Definições e classificação
Definição — Polígono
Uma figura plana fechada formada por n segmentos de reta (lados) que se encontram somente nos extremos (vértices), sem cruzamentos. O menor polígono possível tem 3 lados (triângulo).
Convexo: qualquer segmento unindo dois pontos internos está inteiramente dentro do polígono. Equivalente a: todos os ângulos internos são menores que 180°.
Côncavo: existe pelo menos um ângulo interno maior que 180° (ângulo reentrante).
Ângulos internos
Soma dos ângulos internos
Teorema fundamental
A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é:
S = (n − 2) · 180°
▶ Ver demonstração
1
Escolha um vértice V qualquer do polígono. Trace diagonais de V até todos os outros vértices não-adjacentes.
2
Um polígono de n lados é decomposto em
n − 2 triângulos por esse processo.3
A soma dos ângulos de todos os triângulos é exatamente a soma dos ângulos internos do polígono:
S = (n−2)·180°. ■
Ângulo interno de polígono regular: Como todos os ângulos são iguais, cada ângulo interno mede
θ = (n−2)·180° / n.
Exemplo resolvidoMédio
Um polígono convexo tem soma dos ângulos internos igual a 1260°. Quantos lados ele tem?
1
(n−2)·180 = 1260 → n−2 = 7 → n = 92
Polígono de 9 lados = nonágono.
n = 9 lados (nonágono)
Ângulos externos
Ângulos externos
Definição — Ângulo Externo
O ângulo externo de um polígono num dado vértice é o suplemento do ângulo interno naquele vértice. É o ângulo formado por um lado e o prolongamento do lado adjacente.
Teorema
A soma de um ângulo externo de cada vértice de qualquer polígono convexo é sempre 360°, independentemente do número de lados.
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1
Em cada vértice, ângulo interno + externo = 180° (são suplementares).
2
Somando para todos os n vértices: (soma internos) + (soma externos) = 180n.
3
Soma internos = (n−2)·180. Logo: soma externos = 180n − (n−2)·180 = 180n − 180n + 360 =
360°. ■
Interpretação visual: Se você caminhar pelo perímetro de um polígono convexo, ao passar por cada vértice você gira um ângulo externo. Ao completar o percurso, terá girado exatamente 360° — uma volta completa.
Ângulo externo do polígono regular:
φ = 360°/n. Isso é útil para construir polígonos regulares com régua e compasso.
Diagonais
Número de diagonais
Fórmula
O número de diagonais de um polígono convexo de n lados é:
D =
n(n−3)
2
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1
Cada vértice pode ser conectado a
n−1 outros vértices, mas 2 dessas conexões são lados (não diagonais). Logo cada vértice origina n−3 diagonais.2
Total aparente:
n(n−3). Mas cada diagonal foi contada duas vezes (uma por cada extremo).3
Dividindo por 2:
D = n(n−3)/2. ■Exemplo resolvidoMédio
Um polígono tem 35 diagonais. Quantos lados possui?
1
n(n−3)/2 = 35 → n(n−3) = 702
Tente n = 10:
10·7 = 70 ✓n = 10 lados (decágono)
Polígonos regulares
Polígonos regulares
Definição — Polígono Regular
Um polígono é regular quando é equilátero (todos os lados iguais) e equiângulo (todos os ângulos iguais). Todo polígono regular é ao mesmo tempo inscritível e circunscritível numa circunferência.
A circunferência que passa pelos vértices é a circunscrita (raio R). A circunferência tangente aos lados é a inscrita (raio r = apótema a).
Fórmulas gerais — polígono regular de n lados e lado ℓ
Ângulo interno
θ = (n−2)·180°n
Ângulo externo
φ = 360°n
Ângulo central
α = 360°n (mesmo que externo)
Raio circunscrito
R = ℓ2·sen(π/n)
Apótema
a = ℓ2·tg(π/n) = R·cos(πn)
Área
A = n·ℓ·a2 = perímetro · a2
Número de diagonais
D = n(n−3)2
Apótema
Apótema e área
Definição — Apótema
O apótema de um polígono regular é a distância do centro ao ponto médio de qualquer lado. É o raio da circunferência inscrita e a altura do triângulo isósceles formado pelo centro e qualquer lado.
Fórmula da área — dedução
A área de qualquer polígono regular é igual ao semiproduto do perímetro pelo apótema.
A =
P · a
2
onde P = n·ℓ
▶ Ver demonstração
1
Ligue o centro O a cada vértice. O polígono é dividido em n triângulos isósceles iguais.
2
Cada triângulo tem base ℓ e altura a (apótema). Área de cada um:
ℓ·a/2.3
Área total:
n·(ℓ·a/2) = (n·ℓ)·a/2 = P·a/2. ■Exemplo resolvidoMédio
Um hexágono regular tem lado ℓ = 6 cm. Calcule o apótema, o raio da circunscrita, o perímetro e a área.
1
No hexágono regular, R = ℓ =
6 cm. (Propriedade especial do hexágono.)2
Apótema:
a = R·cos(π/6) = 6·(√3/2) = 3√3 cm ≈ 5,196 cm3
Perímetro:
P = 6·6 = 36 cm4
A = P·a/2 = 36·3√3/2 = 54√3 ≈ 93,53 cm²R=6 cm | a=3√3 cm | P=36 cm | A=54√3 cm²
Exemplo resolvidoDifícil
Um octógono regular está inscrito numa circunferência de raio R = 10 cm. Calcule o lado e a área do octógono.
1
n = 8. Lado:
ℓ = 2R·sen(π/n) = 2·10·sen(22,5°)2
sen(22,5°) = √((1−cos45°)/2) = √((1−√2/2)/2) ≈ 0,38273
ℓ ≈ 20·0,3827 = 7,654 cm4
Apótema:
a = R·cos(π/8) = 10·cos(22,5°) ≈ 10·0,9239 = 9,239 cm5
A = P·a/2 = (8·7,654)·9,239/2 ≈ 61,23·9,239/2 ≈ 282,8 cm²ℓ ≈ 7,65 cm | A ≈ 282,8 cm²
Tabela completa
Tabela de polígonos regulares
| Polígono | n | Ângulo interno | Ângulo externo | Diagonais | Área (lado ℓ) |
|---|---|---|---|---|---|
| Triângulo equilátero | 3 | 60° | 120° | 0 | ℓ²√3/4 |
| Quadrado | 4 | 90° | 90° | 2 | ℓ² |
| Pentágono | 5 | 108° | 72° | 5 | ℓ²√(25+10√5)/4 |
| Hexágono | 6 | 120° | 60° | 9 | 3ℓ²√3/2 |
| Heptágono | 7 | ≈128,57° | ≈51,43° | 14 | ≈3,634ℓ² |
| Octógono | 8 | 135° | 45° | 20 | 2(1+√2)ℓ² |
| Nonágono | 9 | 140° | 40° | 27 | ≈6,182ℓ² |
| Decágono | 10 | 144° | 36° | 35 | ≈7,694ℓ² |
| Dodecágono | 12 | 150° | 30° | 54 | 3(2+√3)ℓ² |
Exercícios
Exercícios
Exercício 1 — Ângulos internos
Qual é a soma dos ângulos internos de um dodecágono (12 lados)?
Exercício 2 — Ângulo externo
Cada ângulo externo de um polígono regular mede 24°. Quantos lados ele tem?
Exercício 3 — Diagonais
Quantas diagonais tem um octógono (8 lados)?
Exercício 4 — Apótema e área
Um hexágono regular tem apótema a = 6√3 cm. Qual é a sua área?