Sistemas lineares
Um sistema reúne duas ou mais equações, e a solução é o conjunto de valores que satisfaz todas ao mesmo tempo. O raciocínio central é organizar as informações sem perder consistência entre as linhas.
Em duas incógnitas, cada equação linear representa uma reta. Resolver o sistema é encontrar o ponto de encontro das retas. Se elas forem paralelas, não há solução; se forem a mesma reta, há infinitas soluções.
- Solução única as retas se cruzam em um ponto.
- Nenhuma solução as retas são paralelas distintas.
- Infinitas soluções as duas equações representam a mesma reta.
Métodos de resolução
Os três métodos mais usados são substituição, adição e comparação. A escolha depende da forma das equações.
| Método | Quando usar | Ideia |
|---|---|---|
| Substituição | uma variável já está fácil de isolar | isole e substitua na outra equação |
| Adição | coeficientes opostos ou fáceis de ajustar | some as equações para eliminar uma variável |
| Comparação | as duas equações isolam a mesma variável | iguale as expressões obtidas |
Sistemas não lineares
Quando surgem produtos de incógnitas, quadrados ou outras relações não lineares, substituição e simetria costumam ser os caminhos mais curtos.
- Substituição isole a variável que aparece mais simples
- Soma/produto use x+y e xy quando houver simetria
- Quadrática auxiliar transforme x e y em raízes de uma equação
Fatoração e produtos notáveis
Fatorar é reescrever uma expressão como produto. Isso simplifica contas, equações, frações algébricas e leitura de raízes. A pergunta que guia a fatoração é: "qual estrutura está escondida aqui?".
| Caso | Regra | Exemplo |
|---|---|---|
| Fator comum | ab + ac = a(b+c) | 3x+6 = 3(x+2) |
| Quadrado da soma | (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 | (x+3)2 |
| Quadrado da diferença | (a-b)2 = a2 - 2ab + b2 | (x-4)2 |
| Diferença de quadrados | a2-b2 = (a+b)(a-b) | x2-9 = (x+3)(x-3) |
| Agrupamento | junte termos com fator comum | ax+ay+bx+by=(a+b)(x+y) |
Produtos notáveis na prática
Produtos notáveis servem nos dois sentidos: expandir e fatorar. Em prova, reconhecer o padrão economiza muito tempo.
Erros comuns
- Sistema a solução precisa satisfazer todas as equações.
- Adição só elimine variável quando os coeficientes forem opostos.
- Classificação não confunda sistema sem solução com sistema de infinitas soluções. Verifique se há contradição ou repetição da mesma equação.
- Fator comum verifique se o fator escolhido divide todos os termos do grupo.
- Quadrado (a+b)2 não é a2+b2.
- Produto zero use a propriedade apenas quando a expressão está fatorada e igual a zero.