Raio perpendicular à tangente
Como cai: muitas questões de tangência são resolvidas lembrando que raio e tangente formam 90°.
Tangente com centro na origem
Para a circunferência x² + y² = r², a tangente no ponto T(x₀,y₀) é:
Tangente em T(x₀,y₀)
x₀x + y₀y = r²
Exemplo simples
Encontre a tangente à circunferência x²+y²=25 no ponto (3,4).
1Aqui x₀=3, y₀=4 e r²=25.
Tangente: 3x + 4y = 25.
Tangente com centro fora da origem
Para (x-a)²+(y-b)²=r², a tangente no ponto T(x₀,y₀) da circunferência é:
Forma geral da tangente no ponto
(x₀-a)(x-a) + (y₀-b)(y-b) = r²
Essa fórmula é mais avançada. Antes de usá-la, confirme que o ponto dado realmente pertence à circunferência.
Exemplo avançado: tangentes por ponto externo
Quando o ponto está fora da circunferência, podem existir duas tangentes. Esse modelo é mais forte e aparece mais em provas completas e vestibulares.
Exemplo avançado
Encontre as tangentes à circunferência x²+y²=25 traçadas pelo ponto externo P(7,1).
1Seja T(x₀,y₀) o ponto de tangência. A tangente em T é x₀x+y₀y=25.
2Como P está na tangente: 7x₀+y₀=25.
3Como T está na circunferência: x₀²+y₀²=25.
Resolvendo o sistema, temos T₁=(3,4) e T₂=(4,3). Tangentes: 3x+4y=25 e 4x+3y=25.
Exercícios
Tangente no ponto
A tangente à circunferência x²+y²=25 no ponto (3,4) é:
Ideia geométrica
No ponto de tangência, o raio e a tangente formam: