Reta no espaço
Antes de estudar reta no espaço, o aluno precisa dominar vetor diretor, produto escalar e produto vetorial. O vetor diretor indica a direção da reta. Se uma reta passa por um ponto e sabemos sua direção, conseguimos escrever sua equação.
Forma paramétrica
(x,y,z) = P0 + t·d
Exemplo simples
Reta passando por A(1,2,3) com direção d=(2,0,1).
(x,y,z)=(1+2t, 2, 3+t).
Equação simétrica: (x-x0)/a=(y-y0)/b=(z-z0)/c só pode ser usada diretamente quando a, b e c são diferentes de zero. Se alguma componente for zero, prefira a forma paramétrica.
Plano no espaço
Um plano é determinado por um ponto P0(x0,y0,z0) e um vetor normal n=(a,b,c). O vetor normal é perpendicular ao plano. Ele funciona como a direção que aponta para fora do plano.
Equação do plano
a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0
Na equação ax+by+cz+d=0, o vetor normal é n=(a,b,c).
Exemplo simples
Determine o plano que passa por P0(1,2,3) e tem normal n=(2,-1,4).
2(x-1)-(y-2)+4(z-3)=0, então 2x-y+4z-12=0.
Plano por três pontos
Para encontrar o plano por três pontos, os pontos não podem ser colineares. Se forem colineares, existem infinitos planos passando por eles.
Dados A, B e C, um vetor normal pode ser obtido por n=AB×AC.
Como cai: equação de plano aparece mais em geometria analítica espacial e provas de nível mais alto. Distância ponto-reta no espaço usa produto vetorial; distância ponto-plano usa vetor normal.
Exercícios
Vetor normal
No plano 2x - y + 4z - 12 = 0, um vetor normal é:
Reta
A reta (x,y,z)=(1+2t,2,3+t) tem vetor diretor: