produto diagonal zero, logo det(T)=0.
H não é triangular. Seu determinante é 0−1=−1, embora a diagonal principal seja toda zero.

Diagonal principal com zero não basta em uma matriz geral.

\det(A)=(-1)^{n(n-1)/2}\prod_{i=1}^{n}a_{i,n+1-i}

\begin{aligned}\det(A)&=(-1)^{n(n-1)/2}\\&\quad\cdot\prod_{i=1}^{n}a_{i,n+1-i}\end{aligned}

A tem ordem n ≥ 1 e todas as entradas fora da diagonal secundária são zero. Inverter a ordem das colunas exige n(n−1)/2 trocas adjacentes. Não se aplica só porque a matriz tem elementos destacados na secundária.

Exemplo resolvido · Uma troca escondida na diagonal secundária

Calcule det(J), com $J=\begin{pmatrix}0&0&2\\0&3&0\\4&0&0\end{pmatrix}$ .

Resolução

Só a diagonal secundária pode ter entradas não nulas. Seu produto é 2·3·4=24.
Inverter a ordem de três colunas tem três inversões, logo o fator é −1. Equivalentemente, trocar a primeira com a terceira coluna torna J diagonal e inverte o sinal uma vez.

det(J)=−24.

Na fórmula geral, n(n−1)/2 conta os pares invertidos ao reverter uma lista de n colunas. A condição de zeros fora da secundária é indispensável. Não substitua o determinante de uma matriz qualquer pelo produto dessa diagonal.

15Blocos quadrados com uma região inteira de zeros

Às vezes uma matriz maior pode ser dividida em retângulos menores, chamados blocos. Se os blocos na diagonal são quadrados B e C e todo o bloco abaixo deles é nulo, o determinante é det(B)det(C), mesmo que o bloco acima contenha números. Essa é uma matriz triangular por blocos.

\det\begin{pmatrix}B&E\\O&C\end{pmatrix}=\det(B)\det(C)

B e C são blocos quadrados de ordens positivas; E e O têm dimensões compatíveis, e O é o bloco inteiro nulo. Vale também com bloco nulo no alto à direita. Na matriz diagonal por blocos, ambos os blocos fora da diagonal são nulos. Não multiplique determinantes de blocos se a condição não for satisfeita.

Para ver por quê, use a definição por escolhas. Se uma linha do bloco de baixo escolher uma entrada do bloco nulo à esquerda, o produto terá um fator zero e não contribuirá para a soma. Portanto, nos produtos que podem ser não nulos, essas linhas escolhem somente colunas do bloco C e ocupam todas elas. As linhas de cima ficam obrigadas a escolher no bloco B. Os produtos e seus sinais se separam nas duas escolhas internas, e somar todas elas dá o produto dos dois determinantes. A versão com bloco superior direito nulo segue pela transposição.

Exemplo resolvido · Dois cálculos pequenos dentro de uma matriz grande

Se $A=\begin{pmatrix}1&2&7&8\\3&4&9&1\\0&0&2&1\\0&0&5&3\end{pmatrix}$ , calcule det(A).

Resolução

O bloco inferior esquerdo 2×2 é inteiramente zero. B tem linhas (1,2),(3,4); C tem linhas (2,1),(5,3).
det(B)=4−6=−2 e det(C)=6−5=1. Pela regra dos blocos, det(A)=det(B)det(C)=(−2)·1=−2. O bloco superior direito não altera esse produto.

det(A)=−2.

Uma matriz diagonal por blocos tem os dois blocos fora da diagonal nulos e é um caso particular. Se aparecer um número não nulo na região que deveria ser toda zero, essa regra não está justificada.

16Multiplicar uma linha ou a matriz inteira?

Multiplicar uma linha por k coloca um fator k no determinante. Multiplicar a matriz inteira por k multiplica todas as n linhas, portanto coloca n fatores. O resultado recebe kⁿ. Essa diferença é uma das principais fontes de erro.

\det(kA)=k^n\det(A)\qquad\det(-A)=(-1)^n\det(A)

\begin{gathered}\det(kA)=k^n\det(A)\\\det(-A)=(-1)^n\det(A)\end{gathered}

A tem ordem n ≥ 1 e k é real, incluindo zero. Cada uma das n linhas recebe o fator k. Multiplicar apenas uma linha dá um único fator k, e não kⁿ.

Exemplo resolvido · Três linhas, três fatores

Uma matriz A tem ordem três e det(A)=5. Quanto vale det(−2A)?

Resolução

Cada uma das três linhas foi multiplicada por −2. O fator total é (−2)³=−8.
Multiplicamos −8 por cinco, obtendo −40. Se somente uma linha tivesse sido multiplicada por −2, o resultado seria −10.

det(−2A)=−40.

Exemplo resolvido · Retirar fatores diferentes de filas diferentes

Calcule det(B), com $B=\begin{pmatrix}2&4&0\\0&3&6\\5&0&5\end{pmatrix}$ .

Resolução

Retire dois da primeira linha, três da segunda e cinco da terceira. O fator externo é 2·3·5=30.
A matriz restante é $\begin{pmatrix}1&2&0\\0&1&2\\1&0&1\end{pmatrix}$ . Por Sarrus, $P=1\cdot1\cdot1+2\cdot2\cdot1+0\cdot0\cdot0=1+4=5$ e $Q=0\cdot1\cdot1+2\cdot0\cdot1+1\cdot2\cdot0=0$ . Logo o determinante restante é $P-Q=5$ .
Portanto det(B)=30·5=150.

det(B)=150.

Para k=0, a matriz inteira se torna nula e kⁿ=0 porque n é positivo. Para k=−1, a ordem par conserva o determinante e a ordem ímpar inverte seu sinal. Retirar um fator de uma coluna também produz somente um fator externo.

17Triangularizar e registrar cada alteração

Eliminação significa criar zeros, coluna por coluna, até obter uma matriz triangular. O pivô é a entrada não nula usada para eliminar as entradas abaixo dela. Se o candidato a pivô for zero, procure uma linha abaixo com entrada não nula naquela coluna e troque as linhas. Uma entrada zero sozinha não permite concluir que o determinante é zero.

Para anular uma entrada b abaixo de um pivô p≠0, subtraia b/p vezes a linha do pivô da linha de b. Essa substituição conserva o determinante. A troca de linhas inverte o sinal; multiplicar uma linha por α multiplica por α. Registre tudo antes de usar o produto da diagonal final.

\det(A)=\frac{(-1)^s\prod_{i=1}^{n}u_{ii}}{\alpha_1\cdots\alpha_q}

U é obtida de A por s trocas de linhas, q multiplicações de uma linha por números não nulos α₁,…,αq e quaisquer somas de múltiplos de outra linha. U é triangular. Sem multiplicações de linha, o produto no denominador vale um. Todos os fatores devem ser registrados; não se divide por zero.

Exemplo resolvido · Um pivô zero pede uma troca

Calcule det(A), com $A=\begin{pmatrix}0&2&1\\1&-1&2\\2&2&3\end{pmatrix}$ .

Resolução

Troque R₁ com R₂. A matriz passa a ter linhas (1,−1,2), (0,2,1), (2,2,3). Uma troca foi registrada.
Faça R₃←R₃−2R₁, usando a linha atual: (2,2,3)−(2,−2,4)=(0,4,−1). Essa operação conserva.
Faça R₃←R₃−2R₂: (0,4,−1)−(0,4,2)=(0,0,−3). A triangular final U tem diagonal (1,2,−3).
det(U)=−6. Como uma troca inverteu o sinal e as demais operações conservaram, det(A)=−det(U)=6.

det(A)=6.

A matriz original tem determinante seis. Depois de trocar as duas primeiras linhas e fazer duas substituições que conservam o valor, a triangular tem diagonal 1, 2, −3 e determinante menos seis. A troca deve ser desfeita no resultado.

Exemplo resolvido · Conferir o divisor depois de normalizar uma linha

Uma matriz A virou triangular U após duas trocas e uma multiplicação de linha por três. A diagonal de U é (1,2,6). Determine det(A).

Resolução

O produto diagonal de U é doze. As duas trocas dão fator +1 e a multiplicação da linha dá fator três.
Logo 12=3det(A), e det(A)=4. O fator três pertence à matriz transformada, então dividimos para recuperar a original.

det(A)=4.

Na fórmula, s conta trocas e α₁,…,αq são os fatores usados em multiplicações de linha; q é a quantidade dessas operações. Se não houve nenhuma, o denominador é um. Todos esses fatores devem ser não nulos para recuperar o valor original. Não multiplique a linha inteira pelo pivô e depois esqueça a correção.

18Condensação de Chió: reduzir com um pivô

Outra forma de reduzir a ordem é condensar a matriz usando a entrada do canto superior esquerdo, chamada p. Para cada posição restante, faça p vezes essa entrada menos o produto entre a entrada da mesma linha na primeira coluna e a entrada da mesma coluna na primeira linha. A nova matriz B tem ordem n−1. O pivô precisa ser não nulo.

\begin{gathered}p=a_{11}\ne0\qquad b_{ij}=p\,a_{i+1,j+1}-a_{i+1,1}a_{1,j+1}\\\det(A)=\frac{\det(B)}{p^{n-2}}\end{gathered}

\begin{gathered}p=a_{11}\ne0\\\begin{aligned}b_{ij}&=p\,a_{i+1,j+1}\\&\quad-a_{i+1,1}a_{1,j+1}\end{aligned}\\\det(A)=\frac{\det(B)}{p^{n-2}}\end{gathered}

A tem ordem n ≥ 2. B tem ordem n−1 e índices 1 ≤ i,j ≤ n−1. Para p=1 não há fator de correção. Para p=0, a divisão é inválida: troque filas com controle de sinal ou escolha outro método. Não apague simplesmente a primeira linha e coluna.

Exemplo resolvido · Pivô dois exige correção

Aplique a condensação a $A=\begin{pmatrix}2&1&0\\3&2&1\\1&0&2\end{pmatrix}$ .

Resolução

O pivô é p=2. As quatro entradas novas são: 2·2−3·1=1; 2·1−3·0=2; 2·0−1·1=−1; 2·2−1·0=4.
Assim $B=\begin{pmatrix}1&2\\-1&4\end{pmatrix}$ e det(B)=4+2=6.
Como n=3, o divisor é pⁿ⁻²=2. Portanto det(A)=6/2=3.

det(A)=3.

A demonstração também explica o divisor. Multiplique cada uma das n−1 linhas abaixo da primeira por p; o determinante recebe pⁿ⁻¹. Depois, em cada uma delas, subtraia a entrada original da primeira coluna vezes a primeira linha. A primeira coluna fica (p,0,…,0), e o bloco restante é B. Expandir por essa coluna dá pdet(B). Portanto pⁿ⁻¹det(A)=pdet(B). Como p≠0, podemos dividir por p e obter det(B)=pⁿ⁻²det(A).

Para pivô um, não há divisor adicional: essa é a forma mais conhecida da regra de Chió. Na ordem dois, B tem uma entrada e p⁰=1. Se p=0, a fórmula com divisão não serve; trocar filas pode produzir um pivô válido, desde que o sinal seja registrado. Se uma fila inteira é nula, o determinante já está resolvido.

19Determinante de um produto: teorema de Binet

Para matrizes quadradas da mesma ordem, calcular o determinante do produto equivale a multiplicar os determinantes. Não é necessário que as matrizes comutem, isto é, que AB=BA. Essa propriedade é conhecida como teorema de Binet.

\det(AB)=\det(A)\det(B)

A e B são quadradas da mesma ordem positiva. Não exige que AB=BA. O resultado pode ser zero. Não use det(A) ou det(B) para fatores retangulares, mesmo que o produto seja quadrado.

Exemplo resolvido · Evitar um produto matricial desnecessário

A e B têm ordem três, com det(A)=−2 e det(B)=5. Quanto vale det(AB)?

Resolução

As duas matrizes são quadradas da mesma ordem, então Binet se aplica.
Multiplique os números −2 e cinco, obtendo −10.

det(AB)=−10.

Vamos justificar em qualquer ordem. A linha i de AB é a soma das linhas de B, com coeficientes aᵢ₁,…,aᵢₙ: a regra linha-coluna confirma isso em cada posição. Expanda o determinante usando a linearidade em cada linha, uma de cada vez. Cada parcela escolhe uma linha de B para cada linha do resultado e recebe o produto dos coeficientes correspondentes.

Se uma parcela escolhe a mesma linha de B duas vezes, seu determinante é zero. As escolhas que restam são as permutações de todas as linhas de B. A permutação σ produz o determinante de B multiplicado pelo sinal (−1)ᵛ⁽σ⁾. Logo det(B) é fator comum. A soma dos coeficientes com esses sinais é justamente a definição de det(A). Assim det(AB)=det(A)det(B), inclusive quando um dos determinantes é zero.

Exemplo resolvido · Fatores retangulares não ganham determinantes

Considere $P=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}$ e $Q=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}$ .

Resolução

PQ=I₂ e det(PQ)=1. QP é diagonal de ordem três com diagonal (1,1,0), portanto det(QP)=0.
P e Q são retangulares; det(P) e det(Q) não estão definidos nesta teoria. Não podemos usar Binet nos fatores nem concluir que esses dois produtos têm determinantes iguais.

Binet exige fatores quadrados da mesma ordem.

20Potências e produtos em outra ordem

Aplicar Binet repetidamente calcula o determinante de uma potência inteira positiva. Para a potência zero, usamos a convenção A⁰=I e obtemos determinante um. Esse caso é separado para evitar uma escrita ambígua de 0⁰ quando det(A)=0.

\begin{gathered}\det(A^r)=\det(A)^r\quad(r\ge1)\\\det(A^0)=1\end{gathered}

A é quadrada e r é inteiro. Para r≥1, use Binet repetidamente, inclusive quando det(A)=0. Para r=0, A⁰=I e seu determinante é um; esse caso é declarado separadamente para não usar 0⁰ escalar. Potências negativas dependem da inversa, tema da próxima aula.

Exemplo resolvido · Expoente par não conserva um sinal negativo

Se det(A)=−3, encontre det(A⁴) e det(A⁰).

Resolução

Na quarta potência, o determinante é (−3)⁴=81.
Na potência zero, A⁰ é a identidade e seu determinante é um, mesmo se o determinante de A fosse zero.

det(A⁴)=81 e det(A⁰)=1.

Exemplo resolvido · Mesmos determinantes não significam produtos iguais

Use $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ e $B=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}$ .

Resolução

Pelo produto linha-coluna, $AB=\begin{pmatrix}2&3\\0&3\end{pmatrix}$ e $BA=\begin{pmatrix}2&2\\0&3\end{pmatrix}$ . São matrizes diferentes.
Por serem triangulares, ambas têm determinante seis. Também podemos usar det(A)det(B)=1·6.

det(AB)=det(BA) não implica AB=BA.

Potências negativas exigem uma inversa e não estão definidas para toda matriz. Sua condição de existência e a fórmula do determinante da inversa serão construídas na próxima aula.

21O que o determinante não permite concluir

\begin{gathered}\det(A+B)\\\ne\det(A)+\det(B)\\\text{em geral}\end{gathered}

A e B são quadradas da mesma ordem. Pode haver igualdade em casos particulares, mas não é identidade geral. Na ordem um a igualdade vale. A linearidade em uma única fila, com todas as outras fixas, continua válida.

Exemplo resolvido · Somar matrizes inteiras é outra operação

Tome A=B=I₂. Compare det(A+B) com det(A)+det(B).

Resolução

A+B=2I₂ tem diagonal (2,2), logo seu determinante é quatro.
A soma dos determinantes é 1+1=2. Como quatro não é dois, a identidade proposta falha.
A linearidade em uma fila mantém todas as outras fixas. Aqui foram alteradas as duas filas, por isso aquela propriedade não se aplica diretamente.

Em geral, det(A+B) não é det(A)+det(B).

Exemplo resolvido · Igualdade de determinantes não é igualdade de matrizes

Compare $D=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}$ e $E=\begin{pmatrix}1&0\\0&6\end{pmatrix}$ .

Resolução

Os dois produtos diagonais valem seis, mas as entradas não coincidem.
O determinante é apenas um número associado à matriz, não um código que identifica todas as suas posições.

det(D)=det(E)=6, embora D≠E.

Também não se pode dividir por det(A) sem verificar que ele é não nulo. Ter det(A)=0 não significa A=O, como mostram as matrizes com filas proporcionais que já estudamos. Ter det(A)=1 não significa A=I.

22Determinante zero e dependência de filas

Uma matriz quadrada com determinante zero é chamada singular; com determinante diferente de zero, não singular. Já provamos que uma fila como combinação das outras dá determinante zero. A recíproca também vale: determinante zero identifica uma dependência entre as filas.

\det(A)=0

A é real quadrada. Esse é o critério de singularidade. Suas linhas e colunas apresentam dependência linear: existe uma combinação com coeficientes não todos nulos que dá a fila nula. Determinante não nulo caracteriza matriz não singular. A relação com a existência da inversa será desenvolvida na próxima aula; determinante zero não significa matriz nula.

A eliminação ajuda a entender a recíproca. Busque pivôs não nulos e crie zeros abaixo deles, avançando para a próxima coluna quando não houver pivô. O resultado é uma forma escalonada: cada linha não nula começa mais à direita que a anterior, e linhas nulas ficam no fim. Uma matriz quadrada com pivô em todas as colunas termina triangular com diagonal não nula; pelas operações reversíveis, seu determinante não pode ser zero. Portanto, se o determinante é zero, a forma escalonada final tem menos de n pivôs e uma linha nula.

Cada linha final é combinação das linhas originais. Para registrar os coeficientes dessas combinações, aplique à identidade os mesmos passos feitos na matriz. Uma linha desse registro não pode se tornar nula: isso daria dependência entre as linhas do registro; desfazer as operações levaria a uma dependência entre as linhas da identidade, impossível porque cada coluna da identidade exige seu coeficiente igual a zero. Portanto, a linha nula da matriz escalonada tem uma combinação de coeficientes não todos nulos no registro. Ela fornece a dependência procurada entre as linhas originais. A transposição dá o resultado para colunas.

Exemplo resolvido · Zero não diz quantas soluções um sistema terá

Os sistemas x+y=2, 2x+2y=4 e x+y=2, 2x+2y=5 têm a mesma matriz dos coeficientes. O que acontece?

Resolução

A matriz dos coeficientes tem linhas (1,1) e (2,2), com determinante zero.
No primeiro sistema, a segunda igualdade é o dobro da primeira e há infinitas soluções.
No segundo, dobrar a primeira daria quatro, mas o dado exige cinco: não há solução. O determinante zero sozinho não escolhe entre essas duas situações.

É necessário considerar também os termos independentes.

A próxima aula ligará determinante não nulo à existência da matriz inversa. A quarta aula da matéria tratará a classificação dos sistemas pelo método matricial; não é necessário dominar esses temas para calcular determinantes agora.

23Parâmetros: equações, sinais e domínio

Um parâmetro é uma letra que representa diferentes valores possíveis de um dado. Se as entradas dependem de t, o determinante também depende. Primeiro declare onde todas as entradas existem; depois calcule a expressão e resolva a condição pedida, conservando esse domínio.

Exemplo resolvido · Quando a matriz é singular?

Para quais reais t a matriz $A(t)=\begin{pmatrix}t&1\\4&t\end{pmatrix}$ tem determinante zero?

Resolução

Todas as entradas existem para qualquer t real. O determinante é t²−4.
Fatore: t²−4=(t−2)(t+2). O produto é zero quando t=2 ou t=−2.
Para qualquer outro t real, a matriz é não singular. Nos dois valores encontrados, substitua na expressão e confira que ela dá zero.

A(t) é singular exatamente para t=−2 ou t=2.

Exemplo resolvido · Se a condição for um sinal

Para a mesma A(t), quando det(A(t)) é negativo?

Resolução

Precisamos de t²−4<0, isto é, t²<4.
Isso equivale a −2<t<2. Os extremos fazem o determinante zero e ficam excluídos da desigualdade estrita.

O intervalo é −2<t<2.

Exemplo resolvido · Uma entrada fracionária restringe antes de simplificar

Analise $B(t)=\begin{pmatrix}\frac{1}{t-1}&1\\1&t\end{pmatrix}$ . Ela pode ter determinante zero?

Resolução

A matriz só existe para t≠1. Esse valor permanece excluído até o fim.
O determinante é $\frac{t}{t-1}-1$ . Como $t\ne1$ , escrevemos $1=\frac{t-1}{t-1}$ e subtraímos com denominador comum: $\det(B(t))=\frac{t-(t-1)}{t-1}=\frac{t-t+1}{t-1}=\frac1{t-1}$ .
Uma fração com numerador um não pode ser zero. Logo não há valor permitido que torne a matriz singular. t=1 não é uma matriz singular: é um dado fora do domínio.

Não há zeros do determinante no domínio t≠1.

24Usar simetria e transposta com as hipóteses certas

Uma matriz antissimétrica real satisfaz Aᵀ=−A. Pela transposição, det(Aᵀ)=det(A); pelo fator −1 na matriz inteira, det(−A)=(−1)ⁿdet(A). Se n é ímpar, obtemos det(A)=−det(A), logo det(A)=0.

\begin{gathered}A^T=-A,\quad n\text{ ímpar}\\\Longrightarrow\det(A)=0\end{gathered}

A é real quadrada de ordem n ≥ 1. Use transposição e det(−A)=(−1)ⁿdet(A). Na ordem par o determinante não é obrigatoriamente zero. Ser simétrica também não obriga determinante zero.

Exemplo resolvido · A ordem par muda a conclusão

A matriz $K=\begin{pmatrix}0&2\\-2&0\end{pmatrix}$ é antissimétrica. Seu determinante é zero?

Resolução

A transposta é a oposta, então K é antissimétrica. Mas sua ordem é dois, que é par.
O determinante é 0−2(−2)=4. A conclusão de determinante nulo exigia ordem ímpar.

det(K)=4.

\det(AA^T)=\det(A)^2\ge0

A é real quadrada. Aplicam-se Binet e a igualdade do determinante da transposta. A desigualdade vale porque o quadrado de um real é não negativo; não significa que todas as entradas de AAᵀ sejam positivas.

Exemplo resolvido · Um produto pode ter determinante não negativo

Se A é quadrada real e det(A)=−5, calcule det(AAᵀ).

Resolução

Por Binet, det(AAᵀ)=det(A)det(Aᵀ). A transposta conserva o determinante.
Assim o resultado é (−5)²=25. O quadrado garante não negatividade do número, sem afirmar que todas as entradas do produto sejam positivas.

det(AAᵀ)=25.

Uma matriz simétrica pode ter determinante positivo, negativo ou zero: I₂, a diagonal com (1,−1) e a nula quadrada são exemplos. Simetria sozinha não determina esse sinal.

25Dois lados no plano: área e orientação

Um par de coordenadas pode representar um deslocamento: quanto caminhar na horizontal e na vertical. Aqui usaremos a palavra vetor para esse deslocamento. Dois vetores u=(a,c) e v=(b,d), saindo do mesmo ponto, formam lados adjacentes de um paralelogramo. Coloque-os nas colunas da matriz. O módulo do determinante é a área.

\mathcal A=\left|\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\right|

As colunas u=(a,c) e v=(b,d) descrevem dois lados adjacentes saindo do mesmo vértice, em coordenadas com a mesma unidade por eixo. As barras externas são módulo do número. A área é não negativa; determinante zero significa figura degenerada, achatada e com área zero. Trocar as colunas muda o sinal, conservando a área.

Exemplo resolvido · Uma área calculada sem medir um ângulo

Os lados são u=(3,1) e v=(1,2), em uma mesma unidade de comprimento. Calcule a área do paralelogramo.

Resolução

As colunas formam $A=\begin{pmatrix}3&1\\1&2\end{pmatrix}$ . Seu determinante é 3·2−1·1=5.
O módulo de cinco é cinco. A área é cinco unidades quadradas.
Trocar as colunas dá determinante −5, mas a área permanece cinco. O sinal registra orientação, não uma área negativa.

Área igual a 5 unidades quadradas.

Os pontos O=(0,0), U=(3,1), W=(4,3) e V=(1,2) delimitam o paralelogramo. Os eixos usam a mesma escala. O triângulo OUV é metade da figura e tem área 5/2.

Podemos justificar a fórmula sem trigonometria. Se a≠0, deslize cada seção vertical da figura pela regra (x,y)↦(x,y−cx/a). Ela apenas desloca os segmentos de cada coordenada horizontal, mantendo seus comprimentos e, portanto, a área. Os lados passam a (a,0) e (b,d−cb/a). A base tem comprimento |a| e a altura é |d−cb/a|. O produto é |ad−bc|.

Se a=0 e c≠0, troque os eixos, uma reflexão que conserva área, e aplique o argumento anterior. Se a=c=0, um dos lados é nulo e a área é zero, como o determinante. Isso cobre também sinais negativos e figuras achatadas. No plano com x para a direita e y para cima, determinante positivo significa que o giro menor de u para v é anti-horário; negativo, horário; zero significa lados alinhados, inclusive lado nulo.

A matriz também envia os lados (1,0) e (0,1) do quadrado unitário para suas duas colunas. Assim |det(A)| é a área da imagem desse quadrado. O caso det(A)=0 mostra geometricamente a perda de uma direção independente.

26Triângulos, diferenças de coordenadas e alinhamento

Um triângulo ocupa metade do paralelogramo construído com seus dois lados a partir de um vértice. Se o vértice não é a origem, subtraia suas coordenadas das coordenadas dos outros dois pontos. Isso dá os deslocamentos corretos e não muda a área. Na fórmula, u e v são esses deslocamentos escritos como colunas; (u v) reúne as duas colunas em uma matriz 2×2.

\begin{gathered}u=\begin{pmatrix}x_Q-x_P\\y_Q-y_P\end{pmatrix}\qquad v=\begin{pmatrix}x_R-x_P\\y_R-y_P\end{pmatrix}\\\mathcal A_{PQR}=\frac12|\det(u\ v)|\end{gathered}

\begin{gathered}u=\begin{pmatrix}x_Q-x_P\\y_Q-y_P\end{pmatrix}\\v=\begin{pmatrix}x_R-x_P\\y_R-y_P\end{pmatrix}\\\mathcal A_{PQR}=\frac12|\det(u\ v)|\end{gathered}

P, Q e R são pontos no mesmo plano e com unidades coerentes. u e v são as colunas dos lados com origem em P; (u v) é a matriz 2×2 com essas duas colunas, não o produto delas. A diagonal divide o paralelogramo em dois triângulos de áreas iguais. Pontos colineares ou coincidentes dão zero.

Exemplo resolvido · Começar fora da origem

Encontre a área do triângulo com P=(1,1), Q=(4,2) e R=(2,3).

Resolução

Saindo de P, os lados são Q−P=(4−1,2−1)=(3,1) e R−P=(2−1,3−1)=(1,2).
O determinante das colunas é $3\cdot2-1\cdot1=6-1=5$ . O paralelogramo tem área $|5|=5$ ; o triângulo tem metade: $\mathcal A=|5|/2=5/2$ .

Área do triângulo igual a 5/2 unidades quadradas.

\begin{gathered}D=\det\begin{pmatrix}x_P&y_P&1\\x_Q&y_Q&1\\x_R&y_R&1\end{pmatrix}\\\mathcal A_{PQR}=\frac{|D|}{2}\end{gathered}

P, Q e R são pontos do plano. Subtrair a primeira linha das outras e expandir pela terceira coluna transforma D no determinante das diferenças de coordenadas. D=0 equivale a colinearidade, incluindo pontos coincidentes. Os uns não representam uma terceira coordenada espacial do problema.

A versão 3×3 escreve um na última coluna. Subtraia a primeira linha das outras duas: as linhas de baixo ficam com diferenças de coordenadas e zero na terceira posição. Expandindo pela terceira coluna, só sobra o um da posição (1,3), com fator positivo. O menor contém os dois deslocamentos nas linhas; transpor para colunas não muda seu determinante. Isso demonstra a equivalência entre as duas fórmulas.

Exemplo resolvido · Descobrir uma coordenada de um ponto alinhado

P=(1,1), Q=(4,2) e R=(7,t). Para quais valores de t os pontos são colineares?

Resolução

Colineares significa que cabem em uma mesma reta. A área do triângulo deve ser zero.
Os deslocamentos a partir de P são (3,1) e (6,t−1). O determinante é 3(t−1)−6=3t−9.
Para resolver 3t−9=0, somamos nove aos dois lados: 3t=9. Dividindo por três, t=3. Os pontos (1,1),(4,2),(7,3) confirmam o mesmo deslocamento (3,1) entre vizinhos.

t=3.

Pontos coincidentes também produzem área zero e satisfazem a condição de colinearidade. Não divida pelo determinante para testar alinhamento: aqui buscamos justamente quando ele é zero. Em problemas de área, mantenha o módulo até analisar os possíveis sinais.

27Quanto uma transformação altera a área

\begin{gathered}\mathcal A_{\text{imagem}}\\=|\det(T)|\,\mathcal A_{\text{original}}\end{gathered}

T é uma matriz real 2×2 agindo em colunas de coordenadas. Para paralelogramos, decorre de Binet aplicado aos lados; para triângulos, basta dividir por dois. O fator vale para figuras planas mensuráveis, aquelas para as quais a medida de área está definida, por decomposição e aproximação. Determinante negativo reverte orientação; zero pode achatar uma figura de área positiva.

Exemplo resolvido · Módulo para a área, sinal para a orientação

A transformação $T=\begin{pmatrix}2&0\\0&-1\end{pmatrix}$ age sobre um triângulo de área 5/2. Qual é a nova área?

Resolução

T dobra a coordenada x e troca o sinal da coordenada y. O determinante é −2.
O fator de área é |−2|=2. A nova área é 2·(5/2)=5.
O sinal negativo indica inversão de orientação. Não há área final negativa.

A área da imagem é 5 unidades quadradas.

Exemplo resolvido · Uma transformação pode achatar sem ser a matriz nula

O que faz $H=\begin{pmatrix}1&2\\0&0\end{pmatrix}$ com uma figura do plano?

Resolução

A coluna (x,y) se torna (x+2y,0), sempre sobre o eixo horizontal.
O determinante de H é zero. A imagem de qualquer triângulo ou paralelogramo tem área zero, mesmo que H tenha entradas não nulas.

A figura perde área porque todas as imagens ficam numa reta.

Para polígonos, decomponha em triângulos e some as áreas. Para figuras planas mensuráveis mais gerais, isto é, aquelas para as quais a medida de área está definida, a mesma regra se estende por aproximação por regiões poligonais. Não se usa o fator para comprimentos: uma transformação pode ampliar diferentes direções de modos distintos, embora tenha um único fator de área.

28Três lados no espaço: volume sem sinal negativo

No espaço, um deslocamento tem três coordenadas. Três lados saindo do mesmo vértice formam um paralelepípedo, que pode ser inclinado. Coloque os três deslocamentos nas colunas de uma matriz 3×3. Seu volume é o módulo do determinante. Coordenadas do desenho projetado na tela não substituem os dados espaciais.

V=|\det(A)|

A é 3×3 e suas colunas são três lados saindo do mesmo vértice, com coordenadas espaciais em unidades coerentes. O desenho plano é uma projeção, não fornece ângulos ou comprimentos por aparência. Volume é não negativo; determinante zero significa lados em um mesmo plano e volume zero. O volume do tetraedro formado pelos três lados é V/6.

Exemplo resolvido · Uma base e uma altura que podem ser conferidas

Os lados são u=(2,0,0), v=(1,3,0) e w=(0,1,4). Calcule o volume.

Resolução

A matriz das colunas é $A=\begin{pmatrix}2&1&0\\0&3&1\\0&0&4\end{pmatrix}$ . Ela é triangular e tem determinante 2·3·4=24.
O módulo é 24 unidades cúbicas. Conferindo geometricamente: a base no plano z=0 tem área 2·3=6, e a altura vertical do terceiro lado é quatro; 6·4=24.

Volume igual a 24 unidades cúbicas.

Projeção esquemática do paralelepípedo com lados u=(2,0,0), v=(1,3,0) e w=(0,1,4). A base está no plano z=0, tem área seis e a altura é quatro. Comprimentos e ângulos aparentes da projeção não são medidas espaciais.

A razão geral é compatível com a eliminação. Somar a um lado um múltiplo de outro desliza camadas paralelas à base, conservando o volume; trocar lados conserva o sólido; multiplicar um lado por k multiplica o volume por |k|. São os mesmos efeitos das operações de colunas no módulo do determinante. Reduza a matriz a uma triangular por essas operações: os produtos de base e altura nessa forma são os módulos das entradas diagonais. Revertendo as operações, obtemos V=|det(A)| para o sólido original. Se não houver três direções independentes, os lados cabem num plano e ambos os valores são zero.

O tetraedro é uma pirâmide de base triangular. Aquele que usa o vértice comum e as três extremidades tem um sexto desse volume. A base triangular é metade da base do paralelepípedo e o volume da pirâmide é um terço de base vezes altura. Assim V/2/3=V/6, incluindo o caso degenerado, de volume zero.

29Escolher o método e conferir a sequência

Verifique primeiro se a matriz é quadrada e se todas as entradas existem no domínio.
Procure filas nulas, iguais ou combinações evidentes. Depois confira se há estrutura triangular, antidiagonal ou por blocos.
Na ordem dois, use ad−bc. Na ordem três, compare Sarrus com Laplace pela fila mais simples.
Para ordens maiores, use Laplace com zeros, eliminação com registro ou condensação com pivô não nulo e divisor correto.
Depois do cálculo, confira fatores, trocas, sinal, domínio e unidade. Se a aplicação pede área ou volume, use módulo; caso contrário, preserve o sinal do determinante.

Exemplo resolvido · Operações simultâneas podem apagar a condição da regra

Na identidade I₂, substitua as duas linhas por R₁+R₂ usando os valores originais. O determinante permanece um?

Resolução

O resultado tem duas linhas (1,1), logo seu determinante é zero. Cada linha foi alterada ao mesmo tempo; nenhuma ficou fixa como exige a regra de substituição.
Se fizer R₁←R₁+R₂ primeiro, a matriz terá linhas (1,1),(0,1). Depois, R₂←R₂+R₁ deve usar a primeira linha já atualizada; o resultado terá linhas (1,1),(1,2), com determinante um.

Separe as operações e use sempre a matriz atual.

Esta aula forneceu os determinantes que serão usados na próxima, Matriz inversa e equações matriciais. A inversa será definida antes de apresentar métodos, fórmulas e condições de existência. Não trate det(A)≠0 apenas como um passo decorativo: é uma condição que precisa ser verificada antes das divisões que surgirão.

30Agora é com você

O banco contém trinta questões: 26 objetivas e quatro discursivas. Comece por forma, notação e pequenos cálculos; depois use cofatores, propriedades, operações, parâmetros e aplicações. Nas discursivas, registre as transformações, justifique as condições e confira o resultado com outro método quando for conveniente.

Questão 1 de 300 conferidas

Compreensão · Objetiva

Qual matriz admite determinante na teoria desta aula?

AUma matriz 2×3.BUma matriz 3×3.CUma matriz 3×2.DToda matriz que possui pelo menos um zero.

Ative o JavaScript para conferir alternativas interativamente. Todas as questões e resoluções estão disponíveis abaixo.[data-exercise][hidden],[data-solution][hidden]{display:block}.exercise-controls,[data-check-answer],.exercise-progress{display:none}

31O que guardar desta aula

O determinante associa um número real a uma matriz real quadrada de ordem positiva. A matriz e o determinante são objetos distintos; matrizes retangulares não recebem esse número nesta teoria.
Na ordem um, o determinante é a entrada com seu sinal. Na ordem dois, é ad−bc. Barras de determinante não significam tornar o resultado positivo.
Sarrus organiza seis produtos e vale somente para a ordem três. Os produtos mantêm os sinais das entradas e o segundo grupo é subtraído por inteiro.
O menor complementar é o determinante da matriz obtida retirando uma linha e uma coluna. O cofator multiplica esse número por (−1)ⁱ⁺ʲ; o sinal da posição não determina sozinho o sinal final.
Laplace soma entrada vezes seu cofator em uma única linha ou coluna completa. Uma fila com zeros reduz as contas, e os índices dos cofatores são os originais.
A definição geral soma escolhas de uma entrada por linha e coluna, com sinais dados pela paridade das inversões das permutações. Ela justifica os métodos e as propriedades.
Transpor conserva o determinante. Multiplicar uma fila por k multiplica o número por k; separar uma soma em uma fila exige manter as outras fixas.
Trocar duas filas distintas inverte o sinal. Filas iguais, nulas, proporcionais ou uma fila como combinação das outras dão determinante zero.
Somar a uma fila um múltiplo de outra conserva o determinante. Substituir Rᵢ por αRᵢ+βRⱼ multiplica por α; a reversão exige α não nulo.
O determinante triangular é o produto da diagonal principal. A identidade tem determinante um e a nula quadrada tem zero. Uma diagonal principal zero não decide o caso geral.
Na matriz apoiada na secundária, há o fator (−1)ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾⁄². Na triangular por blocos, o produto dos determinantes exige blocos diagonais quadrados e um bloco inteiro nulo fora da diagonal.
Multiplicar a matriz inteira por k produz o fator kⁿ, pois altera n linhas. O efeito de −A depende da paridade da ordem.
Eliminação usa pivôs não nulos e operações registradas. Recuperar o determinante original exige desfazer sinais e fatores. Chió também exige pivô não nulo e divisor pⁿ⁻².
Binet afirma det(AB)=det(A)det(B) para fatores quadrados da mesma ordem, sem exigir comutatividade. Não se aplica a fatores retangulares.
Potências positivas recebem a mesma potência do determinante. A potência matricial zero é a identidade, cujo determinante é um, tratada separadamente. Potências negativas dependem de inversa.
O determinante da soma não é, em geral, a soma dos determinantes. Igualdade dos determinantes não implica igualdade das matrizes ou dos produtos AB e BA.
Matriz singular tem determinante zero e dependência de filas. Isso não significa matriz nula nem decide sozinho entre sistema impossível e indeterminado.
Parâmetros exigem domínio antes da simplificação. Valor fora do domínio não é um caso singular. Condições de sinal podem exigir resolver uma inequação.
Antissimétrica real de ordem ímpar tem determinante zero; a ordem par não permite essa conclusão. Para A quadrada real, det(AAᵀ)=det(A)² é não negativo.
Módulo do determinante dos lados dá área de paralelogramo ou volume de paralelepípedo. Triângulo usa metade da área, tetraedro usa um sexto do volume. Diferenças de coordenadas colocam os lados na mesma origem.
Determinante zero na fórmula de área caracteriza alinhamento, incluindo pontos coincidentes. Uma transformação 2×2 multiplica áreas por |det(T)|; o sinal negativo reverte orientação.

Esta é a segunda das quatro aulas planejadas de Matrizes. A próxima é Matriz inversa e equações matriciais; depois virá Sistemas lineares por matrizes. Fórmulas e Revisão da matéria reúnem as aulas já disponíveis.