Geometria Plana — EstudaMath

Conceitos básicos

A geometria plana estuda figuras contidas num plano — uma superfície plana e infinita em duas dimensões. Seus elementos primitivos (não definidos formalmente) são o ponto, a reta e o plano.

Definição — Ponto, Reta e Plano

Ponto: entidade sem dimensão, sem comprimento, largura ou espessura. Indica apenas posição. Representado por letra maiúscula: A, B, P.

Reta: conjunto infinito de pontos alinhados, com apenas uma dimensão (comprimento). Representada por letra minúscula: r, s, t.

Plano: superfície plana infinita com duas dimensões. Representado por letra grega: α, β.

Posições relativas entre retas

Duas retas num mesmo plano podem se relacionar de três formas:

Posições relativas entre duas retas no plano

Definição — Segmento e Semirreta

Segmento de reta AB: parte limitada de uma reta entre dois pontos A e B. Tem comprimento definido. Notação: AB.

Semirreta: parte de uma reta com um extremo (ponto de origem) e infinita na outra direção.

Ângulos

Definição — Ângulo

Um ângulo é a figura formada por duas semirretas de mesma origem (vértice). A medida do ângulo é dada em graus (°) ou radianos (rad).

Relação: 180° = π rad | 1° = π/180 rad | 1 rad ≈ 57,3°

Classificação dos ângulos

Nome	Medida	Símbolo	Exemplo
Nulo	= 0°	—	Semirretas sobrepostas
Agudo	0° < α < 90°	∠α	Canto de triângulo equilátero (60°)
Reto	= 90°	∟	Canto de uma folha de papel
Obtuso	90° < α < 180°	∠α	Abertura de porta ajarela (120°)
Raso	= 180°	—	Reta inteira
Reflexo	180° < α < 360°	∠α	Abertura maior que reta

Ângulos complementares, suplementares e replementares

Definição

Complementares: dois ângulos cuja soma é 90°. Exemplo: 30° e 60°.

Suplementares: dois ângulos cuja soma é 180°. Exemplo: 110° e 70°.

Replementares: dois ângulos cuja soma é 360°. Exemplo: 200° e 160°.

Ângulos formados por retas paralelas cortadas por transversal

Quando uma transversal corta duas retas paralelas, são formados 8 ângulos com relações importantes:

Ângulos alternos internos (iguais) e colaterais (suplementares)

Teorema

Quando duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, os ângulos alternos internos são iguais e os ângulos colaterais internos são suplementares.

▶ Ver demonstração

1

Sejam as retas paralelas r e s, cortadas pela transversal t. Nos pontos de interseção P (em r) e Q (em s), formam-se os ângulos α e β.

2

Na interseção P, ângulos opostos pelo vértice são iguais: se o ângulo superior esquerdo é α, o inferior direito também é α (OPV).

3

Como r ∥ s, a transversal faz o mesmo ângulo com ambas. Logo, o ângulo em Q correspondente ao ângulo α em P também é α. ■

Triângulos

Definição — Triângulo

Um triângulo é um polígono com três lados e três ângulos internos. É o polígono de menor número de lados possível.

Notação: △ABC, onde A, B e C são os três vértices.

Classificação quanto aos lados

Classificação dos triângulos quanto aos lados

Classificação quanto aos ângulos

Tipo	Condição	Exemplo de ângulos
Acutângulo	Todos os ângulos < 90°	60°, 70°, 50°
Retângulo	Um ângulo = 90°	90°, 45°, 45°
Obtusângulo	Um ângulo > 90°	120°, 40°, 20°

Teorema fundamental

A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180°.
Se α, β e γ são os ângulos internos de △ABC, então: α + β + γ = 180°.

▶ Ver demonstração

1

Dado △ABC com ângulos α (em A), β (em B) e γ (em C). Trace pelo vértice B uma reta r paralela ao lado AC.

2

Como r ∥ AC, pelo teorema dos ângulos alternos internos, o ângulo formado por AB com r (à esquerda de B) é igual a α.

3

Pelo mesmo motivo, o ângulo formado por BC com r (à direita de B) é igual a γ.

4

Os três ângulos α, β e γ juntos formam um ângulo raso sobre a reta r, portanto α + β + γ = 180°. ■

Corolário: Em qualquer triângulo, cada ângulo externo é igual à soma dos dois ângulos internos não-adjacentes a ele. Se o ângulo externo em C é δ, então δ = α + β.

Área do triângulo

Fórmulas da área

Base × altura A = b · h2
Fórmula de Heron A = √[ s(s−a)(s−b)(s−c) ] onde s = a+b+c2
Dois lados e ângulo A = a · b · sen(C)2

📜

Origem histórica: A fórmula de Heron foi publicada pelo matemático grego Heron de Alexandria (séc. I d.C.) em seu livro Metrica, mas evidências sugerem que Arquimedes já a conhecia dois séculos antes. É especialmente útil quando não se conhece a altura do triângulo, apenas os três lados.

Exemplo resolvido Médio

Um terreno triangular tem lados medindo 13 m, 14 m e 15 m. Calcule sua área usando a Fórmula de Heron.

1

Calcule o semiperímetro: s = (13 + 14 + 15) / 2 = 21 m

2

Calcule cada fator: s − a = 21 − 13 = 8 s − b = 21 − 14 = 7 s − c = 21 − 15 = 6

3

Aplique a fórmula: A = √(21 · 8 · 7 · 6) = √7056 = 84 m²

Área = 84 m²

Exemplo resolvido Difícil

Num triângulo ABC, o ângulo externo em A mede 130°. Sabendo que o ângulo B é o dobro do ângulo C, determine todos os ângulos internos do triângulo.

1

O ângulo interno em A: Â = 180° − 130° = 50°

2

Seja Ĉ = x°. Então B̂ = 2x° (dado).

3

Soma dos ângulos: 50 + 2x + x = 180 → 3x = 130 → x = 43,33...°

4

Portanto: Ĉ ≈ 43°20' B̂ ≈ 86°40'

Â = 50° | B̂ ≈ 86°40' | Ĉ ≈ 43°20'

Quadriláteros

Definição — Quadrilátero

Polígono com quatro lados, quatro vértices e quatro ângulos. A soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é 360°.

Teorema

A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre 360°.

▶ Ver demonstração

1

Qualquer diagonal divide o quadrilátero ABCD em dois triângulos: △ABD e △BCD.

2

A soma dos ângulos de cada triângulo é 180°.

3

Portanto a soma total é 180° + 180° = 360°. ■

Hierarquia dos quadriláteros notáveis

Hierarquia dos quadriláteros — todo retângulo é paralelogramo, mas nem todo paralelogramo é retângulo

Retângulo

ÁreaA = b × h

PerímetroP = 2(b + h)

Diagonald = √(b² + h²)

Losango

Área A = D · d2

PerímetroP = 4l

Relaçãol² = (D/2)² + (d/2)²

Trapézio

Área A = (B + b) · h2

Base média m = B + b2

Paralelogramo

ÁreaA = b · h

PerímetroP = 2(a + b)

Exemplo resolvido Fácil

As diagonais de um losango medem 16 cm e 12 cm. Determine: (a) a área; (b) o lado do losango.

a

Área: A = (D · d) / 2 = (16 · 12) / 2 = 96 cm²

b

As diagonais bissetam umas às outras em ângulo reto, formando 4 triângulos retângulos com catetos D/2 = 8 e d/2 = 6.

c

Lado: l = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10 cm

Área = 96 cm² | Lado = 10 cm

Polígonos regulares

Definição — Polígono Regular

Um polígono é regular quando todos os lados são congruentes (iguais) e todos os ângulos internos são congruentes. Todo polígono regular é inscritível numa circunferência.

Fórmulas gerais para polígono de n lados e lado ℓ

Ângulo interno θ = (n − 2) · 180°n
Ângulo externo φ = 360°n
Nº de diagonais d = n(n − 3)2
Área A = n · ℓ² · cot(π/n)4

Polígono	n	Ângulo interno	Diagonais	Área (lado ℓ)
Triângulo equilátero	3	60°	0	`ℓ²√3 / 4`
Quadrado	4	90°	2	`ℓ²`
Pentágono	5	108°	5	`≈ 1,720 ℓ²`
Hexágono	6	120°	9	`3ℓ²√3 / 2`
Octógono	8	135°	20	`2(1+√2)ℓ²`
Decágono	10	144°	35	`≈ 7,694 ℓ²`

Observação: À medida que n → ∞, o polígono regular se aproxima de um círculo. Essa ideia foi usada por Arquimedes para calcular π — ele inscreveu e circunscreveu polígonos de 96 lados, obtendo 3,1408 < π < 3,1429.

Círculo e circunferência

Definição

Circunferência: conjunto de todos os pontos do plano equidistantes de um ponto fixo chamado centro. A distância comum é o raio r.

Círculo: região do plano delimitada por uma circunferência (inclui o interior).

Fórmulas do círculo e partes

Comprimento C = 2πr
Área do círculo A = πr²
Arco (θ em °) arc = θ · 2πr360 = θ · πr180
Setor circular A_setor = θ · πr²360
Coroa circular A_coroa = π(R² − r²)
Segmento circular A_seg = A_setor − A_triângulo

🏛️

O número π: A razão entre o comprimento e o diâmetro de qualquer círculo é sempre a mesma constante irracional π ≈ 3,14159265… Os babilônios usavam π ≈ 3,125 (1900 a.C.). Arquimedes calculou 3 + 10/71 < π < 3 + 1/7. Hoje, conhecemos mais de 100 trilhões de dígitos de π.

Exemplo resolvido Médio

Uma pista circular tem raio externo de 50 m e raio interno de 44 m. Calcule a área da pista (coroa circular) e o comprimento da linha central da pista.

1

Área da coroa: A = π(R² − r²) = π(50² − 44²) = π(2500 − 1936) = 564π ≈ 1772 m²

2

Raio médio: r_m = (50 + 44) / 2 = 47 m

3

Comprimento central: C = 2π · 47 = 94π ≈ 295,3 m

Área ≈ 1772 m² | Comprimento central ≈ 295,3 m

Áreas — tabela completa

Referência rápida com todas as fórmulas de área estudadas nesta página.

Figura	Fórmula da área	Variáveis
Triângulo	`A = b·h / 2`	b=base, h=altura
Triângulo (Heron)	`A = √[s(s−a)(s−b)(s−c)]`	s = semiperímetro
Retângulo / quadrado	`A = b · h`	b=base, h=altura
Paralelogramo	`A = b · h`	h = altura perpendicular
Losango	`A = D · d / 2`	D,d = diagonais
Trapézio	`A = (B + b) · h / 2`	B,b = bases, h=altura
Hexágono regular (lado ℓ)	`A = 3ℓ²√3 / 2`	ℓ = lado
Círculo	`A = πr²`	r = raio
Setor circular	`A = θ·πr² / 360`	θ = ângulo central (°)
Coroa circular	`A = π(R² − r²)`	R,r = raios externo/interno

Exercícios

Exercício 1 — Ângulos

Dois ângulos são suplementares. Um deles mede 3x + 10° e o outro 2x − 20°. Qual o valor de x?

Exercício 2 — Triângulos

Num triângulo, dois ângulos medem 72° e 48°. O ângulo externo ao terceiro vértice mede:

Exercício 3 — Polígonos

Qual é o ângulo interno de um polígono regular de 12 lados (dodecágono)?

Exercício 4 — Círculo

Um setor circular tem raio 6 cm e ângulo central 60°. Qual a sua área? (use π ≈ 3,14)

Exercício 5 — Área de trapézio

Um trapézio tem bases 20 cm e 12 cm e altura 8 cm. A área é: