Quadriláteros Notáveis

Hierarquia dos quadriláteros

Os quadriláteros notáveis formam uma hierarquia de especialização: cada figura mais abaixo na cadeia herda todas as propriedades das figuras acima.

Definição — Quadrilátero

Polígono com quatro lados, quatro vértices e quatro ângulos. A soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é sempre 360° (pois uma diagonal o divide em dois triângulos, cada um com 180°).

Um quadrilátero é convexo se todas as diagonais estão no interior. É côncavo se alguma diagonal fica fora.

Hierarquia de inclusão — cada figura herda todas as propriedades das que estão acima

Trapézio

Um par de lados paralelos (bases)

Propriedades

Base maior B e base menor b são paralelas.
Os ângulos da mesma base são suplementares.
A base média (segmento médio) é paralela às bases e mede (B+b)/2.
Isósceles: lados não-paralelos iguais; diagonais iguais; ângulos da mesma base iguais.
Retângulo: dois ângulos retos (um lado perpendicular às bases).

Fórmulas

Área A = (B+b)·h2

Base média m = B+b2

Perímetro P = a+b+c+d

Teorema — Segmento médio do trapézio

O segmento que une os pontos médios dos lados não-paralelos de um trapézio é paralelo às bases e mede a média aritmética delas.

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1

Sejam M e N os pontos médios dos lados AD e BC. Prolongue MN até encontrar o prolongamento de DC em P.

2

△AND ≅ △PNC (ALA: ∠AND = ∠PNC OPV, AN = CN, ∠DAN = ∠NCP alternos). Logo DP = AB e N é ponto médio de MP.

3

Em △ABP: M e N são pontos médios → MN ∥ AB e MN = AB/2... e como DP = AB: MN = (AB+DC)/2 = (B+b)/2. ■

Exemplo resolvidoMédio

Um trapézio isósceles tem bases B = 20 cm e b = 12 cm, e os lados não-paralelos medem 5 cm. Calcule a altura e a área.

1

A diferença das bases é B − b = 8 cm. Cada lado avança (B−b)/2 = 4 cm horizontalmente.

2

Pelo Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo lateral: h = √(5²−4²) = √(25−16) = 3 cm

3

A = (B+b)·h/2 = (20+12)·3/2 = 32·3/2 = 48 cm²

h = 3 cm | A = 48 cm²

Paralelogramo

Dois pares de lados paralelos

Propriedades

Lados opostos são paralelos e iguais.
Ângulos opostos são iguais.
Ângulos consecutivos são suplementares.
As diagonais se bissectam mutuamente (ponto médio em comum).
Cada diagonal divide o paralelogramo em dois triângulos congruentes.

Fórmulas

ÁreaA = b·h

Área (lados) A = a·b·sen θ

PerímetroP = 2(a+b)

Diagonais d₁²+d₂² = 2(a²+b²)

Teorema das diagonais

As diagonais de um paralelogramo se intersectam em seus pontos médios (bissectam-se mutuamente).

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1

Seja ABCD paralelogramo com diagonais AC e BD se cruzando em O.

2

AB ∥ CD e AB = CD → △AOB ≅ △COD pelo caso ALA (∠OAB = ∠OCD alternos, AB = CD, ∠OBA = ∠ODC alternos).

3

Da congruência: AO = CO e BO = DO → O é ponto médio de ambas as diagonais. ■

Identidade das diagonais

Num paralelogramo de lados a e b e diagonais d₁ e d₂:

d₁² + d₂² = 2(a² + b²)

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1

As diagonais se bissectam em O. Nos 4 triângulos formados, aplique a Lei dos Cossenos em △AOB (ângulo θ em A entre a diagonal d₁/2 e o lado a).

2

b² = (d₁/2)²+(d₂/2)²−2(d₁/2)(d₂/2)cosθ e a² = (d₁/2)²+(d₂/2)²+2(d₁/2)(d₂/2)cosθ (ângulo suplementar).

3

Somando: a²+b² = (d₁²+d₂²)/2 → d₁²+d₂² = 2(a²+b²). ■

Exemplo resolvidoDifícil

Um paralelogramo tem lados 5 e 7 cm e uma das diagonais mede 9 cm. Calcule a outra diagonal.

1

d₁²+d₂² = 2(a²+b²) = 2(25+49) = 148

2

81 + d₂² = 148 → d₂² = 67 → d₂ = √67 ≈ 8,19 cm

d₂ = √67 ≈ 8,19 cm

Retângulo

Paralelogramo com quatro ângulos retos

Propriedades

Todos os ângulos internos são retos (90°).
Herda todas as propriedades do paralelogramo.
As diagonais são iguais e se bissectam.
O circuncentro coincide com o ponto médio de cada diagonal.
Raio da circunscrita: R = d/2 (metade da diagonal).

Fórmulas

ÁreaA = b·h

PerímetroP = 2(b+h)

Diagonald = √(b²+h²)

Circ. circunscritaR = d/2

Retângulo Áureo: Um retângulo é chamado áureo quando a razão entre seus lados é o número áureo φ = (1+√5)/2 ≈ 1,618. Ele tem a propriedade de que ao remover um quadrado, o retângulo restante é semelhante ao original. Aparece em obras de arte e arquitetura greco-romana.

Exemplo resolvidoMédio

A diagonal de um retângulo mede 13 cm e um lado mede 5 cm. Calcule o outro lado, a área e o raio da circunferência circunscrita.

1

b = √(d²−a²) = √(169−25) = √144 = 12 cm

2

A = 5·12 = 60 cm²

3

R = d/2 = 13/2 = 6,5 cm

b=12 cm | A=60 cm² | R=6,5 cm

Losango

Paralelogramo com quatro lados iguais

Propriedades

Todos os lados são iguais: a = b = c = d = ℓ.
Herda todas as propriedades do paralelogramo.
As diagonais são perpendiculares entre si.
As diagonais são bissetrizes dos ângulos internos.
O losango é inscritível numa circunferência apenas se for quadrado.

Fórmulas

Área A = D·d2

PerímetroP = 4ℓ

Lado ℓ² = (D/2)²+(d/2)²

Área (alt.) A = ℓ·h = ℓ²·sen θ

Teorema — diagonais perpendiculares

As diagonais de um losango são perpendiculares entre si e bissetrizes dos ângulos internos.

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1

No losango ABCD, as diagonais se cruzam em O (por ser paralelogramo). Considere △AOB e △COB.

2

AO = CO (diagonais se bissectam), OB = OB (comum), AB = CB = ℓ → △AOB ≅ △COB pelo caso LLL.

3

Logo ∠AOB = ∠COB. Mas ∠AOB + ∠COB = 180° (ângulos em linha reta) → ∠AOB = 90°. ■

Exemplo resolvidoDifícil

Um losango tem área 96 cm² e uma diagonal de 16 cm. Calcule a outra diagonal, o lado e o perímetro.

1

A = D·d/2 → 96 = 16·d/2 → d = 12 cm

2

ℓ = √((D/2)²+(d/2)²) = √(64+36) = √100 = 10 cm

3

P = 4ℓ = 40 cm

d=12 cm | ℓ=10 cm | P=40 cm

Quadrado

Retângulo com todos os lados iguais (= losango com ângulos retos)

Propriedades

Herda todas as propriedades de retângulo e losango.
Quatro lados iguais e quatro ângulos de 90°.
Diagonais iguais, perpendiculares e bissetrizes dos ângulos (45°).
Possui tanto circunferência inscrita quanto circunscrita.
É o único quadrilátero regular.

Fórmulas (lado ℓ)

ÁreaA = ℓ²

PerímetroP = 4ℓ

Diagonald = ℓ√2

R (circunscrita) R = ℓ√22

r (inscrita) r = ℓ2

Relação entre os raios: No quadrado, R = r√2, pois R = ℓ√2/2 e r = ℓ/2, logo R/r = √2. Isso significa que a circunferência circunscrita tem raio √2 vezes maior que a inscrita.

Exemplo resolvidoMédio

A diagonal de um quadrado mede 10√2 cm. Calcule o lado, a área, o raio da inscrita e da circunscrita.

1

d = ℓ√2 → ℓ = d/√2 = 10√2/√2 = 10 cm

2

A = ℓ² = 100 cm²

3

R = d/2 = 10√2/2 = 5√2 cm | r = ℓ/2 = 5 cm

ℓ=10 cm | A=100 cm² | R=5√2 cm | r=5 cm

Tabela comparativa completa

Figura	Lados opostos ∥	Lados iguais	Ângulos	Diagonais	Área
Trapézio	1 par	Não nec.	Bases: suplem.	Diferentes	`(B+b)h/2`
Trap. isósceles	1 par	Laterais iguais	Base iguais 2 a 2	Iguais	`(B+b)h/2`
Paralelogramo	2 pares	Opostos iguais	Opostos iguais	Bissetam-se	`b·h`
Retângulo	2 pares	Opostos iguais	Todos 90°	Iguais, bissetam-se	`b·h`
Losango	2 pares	Todos iguais	Opostos iguais	Perp., bissetam-se	`D·d/2`
Quadrado	2 pares	Todos iguais	Todos 90°	Iguais, perp., bissetrizes	`ℓ²`

Exercícios

Exercício 1 — Trapézio

Um trapézio tem bases 18 e 10 cm e altura 7 cm. Qual é a sua área?

Exercício 2 — Paralelogramo

Num paralelogramo, as diagonais medem 10 e 6 cm. Os lados medem a e b com a²+b² = ?

Exercício 3 — Losango

Um losango tem diagonais 10 e 24 cm. Qual é seu perímetro?

Exercício 4 — Quadrado

A área de um quadrado é 72 cm². Qual é o comprimento de sua diagonal?