O que é diagonal
Diagonal é o segmento que liga dois vértices que não estão lado a lado.
Pegadinha: lado não é diagonal. Por isso aparece n - 3 na fórmula: de cada vértice, você não pode ligar para ele mesmo nem para os dois vizinhos.
Fórmula do número de diagonais
Diagonais de um polígono convexo
D = n(n - 3)/2
n é o número de lados do polígono.
De cada vértice saem n - 3 diagonais. Multiplicamos por n, mas dividimos por 2 porque cada diagonal foi contada duas vezes.
provas, concursos e vestibulares: essa fórmula costuma aparecer em questões diretas: a banca dá n e pede D, ou dá D e pede n.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1
Quantas diagonais tem um octógono?
1Octógono tem n = 8.
2D = 8(8 - 3)/2 = 8·5/2.
D = 20 diagonais.
Exemplo 2
Um polígono tem 35 diagonais. Quantos lados possui?
1Use D = n(n - 3)/2.
235 = n(n - 3)/2.
3Multiplique por 2: 70 = n(n - 3).
4Procure dois números do tipo n e n - 3 cujo produto seja 70. Testando n = 10: 10 · 7 = 70.
Logo, n = 10: decágono.
Pegadinha: não esqueça de multiplicar por 2 antes de testar os valores.
Exercícios estilo prova
Treino 1
Quantas diagonais tem um octógono?
Treino 2
Um polígono tem 54 diagonais. Quantos lados ele tem?