Determinantes
Determinante só existe para matriz quadrada. Ele indica se a matriz tem inversa e ajuda a classificar sistemas quadrados.
Casos básicos
- Ordem 1 det([a]) = a
- Ordem 2 det [[a,b],[c,d]] = ad - bc
- Ordem 3 use Sarrus, Laplace ou escalonamento
| Valor | Leitura |
|---|---|
| det(A) ≠ 0 | A matriz é invertível; suas linhas e colunas são independentes. |
| det(A) = 0 | A matriz não é invertível; há dependência linear. |
Determinante de ordem 2
Calcule o determinante de A = [[2,3],[1,4]].
1Use det([[a,b],[c,d]]) = ad - bc.
2det(A) = 2.4 - 3.1 = 8 - 3 = 5.
Como det(A) ≠ 0, a matriz é invertível.
Sarrus em ordem 3
Calcule o determinante de A = [[1,2,3],[0,1,4],[2,0,1]].
1Diagonais principais: 1.1.1 + 2.4.2 + 3.0.0 = 1 + 16 + 0 = 17.
2Diagonais secundárias: 3.1.2 + 1.4.0 + 2.0.1 = 6 + 0 + 0 = 6.
3Subtraia: det(A)=17-6=11.
det(A)=11.
Interpretação geométrica
Em transformações lineares, o determinante mede o fator de escala de áreas ou volumes. Em duas dimensões, |det(A)| diz por quanto uma área é multiplicada.
| Determinante | Leitura geométrica |
|---|---|
| det(A)=2 | Áreas dobram e a orientação é preservada. |
| det(A)=-2 | Áreas dobram e a orientação é invertida. |
| det(A)=0 | A transformação achata o plano em uma reta ou ponto. |
Propriedades dos determinantes
| Operação | O que acontece com o determinante |
|---|---|
| Trocar duas linhas | Muda de sinal. |
| Multiplicar uma linha por k | Fica multiplicado por k. |
| Somar a uma linha múltiplo de outra | Não se altera. |
| Duas linhas iguais ou proporcionais | Fica igual a zero. |
| Matriz triangular | Produto dos elementos da diagonal principal. |
| Produto de matrizes | det(AB)=det(A)det(B). |
| Transposta | det(AT)=det(A). |
Matriz inversa
A inversa de A é a matriz A-1 que desfaz o efeito de A.
Definição
AA-1 = A-1A = I
Ordem 2
A-1 = (1/det A) [[d, -b], [-c, a]]
Para A=[[a,b],[c,d]] e det(A) ≠ 0.
Exemplo resolvido
Encontre a inversa de A = [[2,3],[1,4]].
1Já calculamos det(A)=5.
2Troque a com d e mude o sinal de b e c: [[4,-3],[-1,2]].
A-1 = (1/5).[[4,-3],[-1,2]]. Isso só é possível porque det(A) ≠ 0.
Cuidado: se det(A)=0, não existe inversa.
Determinantes em sistemas lineares
Em um sistema quadrado AX = B, o determinante da matriz dos coeficientes ajuda a decidir se existe solução única.
Critério inicial
- det(A) ≠ 0 o sistema tem solução única.
- det(A) = 0 o sistema pode ser impossível ou ter infinitas soluções; é necessário analisar melhor.
Essa leitura prepara a próxima página, em que aparecem classificação de sistemas lineares, escalonamento e regra de Cramer.
Erros comuns
Atenção
- Matriz não quadrada determinante só existe para matriz quadrada.
- Troca de linhas ao permutar duas linhas, o determinante troca de sinal.
- Inversa nem toda matriz tem inversa.
- det(A)=0 não tente calcular inversa quando o determinante é zero.
- Transposta matriz inversa não é a mesma coisa que matriz transposta.
Exercício rápido
Treino
A matriz [[2,3],[1,4]] tem determinante igual a: