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Trilha 5 · intermediário

Apótema e área de polígonos regulares

Esta trilha fecha polígonos regulares com área. O foco principal para provas mais diretas é usar perímetro e apótema; a parte trigonométrica fica como avanço.

Apótema

Apótema é a distância do centro do polígono regular até o meio de um lado. Ele funciona como a altura dos triângulos que formam o polígono.

raio R apótema a R: centro até vértice a: centro até o lado a forma 90° com o lado
Raio e apótema não são a mesma medida. O apótema é perpendicular ao lado e por isso funciona como altura dos triângulos internos.
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Pegadinha: não confunda apótema com raio. O raio vai do centro até o vértice. O apótema vai do centro até o lado.

Área com apótema

Quando a questão der o perímetro e o apótema, use diretamente a fórmula abaixo.

a lado l Área = soma de triângulos A = n·l·a/2 A = P·a/2
Ligando o centro aos vértices, o polígono regular vira triângulos de base l e altura a. Como P = n·l, obtemos A = P·a/2.
Área do polígono regular
A = P · a / 2
P é o perímetro e a é o apótema.
Exemplo direto
Um polígono regular tem perímetro 60 cm e apótema 4 cm. Calcule a área.
1Use A = P · a / 2.
2A = 60 · 4 / 2.
A = 120 cm².
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Prova: essa fórmula aparece quando a prova fornece o apótema ou permite encontrá-lo por triângulos.

Casos importantes

FiguraÁreaObservação
Triângulo equiláteroA = l²√3/4muito comum em vestibulares
QuadradoA = l²regular de 4 lados
Hexágono regularA = 6 · l²√3/4 = 3l²√3/26 triângulos equiláteros
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Hexágono regular: o raio da circunferência circunscrita é igual ao lado, porque o hexágono se divide em 6 triângulos equiláteros.
Exemplo com hexágono
Um hexágono regular tem lado 6 cm. Calcule a área.
1São 6 triângulos equiláteros de lado 6.
2Área de cada triângulo: 6²√3/4 = 9√3.
Área total: 6 · 9√3 = 54√3 cm².

Tabela de consulta

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Não decore tudo: para provas mais diretas, concursos e muitos vestibulares, o mais importante é saber usar as fórmulas gerais e reconhecer triângulo equilátero, quadrado e hexágono regular. Octógono aparece em casos específicos.
Polígono regularMais importante saber
Triângulo equiláteroA = l²√3/4
QuadradoA = l²
Hexágono regular6 triângulos equiláteros; R = l
Octógono regularmais comum em questões com ângulo externo de 45° ou trigonometria

Fórmulas avançadas para polígonos regulares

Esta parte é mais útil para provas completas, vestibulares mais fortes e questões que envolvem trigonometria.

Raio circunscrito
R = l / [2 · sen(π/n)]
Apótema por trigonometria
a = l / [2 · tg(π/n)] = R · cos(π/n)
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Para revisões iniciais: priorize soma dos ângulos, diagonais, área com apótema dado, triângulo equilátero, quadrado e hexágono regular.

Exercícios intermediários e avançados

Intermediário
Um polígono regular tem perímetro 80 cm e apótema 5 cm. Sua área é:
Avançado
Um hexágono regular de lado 6 cm tem área:
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