Vetores — EstudaMath

Definição e operações básicas

Definição — Vetor

Um vetor é um objeto matemático com módulo (comprimento), direção e sentido. Representamos por v = (v₁, v₂, v₃) em coordenadas cartesianas. O vetor de A(x₁,y₁,z₁) a B(x₂,y₂,z₂) é AB = (x₂−x₁, y₂−y₁, z₂−z₁).

Módulo: |v| = √(v₁²+v₂²+v₃²). Vetor unitário: u = v/|v|.

Operações — vetores u=(u₁,u₂,u₃) e v=(v₁,v₂,v₃), escalar λ

Adiçãou+v = (u₁+v₁, u₂+v₂, u₃+v₃)

Subtraçãou−v = (u₁−v₁, u₂−v₂, u₃−v₃)

Mult. escalarλu = (λu₁, λu₂, λu₃)

Módulo|u| = √(u₁²+u₂²+u₃²)

Paralelosu ∥ v ↔ u = λv (ou v×u = 0)

Base canônica do ℝ³: î=(1,0,0), ĵ=(0,1,0), k̂=(0,0,1). Qualquer vetor v=(a,b,c) = aî+bĵ+ck̂.

Produto escalar (produto interno)

Definição — Produto Escalar

Definição geométrica: u·v = |u|·|v|·cos θ, onde θ é o ângulo entre os vetores.

Definição algébrica (ℝ³): u·v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃

O resultado é um escalar (número real).

Propriedades e aplicações do produto escalar

Comutatividadeu·v = v·u

Ortogonalidadeu⊥v ↔ u·v = 0

Ângulo cos θ = u·v|u|·|v|

Projeção de u em v proj_v u = u·v|v|²·v

|u|²u·u = |u|²

Exemplo resolvidoMédio

Dados u=(2,−1,3) e v=(1,4,−2), calcule u·v, o ângulo entre eles e verifique se são ortogonais.

1

u·v = 2·1+(−1)·4+3·(−2) = 2−4−6 = −8

2

|u|=√(4+1+9)=√14, |v|=√(1+16+4)=√21

3

cosθ = −8/(√14·√21) = −8/√294 ≈ −0,467 → θ ≈ 117,8°

4

u·v = −8 ≠ 0 → não ortogonais.

u·v = −8 | θ ≈ 117,8° | Não ortogonais

Produto vetorial (produto cruz)

Definição — Produto Vetorial

O produto vetorial u×v é um vetor perpendicular a ambos u e v, com módulo |u×v| = |u|·|v|·sen θ e sentido dado pela regra da mão direita.

Cálculo por determinante formal:

u×v = det|î ĵ k̂ / u₁ u₂ u₃ / v₁ v₂ v₃| = (u₂v₃−u₃v₂)î − (u₁v₃−u₃v₁)ĵ + (u₁v₂−u₂v₁)k̂

Propriedades do produto vetorial

Anti-comutativou×v = −(v×u)

Paralelosu∥v ↔ u×v = 0

Módulo|u×v| = |u|·|v|·senθ

Área do paralelogramoA_par = |u×v|

Área do triângulo A_tri = |u×v|2

Fórmula expandida

u=(u₁,u₂,u₃) e v=(v₁,v₂,v₃):

          u×v = (u₂v₃−u₃v₂, u₃v₁−u₁v₃, u₁v₂−u₂v₁)
        

Exemplo resolvidoDifícil

Dados A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3). Calcule a área do triângulo ABC.

1

AB = (−1,2,0) e AC = (−1,0,3).

2

AB×AC = (2·3−0·0, 0·(−1)−(−1)·3, (−1)·0−2·(−1)) = (6, 3, 2).

3

|AB×AC| = √(36+9+4) = √49 = 7.

4

Área = |AB×AC|/2 = 7/2 = 3,5 u².

Área = 7/2 u²

Produto misto (produto escalar triplo)

Definição — Produto Misto

O produto misto de u, v, w é o escalar: [u, v, w] = u·(v×w)

Geometricamente, seu valor absoluto é o volume do paralelepípedo definido pelos três vetores.

Cálculo por determinante 3×3:

[u,v,w] = det|u₁ u₂ u₃ / v₁ v₂ v₃ / w₁ w₂ w₃|

Coplanaridade: u, v, w são coplanares ↔ [u,v,w] = 0. O produto misto nulo é a condição analítica de coplanaridade de três vetores.

Volume do tetraedro: V_tet = |[u,v,w]|/6, onde u, v, w são as arestas a partir de um vértice.

Exemplo resolvidoDifícil

Dados u=(1,2,3), v=(4,5,6), w=(7,8,0). Calcule o produto misto e determine se são coplanares.

1

Expanda o det 3×3 pela primeira linha: 1(5·0−6·8)−2(4·0−6·7)+3(4·8−5·7)

2

= 1(−48)−2(−42)+3(32−35) = −48+84+3(−3) = −48+84−9 = 27

3

[u,v,w] = 27 ≠ 0 → não coplanares. Volume do paralelepípedo = 27 u³.

[u,v,w] = 27 | Não coplanares | V = 27 u³

Reta no espaço

Equações de uma reta no espaço

Uma reta r passa pelo ponto P₀(x₀,y₀,z₀) com vetor diretor d⃗=(a,b,c).

Equações da reta — ponto P₀(x₀,y₀,z₀), diretor d=(a,b,c)

Paramétrica(x,y,z)=(x₀+at, y₀+bt, z₀+ct), t∈ℝ

Simétrica x−x₀a= y−y₀b= z−z₀c

Dist. ponto-reta d = |AP×d⃗||d⃗| (A∈r, P externo)

Exemplo resolvidoMédio

Encontre a distância do ponto P(1,2,3) à reta que passa por A(0,0,0) com diretor d=(1,1,1).

1

AP = P−A = (1,2,3).

2

AP×d = (1,2,3)×(1,1,1) = (2·1−3·1, 3·1−1·1, 1·1−2·1) = (−1,2,−1).

3

|AP×d| = √(1+4+1) = √6. |d| = √3.

4

d = √6/√3 = √2

d = √2

Plano no espaço

Equação do plano

Um plano é determinado por um ponto P₀(x₀,y₀,z₀) e um vetor normal n⃗=(a,b,c). Sua equação é:

a(x−x₀) + b(y−y₀) + c(z−z₀) = 0

Ou na forma geral: ax + by + cz + d = 0, onde d = −ax₀−by₀−cz₀.

Fórmulas do plano ax+by+cz+d=0

Normaln⃗=(a,b,c)

Dist. ponto-plano D = |ax₀+by₀+cz₀+d|√(a²+b²+c²)

Planos paralelosn⃗₁ ∥ n⃗₂ (ou n⃗₁ = λn⃗₂)

Planos perp.n⃗₁·n⃗₂ = 0

Ângulo entre planos cosθ = |n⃗₁·n⃗₂||n⃗₁|·|n⃗₂|

Plano por três pontos

Dados três pontos não colineares A, B, C, o vetor normal ao plano é n⃗ = AB⃗ × AC⃗.

▶ Ver demonstração

1

AB⃗ e AC⃗ são vetores do plano. O produto vetorial é perpendicular a ambos, portanto perpendicular ao plano.

2

Com n⃗ = AB×AC e ponto A(x_A,y_A,z_A), use a equação do plano: n₁(x−x_A)+n₂(y−y_A)+n₃(z−z_A)=0. ■

Exemplo resolvidoDifícil

Encontre a equação do plano que passa por A(1,0,0), B(0,2,0) e C(0,0,3). Calcule a distância da origem a esse plano.

1

AB=(−1,2,0), AC=(−1,0,3). Normal: AB×AC=(6,3,2) (calculado anteriormente).

2

Equação em A(1,0,0): 6(x−1)+3(y−0)+2(z−0)=0 → 6x+3y+2z=6.

3

Forma intercept: x/1+y/2+z/3=1 ✓ (consistente).

4

Dist. da origem: D=|6·0+3·0+2·0−6|/√(36+9+4)=6/7.

6x+3y+2z=6 | D(O, π) = 6/7

Exercícios

Exercício 1 — Produto escalar

u=(1,2,2) e v=(2,1,−2). O ângulo entre eles é:

Exercício 2 — Produto vetorial

|u×v| para u=(1,0,0) e v=(0,1,0) é:

Exercício 3 — Produto misto

Três vetores u, v, w têm produto misto [u,v,w]=0. Isso significa que:

Exercício 4 — Plano

A distância do ponto P(2,3,4) ao plano x+y+z=0 é:

Vetores no Plano e no Espaço

Definição e operações básicas

Produto escalar (produto interno)

Produto vetorial (produto cruz)

Produto misto (produto escalar triplo)

Reta no espaço

Plano no espaço

Exercícios