Definição
O produto misto combina produto vetorial e produto escalar. Primeiro ele cria um vetor perpendicular com v×w, depois calcula o produto escalar com u.
Produto misto
[u,v,w] = u·(v×w)
Também pode ser calculado por determinante 3x3 usando as coordenadas dos vetores.
Coplanaridade: se o produto misto for zero, o volume é zero. Isso indica que os vetores estão no mesmo plano, não que todos os vetores são nulos.
Volume
Geometricamente, o valor absoluto do produto misto mede volume.
Volumes
V_paralelepípedo = |[u,v,w]| ; V_tetraedro = |[u,v,w]|/6
O paralelepípedo pode ser dividido em 6 tetraedros de mesmo volume. Por isso aparece a divisão por 6.
Exemplo
u=(1,0,0), v=(0,2,0), w=(0,0,3).
[u,v,w]=6. Volume do paralelepípedo = 6.
Como cai: produto misto aparece em problemas de volume e coplanaridade.
Exercícios
Volume
Se [u,v,w]=18, o volume do paralelepípedo é:
Tetraedro
Se |[u,v,w]|=30, o volume do tetraedro é: