Definição focal e simetrias
O módulo é indispensável porque a ordem das distâncias muda de um ramo para o outro, mas a constante geométrica é positiva. A hipérbole é simétrica em relação aos eixos real e conjugado e ao centro C=(h,k).
Forma horizontal e retângulo auxiliar
C=(h,k), V=(h±a,k), F=(h±c,k). O termo positivo indica o eixo real horizontal somente na forma canônica com eixos alinhados.
Forma vertical
C=(h,k), V=(h,k±a), F=(h,k±c). As assíntotas são y−k=±(a/b)(x−h).
Relações métricas e excentricidade
A distância entre vértices é 2a e entre focos é 2c. Como b>0, c²>a² e portanto c>a, justificando e>1.
Assíntotas e justificativa
Troque o lado direito 1 por 0. Na horizontal:
[(x−h)/a−(y−k)/b][(x−h)/a+(y−k)/b]=0
Logo y−k=±(b/a)(x−h). As retas passam pelo centro e orientam os ramos, mas normalmente não pertencem à hipérbole. Na vertical, a inclinação é ±a/b. Essas razões também são as inclinações das diagonais do retângulo auxiliar 2a×2b.
Hipérbole equilátera ou retangular
Quando a=b, as assíntotas são perpendiculares. Para x²/a²−y²/a²=1, elas são y=±x e e=√2.
Forma geral e completamento de quadrados
Considere 4x²−9y²−16x−18y−29=0:
4(x²−4x)−9(y²+2y)=29.
4[(x−2)²−4]−9[(y+1)²−1]=29.
4(x−2)²−9(y+1)²=36.
(x−2)²/9−(y+1)²/4=1.
C=(2,−1), a=3, b=2, c=√13; V=(−1,−1),(5,−1); F=(2±√13,−1); assíntotas y+1=±(2/3)(x−2).
Degenerações e realidade
(x−h)²/a²−(y−k)²/b²=0 fatora em duas retas concorrentes: não é hipérbole não degenerada. x²−y²=0 representa y=±x; já x²−y²=−1 é uma hipérbole vertical após multiplicar e reorganizar.
Equações como x²−y²+1=0 podem representar hipérbole real em outra orientação; portanto, reorganize antes de concluir. Produtos de quadrados sem termo constante podem indicar degeneração.
Ponto e hipérbole
Na expressão canônica normalizada, resultado 1 significa pertencimento. Diferentemente da elipse, não se deve dizer simplesmente que resultado menor que 1 significa “interior”: a hipérbole não delimita uma única região interior fechada. O sinal e a orientação descrevem regiões distintas do plano.
Aplicações e pegadinhas
- Use c²=a²+b² e mantenha o módulo na definição focal.
- O termo positivo indica a abertura somente sem rotação dos eixos.
- Na horizontal, inclinação das assíntotas é b/a; na vertical, a/b.
- Assíntotas não são ramos da hipérbole.
- Verifique se o lado direito é 1 ou 0 antes de classificar.
Questões resolvidas
1. Horizontal
x²/9−y²/16=1.
a=3,b=4,c=5; V=(±3,0), F=(±5,0), e=5/3, assíntotas y=±4x/3.
2. Vertical transladada
(y−2)²/4−(x+1)²/9=1.
C=(−1,2), a=2,b=3,c=√13; V=(−1,0),(−1,4); F=(−1,2±√13); assíntotas y−2=±2(x+1)/3.
3. Completamento
4x²−9y²−16x−18y−29=0.
(x−2)²/9−(y+1)²/4=1; C=(2,−1), a=3,b=2,c=√13.
4. Focos e vértices
F=(±5,0), V=(±3,0).
a=3,c=5,b²=25−9=16. Equação x²/9−y²/16=1.
5. Parâmetro e retangularidade
x²/(k+1)−y²/9=1 é equilátera.
a²=b², então k+1=9 e k=8. As assíntotas são y=±x e e=√2.
Exercícios
1. Na hipérbole real não degenerada:
2. Em y²/9−x²/4=1, a abertura é:
3. As assíntotas de x²/4−y²/9=1 são:
4. A excentricidade de x²/9−y²/16=1 é:
5. Um sistema de localização usa focos e registra |PF₁−PF₂|=10. O valor de a é:
6. A forma canônica de 4x²−9y²−16x−18y−29=0 é:
7. Para x²/(m+1)−y²/9=1 ser equilátera, o par (m,e) é:
8. Uma hipérbole tem C=(2,−1), focos (2±5,−1) e vértices (2±3,−1). Sua equação e assíntotas são:
Gabarito comentado:
1-B: A relação hiperbólica é c²=a²+b².
2-C: O termo positivo contém y, logo o eixo real é vertical.
3-A: Na horizontal, a inclinação é b/a=3/2.
4-D: c=√(9+16)=5 e e=5/3.
5-B: A diferença focal constante é 2a; 2a=10 dá a=5.
6-C: Completar quadrados produz 4(x−2)²−9(y+1)²=36.
7-A: Retangularidade exige a²=b²: m+1=9, m=8; então e=√2.
8-D: a=3,c=5,b=4; a forma é horizontal e as inclinações são ±b/a=±4/3.
Resumo final
- |PF₁−PF₂|=2a e c²=a²+b².
- O termo positivo da forma canônica indica o eixo real.
- O retângulo 2a×2b determina as assíntotas.
- a=b produz hipérbole equilátera; lado direito zero produz retas concorrentes.