Seções do cone
As cônicas surgem da interseção de um plano com um cone duplo. Um corte paralelo à base produz circunferência; um corte oblíquo que encontra uma folha produz elipse; o corte paralelo a uma geratriz produz parábola; e o plano que encontra as duas folhas produz hipérbole.
Circunferência
É o conjunto dos pontos a uma distância fixa R de C=(h,k):
O centro é (h,k), o raio é R>0 e a excentricidade é e=0. Ela pode ser tratada como caso particular da elipse com focos coincidentes; algumas abordagens reservam a palavra “elipse” para focos distintos.
Parábola
É o conjunto dos pontos equidistantes de um foco e de uma reta diretriz.
O vértice é V=(h,k). Na primeira forma, o foco é (h+p,k), a diretriz é x=h−p e o eixo é horizontal. Na segunda, o foco é (h,k+p), a diretriz é y=k−p e o eixo é vertical. O sinal de p determina o sentido da abertura e e=1.
Elipse
Na forma horizontal, com a>b>0:
O centro é (h,k), os vértices são (h±a,k), os co-vértices (h,k±b), os focos (h±c,k), com c²=a²−b² e e=c/a. Para uma elipse não circular, 0<e<1 e PF₁+PF₂=2a.
Na forma vertical, os denominadores trocam de posição: (x−h)²/b²+(y−k)²/a²=1; vértices e focos ficam no eixo vertical.
Hipérbole
Formas reduzidas horizontal e vertical:
(y−k)²/a²−(x−h)²/b²=1
Em ambos os casos c²=a²+b² e e=c/a>1. A hipérbole possui centro, dois vértices, dois focos e dois ramos. O módulo da diferença focal é 2a.
Na horizontal, as assíntotas são y−k=±(b/a)(x−h). Na vertical, são y−k=±(a/b)(x−h).
Excentricidade e comparação
A excentricidade mede, em termos relativos, o afastamento da forma circular. Ela classifica as cônicas não degeneradas e orienta a leitura de seus elementos.
| Cônica | Definição | Excentricidade | Forma da curva |
|---|---|---|---|
| Circunferência | Distância fixa ao centro | 0 | Fechada |
| Elipse | Soma focal constante | 0<e<1 | Fechada |
| Parábola | Equidistância de foco e diretriz | 1 | Um ramo |
| Hipérbole | Diferença focal constante | e>1 | Dois ramos |
Equação geral de segundo grau
O discriminante cônico Δc=B²−4AC classifica o tipo da parte quadrática:
- Δc<0: tipo elíptico;
- Δc=0: tipo parabólico;
- Δc>0: tipo hiperbólico.
Essa classificação não garante, sozinha, uma cônica real e não degenerada. Os termos lineares e o termo constante precisam ser considerados.
Termo misto e rotação
A presença de Bxy geralmente indica que os eixos da cônica estão rotacionados em relação aos eixos cartesianos. O discriminante continua útil, mas identificar centro, focos e vértices pode exigir uma rotação de eixos.
Quando não há termo xy, os eixos costumam estar alinhados aos eixos cartesianos, ressalvados casos degenerados. Nesta visão geral, não são necessárias matrizes nem mudança de base.
Realidade e casos degenerados
Completar quadrados ou fatorar revela se o conjunto descrito é uma curva real.
- Vazio: x²+y²+1=0.
- Um ponto: x²+y²=0.
- Duas retas concorrentes: x²−4y²=0 ⇔ (x−2y)(x+2y)=0.
- Duas retas paralelas: x²−1=0 ⇔ x=±1.
- Reta dupla: (x−y)²=0.
- Não degenerada: x²/9+y²/4=1 é uma elipse real.
Pegadinhas de classificação
- Usar apenas Δc e declarar que a curva é real.
- Confundir o maior denominador da elipse com o eixo x sem observar sua posição.
- Trocar c²=a²−b² da elipse por c²=a²+b² da hipérbole.
- Ignorar o sinal de p na parábola e inverter a abertura.
- Tratar assíntotas como partes da hipérbole.
Questões resolvidas
1. Circunferência reduzida
(x−2)²+(y+1)²=9.
Compare com (x−h)²+(y−k)²=R².
C=(2,−1), R=3 e e=0.
2. Elementos da parábola
(y−1)²=8(x+2).
4p=8, então p=2 e V=(−2,1).
F=(h+p,k)=(0,1).
Diretriz: x=h−p=−4; abertura para a direita.
3. Focos da elipse
x²/25+y²/9=1.
a=5 e b=3.
c²=25−9=16, logo c=4.
Focos (±4,0), e=4/5 e soma focal 2a=10.
4. Hipérbole e assíntotas
x²/9−y²/16=1.
a=3, b=4 e c=5.
Focos (±5,0), e=5/3.
Assíntotas: y=±(4/3)x.
5. Parâmetro no discriminante
x²+kxy+y²−1=0.
Δc=k²−4.
|k|<2: tipo elíptico; |k|=2: tipo parabólico; |k|>2: tipo hiperbólico.
Para k=±2, (x±y)²=1: duas retas paralelas, portanto caso degenerado.
Exercícios
1. O conjunto dos pontos equidistantes de um foco e de uma diretriz é:
2. A cônica de excentricidade zero é:
3. Na elipse x²/16+y²/7=1, a excentricidade é:
4. Um refletor tem seção (x−1)²=−12(y+2). Seu foco é:
5. As assíntotas de y²/9−x²/16=1 são:
6. Para x²+kxy+4y²−1=0 ter Δc=0, deve ocorrer:
7. Sobre x²+y²+1=0 e x²−4y²=0, respectivamente, é correto afirmar:
8. Para 9x²−16y²=144, a forma reduzida, a excentricidade e as assíntotas são:
Gabarito comentado:
1-B: Essa é a definição foco-diretriz da parábola.
2-A: A circunferência possui focos coincidentes e e=0.
3-C: a=4, b²=7 e c²=16−7=9; assim e=c/a=3/4.
4-D: 4p=−12, então p=−3; com V=(1,−2), o foco é (1,−5).
5-B: Na hipérbole vertical, as assíntotas são y=±(a/b)x=±(3/4)x.
6-C: Δc=k²−4·1·4=k²−16; portanto k=±4. Nesses valores, a equação é degenerada em retas paralelas.
7-A: A primeira soma não pode ser zero em números reais; a segunda fatora em (x−2y)(x+2y)=0.
8-D: Dividindo por 144: x²/16−y²/9=1. Logo a=4, b=3, c=5, e=5/4 e y=±(3/4)x.
Resumo final
- Circunferência: e=0; elipse: 0<e<1; parábola: e=1; hipérbole: e>1.
- As formas reduzidas revelam centro ou vértice, eixos, focos e abertura.
- Δc=B²−4AC classifica o tipo quadrático, não a realidade da curva.
- Termo xy costuma indicar rotação; fatoração e quadrados completos revelam degenerações.
- Use as páginas específicas para aprofundar cada cônica.