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Circunferência

Equações e posições relativas

Complete quadrados e compare distâncias para classificar pontos e retas.

Definição geométrica e equação reduzida

Circunferência é o conjunto dos pontos do plano que estão a uma distância fixa R de um ponto fixo chamado centro.

Se C=(a,b) e P=(x,y), então CP=R. Elevando a fórmula da distância ao quadrado:

(x−a)²+(y−b)²=R²,   R>0
Centro, ponto e raio da circunferênciaPlano cartesiano com circunferência, centro C igual a a vírgula b, ponto P igual a x vírgula y e raio CP. Projeções pontilhadas indicam diferenças x menos a e y menos b.C=(a,b)P=(x,y)Rx−ay−b
O triângulo retângulo das diferenças de coordenadas fornece (x−a)²+(y−b)²=R².

Centro e raio

Na forma reduzida, os sinais do centro são opostos aos sinais escritos nos parênteses: (x−2)² produz a=2; (y+3)²=(y−(−3))² produz b=−3.

Em (x−2)²+(y+3)²=16, C=(2,−3) e R=4. O lado direito é R², não R.

Equação geral

x²+y²+Dx+Ey+F=0
C=(−D/2,−E/2),   R²=(D²+E²)/4−F

Depois de normalizada, uma equação representa circunferência quando os coeficientes de x² e y² são iguais e não nulos, não há termo xy e o raio calculado é real.

x²+2y²=1 é elipse, não circunferência; x²+y²+xy=1 possui termo misto; x²+y²+1=0 não tem ponto real.

Completar quadrados

Agrupe x e y, complete cada quadrado e compense as constantes:

x²−6x=(x−3)²−9
y²+4y=(y+2)²−4

Em x²+y²−6x+4y−12=0:

(x²−6x)+(y²+4y)=12

(x−3)²−9+(y+2)²−4=12

(x−3)²+(y+2)²=25.

Se houver fator comum, normalize primeiro. Por exemplo, divida 2x²+2y²−8x+12y−24=0 por 2 antes de completar quadrados.

Existência e degeneração

  • R²>0: circunferência real não degenerada.
  • R²=0: um único ponto, caso degenerado.
  • R²<0: nenhum ponto real.

Uma condição com parâmetro deve ser resolvida conforme o que se pede. Para x²+y²−4x+6y+k=0, R²=13−k; há circunferência não degenerada se k<13.

Posição de um ponto

Para P=(x,y), calcule PC²=(x−a)²+(y−b)² e compare com R², evitando raízes:

  • PC²<R²: interior;
  • PC²=R²: pertence à circunferência;
  • PC²>R²: exterior.

Na circunferência de centro (1,−2) e R=5, P=(4,2) satisfaz PC²=3²+4²=25 e pertence.

Posição de uma reta

d(C0,r)=|Ax0+By0+C|/√(A²+B²)

Para r:Ax+By+C=0, compare d com R: d<R secante, d=R tangente e d>R exterior.

Retas secante, tangente e exteriorCircunferência com uma reta secante atravessando-a em dois pontos, uma tangente tocando-a uma vez e uma reta exterior sem interseção. Cada tipo tem rótulo e traço diferente.secante: 2 pontostangente: 1 pontoexterior: 0 pontosC
A classificação depende da distância do centro à reta, não da inclinação da reta.

Reta tangente em um ponto

Primeiro confirme que T=(xT,yT) pertence à circunferência. Para centro (a,b):

(xT−a)(x−a)+(yT−b)(y−b)=R²

O vetor CT é normal à tangente, pois o raio é perpendicular a ela. Na circunferência x²+y²=25, em T=(3,4), a tangente é 3x+4y=25.

O método do vetor normal trata retas verticais sem dividir por inclinação: se CT é horizontal, a tangente é vertical.

Duas circunferências

Para distância d entre centros e raios R1, R2:

  • d>R1+R2: exteriores sem interseção;
  • d=R1+R2: tangentes exteriores;
  • |R1−R2|<d<R1+R2: secantes;
  • d=|R1−R2|: tangentes interiores;
  • d<|R1−R2|: uma interna à outra, sem tangência.

Se d=0, são concêntricas; com raios iguais, coincidem, e com raios distintos não se intersectam.

Posições relativas entre duas circunferênciasTrês painéis mostram circunferências tangentes exteriormente, secantes em dois pontos e uma interna tangente à outra. Os contatos e interseções são marcados.tangentes exterioressecantestangentes interiores
Compare d com a soma e o módulo da diferença dos raios.

Construção por dados geométricos

  • Centro e ponto: raio é a distância entre eles.
  • Diâmetro: centro é o ponto médio e raio é metade do comprimento.
  • Três pontos não colineares: centro é o encontro das mediatrizes.
  • Tangência a eixos: distância do centro a cada eixo é R.
  • Tangência a reta: distância do centro à reta é R.
  • Corda: se a distância do centro à corda é d, meia corda vale √(R²−d²).

Centro sobre uma reta ou coordenadas com parâmetro fornecem equações adicionais que devem ser combinadas com as condições geométricas.

Questões resolvidas

1. Completar quadrados

x²+y²−6x+4y−12=0.

(x−3)²+(y+2)²=25.

Resposta: C=(3,−2), R=5.

2. Fator comum

2x²+2y²−8x+12y−24=0.

Dividindo por 2 e completando: (x−2)²+(y+3)²=25.

Resposta: C=(2,−3), R=5.

3. Ponto e reta

C=(0,0), R=5; P=(1,2); r:3x+4y−30=0.

PC²=5<25: P interior. d(O,r)=30/5=6>5.

Resposta: ponto interior e reta exterior.

4. Tangente no ponto

x²+y²=25 e T=(3,4).

T pertence, pois 9+16=25. O vetor (3,4) é normal.

Resposta: 3x+4y=25.

5. Extremos de diâmetro

A=(0,0), B=(6,8).

C=(3,4), AB=10 e R=5.

Resposta: (x−3)²+(y−4)²=25.

Exercícios e resumo

Fácil

1. O centro de (x−2)²+(y+3)²=16 é:

A) (2,3)B) (−2,−3)C) (2,−3)D) (−2,3)
Fácil

2. Em x²+y²=25, o ponto (3,4):

A) é interiorB) pertenceC) é exteriorD) é o centro
Médio

3. x²+y²−6x+4y−12=0 possui:

A) C=(3,−2), R=5B) C=(−3,2), R=5C) C=(3,−2), R=25D) C=(6,−4), R=12
Médio

4. x²+y²+4x−6y+k=0 degenera em um ponto quando:

A) k=0B) k=4C) k=9D) k=13
Médio

5. Para C=(0,0), R=5 e r:3x+4y−30=0, a reta é:

A) secanteB) tangenteC) exteriorD) um diâmetro
Difícil

6. A tangente a x²+y²=25 em T=(3,4) é:

A) 4x+3y=25B) 3x+4y=25C) 3x−4y=25D) y=4
Difícil

7. A circunferência passa por (0,0), (6,0) e (0,8). A corda determinada pela reta 3x+4y=25 tem comprimento:

A) 10B) 8C) 6D) 5
Difícil

8. x²+y²−4x+6y+k=0 é tangente ao eixo x. A reta 4x−3y−17=0 corta a circunferência em uma corda de comprimento:

A) 3B) 4C) 5D) 6

Gabarito comentado:

1-C: os sinais do centro são opostos aos sinais internos.

2-B: 3²+4²=25=R².

3-A: completar quadrados dá (x−3)²+(y+2)²=25.

4-D: C=(−2,3) e R²=13−k; degeneração exige R²=0, logo k=13.

5-C: d=30/√25=6>5.

6-B: T pertence e o vetor normal da tangente é CT=(3,4).

7-A: os três pontos formam triângulo retângulo de hipotenusa 10, que é diâmetro; C=(3,4). A reta passa pelo centro, logo a corda é o diâmetro 10.

8-D: tangência ao eixo x dá R=3 e k=4. O centro (2,−3) pertence à reta, pois 8+9−17=0; a corda é um diâmetro de comprimento 6.

Resumo final

  • A equação reduzida vem da distância ao centro.
  • Complete quadrados para recuperar centro e raio.
  • Compare quadrados para pontos e distância à reta para secante, tangente ou exterior.
  • Na tangente, CT é vetor normal.
  • Entre duas circunferências, compare d com soma e diferença dos raios.