Matrizes
Uma matriz é uma tabela de elementos organizada em linhas e colunas. O elemento aij fica na linha i e na coluna j.
Ordem
A = (aij)m × n
A matriz possui m linhas e n colunas.
Leitura rápida: ordem 2 × 3 significa 2 linhas e 3 colunas, nessa ordem.
Tipos de matrizes
| Tipo | Característica |
|---|---|
| Linha | Tem uma única linha. |
| Coluna | Tem uma única coluna. |
| Quadrada | Número de linhas igual ao número de colunas. |
| Nula | Todos os elementos são zero. |
| Diagonal | Todos os elementos fora da diagonal principal são zero. |
| Identidade | Diagonal principal igual a 1 e demais elementos iguais a zero. |
| Triangular | Todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são zero. |
| Simetrica | A = AT. |
Operações
Soma e subtração de matrizes só existem quando as matrizes possuem a mesma ordem. A operação é feita elemento por elemento.
Soma e escalar
- Soma (A+B)ij = aij + bij
- Subtração (A-B)ij = aij - bij
- Escalar (kA)ij = k.aij
Produto de matrizes
O produto AB só existe quando o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B.
Compatibilidade
Am × n Bn × p = Cm × p
O elemento de uma matriz produto é calculado multiplicando uma linha da primeira matriz por uma coluna da segunda matriz e somando os resultados.
Exemplo resolvido
Se A = [[1,2],[3,4]] e B = [[5,6],[7,8]], calcule AB.
1Elemento linha 1, coluna 1: 1.5 + 2.7 = 19.
2Elemento linha 1, coluna 2: 1.6 + 2.8 = 22.
3Elemento linha 2, coluna 1: 3.5 + 4.7 = 43.
4Elemento linha 2, coluna 2: 3.6 + 4.8 = 50.
AB = [[19,22],[43,50]].
Observação: em geral, AB não é igual a BA. Além disso, às vezes AB existe, mas BA nem sequer existe.
| Propriedade | Vale? |
|---|---|
| Associativa: (AB)C=A(BC) | Sim, quando os produtos existem. |
| Distributiva: A(B+C)=AB+AC | Sim. |
| Comutativa: AB=BA | Em geral, não. |
| Identidade: AI=IA=A | Sim, com identidade de ordem adequada. |
Transposta
A transposta troca linhas por colunas. Se A tem ordem m × n, então AT tem ordem n × m.
Propriedades
- Dupla transposta (AT)T=A
- Soma (A+B)T=AT+BT
- Produto (AB)T=BTAT
Exercício rápido
Treino
Se A é 2 × 3 e B é 3 × 4, qual é a ordem de AB?