Definição focal e condições
A soma das distâncias aos focos é constante e 2a é o eixo maior. Para elipse real não circular, a>b>0; no caso circular, a=b>0 e c=0. Quando os focos coincidem, obtém-se uma circunferência segundo a convenção adotada.
A elipse é simétrica em relação aos dois eixos que passam pelo centro C=(h,k) e também em relação ao próprio centro.
Forma horizontal
C=(h,k); vértices V=(h±a,k); co-vértices B=(h,k±b); focos F=(h±c,k).
Forma vertical
C=(h,k); vértices V=(h,k±a); co-vértices B=(h±b,k); focos F=(h,k±c).
Relações métricas, excentricidade e comprimentos
Para elipse não circular, 0<e<1; para circunferência, e=0. Quanto mais e se aproxima de 0, mais circular; quanto mais se aproxima de 1, mais alongada.
- eixo maior=2a;
- eixo menor=2b;
- distância entre focos=2c.
Não confunda semieixo a com o eixo inteiro 2a. Se os denominadores forem iguais, não existe “maior denominador”: trata-se do caso circular.
Posição de um ponto
Substitua P na expressão normalizada da forma canônica. Resultado igual a 1: P pertence; menor que 1: P é interior; maior que 1: P é exterior.
Em x²/25+y²/9=1, (0,3) pertence, pois 0+1=1; (0,2) é interior e (0,4) é exterior.
Da forma geral à canônica
Considere 9x²+25y²−36x+50y−164=0:
9(x²−4x)+25(y²+2y)=164.
9[(x−2)²−4]+25[(y+1)²−1]=164.
9(x−2)²+25(y+1)²=225.
(x−2)²/25+(y+1)²/9=1.
C=(2,−1), a=5, b=3, c=4; eixo maior horizontal.
Área da elipse
a e b são os semieixos. A fórmula resulta de uma transformação que dilata o círculo unitário por fatores a e b.
Se a=5 e b=3, a área é 15π. Se a área é 24π e a=6, então b=4.
Propriedade refletora
Um raio que parte de um foco e reflete na elipse segue em direção ao outro foco. Essa propriedade é usada em dispositivos acústicos e ópticos.
Aplicações e pegadinhas
- Use c²=a²−b², não a soma.
- Verifique denominadores positivos e lado direito igual a 1.
- O maior denominador determina o eixo maior apenas no caso não circular.
- Ao completar quadrados, fatore antes o coeficiente do termo quadrático.
- Centro transladado troca sinais: (x−h) e (y−k).
Questões resolvidas
1. Horizontal na origem
x²/25+y²/9=1.
a=5, b=3, c=4; V=(±5,0), B=(0,±3), F=(±4,0), e=4/5.
2. Vertical transladada
(x−1)²/4+(y+2)²/16=1.
C=(1,−2), a=4, b=2, c=2√3; V=(1,−6),(1,2); F=(1,−2±2√3).
3. Completamento de quadrados
9x²+25y²−36x+50y−164=0.
(x−2)²/25+(y+1)²/9=1; C=(2,−1), a=5, b=3, c=4.
4. Focos e vértices
F=(±3,0), V=(±5,0).
a=5, c=3, b²=25−9=16. Equação: x²/25+y²/16=1.
5. Área com parâmetro
x²/k²+y²/9=1, k≥3, tem área 15π.
a=k, b=3. π·k·3=15π, logo k=5.
Exercícios
1. Para uma elipse real, vale:
2. Em x²/25+y²/9=1, o ponto (0,3):
3. Em (x−2)²/16+(y+1)²/4=1, centro e direção do eixo maior são:
4. A excentricidade de x²/25+y²/16=1 é:
5. Um jardim elíptico tem semieixos 6 m e 2 m. Sua área é:
6. A forma canônica de 9x²+25y²−36x+50y−164=0 é:
7. A curva x²/(k+1)+y²/9=1 é uma circunferência real. Então:
8. Uma elipse centrada na origem tem focos (±4,0) e vértices (±5,0). Sua equação e área são:
Gabarito comentado:
1-B: Na elipse, b²=a²−c².
2-A: A expressão normalizada vale 1.
3-D: Os sinais dão C=(2,−1), e o maior denominador está sob x.
4-C: c=√(25−16)=3 e e=3/5.
5-B: A=πab=π·6·2=12π.
6-A: Completar quadrados produz 9(x−2)²+25(y+1)²=225.
7-C: No caso circular, os denominadores são iguais: k+1=9, então k=8.
8-D: a=5, c=4, b=3; logo a equação usa 25 e 9 e A=15π.
Resumo final
- PF₁+PF₂=2a e c²=a²−b².
- Formas horizontal e vertical fornecem coordenadas explícitas dos elementos.
- e=c/a mede o alongamento e A=πab.
- Completar quadrados revela centro e semieixos.