Início / Matrizes / Sistemas
Trilha 3

Sistemas lineares

Use matrizes para resolver e classificar sistemas com uma leitura mais limpa de pivôs, posto e variáveis livres.

Forma matricial

Um sistema linear pode ser escrito como AX=B, em que A contém os coeficientes, X contém as incógnitas e B contém os termos independentes.

Sistema matricial
AX = B
Exemplo resolvido
Escreva o sistema 2x + y = 5 e x - 3y = 4 na forma matricial.
1A matriz dos coeficientes é A = [[2,1],[1,-3]].
2A coluna das incógnitas é X = [[x],[y]].
3A coluna dos termos independentes é B = [[5],[4]].
[[2,1],[1,-3]][[x],[y]] = [[5],[4]].

Nessa escrita, A guarda os coeficientes, X guarda as incógnitas e B guarda os termos independentes.

ParteO que representa
AMatriz dos coeficientes.
XColuna das incógnitas.
BColuna dos termos independentes.
[A|B]Matriz aumentada do sistema.

Classificação

TipoSignificadoComo aparece
SPDSistema possível e determinado.Uma única solução.
SPISistema possível e indeterminado.Infinitas soluções.
SISistema impossível.Nenhuma solução.
SPD
x + y = 5 e x - y = 1
As duas equações determinam uma única solução. Portanto, o sistema é SPD.
SPI
x + y = 5 e 2x + 2y = 10
A segunda equação é repetição da primeira, então há infinitas soluções. Portanto, o sistema é SPI.
SI
x + y = 5 e 2x + 2y = 12
Ao dobrar a primeira equação, teríamos 2x + 2y = 10, mas a segunda diz 2x + 2y = 12. Há contradição, então não há solução.

Escalonamento

Escalonar é transformar o sistema em outro equivalente usando operações elementares nas linhas. O objetivo é criar zeros organizados e revelar pivôs.

Operações elementares
  • Troca trocar duas linhas
  • Escala multiplicar uma linha por constante não nula
  • Combinação somar a uma linha um múltiplo de outra
Ao final do escalonamentoConclusão
Aparece linha do tipo 0 = número não nuloSistema impossível.
Todo mundo tem pivôSolução única.
Há variável livre e nenhuma contradiçãoInfinitas soluções.
Exemplo resolvido
Resolva o sistema x + y = 5 e 2x + y = 8.
1Monte a matriz aumentada: [[1,1|5],[2,1|8]].
2Faça L2 ← L2 - 2L1: [[1,1|5],[0,-1|-2]].
3Da segunda linha, -y=-2, então y=2.
4Substituindo em x+y=5, temos x+2=5, logo x=3.
Solução: (3,2).

Posto e Rouché-Capelli

O posto de uma matriz mede quantas linhas independentes aparecem depois do escalonamento. Em sistemas lineares, comparamos o posto da matriz dos coeficientes com o posto da matriz aumentada.

Esse critério funciona mesmo quando o sistema não é quadrado.

Se os postos são diferentes, aparece contradição e o sistema é impossível. Se os postos são iguais ao número de incógnitas, há solução única. Se os postos são iguais, mas menores que o número de incógnitas, há infinitas soluções.

Critério
  • Compatível posto(A) = posto([A|B])
  • SPD posto(A) = posto([A|B]) = n, número de incógnitas
  • SPI posto(A) = posto([A|B]) < n
  • SI posto(A) ≠ posto([A|B])

Regra de Cramer

Cramer resolve sistemas quadrados quando o determinante da matriz dos coeficientes é diferente de zero.

Fórmula
  • Condição det(A) ≠ 0
  • Incógnita xi = det(Ai)/det(A)
  • Ai matriz obtida trocando a coluna i pela coluna B
!
Uso consciente: Cramer é bom em sistemas pequenos. Em sistemas grandes, escalonamento costuma ser mais rápido.
Exemplo resolvido
Resolva por Cramer: x + y = 5 e 2x - y = 1.
1A matriz dos coeficientes é A = [[1,1],[2,-1]].
2D = det(A) = 1.(-1) - 1.2 = -3.
3Dx = det([[5,1],[1,-1]]) = 5.(-1) - 1.1 = -6.
4Dy = det([[1,5],[2,1]]) = 1.1 - 5.2 = -9.
5x = Dx/D = (-6)/(-3) = 2 e y = Dy/D = (-9)/(-3) = 3.
Solução: (2,3). Cramer só pode ser usado quando det(A) ≠ 0.

Exercício rápido

Treino
Um sistema com 3 incógnitas tem posto(A)=2 e posto([A|B])=2. Como ele é classificado?
← AnteriorDeterminantes