Matrizes: conceitos e operações

1Uma tabela em que cada posição tem significado

Duas equipes registraram quantos kits entregaram em três dias. A equipe A entregou quatro, sete e dois; a equipe B entregou seis, um e cinco. Podemos organizar cada equipe em uma linha e cada dia em uma coluna. A posição de cada número informa a quem e a qual dia ele pertence.

Exemplo resolvido · Ler antes de fazer contas

A tabela numérica é $A=\begin{pmatrix}4&7&2\\6&1&5\end{pmatrix}$ . Quantas linhas, colunas e posições ela tem?

Resolução

São duas linhas horizontais, uma por equipe, e três colunas verticais, uma por dia.
Há duas vezes três posições, totalizando seis entradas. Trocar a ordem das equipes ou dos dias muda a interpretação das posições.

Duas linhas, três colunas e seis entradas.

As linhas são as equipes e as colunas são os dias. A entrada cinco está na linha dois, coluna três. O cruzamento da linha e da coluna identifica uma única posição.

Uma matriz é uma organização retangular de números em linhas e colunas. Cada número é uma entrada, também chamada elemento. Nesta aula, as entradas são reais: podem ser positivas, negativas, zero, frações ou irracionais. Os parênteses ou colchetes delimitam a matriz; as categorias e unidades ficam descritas no contexto.

\begin{gathered}A=(a_{ij})_{m\times n}\\1\le i\le m\\1\le j\le n\\mn\text{ entradas}\end{gathered}

m e n são inteiros positivos: primeiro m linhas, depois n colunas. i e j são índices inteiros; i identifica a linha e j a coluna. Cada entrada aᵢⱼ é um número real nesta aula. A tem mn posições, mesmo que valores se repitam. A notação m×n descreve a forma, não uma multiplicação dos elementos.

A letra maiúscula A nomeia a matriz inteira. Em $m\times n$ , m conta linhas e n conta colunas; ambos são inteiros positivos. Lemos “m por n”, nessa ordem. O conjunto $\mathbb R$ representa os reais; $\mathbb N^*$ representa os inteiros positivos. No site, $\mathbb N$ inclui zero. Não trabalharemos com matrizes de zero linhas ou zero colunas nesta aula.

Exemplo resolvido · Mesma quantidade de entradas não é mesma forma

Compare uma matriz de tamanho 2×3 com outra de tamanho 3×2.

Resolução

Ambas têm seis posições. Porém, a primeira tem duas linhas e a segunda tem três.
Suas posições não têm a mesma organização; portanto as dimensões são diferentes. O total de entradas não substitui o par linhas e colunas.

Seis entradas em cada uma, mas formatos diferentes.

2Ler aᵢⱼ: primeiro a linha, depois a coluna

Escrevemos $a_{ij}$ para indicar uma entrada da matriz A. O primeiro índice i identifica a linha, e o segundo j identifica a coluna. São números inteiros dentro das dimensões declaradas; o subscrito não manda multiplicar i por j e não é expoente.

\begin{gathered}a_{ij}\\i:\ \text{linha}\\j:\ \text{coluna}\end{gathered}

Os índices precisam existir na matriz: 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. O subscrito não é produto nem expoente. Para índices de vários algarismos, use separação como a₂,₁₂ para indicar linha dois e coluna doze; a₂₁₂ sem separador pode ser ambíguo.

Exemplo resolvido · Localizar e conferir se a posição existe

Na matriz $A=\begin{pmatrix}4&7&2\\6&1&5\end{pmatrix}$ , encontre $a_{12}$ e $a_{23}$ . Existe $a_{32}$ ?

Resolução

$a_{12}=7$ : linha um e coluna dois. $a_{23}=5$ : linha dois e coluna três.
$a_{32}$ pediria a terceira linha, mas A tem só duas. Essa entrada não existe; não se atribui zero a uma posição ausente.

Sete e cinco; a posição da terceira linha não existe.

Para índices maiores, uma vírgula pode separar os dois números: em uma matriz com pelo menos duas linhas e doze colunas, $a_{2,12}$ significa linha dois, coluna doze. Isso evita confundir a escrita com outros pares de índices. Zero é um valor de entrada permitido, mas os índices desta convenção começam em um.

3Construir uma matriz por uma regra

Uma regra de formação diz como calcular o valor a partir da linha e da coluna. Primeiro declaramos o tamanho; depois substituímos cada par de índices existente. Não basta escrever uma expressão sem dizer quais posições devem ser preenchidas.

Exemplo resolvido · Substituir dois índices

Construa $A=(a_{ij})_{2\times3}$ com $a_{ij}=2i-j$ .

Resolução

Na primeira linha, i = 1 e j percorre 1, 2 e 3. Obtemos $2-1=1$ , $2-2=0$ e $2-3=-1$ .
Na segunda linha, i = 2. Obtemos $4-1=3$ , $4-2=2$ e $4-3=1$ . Cada linha recebe exatamente três entradas.

$A=\begin{pmatrix}1&0&-1\\3&2&1\end{pmatrix}$ .

Exemplo resolvido · Uma definição por casos

Construa a matriz 2×2 cuja entrada vale $i+j$ se $i=j$ e zero se $i\ne j$ .

Resolução

Nas posições (1,1) e (2,2), os índices coincidem; as entradas são dois e quatro.
Nas posições (1,2) e (2,1), os índices diferem; as entradas são zero. Os casos cobrem todas as posições.

A matriz é $\begin{pmatrix}2&0\\0&4\end{pmatrix}$ .

A expressão deve existir em todas as posições do domínio. A regra $a_{ij}=1/(i-j)$ , por exemplo, não define sozinha uma matriz real 2×2: nas duas posições com i = j o denominador seria zero. Uma regra por casos poderia tratar essas posições separadamente, mas precisa informá-lo.

4Matriz linha, coluna e nula

Uma matriz linha tem somente uma linha; uma matriz coluna tem somente uma coluna. Uma matriz pode repetir valores, e sua classificação depende da organização inteira. Uma matriz 1×1 tem uma linha e uma coluna ao mesmo tempo; sua única entrada é um número, mas o objeto está organizado como matriz.

Exemplo resolvido · Virar a disposição muda o tipo

Compare $L=\begin{pmatrix}2&0&-1\end{pmatrix}$ e $C=\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}$ .

Resolução

L é 1×3, matriz linha. C é 3×1, matriz coluna.
Os valores aparecem na mesma sequência de leitura, mas as dimensões são diferentes. L e C não são matrizes iguais.

Matriz linha e matriz coluna, respectivamente.

O_{m\times n}=(0)_{m\times n}

m,n ≥ 1 são inteiros. Todas as entradas são zero. O símbolo O representa uma matriz inteira, com dimensões, e não um único escalar. Matrizes nulas de tamanhos diferentes não são iguais. Uma matriz nula quadrada também é diagonal.

Exemplo resolvido · A dimensão da matriz nula importa

Uma matriz nula 2×3 e outra nula 3×2 são iguais?

Resolução

Todas as entradas das duas são zero, mas as quantidades de linhas e colunas diferem.
Cada matriz tem seis posições organizadas de modo diferente. A igualdade exige as mesmas dimensões.

Não são iguais.

Usaremos a letra O para uma matriz nula e indicaremos o tamanho quando houver dúvida. Em uma aplicação, uma entrada zero pode significar nenhuma unidade registrada; uma entrada ausente não é um zero automaticamente.

5Matrizes quadradas e suas diagonais

Uma matriz é quadrada quando tem a mesma quantidade de linhas e colunas. Se ela é n×n, dizemos que tem ordem n. A palavra ordem não indica a quantidade total de entradas: uma matriz de ordem três tem nove entradas.

A\text{ é }n\times n

n ≥ 1 é inteiro e recebe o nome de ordem da matriz quadrada. Uma matriz de ordem n tem n² entradas. Aqui chamamos de retangular não quadrada a matriz cujas quantidades de linhas e colunas são diferentes.

\begin{gathered}\text{principal}: i=j\\\text{secundária}: i+j=n+1\end{gathered}

A matriz é n×n e os índices vão de 1 a n. A principal vai do canto superior esquerdo ao inferior direito; a secundária, do superior direito ao inferior esquerdo. Em ordem ímpar, a posição central pertence às duas; em ordem par, elas não compartilham posição.

Exemplo resolvido · Identificar cada diagonal pelos índices

Na matriz $D=\begin{pmatrix}2&4&6\\1&3&5\\7&8&9\end{pmatrix}$ , identifique as duas diagonais e suas somas.

Resolução

A principal usa posições (1,1), (2,2), (3,3): valores dois, três e nove, cuja soma é quatorze.
A secundária usa posições (1,3), (2,2), (3,1): valores seis, três e sete, cuja soma é dezesseis. O centro três pertence às duas diagonais.

Principal: 2, 3, 9; secundária: 6, 3, 7.

Azul identifica a diagonal principal e amarelo identifica a secundária. A entrada central pertence às duas; as condições i=j e i+j=4 se encontram ali.

A principal vai do alto à esquerda até a parte inferior à direita. A secundária faz o outro percurso. Em ordem ímpar há uma posição comum, a central; em ordem par não há. A identificação por índices evita depender apenas da aparência do desenho.

6Diagonal, escalar e identidade

Uma matriz diagonal é quadrada e tem zero em todas as posições fora da diagonal principal. Os elementos da diagonal podem ser diferentes entre si e podem ser zero. Assim, a matriz nula quadrada é diagonal; uma nula não quadrada não recebe essa classificação aqui.

a_{ij}=0\quad\text{se }i\ne j

A é quadrada. A condição vale em toda posição fora da diagonal principal. As entradas da própria diagonal podem ser quaisquer reais, inclusive zero; não precisam ser iguais.

Exemplo resolvido · Zero na diagonal é permitido

A matriz $D=\begin{pmatrix}4&0&0\\0&0&0\\0&0&-2\end{pmatrix}$ é diagonal?

Resolução

Todas as posições fora da diagonal principal são nulas. O zero central não viola a definição.
A diagonal principal contém quatro, zero e −2, sem exigência de igualdade entre eles.

Sim, é uma matriz diagonal.

Uma matriz escalar é diagonal e tem o mesmo número real em toda a diagonal principal. Chamaremos esse número de $\lambda$ , letra grega lida lambda. A matriz identidade é o caso em que esse valor é um. A identidade não é a matriz que tem um em todas as posições.

d_{ij}=\begin{cases}\lambda&i=j\\0&i\ne j\end{cases}

n ≥ 1 e λ é um número real, lido lambda. D é diagonal de ordem n e todas as entradas da diagonal principal valem λ. O número λ é um escalar; D é a matriz inteira. Para λ = 0 temos a nula quadrada; para λ = 1 temos a identidade.

(I_n)_{ij}=\begin{cases}1&i=j\\0&i\ne j\end{cases}

Iₙ é quadrada de ordem n ≥ 1. Tem um em cada posição da diagonal principal e zero em todas as outras. Não é a matriz com todos os elementos iguais a um.

Exemplo resolvido · Comparar uma identidade e uma matriz cheia de uns

Compare $I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ com $U=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$ .

Resolução

A identidade tem um somente na diagonal principal e zero fora dela.
U tem entradas não nulas fora da diagonal; não é diagonal, escalar ou identidade. Uma matriz diagonal com −3 em cada posição da diagonal é escalar.

Somente a primeira é identidade.

7Zeros acima ou abaixo da diagonal

Uma matriz triangular superior é quadrada e tem zeros abaixo da diagonal principal. Uma triangular inferior tem zeros acima dela. O nome descreve a região em que podem ficar as entradas livres; não exige que essas entradas sejam todas não nulas.

\begin{array}{c|c}\text{superior}&\text{inferior}\\a_{ij}=0\ (i>j)&a_{ij}=0\ (i<j)\end{array}

\begin{gathered}\text{superior}:\\a_{ij}=0\ (i>j)\\\text{inferior}:\\a_{ij}=0\ (i<j)\end{gathered}

A matriz é quadrada. Superior exige zeros abaixo da diagonal principal; inferior exige zeros acima. A diagonal pode conter zeros. Ser superior e inferior ao mesmo tempo equivale a ser diagonal.

Exemplo resolvido · Reconhecer a região dos zeros

Classifique $U=\begin{pmatrix}3&-1&4\\0&0&2\\0&0&-5\end{pmatrix}$ .

Resolução

Abaixo da diagonal, as posições (2,1), (3,1) e (3,2) são zero: U é triangular superior.
Ela não é triangular inferior, porque há valores não nulos acima da diagonal. O zero na posição (2,2) é permitido.

Triangular superior.

Ser superior e inferior simultaneamente exige que as duas regiões fora da diagonal sejam zero. Isso equivale a ser diagonal. Portanto as classificações se sobrepõem: toda identidade é escalar, toda escalar é diagonal e toda diagonal é triangular dos dois tipos.

8Igualdade exige conferir todas as posições

Duas matrizes são iguais quando têm as mesmas dimensões e os mesmos números em cada posição correspondente. Ter os mesmos valores em outra ordem não basta. Se há incógnitas, cada posição fornece uma condição que deve ser satisfeita junto das demais.

\begin{gathered}A=B\Longleftrightarrow a_{ij}=b_{ij}\\\text{para todo }i,j\end{gathered}

A e B devem ter exatamente as mesmas dimensões; sob essa hipótese, a equivalência usa todos os pares de índices válidos. A seta dupla significa se, e somente se. Matrizes de dimensões diferentes são distintas mesmo que seus valores coincidam ou sejam todos zero. Todas as condições de uma igualdade devem ser verificadas.

Exemplo resolvido · Resolver e substituir para conferir

Determine x, y e z para que $A=\begin{pmatrix}x+2&4\\y&-1\end{pmatrix}$ seja igual a $B=\begin{pmatrix}7&4\\3&z\end{pmatrix}$ .

Resolução

Na posição (1,1), x+2 = 7, então x = 5. Na posição (2,1), y = 3. Na posição (2,2), z = −1.
A posição (1,2) já coincide, com valor quatro. Substituir os resultados faz todas as quatro entradas coincidirem.

x = 5, y = 3 e z = −1.

Exemplo resolvido · Duas condições possíveis não apagam uma contradição

É possível ter $\begin{pmatrix}x&1\\0&y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}$ ?

Resolução

As posições das incógnitas sugeririam x = 2 e y = 3.
Mas a posição (1,2) exigiria um igual a zero. Essa contradição independe dos valores das incógnitas.

Não há solução.

Exemplo resolvido · Regras diferentes podem dar a mesma matriz

Compare as regras min(i,j) e i+j−max(i,j), no mesmo domínio 2×3. min indica o menor dos dois números e max indica o maior.

Resolução

Se i≤j, o menor é i e o maior é j. Então i+j−max(i,j) = i+j−j = i.
Se i>j, o menor é j e o maior é i. Então i+j−max(i,j) = j. As regras coincidem em todo par de índices.

Ambas produzem $\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&2\end{pmatrix}$ .

9Transpor é trocar linhas por colunas

A transposta de A, escrita $A^T$ , troca as linhas de A por colunas na mesma ordem. A primeira linha vira a primeira coluna, e assim por diante. A letra T é uma indicação de operação, não um expoente numérico. Uma matriz m×n passa a ter tamanho n×m.

\begin{gathered}(A^T)_{ij}=a_{ji}\\(A^T)^T=A\end{gathered}

Se A é m×n, Aᵀ é n×m. Em Aᵀ, i vai de 1 a n e j de 1 a m. A letra T indica transposição, não potência numérica. Trocar linhas por colunas duas vezes recupera A; os valores não mudam de sinal.

Exemplo resolvido · Transportar cada posição para a posição invertida

Encontre a transposta de $A=\begin{pmatrix}1&-2&3\\4&0&5\end{pmatrix}$ .

Resolução

A primeira linha (1,−2,3) vira a primeira coluna; a segunda linha (4,0,5) vira a segunda.
A entrada −2 estava na posição (1,2) e passa para a posição (2,1). O valor e o sinal são preservados.

$A^T=\begin{pmatrix}1&4\\-2&0\\3&5\end{pmatrix}$ .

A entrada −2 da linha um e coluna dois aparece na linha dois e coluna um da transposta. A matriz 2×3 vira 3×2; transpor de novo devolve cada entrada à origem.

Transpor duas vezes desfaz a troca dos índices: primeiro (i,j) vira (j,i), depois retorna a (i,j). Por isso a transposta da transposta é a matriz original. Transpor não significa inverter a ordem dos números nem trocar seus sinais.

10Somar e subtrair posições correspondentes

A soma junta a entrada de uma posição com a entrada da mesma posição na outra matriz. Portanto as duas precisam ter exatamente as mesmas dimensões. Em tabelas aplicadas, também precisam usar a mesma ordem de categorias e unidades compatíveis: a posição deve significar a mesma coisa nas duas.

(A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\qquad(A-B)_{ij}=a_{ij}-b_{ij}

\begin{gathered}(A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\\(A-B)_{ij}=a_{ij}-b_{ij}\end{gathered}

A e B têm as mesmas dimensões m×n. Cada resultado conserva essas dimensões. Em dados aplicados, cada posição deve representar a mesma categoria e unidade nas duas tabelas. Não basta ter igual quantidade total de elementos.

Exemplo resolvido · Uma soma com sinais diferentes

Some $A=\begin{pmatrix}2&-1\\0&4\end{pmatrix}$ e $B=\begin{pmatrix}-3&5\\7&-2\end{pmatrix}$ .

Resolução

A primeira linha do resultado contém 2+(−3) = −1 e −1+5 = 4.
A segunda contém 0+7 = 7 e 4+(−2) = 2. A soma mantém tamanho 2×2.

$A+B=\begin{pmatrix}-1&4\\7&2\end{pmatrix}$ .

Exemplo resolvido · Na subtração, todos os sinais importam

Com as mesmas matrizes, calcule $A-B$ .

Resolução

As entradas da primeira linha são 2−(−3) = 5 e −1−5 = −6.
As da segunda são 0−7 = −7 e 4−(−2) = 6. Subtrair um valor negativo equivale a acrescentar seu oposto.

$A-B=\begin{pmatrix}5&-6\\-7&6\end{pmatrix}$ .

Não há soma matricial definida entre uma matriz 2×3 e outra 3×2, mesmo que ambas tenham seis entradas. Não se preenchem posições ausentes nem se muda a forma de uma delas para forçar a soma.

11O que a soma conserva dos números reais

Como somamos reais em cada posição, a ordem das duas matrizes pode ser trocada na adição. Também podemos reagrupar três matrizes de mesmo tamanho. Comutatividade é trocar a ordem; associatividade é trocar o agrupamento.

\begin{gathered}A+B=B+A\\(A+B)+C=A+(B+C)\end{gathered}

As três matrizes têm as mesmas dimensões. As propriedades vêm das somas de reais em cada posição. Associatividade troca o agrupamento; comutatividade troca a ordem. Subtração não é, em geral, comutativa nem associativa.

Por exemplo, a entrada (i,j) de $(A+B)+C$ é $(a_{ij}+b_{ij})+c_{ij}$ . A associatividade dos reais transforma isso em $a_{ij}+(b_{ij}+c_{ij})$ , que é a entrada correspondente de $A+(B+C)$ . Como todas as posições coincidem e o tamanho é o mesmo, as matrizes são iguais.

\begin{gathered}(-A)_{ij}=-a_{ij}\\A+(-A)=O\\A+O=O+A=A\end{gathered}

O tem as mesmas dimensões de A. A oposta inverte todos os sinais e é única: se A+B=O, cada bᵢⱼ é −aᵢⱼ. Oposta é o inverso aditivo; não deve ser confundida com matriz inversa multiplicativa, estudada em outra aula.

Exemplo resolvido · Encontrar a oposta

Qual é a oposta de $A=\begin{pmatrix}2&-1\\0&4\end{pmatrix}$ ?

Resolução

Trocamos o sinal de cada entrada: dois vira −2, −1 vira um e quatro vira −4; zero continua zero.
Somar a matriz original com essa matriz dá zero em todas as posições. Isso também prova a unicidade da oposta: cada entrada deve cancelar a correspondente.

$-A=\begin{pmatrix}-2&1\\0&-4\end{pmatrix}$ .

Subtração não tem as mesmas propriedades: em geral, A−B difere de B−A. A oposta também é chamada inverso aditivo. A matriz inversa multiplicativa é outro conceito e terá sua própria aula; não confundiremos as duas operações.

12Multiplicar a matriz por um número

Um escalar, nesta aula, é apenas um número real usado como fator. Multiplicar A por k significa multiplicar cada entrada por esse mesmo k, preservando a forma da matriz. A letra k aqui é um fator fixo, e não um índice que percorre posições.

(kA)_{ij}=k a_{ij}

k é um número real fixo, chamado escalar, e multiplica todas as entradas. A matriz kA mantém as dimensões de A. Se k = 0, o resultado é a nula do mesmo tamanho; se k = −1, o resultado é a oposta. O escalar não é um índice.

Agora podemos escrever a matriz escalar como $D=\lambda I_n$ : o fator lambda transforma os uns da diagonal em lambda e mantém todos os zeros fora dela. Essa escrita descreve exatamente o tipo definido antes, usando o produto por escalar que acabamos de apresentar.

Exemplo resolvido · Distribuir um fator negativo em todas as entradas

Calcule $-2A$ para $A=\begin{pmatrix}3&-1\\2&0\end{pmatrix}$ .

Resolução

Multiplicamos três por −2 e −1 por −2, produzindo −6 e dois.
Na segunda linha, os produtos são −4 e zero. O fator atua em todas as entradas, não apenas na diagonal.

$-2A=\begin{pmatrix}-6&2\\-4&0\end{pmatrix}$ .

\begin{gathered}k(A+B)=kA+kB\\(k+\ell)A=kA+\ell A\\k(\ell A)=(k\ell)A\\1A=A\end{gathered}

k e ℓ são reais; ℓ é a letra ele. A e B têm as mesmas dimensões. As identidades são verificadas em cada posição usando a distributividade e a associatividade dos números reais. Se k ≠ 0 e kA=kB, a igualdade A=B pode ser obtida dividindo cada entrada por k.

A distributividade também é entrada a entrada: $k(a_{ij}+b_{ij})$ é igual a $ka_{ij}+kb_{ij}$ . O mesmo argumento justifica as outras identidades. Se $k\ne0$ , podemos desfazer o produto dividindo cada entrada por k. Para k = 0, essa divisão não existe e o produto perde informação sobre A.

Exemplo resolvido · Multiplicar por zero não identifica a matriz

Se 0A = 0B, podemos concluir A = B?

Resolução

Se A e B têm o mesmo tamanho, os dois produtos são a matriz nula desse tamanho, quaisquer que sejam seus valores.
Por exemplo, I₂ e 2I₂ são diferentes, mas ambas produzem O₂×₂ ao multiplicar por zero.

Não. O fator precisa ser não nulo para cancelar por divisão escalar.

13Comparar uma matriz com sua transposta

Uma matriz simétrica é igual à sua transposta. Por isso ela precisa ser quadrada, e as posições espelhadas na diagonal principal têm os mesmos valores. As entradas da diagonal não recebem restrição adicional.

\begin{gathered}A^T=A\\\Longleftrightarrow a_{ij}=a_{ji}\end{gathered}

A é real e quadrada. A igualdade deve valer para todo par de índices. Entradas espelhadas em relação à diagonal principal são iguais, e os valores na diagonal são livres.

Exemplo resolvido · Impor a simetria por uma posição espelhada

Para qual x a matriz $A=\begin{pmatrix}2&x\\5&-1\end{pmatrix}$ é simétrica?

Resolução

As posições (1,2) e (2,1) devem coincidir: x = 5.
Os valores dois e −1 na diagonal podem permanecer como estão.

x = 5.

Uma matriz antissimétrica tem transposta igual à oposta. As entradas espelhadas têm sinais opostos. Na diagonal, o próprio valor precisaria ser igual ao seu oposto: sobre os reais, isso só acontece com zero.

\begin{gathered}A^T=-A\\a_{ij}=-a_{ji},\quad a_{ii}=0\end{gathered}

A é real e quadrada; a regra deve valer para todos os índices. Na diagonal, aᵢᵢ=−aᵢᵢ implica 2aᵢᵢ=0, logo aᵢᵢ=0. Ter apenas a diagonal nula não basta. A matriz nula quadrada é simultaneamente simétrica e antissimétrica.

Exemplo resolvido · Diagonal zero não basta

Compare $K=\begin{pmatrix}0&3\\-3&0\end{pmatrix}$ com $B=\begin{pmatrix}0&3\\3&0\end{pmatrix}$ .

Resolução

K é antissimétrica: três e −3 são opostos, e a diagonal é zero.
B também tem diagonal zero, mas suas entradas espelhadas são iguais, não opostas. Ela é simétrica e não é antissimétrica.

K é antissimétrica; B é simétrica.

A matriz nula quadrada satisfaz os dois tipos de simetria. Nos reais, se uma matriz é simultaneamente simétrica e antissimétrica, então A=−A, de onde 2A=O e todas as entradas são zero.

14Uma equação matricial antes do produto de matrizes

Resolver uma equação matricial significa encontrar uma matriz desconhecida que torne a igualdade verdadeira em todas as posições. As operações aditivas e o produto por escalar já permitem resolver um primeiro tipo. A matriz desconhecida deve ter as mesmas dimensões das matrizes somadas.

\begin{gathered}kX+A=B\\X=\frac1k(B-A)\end{gathered}

k ≠ 0 é real e X,A,B têm as mesmas dimensões. A equação é resolvida entrada a entrada ou pelas propriedades aditivas. Se k = 0, há solução para todo X desse tamanho quando A=B, e não há solução quando A≠B. Não se está dividindo por uma matriz.

Exemplo resolvido · Isolar a incógnita pelo escalar

Resolva $2X+A=B$ com $A=\begin{pmatrix}1&3\\-2&0\end{pmatrix}$ e $B=\begin{pmatrix}5&1\\4&6\end{pmatrix}$ .

Resolução

Subtraindo A dos dois lados, obtemos $2X=B-A$ . Nas posições correspondentes, calculamos $5-1=4$ , $1-3=-2$ , $4-(-2)=6$ e $6-0=6$ . Portanto $2X=\begin{pmatrix}4&-2\\6&6\end{pmatrix}$ .
Como o escalar dois é não nulo, podemos multiplicar os dois lados por $1/2$ . As entradas de X são $4/2=2$ , $-2/2=-1$ , $6/2=3$ e $6/2=3$ ; suas linhas são (2,−1) e (3,3).
Conferindo a equação, $2X+A=\begin{pmatrix}4+1&-2+3\\6-2&6+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&1\\4&6\end{pmatrix}=B$ . Todas as posições coincidem.

$X=\begin{pmatrix}2&-1\\3&3\end{pmatrix}$ .

Se o escalar que multiplica X for zero, a igualdade não determina X. Quando as matrizes restantes coincidem, toda matriz X do tamanho previsto serve; quando não coincidem, nenhuma serve. Esse é o mesmo cuidado de não dividir por zero usado nas equações numéricas.

15Por que multiplicar uma linha por uma coluna?

Uma equipe compra dois tipos de material: quatro unidades do primeiro e três do segundo. Se os preços por unidade são cinco e dois reais, o custo é quatro vezes cinco mais três vezes dois. O total junta produtos de quantidades por preços correspondentes. A regra linha-coluna organiza esse cálculo para muitas equipes e itens.

\begin{gathered}(u_1,\ldots,u_n)\begin{pmatrix}v_1\\\vdots\\v_n\end{pmatrix}\\=\bigl(u_1v_1+\cdots+u_nv_n\bigr)\end{gathered}

u₁,…,uₙ são as entradas da linha e v₁,…,vₙ as da coluna, ambas com a mesma quantidade n. O resultado matricial é 1×1, cujo único valor é a soma dos produtos correspondentes. Não se multiplica a linha inteira por um único elemento nem se somam todos os valores antes de multiplicar.

Exemplo resolvido · Somar os produtos correspondentes

Multiplique a linha $\begin{pmatrix}2&-1&3\end{pmatrix}$ pela coluna $\begin{pmatrix}4\\5\\2\end{pmatrix}$ .

Resolução

As posições correspondentes geram $2\cdot4=8$ , $(-1)\cdot5=-5$ e $3\cdot2=6$ .
Somamos os três produtos: 8−5+6 = 9. O resultado matricial é 1×1; o valor de sua única entrada é nove.

O resultado é $\begin{pmatrix}9\end{pmatrix}$ .

Não estamos multiplicando apenas as entradas de mesma posição de duas matrizes do mesmo tamanho. A regra combina uma linha inteira da primeira com uma coluna inteira da segunda. Para isso, as duas listas combinadas precisam ter o mesmo comprimento.

16Conferir as dimensões antes das contas

O produto AB existe quando o número de colunas de A coincide com o número de linhas de B. Cada linha de A precisa encontrar a mesma quantidade de posições em cada coluna de B. O resultado conserva o número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda.

\begin{gathered}A:m\times n,\quad B:n\times p\\AB:m\times p\end{gathered}

m,n,p são inteiros positivos. O número de colunas de A deve igualar o de linhas de B. O resultado tem as linhas de A e as colunas de B. A ordem importa: existir AB não garante existir BA. Matrizes do mesmo tamanho não são automaticamente multiplicáveis.

Exemplo resolvido · Existir em uma ordem não garante a outra

A é 2×3 e B é 3×4. Quais são as dimensões de AB? BA existe?

Resolução

No produto AB, os tamanhos internos três coincidem. O resultado é 2×4.
No produto BA, seriam comparadas quatro colunas de B com duas linhas de A. Como quatro e dois diferem, BA não está definido.

AB é 2×4; BA não existe.

Exemplo resolvido · Duas matrizes do mesmo tamanho podem não se multiplicar

A e B são ambas 2×3. O produto AB existe?

Resolução

A tem três colunas e B tem duas linhas. Os tamanhos internos não coincidem.
A soma A+B existe, mas o produto AB não. Cada operação tem sua própria condição.

Não existe produto AB nessas dimensões.

17Calcular cada entrada do produto

Se C=AB, a entrada $c_{ij}$ usa a linha i de A e a coluna j de B. O índice k percorre as posições que são multiplicadas e somadas. O símbolo $\Sigma$ significa somar essas parcelas: k começa em um e termina no número de colunas de A, que também é o número de linhas de B. A letra k agora é um índice de soma, não o escalar fixo da seção anterior.

c_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}

C=AB, com A de tamanho m×n e B de tamanho n×p. i identifica a linha de A e de C; j identifica a coluna de B e de C. O índice inteiro k percorre as n posições que são combinadas e Σ significa somar. Cada cᵢⱼ usa a linha i inteira de A e a coluna j inteira de B.

Exemplo resolvido · Um produto retangular completo

Calcule AB para $A=\begin{pmatrix}1&2&0\\-1&3&1\end{pmatrix}$ e $B=\begin{pmatrix}2&1\\0&-2\\4&3\end{pmatrix}$ .

Resolução

A é 2×3 e B é 3×2; C será 2×2. Para $c_{11}$ , os produtos são $1\cdot2$ , $2\cdot0$ e $0\cdot4$ . Logo $c_{11}=2+0+0=2$ .
Para $c_{12}$ , usamos a segunda coluna. Os produtos são $1\cdot1$ , $2(-2)$ e $0\cdot3$ , dando $c_{12}=1-4+0=-3$ .
Para $c_{21}$ , os produtos são $(-1)\cdot2$ , $3\cdot0$ e $1\cdot4$ . Portanto $c_{21}=-2+0+4=2$ .
Por fim, $c_{22}$ combina $(-1)\cdot1$ , $3(-2)$ e $1\cdot3$ . A soma é $c_{22}=-1-6+3=-4$ .

$AB=\begin{pmatrix}2&-3\\2&-4\end{pmatrix}$ .

O esquema alinha B acima do resultado e A à esquerda. A entrada c₂₂=−4 combina a segunda linha de A com a segunda coluna de B, destacadas em azul.

Conferir uma entrada não resolve automaticamente as demais. Faça uma linha de cada vez, mantendo a coluna escolhida. O número de parcelas em cada cálculo é sempre o tamanho interno compartilhado.

18Trocar linha e coluna muda o produto

Exemplo resolvido · Produto externo e produto 1×1

Se $u=\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}$ e $v=\begin{pmatrix}3&4\end{pmatrix}$ , calcule uv e vu.

Resolução

uv é 2×2: a primeira linha contém $2\cdot3=6$ e $2\cdot4=8$ ; a segunda contém −3 e −4.
vu é 1×1: a única entrada é $3\cdot2+4(-1)=2$ . As duas operações existem, mas seus resultados têm tamanhos diferentes.

$uv=\begin{pmatrix}6&8\\-3&-4\end{pmatrix}$ e $vu=\begin{pmatrix}2\end{pmatrix}$ .

O produto de uma coluna por uma linha é chamado produto externo nesse contexto. O de uma linha por uma coluna reúne os produtos em uma única entrada. A ordem determina tanto a conta quanto as dimensões do resultado.

19AB e BA podem existir e ser diferentes

Mesmo quando as matrizes são quadradas da mesma ordem, não há garantia de AB=BA. Dizemos que a multiplicação matricial não é comutativa em geral. Isso não significa que todos os pares sejam diferentes: alguns comutam, isto é, produzem o mesmo resultado nas duas ordens.

Exemplo resolvido · Um contraexemplo quadrado

Compare AB e BA para $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ e $B=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$ .

Resolução

Na ordem AB, obtemos $\begin{pmatrix}1&2\\0&2\end{pmatrix}$ . Por exemplo, a posição (1,2) vale $1\cdot0+1\cdot2=2$ .
Na ordem BA, obtemos $\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}$ . A posição (1,2) vale $1\cdot1+0\cdot1=1$ .

AB ≠ BA, embora ambos sejam 2×2.

Exemplo resolvido · Um par que comuta

D e E são diagonais de ordem dois, com diagonais (2,3) e (−1,4). Compare DE e ED.

Resolução

Em ambos os produtos, as entradas fora da diagonal são zero.
Na diagonal, os produtos são 2·(−1) = −2 e 3·4 = 12. A comutatividade dos reais nessas posições dá o mesmo resultado.

$DE=ED=\begin{pmatrix}-2&0\\0&12\end{pmatrix}$ .

20Reagrupar e distribuir preservando a ordem

A multiplicação é associativa quando as dimensões permitem o encadeamento. Podemos agrupar AB primeiro ou BC primeiro; a ordem A, B, C permanece. Isso permite escolher a sequência de contas mais conveniente, sem trocar matrizes de lugar.

(AB)C=A(BC)

A é m×n, B é n×p e C é p×r, com dimensões positivas. Os dois agrupamentos existem e resultam em m×r. O agrupamento pode mudar, mas a ordem A,B,C permanece. A prova reagrupa somas finitas de produtos de números reais.

Para entender a prova, tome A de tamanho m×n, B de tamanho n×p e C de tamanho p×r. Fixe uma posição (i,j) do resultado m×r. No agrupamento (AB)C, cada entrada de AB primeiro soma os produtos $a_{ik}b_{k\ell}$ em k; depois multiplicamos por $c_{\ell j}$ e somamos em ℓ. A letra ℓ, lida ele, percorre de um a p, enquanto k percorre de um a n.

Expandir as parcelas dá todos os produtos $a_{ik}b_{k\ell}c_{\ell j}$ , uma vez para cada par (k,ℓ). No agrupamento A(BC), primeiro se somam $b_{k\ell}c_{\ell j}$ em ℓ e depois se multiplica por $a_{ik}$ e se soma em k. São os mesmos produtos e as mesmas quantidades finitas de parcelas; as propriedades dos reais permitem reagrupar. Portanto as entradas correspondentes dos dois resultados são iguais.

\begin{gathered}A(B+C)=AB+AC\\(A+B)C=AC+BC\\(kA)B=A(kB)=k(AB)\end{gathered}

Em cada identidade, todas as somas e produtos precisam existir; as matrizes somadas têm o mesmo tamanho. k é um escalar real. O fator comum fica do mesmo lado nas parcelas: não se troca AB por BA.

A distributividade tem justificativa semelhante: multiplicar $a_{ik}$ pela soma $b_{kj}+c_{kj}$ dá $a_{ik}b_{kj}+a_{ik}c_{kj}$ . Somar em k separa exatamente as entradas de AB e AC. Na distributividade do outro lado, o fator permanece à direita. O fator escalar pode ser colocado fora da soma de produtos, pois é um real fixo.

Exemplo resolvido · Colocar o fator comum do lado correto

A, B e C são quadradas da mesma ordem. Como colocar C em evidência em AC+BC?

Resolução

C está à direita nos dois termos. Portanto a expressão é (A+B)C.
Escrever C(A+B) produziria CA+CB e poderia mudar o resultado.

AC+BC = (A+B)C.

21Identidade e matriz nula com o tamanho certo

A identidade preserva a matriz no produto. Para uma matriz retangular, a identidade que atua à esquerda pode ter ordem diferente da que atua à direita: cada uma deve combinar com a dimensão interna correspondente.

\begin{gathered}I_m A=A I_n=A\\A O_{n\times p}=O_{m\times p}\\O_{r\times m}A=O_{r\times n}\end{gathered}

A é m×n; m,n,p,r são inteiros positivos. A identidade da esquerda tem ordem m, e a da direita tem ordem n. A matriz nula do resultado tem as dimensões dadas pela regra do produto; não é um escalar isolado.

Na linha i de uma identidade, só a posição i tem valor um. Ao multiplicar pela coluna escolhida de A, esse um seleciona a entrada da mesma linha, enquanto os zeros anulam todas as outras parcelas. Pelo outro lado, uma coluna da identidade seleciona a entrada da mesma coluna. Isso prova as identidades, sem exigir que A seja quadrada.

Exemplo resolvido · Duas identidades para uma matriz retangular

Se A é 2×3, quais identidades preservam A à esquerda e à direita?

Resolução

I₂A existe e é 2×3; AI₃ existe e é 2×3. Ambos dão A.
AI₂ não existe, pois as três colunas de A não combinam com as duas linhas de I₂. I₃A também não existe.

I₂A = AI₃ = A.

Uma matriz nula compatível produz uma matriz nula: cada parcela linha-coluna contém um fator zero. As dimensões finais continuam sendo determinadas pela regra do produto; a matriz nula resultante pode ter tamanho diferente dos fatores.

22Produto zero e cancelamento exigem cuidado

Para números reais, um produto zero obriga pelo menos um fator zero. Com matrizes, isso pode falhar: uma linha pode ter suas entradas não nulas em posições que encontram somente zeros na coluna do outro fator.

\begin{gathered}P=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\\Q=\begin{pmatrix}0&0\\0&5\end{pmatrix}\\PQ=O_{2\times2}\\P\ne O,\quad Q\ne O\end{gathered}

É um contraexemplo real 2×2: todos os produtos linha-coluna dão zero, apesar de haver entrada não nula em cada fator. Também não se pode cancelar automaticamente um fator matricial não nulo. A existência de inversa será tratada em aula própria.

P tem uma entrada um e Q tem uma entrada cinco, logo nenhum fator é a matriz nula. Mesmo assim, todos os produtos linha-coluna de PQ dão zero.

Exemplo resolvido · Um fator não nulo não autoriza cancelar

Considere $P=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$ . Compare $PI_2$ com $PP$ . Podemos cancelar P e concluir $I_2=P$ ?

Resolução

PI₂ = P, pois I₂ é identidade. Também PP = P: a posição (1,1) vale um e as outras ficam zero.
Os produtos são iguais, mas I₂ difere de P na posição (2,2). Portanto cancelar um fator matricial apenas por ele ser não nulo seria inválido.

PI₂ = PP, mas I₂ ≠ P.

Não definiremos divisão usual entre matrizes como se fossem números. A aula de matriz inversa explicará sob quais condições podemos desfazer uma multiplicação e de qual lado a operação precisa atuar.

23Potências são produtos repetidos da matriz inteira

Para formar $A^2=AA$ , A deve ser quadrada. A potência não eleva cada entrada isoladamente ao quadrado: usa a regra linha-coluna. Os expoentes desta aula são inteiros não negativos. Por convenção, $A^0=I_n$ , a matriz que representa nenhum fator aplicado; não se substitui essa identidade pelo número real um.

\begin{gathered}A^0=I_n,\quad A^{s+1}=A^s A\\A^s A^t=A^{s+t}\\(A^s)^t=A^{st}\end{gathered}

A é quadrada de ordem n e s,t são inteiros não negativos. O expoente conta fatores A, e não potências de entradas isoladas. A⁰=Iₙ é a convenção de produto vazio de matrizes, inclusive para a matriz nula quadrada; não estamos atribuindo valor à expressão escalar 0⁰. Expoentes negativos dependem de inversa e não são usados aqui.

Exemplo resolvido · Uma potência que não é entrada a entrada

Calcule $A^2$ para $A=\begin{pmatrix}1&3\\0&1\end{pmatrix}$ .

Resolução

O produto AA tem entradas 1·1+3·0 = 1, 1·3+3·1 = 6, 0·1+1·0 = 0 e 0·3+1·1 = 1.
Elevar só cada entrada ao quadrado daria nove na posição (1,2), diferente do valor correto seis. O expoente manda repetir a matriz inteira como fator e aplicar a regra linha-coluna.

$A^2=\begin{pmatrix}1&6\\0&1\end{pmatrix}$ .

Exemplo resolvido · Uma matriz não nula pode ter quadrado nulo

Calcule $N^2$ para $N=\begin{pmatrix}0&2\\0&0\end{pmatrix}$ .

Resolução

Na primeira posição, 0·0+2·0 = 0; na segunda, 0·2+2·0 = 0. A segunda linha também dá zeros.
Portanto N² é nula, embora N não seja. Consequentemente N³, N⁴ e todas as potências seguintes também são nulas, pela associatividade.

$N^2=O_{2\times2}$ .

As leis de potências da mesma matriz vêm de contar e reagrupar os fatores, conservando sua ordem. Elas não autorizam distribuir um expoente sobre uma soma nem sobre um produto de matrizes diferentes sem verificar outras condições.

\begin{gathered}(A+B)^2\\=A^2+AB+BA+B^2\end{gathered}

A e B são quadradas da mesma ordem. A expansão vem da distributividade. Só se pode reunir os termos centrais em 2AB quando AB=BA. Não se aplica o binômio escalar sem verificar a comutação.

Exemplo resolvido · Por que aparecem dois produtos centrais

Ao expandir (A+B)(A+B), por que não podemos escrever sempre A²+2AB+B²?

Resolução

A distributividade produz A²+AB+BA+B². Os dois produtos centrais só podem ser reunidos se AB=BA.
O contraexemplo em que AB e BA são diferentes mostra que isso pode falhar. A fórmula escalar exige uma condição adicional quando os fatores são matrizes.

O termo correto em geral é AB+BA.

24Transposição das operações e decomposição

Transpor uma soma ou um produto por escalar apenas troca os índices das entradas já calculadas. A transposição preserva essas operações, respeitando os tamanhos. No produto de duas matrizes, porém, a ordem dos fatores se inverte.

(A+B)^T=A^T+B^T\qquad(kA)^T=kA^T

\begin{gathered}(A+B)^T=A^T+B^T\\(kA)^T=kA^T\end{gathered}

A e B têm o mesmo tamanho e k é um número real. Cada entrada apenas troca os índices, preservando as somas e os fatores numéricos. Para diferença, a identidade correspondente usa Aᵀ−Bᵀ.

(AB)^T=B^T A^T

A é m×n e B é n×p. A transposta do resultado é p×m; Bᵀ é p×n e Aᵀ é n×m. O produto invertido tem exatamente as dimensões necessárias. Manter a ordem AᵀBᵀ pode ser indefinido ou produzir outro resultado.

A entrada (i,j) de $(AB)^T$ é a entrada (j,i) de AB. Ela soma os produtos $a_{jk}b_{ki}$ . Na entrada (i,j) de $B^T A^T$ , os produtos são $b_{ki}a_{jk}$ , os mesmos reais na ordem numérica inversa. Como reais comutam e o índice k percorre o mesmo intervalo, as somas coincidem. Isso não troca AB por BA; são os fatores transpostos que aparecem na ordem invertida.

Exemplo resolvido · Conferir também as dimensões

A é 2×3 e B é 3×4. Qual produto representa (AB)ᵀ?

Resolução

AB é 2×4 e sua transposta é 4×2. Bᵀ é 4×3 e Aᵀ é 3×2, então BᵀAᵀ é 4×2.
AᵀBᵀ não existe: teria tamanhos 3×2 e 4×3, com dimensões internas incompatíveis.

(AB)ᵀ = BᵀAᵀ.

A transposição também permite separar uma matriz real quadrada em uma parte simétrica e outra antissimétrica. Primeiro somamos a matriz à transposta e multiplicamos por meio; depois subtraímos a transposta e multiplicamos por meio.

\begin{gathered}S=\frac12(A+A^T)\qquad K=\frac12(A-A^T)\\A=S+K\end{gathered}

\begin{gathered}S=\frac12(A+A^T)\\K=\frac12(A-A^T)\\A=S+K\end{gathered}

A é uma matriz real quadrada. Sᵀ=S e Kᵀ=−K. O fator 1/2 multiplica as matrizes, entrada a entrada. Esta decomposição é única, pois transpor A=S+K dá Aᵀ=S−K; somar e subtrair as duas igualdades determina S e K.

Transpondo as partes definidas acima, $S^T=\frac12(A^T+A)=S$ e $K^T=\frac12(A^T-A)=-K$ , pois a transposta da transposta é A. Logo S é simétrica e K é antissimétrica. Somando, $S+K=\frac12[(A+A^T)+(A-A^T)]=\frac12(2A)=A$ . Para provar a unicidade, suponha qualquer decomposição $A=S+K$ com esses tipos de simetria. Transpor dá $A^T=S-K$ ; somar as duas igualdades dá $A+A^T=2S$ , e subtraí-las dá $A-A^T=2K$ . Dividir por dois obriga exatamente as duas partes da fórmula.

Exemplo resolvido · Separar duas partes com funções diferentes

Decomponha $A=\begin{pmatrix}2&5\\-1&4\end{pmatrix}$ .

Resolução

A transposta é $\begin{pmatrix}2&-1\\5&4\end{pmatrix}$ . Somando as posições correspondentes, $A+A^T=\begin{pmatrix}4&4\\4&8\end{pmatrix}$ : as entradas são $2+2=4$ , $5+(-1)=4$ , $-1+5=4$ e $4+4=8$ .
Multiplicamos cada entrada dessa soma por $1/2$ : $4/2=2$ , $4/2=2$ , $4/2=2$ e $8/2=4$ . Assim, $S=\begin{pmatrix}2&2\\2&4\end{pmatrix}$ .
Na diferença, $2-2=0$ , $5-(-1)=6$ , $-1-5=-6$ e $4-4=0$ . Portanto $A-A^T=\begin{pmatrix}0&6\\-6&0\end{pmatrix}$ . Multiplicar por meio dá $K=\begin{pmatrix}0&3\\-3&0\end{pmatrix}$ .
S é simétrica e K é antissimétrica. Conferimos a soma: $S+K=\begin{pmatrix}2+0&2+3\\2-3&4+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&5\\-1&4\end{pmatrix}=A$ .

As duas partes são determinadas de modo único.

Para qualquer matriz real A, mesmo retangular, AAᵀ é simétrica: a transposta do produto é (Aᵀ)ᵀAᵀ = AAᵀ. O produto AᵀA também é simétrico, mas pode ter tamanho diferente. Não se conclui que AAᵀ=AᵀA.

25Quantidades, materiais e preços na ordem correta

Em um modelo aplicado, defina primeiro o significado das linhas e das colunas. Um produto só representa a situação quando os itens combinados têm a mesma ordem. Trocar uma categoria sem trocar a linha ou coluna correspondente altera o resultado, mesmo que as dimensões continuem compatíveis.

Exemplo resolvido · Equipes e dois tipos de kit

Duas equipes montam kits básico e especial. As quantidades são $Q=\begin{pmatrix}3&2\\1&4\end{pmatrix}$ , com uma linha por equipe. Cada kit usa cadernos, lápis e pastas conforme $M=\begin{pmatrix}2&3&1\\4&1&2\end{pmatrix}$ , uma linha por tipo de kit. Calcule QM.

Resolução

A primeira equipe precisa de 3·2+2·4 = 14 cadernos, 3·3+2·1 = 11 lápis e 3·1+2·2 = 7 pastas.
A segunda precisa de 1·2+4·4 = 18 cadernos, 1·3+4·1 = 7 lápis e 1·1+4·2 = 9 pastas. As linhas do resultado são equipes; as colunas continuam na ordem cadernos, lápis e pastas.

$QM=\begin{pmatrix}14&11&7\\18&7&9\end{pmatrix}$ .

\begin{gathered}c_i=\sum_{k=1}^{n}q_{ik}p_k\\c=Qp\end{gathered}

Q tem uma linha por grupo e uma coluna por item; qᵢₖ é a quantidade do item k no grupo i. p é a coluna de preços por unidade na mesma ordem dos itens, e c é a coluna dos custos por grupo. Quantidade vezes preço por unidade dá dinheiro; os itens precisam estar alinhados antes do produto.

Exemplo resolvido · Conferir o custo por dois agrupamentos

No modelo anterior, cada caderno custa cinco reais, cada lápis dois e cada pasta três. Qual é o custo por equipe?

Resolução

Usando os materiais totais, a primeira equipe gasta 14·5+11·2+7·3 = 113 reais. A segunda gasta 18·5+7·2+9·3 = 131 reais.
Podemos calcular primeiro o custo por kit: o básico custa 2·5+3·2+1·3 = 19 reais; o especial custa 4·5+1·2+2·3 = 28 reais. Então a primeira equipe gasta 3·19+2·28 = 113, e a segunda 1·19+4·28 = 131.
Os dois caminhos correspondem a (QM)p e Q(Mp), em que p é a coluna dos três preços. A associatividade conserva a ordem e explica a concordância.

113 reais e 131 reais por equipe, respectivamente.

26Aplicar duas matrizes: a da direita atua primeiro

Uma coluna de duas entradas pode representar um ponto do plano: primeiro a coordenada horizontal x, depois a vertical y. Multiplicar essa coluna por uma matriz 2×2 produz outra coluna, que representa o ponto transformado. Vamos usar operações simples, sem exigir trigonometria.

\begin{gathered}Y=BX,\quad Z=AY\\\Longrightarrow Z=(AB)X\end{gathered}

X é uma coluna e as dimensões permitem os dois produtos. O fator B atua primeiro, depois A. A seta indica uma consequência. Associatividade explica o produto AB. Trocar a ordem das transformações pode mudar o resultado. Nos exemplos do plano, X contém a coordenada horizontal e depois a vertical.

Exemplo resolvido · A ordem muda o ponto final

Comece em $X=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ . Use $H=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ e $D=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}$ . Compare DHX com HDX.

Resolução

H transforma (x,y) em (x+y,y), somando a vertical à horizontal. D transforma (x,y) em (2x,y), dobrando a horizontal.
Primeiro H, depois D: (1,2) vira (3,2) e depois (6,2). Isso é DHX.
Primeiro D, depois H: (1,2) vira (2,2) e depois (4,2). Isso é HDX. A matriz da direita, junto da coluna, é aplicada primeiro.

DHX representa (6,2); HDX representa (4,2).

O ponto P=(1,2) tem imagens diferentes: R=(6,2) por DH e S=(4,2) por HD. Os eixos usam a mesma escala por unidade; a ordem das operações faz parte da regra.

Esta primeira aula constrói a linguagem e as operações necessárias para as seguintes. Determinantes serão apresentados na próxima aula. Depois estudaremos inversa e equações matriciais multiplicativas e, por fim, sistemas lineares por matrizes, sem pressupor essas ferramentas nas explicações atuais.

27Agora é com você

O banco tem trinta questões: 26 objetivas e quatro discursivas. Avance da leitura de posições às operações, propriedades e aplicações. Antes de calcular, declare as dimensões; nas discursivas, justifique as condições e confira todas as entradas relevantes.

Questão 1 de 300 conferidas

Compreensão · Objetiva

Quais são as dimensões de $A=\begin{pmatrix}2&0\\-1&5\\4&3\end{pmatrix}$ ?

A2×3.B3×2.C6×1.D3×3.

Ative o JavaScript para conferir alternativas interativamente. Todas as questões e resoluções estão disponíveis abaixo.[data-exercise][hidden],[data-solution][hidden]{display:block}.exercise-controls,[data-check-answer],.exercise-progress{display:none}

28O que guardar desta aula

Matriz é uma organização retangular de entradas. As dimensões informam primeiro linhas e depois colunas; m×n possui mn posições. Nesta aula, dimensões são positivas e entradas são reais.
O índice i indica a linha e j a coluna. A posição precisa existir; entrada zero e posição ausente são situações distintas. Índices não são fatores nem expoentes.
Uma regra de formação precisa de dimensões, domínio e operações definidas em todas as posições. Casos separados devem cobrir os pares de índices sem conflito.
Matrizes linha e coluna têm uma linha e uma coluna, respectivamente. Uma matriz 1×1 pertence aos dois tipos. Nulas de tamanhos diferentes não são iguais.
Uma matriz quadrada de ordem n tem n linhas, n colunas e n² entradas. Na diagonal principal, i=j; na secundária, i+j=n+1.
Diagonal exige zeros fora da diagonal principal; os valores sobre ela são livres. Escalar exige ainda que eles sejam todos iguais. A identidade tem um na diagonal e zero fora dela.
Triangular superior tem zeros abaixo da diagonal; inferior, acima. Uma diagonal é dos dois tipos. As classificações podem se sobrepor.
Igualdade exige mesmas dimensões e coincidência em todas as posições. Resolver somente as condições das incógnitas não elimina uma contradição em outra entrada.
A transposta troca linhas por colunas e os índices de posição, preservando valores e sinais. Transpor duas vezes devolve a matriz original.
Soma e diferença só existem entre matrizes de mesmo tamanho, posição por posição. Contextos aplicados ainda exigem categorias e unidades correspondentes.
A soma é comutativa e associativa. A nula é o neutro e a oposta cancela cada entrada; oposta não é inversa multiplicativa.
Um escalar multiplica todas as entradas, preservando dimensões. Desfazer por divisão escalar exige fator não nulo. As propriedades vêm das operações dos reais em cada posição.
Simétrica satisfaz Aᵀ=A; antissimétrica satisfaz Aᵀ=−A. Sobre os reais, a diagonal de uma antissimétrica é zero, mas essa condição sozinha não basta.
Equações aditivas com escalar podem ser resolvidas por propriedades ou entrada a entrada. Escalar zero deixa todos os valores da incógnita possíveis ou nenhum, conforme as outras condições.
AB exige colunas de A iguais às linhas de B. O resultado conserva linhas de A e colunas de B. Cada entrada soma os produtos da linha escolhida pela coluna escolhida.
AB pode existir sem BA; ambos podem existir com tamanhos diferentes ou com valores diferentes. Alguns pares comutam, mas isso deve ser verificado.
Associatividade muda agrupamento, conservando a ordem. Distributividade conserva o lado de cada fator. Identidades e matrizes nulas precisam ter tamanhos compatíveis.
Produto nulo pode ter dois fatores não nulos. Cancelar automaticamente um fator matricial não nulo é inválido. Potências são produtos da matriz inteira e exigem matriz quadrada.
O quadrado de A+B contém AB+BA; só vira 2AB quando os fatores comutam. A transposta de AB é BᵀAᵀ, com a ordem invertida.
Toda matriz real quadrada se decompõe de maneira única em parte simétrica e parte antissimétrica. Modelos matriciais preservam ordem, significado e unidades; na composição com colunas, o fator da direita atua primeiro.

Esta é a primeira das quatro aulas planejadas de Matrizes. A próxima será Determinantes, preparando o caminho para Matriz inversa e equações matriciais e para Sistemas lineares por matrizes. Fórmulas e Revisão da matéria acompanham o mesmo percurso.