Matrizes
Matriz é uma tabela de números organizada em linhas e colunas. Um elemento aᵢⱼ está na linha i e coluna j.
Ordem
A = (aᵢⱼ)m×n
m linhas e n colunas
Tipos de matrizes
| Tipo | Característica |
|---|---|
| Linha | Possui uma única linha. |
| Coluna | Possui uma única coluna. |
| Quadrada | Número de linhas igual ao número de colunas. |
| Nula | Todos os elementos são zero. |
| Diagonal | Elementos fora da diagonal principal são zero. |
| Identidade | Diagonal principal formada por 1 e demais elementos zero. |
| Transposta | Aᵀ troca linhas por colunas. |
| Simétrica | A = Aᵀ. |
Operações com matrizes
Operações
- Soma matrizes de mesma ordem, termo a termo
- Escalar kA multiplica todos os elementos por k
- Produto Am×nBn×p = Cm×p
- Transposta (Aᵀ)ᵀ = A
Produto não é comutativo: em geral, AB ≠ BA. Às vezes um dos produtos nem existe.
Determinantes
O determinante é definido apenas para matrizes quadradas. Ele indica, entre outras coisas, se a matriz é invertível.
Fórmulas básicas
- Ordem 2 det [[a,b],[c,d]] = ad − bc
- Ordem 3 regra de Sarrus
- Laplace expansão por cofatores
Propriedades dos determinantes
| Propriedade | Consequência |
|---|---|
| Linha ou coluna nula | det(A) = 0 |
| Duas linhas iguais | det(A) = 0 |
| Trocar duas linhas | O determinante muda de sinal. |
| Multiplicar uma linha por k | O determinante fica multiplicado por k. |
| Matriz triangular | det(A) é o produto da diagonal principal. |
| Produto | det(AB) = det(A)det(B) |
| Transposta | det(Aᵀ) = det(A) |
Matriz inversa
A matriz inversa A⁻¹ satisfaz AA⁻¹ = A⁻¹A = I. Ela só existe se det(A) ≠ 0.
Ordem 2
A⁻¹ = (1/det A) [[d, −b], [−c, a]]
Sistemas lineares
Um sistema pode ser escrito como AX = B. Se det(A) ≠ 0, o sistema tem solução única.
| Classificação | Significado |
|---|---|
| SPD | Sistema possível e determinado: uma solução. |
| SPI | Sistema possível e indeterminado: infinitas soluções. |
| SI | Sistema impossível: nenhuma solução. |
Escalonamento
Escalonar é transformar o sistema em outro equivalente mais simples, usando operações elementares nas linhas.
Operações elementares
- Troca trocar duas linhas
- Escalar multiplicar uma linha por constante não nula
- Combinação substituir uma linha por ela somada a múltiplo de outra
| Situação no escalonamento | Classificação |
|---|---|
| Linha do tipo 0 = número não nulo | Sistema impossível |
| Número de pivôs igual ao número de incógnitas | Solução única |
| Há variável livre e nenhuma contradição | Infinitas soluções |
Regra de Cramer
Para sistema quadrado AX = B com det(A) ≠ 0, cada incógnita é obtida substituindo uma coluna da matriz dos coeficientes pela coluna dos termos independentes.
Cramer
- Condição det(A) ≠ 0
- Solução xᵢ = det(Aᵢ)/det(A)
- Aᵢ matriz A com a coluna i trocada por B